Prima lezione. Gilberto Bini. 16 Dicembre 2006

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1 16 Dicembre 2006

2 Vediamo alcune nozioni di teoria ingenua degli insiemi.

3 Vediamo alcune nozioni di teoria ingenua degli insiemi. Un insieme è una collezione di oggetti di cui possiamo specificare una proprietà che ci permette di dire quando un oggetto appartiene oppure no all insieme.

4 Ricordiamo come vengono indicati gli insiemi:

5 Ricordiamo come vengono indicati gli insiemi: con i diagrammi di Eulero-Venn;

6 Ricordiamo come vengono indicati gli insiemi: con i diagrammi di Eulero-Venn; descrivendo una proprietà caratterizzante;

7 Ricordiamo come vengono indicati gli insiemi: con i diagrammi di Eulero-Venn; descrivendo una proprietà caratterizzante; elencando tutti gli elementi.

8 Esempi A è l insieme delle vocali dell alfabeto italiano.

9 Esempi A è l insieme delle vocali dell alfabeto italiano. A := {a, e, i, o, u}.

10 Esempi A è l insieme delle vocali dell alfabeto italiano. A := {a, e, i, o, u}. B è l insieme dei multipli positivi di due e minori di 10.

11 Esempi A è l insieme delle vocali dell alfabeto italiano. A := {a, e, i, o, u}. B è l insieme dei multipli positivi di due e minori di 10. B := {2, 4, 6, 8}.

12 Non è sempre detto che si possano usare le tre descrizioni. Ad esempio, se C è l insieme dei numeri naturali maggiori di 3, non possiamo elencare tutti gli elementi, ma possiamo scrivere: C := {n N : n > 3}.

13 Non è sempre detto che si possano usare le tre descrizioni. Ad esempio, se C è l insieme dei numeri naturali maggiori di 3, non possiamo elencare tutti gli elementi, ma possiamo scrivere: C := {n N : n > 3}. Il simbolo si legge appartiene a. Il simbolo / si legge non appartiene a.

14 Non è sempre detto che si possano usare le tre descrizioni. Ad esempio, se C è l insieme dei numeri naturali maggiori di 3, non possiamo elencare tutti gli elementi, ma possiamo scrivere: C := {n N : n > 3}. Il simbolo si legge appartiene a. Il simbolo / si legge non appartiene a. Nell esempio precedente, 2 C e 2 / C.

15 Alcune operazioni con gli insiemi Unione;

16 Alcune operazioni con gli insiemi Unione; Intersezione;

17 Alcune operazioni con gli insiemi Unione; Intersezione; Complementazione;

18 Alcune operazioni con gli insiemi Unione; Intersezione; Complementazione; Prodotto cartesiano.

19 L unione A B di due insiemi A e B è l insieme degli elementi che appartengono a B o ad A. In altre parole, l unione è l insieme che contiene tutti gli elementi di A e tutti gli elementi di B senza ripetizioni.

20 L unione A B di due insiemi A e B è l insieme degli elementi che appartengono a B o ad A. In altre parole, l unione è l insieme che contiene tutti gli elementi di A e tutti gli elementi di B senza ripetizioni. Esempio. A = {a, e, i, o, u} e B = {a, e, u, f, g, h, l, m}. Allora A B = {a, e, i, o, u, f, g, h, l, m}.

21 L unione A B di due insiemi A e B è l insieme degli elementi che appartengono a B o ad A. In altre parole, l unione è l insieme che contiene tutti gli elementi di A e tutti gli elementi di B senza ripetizioni. Esempio. A = {a, e, i, o, u} e B = {a, e, u, f, g, h, l, m}. Allora A B = {a, e, i, o, u, f, g, h, l, m}. Esempio A è l insieme dei numeri naturali maggiori di tre. B = { 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4}. Allora, si ha: A B = { 2, 1, k : k N} = { 2, 1, 0, 1, 2, 3, k : k N, k > 3}.

22 Come facciamo a dire che due insiemi A e B sono uguali?

23 Come facciamo a dire che due insiemi A e B sono uguali? Per dire che sono uguali dobbiamo verificare che tutti gli elementi di A sono anche elementi di B e che tutti gli elementi di B sono anche elementi di A.

24 Come si scrive in simboli che tutti gli elementi di A sono anche elementi di B?

25 Come si scrive in simboli che tutti gli elementi di A sono anche elementi di B? La risposta è A B e diciamo anche che A è un sottoinsieme di B.

26 Esempio. Gli elementi di X sono a, e e Y = {a, e, i, o, u}. Allora X Y.

27 Esempio. Gli elementi di X sono a, e e Y = {a, e, i, o, u}. Allora X Y. Se, come in questo esempio, X è contenuto in Y ma non è uguale ad Y, allora si scrive X Y e si dice che X è un sottoinsieme proprio di Y ; altrimenti X si dice sottoinsieme improprio.

28 Esempio. Gli elementi di X sono a, e e Y = {a, e, i, o, u}. Allora X Y. Se, come in questo esempio, X è contenuto in Y ma non è uguale ad Y, allora si scrive X Y e si dice che X è un sottoinsieme proprio di Y ; altrimenti X si dice sottoinsieme improprio. Dato un insieme Y, i suoi sottoinsiemi impropri sono Y e l insieme vuoto. Gli altri sottoinsiemi sono tutti propri.

29 Esempio Trovare tutti i sottoinsiemi dell insieme {1, 2, 4}.

30 Esempio Trovare tutti i sottoinsiemi dell insieme {1, 2, 4}. I sottoinsiemi sono i seguenti:, {1}, {2}, {4}, {1, 2}, {2, 4}, {1, 4} = {4, 1}, {1, 2, 4}.

31 Siano A e B due insiemi. L intersezione A B di A e B è l insieme che contiene gli elementi di A e di B. In altre parole, per costruire l insieme intersezione a partire da A e da B bisogna prendere gli elementi comuni ad A e B.

32 Siano A e B due insiemi. L intersezione A B di A e B è l insieme che contiene gli elementi di A e di B. In altre parole, per costruire l insieme intersezione a partire da A e da B bisogna prendere gli elementi comuni ad A e B. Esempio. Sia A l insieme dei divisori positivi di 8 e B l insieme dei divisori positivi di 12. Allora, si ha: A = {1, 2, 4, 8}, B = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.

33 Siano A e B due insiemi. L intersezione A B di A e B è l insieme che contiene gli elementi di A e di B. In altre parole, per costruire l insieme intersezione a partire da A e da B bisogna prendere gli elementi comuni ad A e B. Esempio. Sia A l insieme dei divisori positivi di 8 e B l insieme dei divisori positivi di 12. Allora, si ha: A = {1, 2, 4, 8}, B = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. A B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}, A B = {1, 2, 4}.

34 Sia X l insieme dei numeri interi minori di 5 e sia Y l insieme dei numeri interi maggiori di 1. Allora l intersezione di X e di Y è l insieme {0, 1, 2, 3, 4}.

35 Sia X l insieme dei numeri interi minori di 5 e sia Y l insieme dei numeri interi maggiori di 1. Allora l intersezione di X e di Y è l insieme {0, 1, 2, 3, 4}. Se l intersezione di due insiemi è l insieme vuoto, allora i due insiemi si dicono disgiunti. Ad esempio, i numeri negativi e i numeri positivi sono due insiemi disgiunti.

36 Il prodotto cartesiano A B di due insiemi A e B è l insieme delle coppie ordinate (a, b) al variare di a A e di b B.

37 Il prodotto cartesiano A B di due insiemi A e B è l insieme delle coppie ordinate (a, b) al variare di a A e di b B. Esempio. A = {i, o} e B = {2, 5, 6}. Allora, si ha: A B := {(i, 2), (i, 5), (i, 6), (o, 2), (o, 5), (o, 6)}. B A := {(2, i), (2, o), (5, i), (5, o), (6, i), (6, o)}. Attenzione: in generale A B non è uguale a B A.

38 Sia A X. Il complementare A c di A in X è l insieme degli elementi di X che non appartengono ad A. In simboli, si scrive A c = {x X : x / A}.

39 Sia A X. Il complementare A c di A in X è l insieme degli elementi di X che non appartengono ad A. In simboli, si scrive A c = {x X : x / A}. Esempio Sia N l insieme dei numeri naturali e sia A l insieme dei numeri naturali maggiori di 7. Allora si ha: A c = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

40 (A B) c = A c B c ;

41 (A B) c = A c B c ; (A B) c = A c B c. Queste si chiamano le leggi di De Morgan.

42 Funzioni Siano A e B due insiemi. Una funzione f : A B da A a B è una legge che associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B.

43 Funzioni Siano A e B due insiemi. Una funzione f : A B da A a B è una legge che associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B. Esempio. A = {a, e, i} e B = {1, 5, 7}. Allora come esempio definiamo una funzione f tale che f (a) = 1, f (i) = 5 e f (e) = 1.

44 Funzioni Siano A e B due insiemi. Una funzione f : A B da A a B è una legge che associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B. Esempio. A = {a, e, i} e B = {1, 5, 7}. Allora come esempio definiamo una funzione f tale che f (a) = 1, f (i) = 5 e f (e) = 1. Esempio. Un altro esempio di funzione sarebbe f (a) = 5, f (i) = 7 ed f (e) = 1.

45 Funzioni Siano A e B due insiemi. Una funzione f : A B da A a B è una legge che associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B. Esempio. A = {a, e, i} e B = {1, 5, 7}. Allora come esempio definiamo una funzione f tale che f (a) = 1, f (i) = 5 e f (e) = 1. Esempio. Un altro esempio di funzione sarebbe f (a) = 5, f (i) = 7 ed f (e) = 1. Se avessimo f (a) = 5 ed f (i) = 7, allora f non sarebbe una funzione perché non è definita per e.

46 Funzioni Esempio. f : N N tale che f (n) = 2n per ogni n. Questo significa che f (0) = 0, f (1) = 2, f (2) = 4, f (3) = 6,...,...

47 Funzioni Una funzione si dice suriettiva se non lascia scoperto alcun elemento di B. In altri termini, tutti gli elementi di B compaiono come immagini di elementi di A tramite f.

48 Funzioni Una funzione si dice suriettiva se non lascia scoperto alcun elemento di B. In altri termini, tutti gli elementi di B compaiono come immagini di elementi di A tramite f. Una funzione si dice iniettiva se manda elementi distinti di A in elementi distinti di B

49 Funzioni Una funzione si dice suriettiva se non lascia scoperto alcun elemento di B. In altri termini, tutti gli elementi di B compaiono come immagini di elementi di A tramite f. Una funzione si dice iniettiva se manda elementi distinti di A in elementi distinti di B Una funzione che sia suriettiva ed iniettiva si dice una corrispondenza biunivoca.

50 Funzioni Esempio. A = {1, 5, 8} e B = {2, 3}. Sia f tale che f (1) = 2,, f (5) = 2, f (8) = 2. Questa non è né suriettiva né iniettiva.

51 Funzioni Esempio. A = {1, 5, 8} e B = {2, 3}. Sia f tale che f (1) = 2,, f (5) = 2, f (8) = 2. Questa non è né suriettiva né iniettiva. Esempio. Sia f tale che f (1) = 2, f (5) = 2 e f (8) = 3. Si tratta di una funzione suriettiva ma non iniettiva perché ad 1 e 5 corrisponde 2.

52 Funzioni Sia A = {1, 5, 8} e B = {2, 3, 4, 7}. La funzione f tale che f (1) = 2, f (5) = 3, ef (8) = 7 è iniettiva ma non suriettiva perché 4 non è immagine di alcun elemento di A.

53 Funzioni Sia A = {1, 5, 8} e B = {2, 3, 4, 7}. La funzione f tale che f (1) = 2, f (5) = 3, ef (8) = 7 è iniettiva ma non suriettiva perché 4 non è immagine di alcun elemento di A. Non esistono corrispondenze biunivoche tra gli insiemi A e B considerati qui sopra. Infatti, se due insiemi sono in corrispondenza biunivoca, allora devono avere lo stesso numero di elementi.

54 Funzioni La funzione dai numeri naturali in sé che associa ad n il suo doppio 2n non è surriettiva perché le immagini sono soltanto i numeri pari e non quelli dispari.

55 Funzioni La funzione dai numeri naturali in sé che associa ad n il suo doppio 2n non è surriettiva perché le immagini sono soltanto i numeri pari e non quelli dispari. Se consideriamo la stessa funzione dall insieme dei numeri naturali a quello dei numeri pari, allora f è suriettiva. Ovviamente, è anche iniettiva, quindi è una corrispondenza biunivoca.

56 Funzioni Le corrispondenze biunivoche servono per contare. Ad esempio, quanti elementi ha l insieme dei divisori di 8?

57 Funzioni Le corrispondenze biunivoche servono per contare. Ad esempio, quanti elementi ha l insieme dei divisori di 8? Sappiamo che i divisori di 8 sono 1, 2, 4, 8. Li contiamo mettendoli in corrispondenza con l insieme {1, 2, 3, 4} ponendo f (1) = 1, f (2) = 2, f (4) = 3, f (8) = 4.

58 Funzioni Un insieme di dice infinito se è in corrispondenza niunivoca con un suo sottoinsieme proprio; altrimenti si dice finito.

59 Funzioni Un insieme di dice infinito se è in corrispondenza niunivoca con un suo sottoinsieme proprio; altrimenti si dice finito. Visto che esiste una corrispondenza biunivoca tra l insieme dei numeri naturali e il suo sottoinsieme proprio dei numeri pari (quella data da n 2n), l insieme dei numeri naturali è infinito.

60 Funzioni Esercizio. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false: i) se f : A N è suriettiva, allora A è infinito; ii) se f : A B è iniettiva e A è infinito, allora B è infinito.

61 Funzioni Esercizio. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false: i) se f : A N è suriettiva, allora A è infinito; ii) se f : A B è iniettiva e A è infinito, allora B è infinito. Sono entrambe vere.

62 L insieme dei numeri naturali E un insieme ordinato, vale a dire che se prendiamo due numeri naturali qualsiasi è sempre possibile dire se uno sia più grande dell altro oppure no.

63 L insieme dei numeri naturali E un insieme ordinato, vale a dire che se prendiamo due numeri naturali qualsiasi è sempre possibile dire se uno sia più grande dell altro oppure no. Per costruirli in modo rigoroso (così come in geometria euclidea si usano i postulati di Euclide), si fa riferimento agli assiomi di Peano, il cui punto cardine è il principio di induzione.

64 Il principio di induzione Il principio di induzione afferma che se A è un sottoinsieme di N tale che 0 A e per ogni elemento k di A anche k + 1 A, allora A = N.

65 Il principio di induzione Il principio di induzione afferma che se A è un sottoinsieme di N tale che 0 A e per ogni elemento k di A anche k + 1 A, allora A = N. Mostriamo che n(n + 1) è pari per ogni numero naturale n.

66 Il principio di induzione Per n = 0, si ha 0. Per n = 1, si ha 2. Per n = 2 si ha 6. Per n = 3, si ottiene 12. Come facciamo a dire che è vero per ogni numero naturale? Non si può verificare direttamente per ogni numero perchè l insieme è infinito.

67 Il principio di induzione Per n = 0, si ha 0. Per n = 1, si ha 2. Per n = 2 si ha 6. Per n = 3, si ottiene 12. Come facciamo a dire che è vero per ogni numero naturale? Non si può verificare direttamente per ogni numero perchè l insieme è infinito. Per il principio di induzione poniamo A l insieme dei numeri naturali n per cui n(n + 1) è pari.

68 In principio di induzione Abbiamo visto che 0 A.

69 In principio di induzione Abbiamo visto che 0 A. Se k A, allora k(k + 1) è pari. Pertanto, (k + 1)(k ) = k(k + 1) + 2k + 2 è la somma di due numeri pari; quindi è anch esso pari.

70 In principio di induzione Abbiamo visto che 0 A. Se k A, allora k(k + 1) è pari. Pertanto, (k + 1)(k ) = k(k + 1) + 2k + 2 è la somma di due numeri pari; quindi è anch esso pari. Il principio di induzione ci permette di dire che n(n + 1) è pari per ogni numero naturale n.

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