UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BOLOGNA FACOLTÀ DI ECONOMIA DI RIMINI. MATEMATICA PER L ECONOMIA Prof.ssa Maria Letizia Guerra

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BOLOGNA FACOLTÀ DI ECONOMIA DI RIMINI MATEMATICA PER L ECONOMIA Prof.ssa Maria Letizia Guerra (CLEM) ESERCIZI RISOLTI

2 COMPITO DEL -6-8 Esercizio Si stima che domanda di un certo bene dipenda dal prezzo p praticato dal venditore secondo la relazione D(p) = 4 e p= (p ) (i) si determini il prezzo p da praticare in modo tale che la quantità domandata D(p) sia uguale a ; (ii) indicato con R(p) = pd(p) il ricavo in funzione del prezzo p praticato dal venditore, si determini per quale prezzo il ricavo è massimo; (iii) si calcoli l elasticità della funzione di domanda. Soluzione (i) (ii) D(p) = 4 e p= = ) e p= = ) p= = ln ) p = :4 (iii) R(p) = p4 e p= R (p) = 4 e p= + 4p e p= = ) 4 e p= p = ) p = ma in p = E = 4 e p= p 4 e = p p= Esercizio Della funzione f() = + si determinino: (i) il dominio, e i iti agli estremi del dominio; (ii) gli intervalli di crescenza e decrescenza e gli eventuali punti di massimo e di minimo; (iii) gli intervalli di convessità e concavità; (iv) il gra co (qualitativo) di f. Soluzione

3 Si tratta di una funzione nè pari e nè dispari poichè: Dominio: \ assi: Asintoti: f ( ) = + ( ) 6= ) 6= 8 ] ; [ [ ]; +[ = y = + = ) y = y = y = + = ) = ; + = +;! +! = + )O (; ) ) A ; + = = asintoto verticale + + = +;!+! = + +!+ = ; =!+ MaMin: y = + asintoto obliquo f () = ( + 4) ( ) + () ( ) = 4 ( ) = ) = p 6 f () > ) 4 ( ) > MAX Flessi: p 6; p 6 min + p 6; p 6 + f () = (4 4) ( ) 4 ( ) 6 ( ) 4 = + = essi f () =

4 y.... Esercizio Si consideri la funzione di due variabili: f( ; ) = (i) Si calcoli il gradiente rf(; y) della funzione f e si trovino gli eventuali punti stazionari. (ii) Si dica, motivando, se la funzione f ammette punti di massimo o di minimo locale. Soluzione Gradiente: = 7 8 ; = 7 + = soluzione P = (; ) : Hessiana: M = Esercizio 4 (i) Si calcoli R e d (ii) Si calcoli R Soluzione M = e 7 e d H = <, può essere massimo o sella = 6 < sella 4

5 (i) R h e d = (ii) R i e = e e 7 e d = ln (7 e ) + c e

6 COMPITO DEL 9--7 Esercizio Si stima che domanda di un certo bene dipenda dal prezzo p praticato dal venditore secondo la relazione D(p) = p 6 p : (i- punti) si determini il prezzo p da praticare in modo tale che la quantità domandata D(p) sia uguale a ; (ii-4 punti) indicato con R(p) = pd(p) il ricavo in funzione del prezzo p praticato dal venditore, si determini per quale prezzo il ricavo è massimo; (iii- punti) si calcoli l elasticità della funzione di domanda e si dica per quali valori del prezzo tale funzione di domanda risulta elastica. Soluzione (i) D(p) = p 6 p = ) 6 p = 7 ) p = (ii) R (p) = p 6 p + p p q = (6 p ) 6 p p q (6 p ) = ) p = r 8 (iii) E = r 8 ma in p = p p q p = p (6 p ) 6 p (6 p ) > Esercizio Della funzione f() = e si determinino: (i-4 punti) il dominio, e i iti agli estremi del dominio; (ii-4 punti) gli intervalli di crescenza e decrescenza e gli eventuali punti di massimo e di minimo; (iii- punti) gli intervalli di convessità e concavità; (iv- punti) il gra co (qualitativo) di f. Soluzione f() = e (i) Il dominio della funzione f() è il seguente: 8 ] ; [ [ ]; [ I iti agli estremi del campo di esistenza sono i seguenti: 6

7 q =!+ e m = e! + e = +!+! e = e!+ =!+ e = = e =!+!+ H e =!+ = y = + asintoto obliquo! +e = + e + = F.I. H e =! +! =! + e = + e = e = = asintoto verticale destro (ii) La derivata della funzione f() è : f () = e + e = e = e H = e = mai = ) = f () > ) e > La funzione f ammette un punto di minimo in (; e) ed è crescente prima di zero e dopo uno. (iii) La derivata seconda della funzione f() è : f () = e + e = 7

8 f () = e + + = f () = e = essi f () > ) f() convessa per > e concava per < (iv)il gra co qualitativo di f() è il seguente y Gra co di f() Esercizio Data la funzione di tre variabili f( ; ; ) = (i-4 punti) si calcoli il gradiente rf( ; ; ) della funzione f e si trovino gli eventuali punti stazionari. (ii-4 punti) si dica, motivando, se la funzione f ammette punti di massimo o di minimo locale. Soluzione (i) Il gradiente r( ; ; ) è il seguente rf( ; ; ) = 4 4 ; +4 ; + 8 < : 4 4 = +4 = + = 8 >< >: 8 < : = ; = q 9 = 4 = +4 = + = r q q q q da cui si ottiene che i punti stazionari sono (; ; ); ( ; r ; )( ; ; ). 8

9 (ii) La matrice Hessiana H( ; ; ) è la seguente: H( ; ; ) = q q r q H q p ( ;p = r q ;) (; r ; ) non classi cabile q q ( ; ; ) min imo r q q ( ; ; )minimo Esercizio 4 (i- punto) Calcolare (ii- punto) Calcolare Z Z p + d +4 d (iii- punto) Tra tutte le primitive della funzione f() = e 4, si determini quella tale che f() =. Soluzione (i) Z p 4 4 (ii) Z (iii) p + d = p + () p p + 4 () p = p Z +4d = b! Z p + d = p + 4 ( + ) p + = ln + 4 b = ln b + 4 ln (4) = + b! e 4 d = e 4 e 4 + c, c = ) c = + 4 e 4 ) F () =

10 COMPITO DEL --6 Esercizio Della funzione: f() = ln + ln si determinino: (i-4 punti) il dominio, e i iti agli estremi del dominio; (ii-4 punti) gli intervalli di crescenza e decrescenza e gli eventuali punti di massimo e di minimo; (iii- punti) gli intervalli di convessità e concavità; (iv- punti) il gra co (qualitativo) di f. Soluzione Esercizio (i) Il dominio della funzione f() è il seguente: 8 ; [ e e ; I iti agli estremi del campo di esistenza sono i seguenti:!+!+ ln H = + ln! e + ln + ln = + +!+ = y = asintoto orizzontale destro ln ln + =! + + ln + ln + ln H =! + + ln! + + = ln + ln = ln e + ln + = = e! e ln + ln = ln e + ln e = + = = e asintoto verticale (ii) La derivata della funzione f() è : f () = ( + ln ) ln ( + ln ) = ( + ln )

11 La funzione f non ammette punti stazionari.ed è sempre crescente nel suo dominio (iii) La derivata seconda della funzione f() è : f () = ( + ln ) ( + ln ) ( + ln ) 4 = ( + ln ) ( + ln ) ( + ln ) 4 ( + ln ) ( + ln + ) ( + ln ) 4 = ) = e La funzione f è convessa prima del esso e concava dopo. (iv)il gra co qualitativo di f() è il seguente y.... Gra co di f() Esercizio Si consideri la funzione di due variabili: f( ; ; ) = (i- punto) Si individui il dominio di f. (ii-4 punti) Si calcoli il gradiente rf( ; ; ) della funzione f e si trovino gli eventuali punti stazionari. (iii-4 punti) Si calcoli la matrice Hessiana e si dica, motivando, se la funzione f ammette punti di massimo o di minimo locale. Soluzione Esercizio (i) Il gradiente r( ; ; ) è il seguente

12 ). 8 >< >: rf( ; ; ) = = = = 8 >< >: 8 >< >: 9 4 = ; = q 9 = ; ; = = ) 9 4 = = da cui si ottiene che l unico punto stazionario è ( ; ; ) = ( q 9 ; q (ii) La matrice Hessiana H( ; ; ) è la seguente: H( ; ; ) = 4 4 H( ; ; ) = 4 4 Dato che: M >, M > e M > si deduce che il punto ( ; ; ) è punto di minimo locale. 9 ; Esercizio Si stima che la quantità domandata di un certo bene dipenda dal prezzo p praticato dal venditore secondo la relazione (funzione di domanda) D(p) = p :p (i- punti) Si determini il prezzo p da praticare in modo tale che la quantità domandata D(p) sia uguale a. (ii-4 punti) Indicato con R(p)=pD(p) il ricavo in funzione del prezzo p praticato dal venditore, si determini per quale prezzo p* il ricavo è massimo. (iii- punti) Si calcoli l elasticità della funzione di domanda. Soluzione (i) p :p = ) :p = 9 ) :p = ) p = (ii) R (p) = p : :p + p p :p =

13 4 ( :p) p = ) 4 p p = ) p = 4= = : dallo studio del segno della derivata prima di R(p) si deduce che = : è il prezzo per cui il ricavo è massimo. (iii) : E = p p p p = :p :p 4 ( :p) Esercizio 4 (i- punto) Calcolare. Z e e + 7 d (ii- punto) Si determini per quale valore di k> risulta: Z e k d = Soluzione (i) ln(e + 7) + c (ii)! k e k a = )! k e k + k = ) + k = ) k =

14 COMPITO DEL --6 Esercizio Della funzione: f() = e ( + ) si determinino: (i) il dominio, le intersezioni con gli assi, i iti agli estremi del campo di esistenza; (ii) gli intervalli di crescenza e decrescenza e gli eventuali punti di massimo e di minimo (relativo e assoluto); (iii) gli intervalli di convessità e concavità e gli eventuali essi. Si rappresenti in ne il gra co (qualitativo) di f. Soluzione (i) Il dominio della funzione f() è il seguente: 8 ] ; +[ La funzione interseca l asse in: y = e ( + ) = ) y = = La funzione interseca l asse y in: = y = e ( + ) = ) y = ) A ( ; ) )B (; ) I iti agli estremi del campo di esistenza sono i seguenti: e ( + ) = e (+) = (+) = F:I:!+ = per l ordine degli in niti y = asintoto orizzontale destro e ( + ) = e + ( ) =! m = e ( + ) = +() = + non esiste l asintoto obliquo! (ii) La derivata della funzione f() è : f () = e ( )( + ) + e = e ( ) 4

15 La funzione f ammette pertanto i seguenti punti di massimo e/o minimo: e ( ) = = punto di ma assoluto MAX ; e (iii) La derivata seconda della funzione f() è : f () = e ( ) ( ) + e ( ) = e (4) La funzione f ammette pertanto i seguenti punti di esso e (4) = F l (; ) punto di esso Il gra co qualitativo di f() è il seguente y.... Gra co di f()

16 Esercizio Si consideri la funzione di due variabili: f(; y) = y + y + (i) Si calcoli il gradiente rf(; y) della funzione f e si trovino gli eventuali punti stazionari. (ii) Si calcoli la matrice Hessiana r f(; y) e si dica, motivando, se la funzione f ammette punti di massimo o di minimo locale. Soluzione (i) Il gradiente rf(; y) è il seguente rf(; y) = [6 y + ; + y] 8 < : 8 < : 6 y + = + y = 6y y + = ) y = 4 = y da cui si ottiene che l unico punto stazionario è ( ; y ) = ( 4 ;- 4 ). (ii) La matrice Hessiana H(; y) è la seguente: H(; y) = Dato che: M = 6 > e M = 4 = 8 > si deduce che il punto ( ; y ) è punto di minimo locale 7 6

17 Esercizio Si determini per quale valore di > risulta Z + d =. Soluzione L integrale inde nito della funzione g() =, per a 6=, è il seguente Z Z d = d = c L integrale + Z + Z Z + d ( > ) si calcola pertanto nel modo seguente + d =!+ + = = = +!+ + + = + d = + = per = 7

18 ESERCIZI VARI STUDI DI FUNZIONE Disegnare il gra co della funzione f : R! R de nita da: f () = Soluzione: Si tratta di una funzione pari poichè: f ( ) = ( ) ( ) = ) f ( ) = f () Dominio: 6= ) 6= ) 6= \ assi: Asintoti: 8 ] ; [ [ ] ; +[ [ ]+; +[ = y = = ) y = y = y = = ) =! + = +;! )O (; ) ) O (; ) =! + = +;!!+ = ; asintoti verticali = ;! = = y = asintoto orizzontale MaMin: f () = (6) 4 ( ) = ( ) = ) = 8

19 f () > 4 ) ( ) > ) < MAX (; ) Flessi: f 4 () = ( ) = ( ) 4 = ) ( 4) = essi f () = f () convessa ([) se < e > 6 4 y Disegnare il gra co della funzione f : R! R de nita da: + f () = ln Soluzione: Dominio: + > ) + > > 8 ]; +[ \ assi: ( Asintoti: ln y = = + intersezioni con gli assi 9

20 MaMin: Flessi: f () = + ln = +! + = asintoto verticale destro ln + = +!+ () + + = ( + ) = f () > ) ( + ) > = ) min (; ) f () = + + ( + ) = ( + ) 4 4 = ) = p ) = r + p q esiste un esso accettabile in = + f () = + p = y Disegnare il gra co della funzione f : R! R de nita da: f () = ln + Soluzione:

21 Dominio: > ) > + + > 8 ] ; [ [ ]+; +[ \ assi: ( y = Asintoti:! ln ln + = = ln + ln! + = asintoto verticale destro, = MaMin: intersezioni con gli assi = ln( ) = ln + = + + = + ln =! + asintoto verticale sinistro f () = + ( + ) ( ) ( + ) = = ma e min ( ) ( + ) Flessi: f () = f () = + 6 ( + ) ( + 6) = = ; ; non accettabili y

22 Disegnare il gra co della funzione f : R! R de nita da: f () = ln Soluzione: Dominio: > ) > > i p h ip h 8 ; [ ; \ assi: ( y = Asintoti: ln = ) A ( ; ) ln! =! p ln = +! p ln + = + p = ; asintoti verticale sinistri = + p asintoto verticale destro ln!+ = + MaMin: f () = ( ) = 6 ( ) = f () = = p 6 accettabile f () > ) 6 ( ) > min p p!! 6 6; ln 6

23 y Disegnare il gra co della funzione de nita da: f () = ln Soluzione: Dominio: > 6= ) 8 ] ; [ [ ]; +[ \ assi: Asintoti: y = y = ln = ) = ; + ) A(; ); B( ; ) ln! + =! ln = + = asintoto verticale ln!+ H =!+ = ln! =

24 MaMin: y = asintoto orizzontale f () = ln = Flessi: ln = ) = e; +e f () = ln > e < < e ) min e; e ; MAX e; e f () = 6 + ln 4 = (ln ) = ) = ; e p e; +e p e f () = f() convessa se 6 + ln 4 > e p e < < ; > e p e y.. Disegnare il gra co della funzione de nita da: + f () = ln Soluzione: Dominio: + > ) + > > 4

25 \ assi: Asintoti: 8 ]; +[ A (; ) + ln = +! + = asintoto verticale destro MaMin: ln + = +!+ f () = ( + ) = = ) min (; ) y...7 Disegnare il gra co della funzione f : A! R de nita da: Soluzione: Dominio: \ assi: f () = e 6= ) 8 ] ; [ [ ]; +[ = y = e )A = ;

26 Asintoti: y = = e y = e! + =!!+ = asintoto verticale e! e = + H e =!+ = e = y = asintoto orizzontale sinistro, non esiste l obliquo destro (veri care) MaMin: f () = e ( ) ( ) = e ( ) = ) = Flessi: f () > ) e ( ) ( ) > Ma ; e f () = (e e ) ( ) + e ( ) ( ) = e ( 6 + ) Flessi y

27 Disegnare il gra co della funzione f : A! R de nita da: Soluzione: Dominio: f () = ( + ) ln () > \ assi: Asintoti: 8 ]; +[ y = y = ( + ) ln () = ) = ( + ) ln () =! + ) A (; ) m = ( + ) ln () = +!+ = asintoto verticale destro ( + ) ln () =!+ ) = H ln () + ( + asintoto obliquo. MaMin: f () = ln () + ( + ) ln + ( + ) = = ln + ( + ) = ) ln = + = + è necessario uno studio gra co: f () = ln ha un gra co noto e f () = + è una funzione del tipo f () = a+b c+d (iperbole equilatera traslata) con asintoto verticale in = d c (in questo caso = ) e asintoto orizzontale in y = a c (in questo caso y = ). Poichè le due funzioni non si intersecano, la funzione data non ammette punti critici. 7

28 y.. Flessi: ln > + > f ln + ( + ) () > ) > > ) > ) f () crescente 8 f () = = = ) = f () > ) > f () convessa ([) se > Gra co nale di f () = ( + ) ln () : y...7 Disegnare il gra co della funzione f : A! R de nita da: Soluzione: f () = 8

29 Si tratta di una funzione nè pari e nè dispari poichè: Dominio: f ( ) = ( ) ( ) = + 6= f () 6= f () 6= ) 6= ) 6= \ assi: Asintoti: 8 ] ; [ [ ] ; +[ [ ]+; +[ = y = ) y = = ) = y = = +;! +! )A (; ) y = = ) B ; = = +;! +!!+ = = ; asintoti verticali = ;! = MaMin: y = asintoto orizzontale f () ( ) ( ) ( ) = + ( ) = punti critici f () > ) + ( ) > f () decresce 8 Flessi: f () = ( ) = ) = 9

30 è necessario uno studio gra co per la derivata seconda; si tratta di un polinomio di terzo grado che può avere una o tre radici reali, studiandone i iti e la derivata prima si deduce che il suo gra co è il seguente: y.. e che quindi il punto di esso è unico: = b. f () = ( ) > ) < b < < ) f () = f () convessa ([) se < < b e > y.. Disegnare il gra co della funzione f : A! R de nita da: Soluzione: Dominio: f () = ln ( ) ( ) > ) > ( ) > ) 8 6=

31 \ assi: Asintoti: ; ( 8 ]; [ [ ]; +[ ln y = ( ) = ) y = y = + = ) = p ln! + ( ) = + ln! ( ) = + y = ( ) = ) A p ; + B p ; m = ln!+ = asintoto verticale ln! + ( ) = = asintoto verticale destro ln!+ ( ) = ( ) = ) H =!+ + ( ) = asintoto obliquo f () = ( ) = punti critici accettabili Flessi: f () > ) ( ) > ) 8 < : > ) < < > ( ) > ) 8 f () cresce per < <

32 f () = ( ) 4 ) = Utilizzando il metodo di Ru ni, non raccomandato, o a rontando uno studio gra co, si conclude che le radici del polinomio di quarto grado sono le seguenti: = p ; f () = unico esso accettabile in = + p y...7 Disegnare il gra co della funzione: f () = 8 Soluzione: Si tratta di una funzione pari: f () = f ( ) : Il gra co è simmetrico rispetto all asse delle ordinate. Dominio: 8 6= ) 6= 8 ) 6= \ assi: 8 ] ; [ [ ] ; +[ [ ]+; +[ = y = 8 y = 8 = ) = ) y = 8 y = = )A ; 8 ) B ( ; ) C (; )

33 Asintoti:! + = +; 8!! + = ; 8!!+ = ; asintoti verticali 8 = ;! 8 = 8 = + 8 = y = asintoto orizzontale MaMin: f () = 8 (4) ( 8) = ( 8) = = eventuale punto di massimo o minimo f () > ) ( 8) > f () cresce per >, decresce per < ) min ; 8 Flessi: f () = 7 96 ( 8) = essi f 7 96 () = ( 8) > f () convessa per < < + f () =

34 y Disegnare il gra co della funzione f () = ln + Soluzione: Dominio: \ assi: Asintoti: + ; > ) > ) 6= + > ) > 8 ] ; [ [ ]; +[ ( y = ln + y = y = = ) = ; y = = ) + = ln = +! + + ) A ( ; ) B (; ) = asintoto verticale destro ln =! + + ln =! + = asintoto verticale ln = +!+ + 4

35 ln m =!+ + = ) H =!+ +4 (+) = asintoto obliquo f () = ( + ) = + 4 ( + ) = = ; 4 non accettabili f () > ) + 4 ( + ) = + 4 ( + ) > f () cresce per >, decresce per < < Flessi: f () = = + ( + 4) ( + ) ( + ) = ( + ) = = 4 p esso in = 4 + p f () = y....7 Disegnare il gra co della funzione

36 Soluzione: Dominio: f () = e + + 6= ) 6= \ assi: Asintoti: = y = e + 8 ] ; [ [ ] ; +[ )O (; ) ; y = )O (; ) e + =! +e + = e + =! = asintoto verticale e!+ m = q =!+ e e =!+ + = +e = + e + =! e!+ + + e =!+ + = e e = e!+ e H =!+ e + + ( + ) = e + = e (+) = y = e + e asintoto obliquo MaMin: f () = e + + e + e +! + ( + ) = e +! + + ( + ) punti critici! ( + ) = 6

37 Flessi: f () = f () > ) e f () = e + f () > ) e +! + + ( + ) > ) 8! ( + ) 4 = ) = +! ( + ) 4 > ) f () convessa per < y Studiare le proprietà e disegnare il gra co della funzione: Soluzione: Dominio: f () = ln () > ln () 6= ) ln () 6= ) 6= e \ assi: Asintoti: 8 ]; e[ [ ]e; +[ ; ) y = ln() = + ln () = 7

38 !e + ln () =!e = e asintoto verticale ln () = +!+ H = ln ()!+ Per il calcolo dell asintoto obliquo risulta: = m =!+ ln () = MaMin: e asintoto obliquo f () = ln () ln () + ( ln ()) = ( ln ()) = = e f ln () () > ) ( ln ()) > ) < e Ma e ; e Flessi: f () = f ln () () = ( ln ()) = ) = e y 4 8

39 Disegnare il gra co della funzione Soluzione: Dominio: f () = ( ) ( ) 6= ) ( ) ( ) ( ) 6= ( ) 6= ) 6= 6= \ assi: Asintoti: 8 ] ; [ [ ]; [ [ ]; +[ = y = ( )( ) ) A = ; 6 y = ( )( ) = + ( ) ( ) =! = asintoto verticale = +! + ( ) ( )!!+ = asintoto verticale ( ) ( ) =! ( ) ( ) = + ( ) ( ) = ( ) ( ) = MaMin: y = asintoto orizzontale f () = + ( + 6) = = f + () > ) ( + 6) > Ma ; 4 9

40 Flessi: f () = f () = ( = essi + 6) y Disegnare il gra co della funzione f : R! R de nita da f () = e e Soluzione: Dominio:8 R E una funzione pari, essendo f () = f ( ) ; il gra co sarà simmetrico rispetto all asse delle ordinate. \ assi: = ) O (; ) y = Asintoti: y = y = e e = ) O (; ) MaMin:!+ e e =!+ e e = + f () = e + e + e e f () = e + e + e e = e ( + ) + e ( ) = 4

41 e + e + e e = tanh = e e (e + e ) = y.... punto di minimo (; ) : Flessi: f () = ) = f () > ) tanh > ) > f () = e ( + ) + e e ( ) + e = = e + e + e e + e + e = f () = e ( + ) e ( ) essi y

42 Disegnare il gra co della funzione Soluzione: Dominio: f () = ( + ) ( + ) 6= ) ( + ) 6= ) 6= Segno: \ assi: 8 ] ; [ [ ] ; +[ ( + ) > ) > ( = )O = (; ) y = (+) Asintoti: ( y = y = ) = = (+)! + ( + ) =! ( + ) = = asintoto verticale!+ = + ( + ) m = q =!+!! ( + ) = ( + ) = ( + ) = MaMin: y = asintoto obliquo f () = ( + ) ( + ) ( + ) 4 = + ( + ) = = ; 4

43 f () > ) + ( + ) > 7 Ma ; 4 Flessi: f () = ( + ) ( + ) ( + ) 6 = 6 ( + ) 4 Flesso (; ) 4 y 4 4 4

44 FUNZIONI IN PIU VARIABILI Classi care i punti critici della funzione f : R! R de nita da: Soluzione: Gradiente: 8 >< >: f ( ; ; ) = ; ; = + ; ; = ; ; = 6 6 = 8 < soluzioni P = 7 ; 7 ; ; P = 7 ; 7 ; : Hessiana: H = M = > : = 8 + = 6 ( ) = M = 4 = 7 > P = 7 ; 7 ; ) M = 4 6 = 4 < ; sella P = 7 ; 7 ; ) M = 4 = 4 > ; minimo 6 Determinare e classi care i punti critici della funzione f : R 4! R de nita da Soluzione: Gradiente: f ( ; ; ; 4 ) = >< ; ; ; = + ; ; ; = ; ; ; = + 4 ; ; ; 4 = 4 = soluzione P = (; ; ; ) ; unico punto critico. Si tratta infatti di un sistema omogeneo A = con determinante della matrice dei coe cienti: 44

45 Hessiana: det A = 4 = 8 6= 6 f( ; ; f( ; ; @ f( ; ; @ f( ; ; f( ; ; @ f( ; ; f( ; ; @ f( ; ; f( ; ; @ f( ; ; @ f( ; ; f( ; ; f( ; ; ; f( ; ; ; f( ; ; ; f( ; ; ; 4 = 6 4 Segno dei minori principali guida 4 7 = 7 M = M = = 4 < () () è condizione su ciente per classi care il punto critico come punto sella. Determinare e classi care i punti critici della funzione f : R! R de nita da: f ( ; ; ) = Soluzione: Gradiente di una forma quadratica: 8 >< >: soluzione P = (; ;) : ; ; = 8 + ; ; = 4 ; ; = 6 + = H =

46 M = 8 4 = M = 8 > 4 < sella, non si prosegue Determinare e classi care i punti critici della funzione f : R! R de nita da: f ( ; ; ) = Soluzione: Gradiente: 8 >< ; ; = + ; ; = + ; ; = + = 8 < soluzioni P = ; ; ; P = ; 4; : Matrice Hessiana: H = 4 : = ( + 4) = 4 + = 6 + M = > 8 >< P = ; ; ) M = = 4 > M = = 6 > ; minimo P = ; 4; ) M = = 4 < sella >: = = = 4 = Classi care i punti critici della funzione: Soluzione: Gradiente: f ( ; ; ) =

47 Hessiana: 8 >< ; ; = 6 ; ; = + ; ; = + = 8 < : 8 < : P = (; ; ) ; P = (; ; ) : H P = 4 H P = 4 H = ) = + = = = + = = ) P = (; ; ) sella 6 ) ) P = (; ; ) sella M = 6 < M = > M = 6 > M = 6 > M = < M = 6 < Determinare e classi care i punti critici della funzione Soluzione: Gradiente: = f ( ; ) = + ; = 8 < ) : = = ) = = ) = = = 4 = Hessiana: H = ) P = (; ) " 4 # 47

48 H P = 4 8 ) M = > M = > ) P = (; ) minimo Determinare e classi care i punti critici della funzione f ( ; ) = e e Soluzione: Gradiente: soluzione P=(; ) : Hessiana: H = = e e ; = e e = e = e e e = = = e e e e e e H (;) = P = (; ) sella, essendo M = deth = 4 < : 48

49 Domini e gra ci di funzioni f : R! R: f ( ; ) = + D = 8 ( ; ) R Gradiente: soluzione P=(; ) : Hessiana: = + ; = 4 = H = H (;) = P = (; ) punto non classi cabile per mezzo della matrice Hessiana essendo M = > :e M = 49

50 f ( ; ) = ln D = ( ; ) R j 6= ; >. 9.94

51 q f ( ; ) = D = ( ; ) R j.9.

52 f ( ; ) = + + D = 8 ( ; ) R 9.44 Gradiente: = + = 48 + ; = + 4 = = 4 = = 48 = = soluzioni P=(; ) ; P = ; 48 : Hessiana: 6 H = 4 H (;) = 4 H ( ; 48 ) = 4

53 P = (; ) punto sella essendo M = < P = ; punto minimo essendo M = 48 > M = >