Appunti di Elettronica I Lezione 2 Bipoli lineari; legge di Ohm; caratteristica tensione-corrente; nodi e maglie di un circuito

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1 Appunti di Elettronica Lezione Bipoli lineari; legge di Ohm; caratteristica tensionecorrente; nodi e maglie di un circuito alentino Liberali Dipartimento di Tecnologie dell nformazione Università di Milano, 603 Crema liberali@dti.unimi.it liberali 8 febbraio 008 Questi appunti sono un complemento didattico del materiale presentato nelle lezioni di Elettronica, e riassunto in modo molto schematico nelle diapositive messe a disposizione. Alcune parti di questi appunti, contraddistinte da un asterisco (*), costituiscono un approfondimento degli argomenti trattati a lezione e non fanno parte del programma d esame.

2 BPOL; LEGGE D OHM; CARATTERSTCA TENSONECORRENTE; NOD E MAGLE Bipoli lineari; legge di Ohm; caratteristica tensionecorrente; nodi e maglie di un circuito. Grandezze indipendenti dal tempo n questa parte consideriamo solo grandezze elettriche costanti nel tempo. Le grandezze costanti nel tempo vengono indicate con simboli corsivi maiuscoli: ad esempio,,. nvece le unità di misura sono indicate in carattere normale (mai in corsivo!).. Bipoli elettrici n genere, i circuiti elettrici sono costituiti da molti componenti elementari. più semplici elementi circuitali sono dispositivi a due terminali, detti bipoli. La Fig.. mostra un esempio di bipolo elettrico, cioè un dispositivo avente due terminali (o morsetti), a cui è applicata la differenza di potenziale e attraverso cui fluisce la corrente. Per indicare in modo univoco i versi della tensione e della corrente, i due terminali del bipolo vengono contrassegnati con i simboli (morsetto positivo) e (morsetto negativo). Figura.: Bipolo elettrico. La tensione si misura dal polo negativo a quello positivo. La corrente si considera positiva quando entra nel bipolo dal terminale positivo. Questa è la convenzione degli utilizzatori, usata in SPCE. Con questa convenzione, la potenza è positiva quando viene assorbita dal bipolo, ed è negativa quando viene erogata. Esiste un altra convenzione, detta convenzione dei generatori, secondo cui la corrente si considera positiva quando esce dal terminale positivo. Con la convenzione dei generatori, la legge di Ohm deve essere scritta = R e la potenza risulta positiva quando viene erogata. Nella risoluzione dei circuiti, è consigliabile usare sempre una sola convenzione. La convenzione degli utilizzatori è preferibile tutte le volte in cui si deve effettuare un analisi al calcolatore con SPCE..3 Caratteristica di un bipolo Ogni bipolo elettrico può essere descritto tramite una relazione tra le grandezze elettriche tensione () e corrente (). Questa relazione si chiama caratteristica tensionecorrente, o più semplicemente caratteristica del bipolo. La caratteristica può essere espressa analiticamente in vari modi: in forma implicita: f (, )=0; in forma esplicita rispetto a : = g(); in forma esplicita rispetto a : = h();

3 BPOL; LEGGE D OHM; CARATTERSTCA TENSONECORRENTE; NOD E MAGLE dove f,g,h sono funzioni di una o più variabili. La caratteristica può anche essere rappresentata in forma grafica come una curva nel piano (, ), con la tensione sull asse delle ascisse e la corrente sull asse delle ordinate. Come esempio di caratteristica di un bipolo, la Fig.. illustra la caratteristica tensionecorrente in un resistore. [ma] 0 [] Figura.: Caratteristica tensionecorrente in un resistore. Un bipolo è linearese è descritto da una relazione di proporzionalità diretta tra le grandezze elettriche (tensione e corrente) o le loro derivate rispetto al tempo, nel caso di grandezze variabili nel tempo. Consideriamo, ad esempio, la forma esplicita rispetto a : = g() è lineare se, per ogni valore di e, e per qualsiasi costanteα, si ha: g( )=g( )g( ) g(α)=α g() n forma grafica, la caratteristica di un bipolo lineare è rettilinea..4 Resistore l resistore, il cui simbolo elettrico è illustrato in Fig..3, è il più semplice bipolo lineare, caratterizzato da una relazione di proporzionalità diretta tra tensione e corrente : = R. (.) La (.) è detta legge di Ohm, ed è una delle equazioni fondamentali nell analisi dei circuiti elettrici. La costante di proporzionalità R è la resistenza del resistore, che si misura in ohm (Ω); Ω=/A= kg m /A s 3. Georg Simon Ohm, Fisico tedesco, definì esattamente i concetti di carica elettrica, forza elettromotrice e intensità di corrente, formulando la legge che porta il suo nome.

4 BPOL; LEGGE D OHM; CARATTERSTCA TENSONECORRENTE; NOD E MAGLE 3 R Figura.3: Simbolo elettrico del resistore. L inverso della resistenza è la conduttanza G: G= R (.) La conduttanza G si misura in siemens (S) ; S=Ω = A/=. l simbolo èun ohm capovolto ed è chiamato mho; secondo il S questo simbolo non deve essere usato, perché l unità di misura della conduttanza è il siemens. Usando la (.), la legge di Ohm si può scrivere anche nella forma: = = G. (.3) R n forma grafica, la caratteristica tensionecorrente di un resistore è una retta la cui pendenza è la conduttanza G (Fig..4). G crescente G decrescente = G Figura.4: Caratteristica tensionecorrente di un resistore, al variare della conduttanza G. Werner von Siemens, nventore e industriale tedesco, inventò la dinamo con sistema di autoeccitazione e nel 847 fondò una società per la produzione di materiale telegrafico.

5 BPOL; LEGGE D OHM; CARATTERSTCA TENSONECORRENTE; NOD E MAGLE 4.5 Generatori di tensione e di corrente Un generatore di tensione ideale è un bipolo che produce ai sui capi una differenza di tensione di valore definito, indipendentemente dal resto del circuito in cui il generatore è inserito. simboli circuitali più frequentemente utilizzati per i generatori di tensione sono rappresentati in Fig..5(a) e (b). l simbolo illustrato nella Fig..5(a) si utilizza per indicare un generatore di tensione costante (come, ad esempio, una pila o una batteria). (a) (b) (c) (d) Figura.5: Simboli elettrici: (a) e (b) dei generatori di tensione; (c) e (d) dei generatori di corrente. Un generatore di corrente ideale è un bipolo che impone una corrente di valore definito, indipendente dai valori degli altri elementi del circuito. simboli circuitali più frequentemente utilizzati per i generatori di corrente sono rappresentati in Fig..5(c) e (d). Costruttivamente, un generatore di corrente è più complesso da realizzare rispetto ad un generatore di tensione. Le caratteristiche di un generatore di tensione costante 0 e di un generatore di corrente costante 0 sono mostrate nella Fig..6. = 0 = 0 (a) (b) Figura.6: Caratteristiche tensionecorrente: (a) di un generatore di tensione 0 e (b) di un generatore di corrente 0..6 Cortocircuiti e circuiti aperti Un cortocircuito può essere considerato come un generatore di tensione nulla; la sua caratteristica tensionecorrente coincide con l asse verticale ( = 0). Un circuito aperto può essere considerato come un generatore di corrente nulla; la sua caratteristica tensionecorrente coincide con l asse orizzontale ( = 0).

6 BPOL; LEGGE D OHM; CARATTERSTCA TENSONECORRENTE; NOD E MAGLE 5 Nel disegno dello schema di un circuito elettrico, un cortocircuito è rappresentato graficamente come un filo che collega due punti (Fig..7(a)); un circuito aperto è rappresentato dall assenza di collegamenti tra due punti (Fig..7(b)). = 0 = 0 (a) (b) Figura.7: Simboli rappresentativi di: (a) cortocircuito, (b) circuito aperto. Nel seguito, faremo sempre l ipotesi che in un qualsiasi circuito la corrente elettrica scorra soltanto all interno dei bipoli; e che quando non viene rappresentato nessun elemento circuitale che collega due punti, fra questi vi sia un circuito aperto (con = 0)..7 Nodi e maglie di un circuito bipoli possono essere interconnessi tra loro collegandone i terminali. Un nodo è un punto a cui sono collegati i terminali di due o più elementi di un circuito. l nodo non è necessariamente limitato ad un solo punto geometrico: tutti i punti collegati da cortocircuiti possono essere considerati come appartenenti allo stesso nodo. La definizione di nodo è indipendente dal modo in cui il circuito viene disegnato. La Fig..8 illustra due volte lo stesso circuito, raffigurato in due modi diversi. n entrambe le rappresentazioni, il circuito ha due nodi, indicati con le lettere A e B. A A B B Figura.8: Circuito con due nodi A e B, raffigurato in due modi diversi. Una maglia è un percorso chiuso attraverso due o più elementi di un circuito. La Fig..9 illustra un circuito con tre maglie, di cui due interne e una esterna..8 Legge di Kirchhoff per le correnti Consideriamo un nodo di un circuito in cui convergono N bipoli. Avendo ipotizzato che la corrente sia nulla al di fuori dei bipoli che formano il circuito, se nel nodo considerato non si verifica accumulo di

7 BPOL; LEGGE D OHM; CARATTERSTCA TENSONECORRENTE; NOD E MAGLE 6 3 Figura.9: Circuito con tre maglie. carica (cioè se dq dt= 0), allora deve essere = 0; in altre parole, la corrente netta entrante nel nodo deve essere nulla. Poiché la corrente totale entrante nel nodo è data dalla somma algebrica di tutte le N correnti negli N bipoli, prendendo con il segno positivo le correnti con verso entrante nel nodo e con segno negativo le correnti con verso uscente dal nodo, risulta: k = 0 (.4) k nodo La (.4) è detta legge di Kirchhoff 3 per le correnti o KCL (Kirchhoff s Current Law). Osservazione: l ipotesi che non si verifichi accumulo di carica nei nodi verrà sempre soddisfatta, poiché nel seguito si terrà conto del fenomeno dell accumulo di carica introducendo un opportuno bipolo, il condensatore, in modo tale che la KCL sia sempre valida Figura.0: Segni delle correnti per la KCL. Come esempio, si consideri il nodo evidenziato nella Fig..0. Le correnti e sono entranti, mentre 3 e 4 sono uscenti dal nodo. La KCL per questo nodo si scrive: 3 4 = 0. (.5) Un altro semplice esempio è il circuito illustrato in Fig.., avente una sola maglia, e due nodi (indicati con A e B). Al nodo A, la legge di Kirchhoff per le correnti si scrive: = 0, (.6) 3 Gustav Robert Kirchhoff, Fisico tedesco, si occupò di elettrologia, enunciando le leggi per ricavare le grandezze elettriche nei circuiti, e di irraggiamento, introducendo il concetto di corpo nero.

8 BPOL; LEGGE D OHM; CARATTERSTCA TENSONECORRENTE; NOD E MAGLE 7 A ma glia B Figura.: Esempio di circuito con due nodi. mentre al nodo B, la KCL si scrive: = 0. (.7) n generale, se si scrive la KCL per tutti i nodi di un circuito, l ultima equazione scritta risulta essere una combinazione delle precedenti..9 Legge di Kirchhoff per le tensioni Poiché la differenza di potenziale lungo un percorso chiuso è nulla, effettuando il calcolo per una maglia qualsiasi di un circuito si ottiene a aa = E d l=0, (.8) a qualunque sia il punto a di partenza e di arrivo; in altre parole, la differenza di potenziale lungo qualsiasi maglia deve essere nulla. La differenza di potenziale lungo un percorso chiuso è data dalla somma algebrica delle differenze di potenziale dei bipoli lungo il percorso considerato, prendendo con il segno positivo le tensioni per cui il bipolo viene percorso dal terminale contrassegnato con ( ) verso il terminale contrassegnato con (), conformemente alla convenzione degli utilizzatori. Risulta: k = 0 (.9) k maglia La (.9) è detta legge di Kirchhoff per le tensioni o KL (Kirchhoff s oltage Law). ma glia 3 3 Figura.: Segni delle tensioni per la KL. Come esempio, si consideri il circuito illustrato nella Fig... Lungo l unica maglia del circuito, percorsa nel verso indicato, la legge di Kirchhoff per le tensioni si scrive: 3 = 0. (.0)

9 BPOL; LEGGE D OHM; CARATTERSTCA TENSONECORRENTE; NOD E MAGLE 8 Si osservi che il verso di percorrenza della maglia è arbitrario; infatti, se fosse stato scelto il verso opposto, la KL sarebbe stata scritta come: 3 = 0. (.) Cambiare il verso di percorrenza della maglia equivale a moltiplicare per la corrispondente equazione data dalla KL. Per un circuito con più maglie, la KL applicata a tutte le maglie fornisce un sistema di equazioni fra loro dipendenti, come accade per la KCL applicata a tutti i nodi. Ad esempio, per il circuito illustrato in Fig..9, è sufficiente applicare la KL a due delle tre maglie; applicando la KL anche alla terza maglia, si ottiene un equazione che è una combinazione lineare delle precedenti..0 Problemi risolti Problema.. Calcolare la tensione ai capi di un resistore con resistenza R= kω e attraversato da una corrente =3mA. Soluzione. Applicando la legge di Ohm (.), si ricava: = R= kω 3 ma= = 0 3 Ω A= = ( 3) ( ) (Ω A)=3. Un consiglio: nel fare i calcoli, è meglio scrivere sempre le unità di misura, anche nei passaggi intermedi. Per evitare errori di calcolo, è anche preferibile riscrivere le grandezze usando la notazione esponenziale. Problema.. Calcolare la corrente nel resistore R del circuito in Fig..3, sapendo che = 5 ; = 3 ; R=0 kω. R Figura.3: Problema.. Soluzione. Completiamo il circuito indicando per ogni bipolo i segni () e ( ) per le tensioni, e i versi delle correnti, secondo la convenzione degli utilizzatori (Fig..4). l verso della corrente determina in modo univoco i segni per il bipolo R. Scegliendo il verso di percorrenza dell unica maglia nel modo indicato, dalla KL otteniamo: = 0. Applicando la legge di Ohm al resistore R, abbiamo: = R. Dalla KL, si ottiene: = =. Usando questo valore nella legge di Ohm, si ricava la soluzione: = R = 0 kω = 0. ma.

10 BPOL; LEGGE D OHM; CARATTERSTCA TENSONECORRENTE; NOD E MAGLE 9 R Figura.4: Problema. (continuazione).. Altri problemi Problema.3. Calcolare la resistenza interna di una stufetta elettrica da kw alimentata con tensione = 0. * * *