Combinatoria. Lezione del 12/02/2014. Stage di Parma Progetto Olimpiadi

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1 Combinatoria Lezione del 12/02/2014 Stage di Parma Progetto Olimpiadi

2 Fattoriali e Binomiali Fattoriale: n!=n*(n-1)*(n-2)* 2*1 0!=1 Binomiale (n,k)= n!/(k!(n-k)!) I binomiali formano il triangolo di tartaglia e sono i coefficienti del termine k-esimo della potenza ennesima di un binomio Es: (a+b) 5 =(5,0)a 5 + (5,1)a 4 b + (5,2)a 3 b 2 + (5,3)a 2 b 3 + (5,4)ab 4 + (5,5)b 5

3 Permutazioni Semplici Abbiamo un insieme composto di n elementi distinti fra loro Le permutazioni sono i possibili ordinamenti che possiamo dare a questi elementi Quante sono? Per il primo elemento possiamo scegliere fra tutti gli n elementi, come secondo elemento potremo scegliere fra n-1, ecc Si intuisce facilmente che le permutazioni di n elementi sono n!

4 Esempio: Calcolare il numero di anagrammi distinti della parola CUORE Le lettere sono tutte diverse => sono le permutazioni di 5 elementi distinti => 5!

5 Permutazioni con ripetizione E se invece l insieme contiene degli elementi ripetuti? ES: calcolare il numero di anagrammi della parola MATEMATICA In questo caso bisogna ricorrere a un trucchetto : consideriamo in un primo momenti tutti gli elementi come differenti. Possiamo immaginarci mentalmente di porre un segno che contraddistingua lettere uguali, per esempio un pedice con un indice M 1 A 1 T 1 E 1 M 2 A 2 T 2 I 1 C 1 A 3

6 Le permutazioni in questo caso sono 10! (la parola ha 10 lettere) Ora bisogna contare il fatto che anagrammi che differiscono per permutazioni di lettere uguali (con indice diverso) sono in realtà indistinguibili: M 1 A 1 T 1 E 1 M 2 A 2 T 2 I 1 C 1 A 3 e M 2 A 3 T 1 E 1 M 1 A 2 T 2 I 1 C 1 A 1 sono da considerarsi uguali Consideriamo singolarmente ogni lettera: Ci sono 2 M, se scambio M 1 con M 2 non succede nulla In generale dato un gruppo di lettere uguali se ne faccio una permutazione la parola resta la stessa Ogni anagramma compare un numero di volte pari alle permutazioni di ciascun insieme di lettere uguali Nel nostro caso comparirà 2! volte per scambi di M, 3! volte per scambi di A e 2! volte per scambi di T Gli anagrammi sono quindi 10!/(2!3!2!)

7 Esercizi d esempio Calcola il numero di anagrammi di STAGISTI Calcola il numero di anagrammi di ARMATA Quante sono le possibili sequenze binarie che contengono 5 «1» e 3 «0»?

8 Disposizioni semplici Torniamo all insieme con n elementi distinti. Invece di chiederci quanti sono i modi possibili di dare un ordine a tutti gli elementi dell insieme(permutazioni), possiamo chiederci quanti sono i modi di dare un ordine a k elementi scelti dall insieme (con k<n, con k=n si torna al caso delle permutazioni) Analogamente a prima possiamo pensare così: Diamo un ordine a tutti gli elementi dell insieme: n! Poi però consideriamo solo i primi k elementi delle sequenza ottenuta. Considerando solo i primi k, ogni sequenza risulterà equivalente a molte altre. A quante? Quante sono le permutazioni degli elementi che non consideriamo: (n-k)! => D(n,k)= n!/(n-k)!

9 Esempio: insieme di 4 numeri 1,2,3,4 Voglio D(4,2) Scrivo tutte le permutazioni: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Ogni disposizione che è differente dalle altre è contrata 2! Volte, cioè il numero di permutazioni degli altri 2 elementi: per esempio per 1 2 è contata 2 volte. Cioè le permutazioni di 3, 4.

10 Disposizioni con ripetizione Caso con ripetizione: voglio sapere in quanti modi posso formare una sequenza lunga k partendo da n elementi differenti ripetendo però anche più volte lo stesso elemento Per esempio: combinazione cassaforte a 4 cifre Ogni cifra ha 10 possibilità (da 0 a 9)=> 10 4 In generale sarà n k

11 Combinazioni Se mi chiedo quante sono i possibili sottoinsieme di k elementi di un insieme che contiene n elementi differenti fra loro queste sono le combinazioni C(n,k). In pratica sono le disposizioni a meno dell ordine. Quindi il numero di combinazioni sarà uguale a quelle delle disposizioni fratto il numero di possibili permutazioni dei k elementi scelti: C(n,k)=D(n,k)/k!=n!/(k!(n-k)!)= Binomiale (n,k)

12 Esempio: in quanti modi è possibile scegliere un gruppo di 5 alunni in una classe di 30? Risposta: gli alunni sono tutti diversi, l ordine non conta quindi C(30,5) La maestra deve interrogare 5 alunni alla cattedra, uno alla volta. In quanti modi può farlo? Risposta: stavolta l ordine conta quindi sarà D(30,5)

13 Esercizi proposti: In quanti modi può essere composto il podio in una gara con 24 atleti? Quanti sono i modi di estrarre 1 pallina rossa e 2 palline gialle da un sacchetto che contiene 5 palline rosse, 4 gialle e 6 blu? Vogliamo suddividere una classe di 30 alunni in 6 gruppi da 5. In quanti modi possiamo farlo?

14 Inclusione/Esclusione Caso 2 insiemi: A U B= A + B - A B Caso 3 insiemi: A U B U C = A + B + C - A B - A C - B C + A B C Esercizio di esempio: In una classe 20 ragazzi giocano a calcio, 15 basket, 7 praticano entrambi gli sport. Quanti sono i ragazzi nella classe?

15 Probabilità Definizione classica P = casi favorevoli/casi possibili Esercizio di esempio: quale era la probabilità di estrarre la pallina rossa e le 2 gialle dal sacchetto nel problema precedente? Esercizio di esempio: Alberto e Beatrice fanno parte della classe di 30 alunni che è stata divisa in 6 gruppi da 5. Qual è la probabilità che finiscano nello stesso gruppo?

16 P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B) P(A B)= P(A)*P(B A) = P(B)*P(A B) dove P(B A) è la probabilità che si verifichi B essendosi verificato A Nel caso di eventi indipendenti P(B A) = P(B) Esercizio di esempio: rifacciamo l esercizio della palline usando le formule della probabilità condizionata

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