ISTITUTO ITALIANO DEGLI ATTUARI

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1 ISTITUTO ITALIANO DEGLI ATTUARI 1 Luglio 2010 Solvency II: modelli interni per le riserve sinistri, tecniche di Re-reserving e Backtesting Salvatore Forte Matteo Ialenti Marco Pirra

2 Agenda 1. Solvency II 2. Il Rischio di Riservazione 3. Il metodo del Re-reserving 4. Il Fisher-Lange Bayesiano 5. Una proposta per valutare il Risk Margin 6. Il Backtesting 7. Applicazione Numerica Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

3 1 Solvency II A partire dal 2013 l industria assicurativa europea sarà regolata da un nuovo sistema di vigilanza prudenziale. Il 22 aprile 2009 l'europarlamento ha votato con 593 voti a favore e 80 contro la direttiva sulle assicurazioni Solvency II: le nuove disposizioni si applicheranno a partire dal 1 novembre Solvency II segnerà per le compagnie e i gruppi assicurativi un cambiamento radicale nelle modalità di calcolo dei requisiti di capitale. Il nuovo regime comporterà sostanziali modifiche nelle modalità per il calcolo delle riserve tecniche e dei requisiti di solvibilità Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

4 1 Solvency II Art. 75: a) le attività sono valutate all'importo al quale potrebbero essere scambiate tra parti consapevoli e consenzienti in un operazione svolta alle normali condizioni di mercato; b) le passività sono valutate all'importo al quale potrebbero essere trasferite, o regolate, tra parti consapevoli e consenzienti in un operazione svolta alle normali condizioni di mercato. Art. 76: Il valore delle riserve tecniche corrisponde all importo attuale che le imprese di assicurazione e di riassicurazione dovrebbero pagare se dovessero trasferire le loro obbligazioni di assicurazione e di riassicurazione immediatamente ad un altra impresa di assicurazione o di riassicurazione. Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

5 1 Solvency II Art. 77: Il valore delle riserve tecniche è pari alla somma di best estimate e risk margin. 1. La best estimate corrisponde alla media dei flussi di cassa futuri ponderata per la probabilità, tenendo conto del valore temporale del denaro (valore attuale atteso dei flussi di cassa futuri) sulla base della pertinente struttura per scadenza dei tassi di interesse privi di rischio. 2. Il margine di rischio è tale da garantire che il valore delle riserve tecniche sia equivalente all'importo di cui le imprese di assicurazione e di riassicurazione avrebbero bisogno per assumersi e onorare le obbligazioni di assicurazione e di riassicurazione. Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

6 1 Solvency II 1. La best estimate è calcolata sulla base di informazioni aggiornate e credibili e su ipotesi realistiche utilizzando metodi attuariali e statistici adeguati, applicabili e pertinenti. 2. Il risk margin deve essere calcolato determinando il costo della costituzione di un importo di fondi propri ammissibili pari al requisito patrimoniale di solvibilità necessario per far fronte alle obbligazioni di assicurazione e di riassicurazione lungo tutta la loro durata di vita. Metodo del Costo del Capitale : il tasso utilizzato nella determinazione del costo della costituzione di tale importo di fondi propri ammissibili (tasso del costo del capitale) è lo stesso per tutte le imprese di assicurazione e di riassicurazione: RM 0 = n 1 t= 1 CoC SCR ( 1+ i( 0, t) ) t 1 t (1) Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

7 1 Solvency II Art. 101: Il requisito patrimoniale di solvibilità è calibrato in modo da garantire che siano presi in considerazione tutti i rischi quantificabili cui è esposta un'impresa di assicurazione o di riassicurazione. Esso copre l attività esistente nonché le nuove attività che si prevede vengano iscritte nel corso dei dodici mesi successivi. Per quanto riguarda l'attività esistente, esso copre unicamente le perdite inattese. Il requisito patrimoniale di solvibilità corrisponde al Valore a rischio (Value at risk) dei fondi propri di base dell'impresa di assicurazione o di riassicurazione soggetto ad un livello di confidenza del 99,5% su un periodo di un anno. Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

8 1 Solvency II Art : Il requisito patrimoniale di solvibilità di base comprende moduli di rischio individuali aggregati considerando opportuni coefficienti di correlazione. a) il rischio di sottoscrizione per l'assicurazione non vita; b) il rischio di sottoscrizione per l'assicurazione vita; c) il rischio di sottoscrizione per l'assicurazione malattia; d) il rischio di mercato; e) il rischio di inadempimento della controparte; f) il rischio operativo*. Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

9 1 Solvency II Art. 112: Gli Stati membri garantiscono che le imprese di assicurazione e di riassicurazione possano calcolare il requisito patrimoniale di solvibilità utilizzando un modello interno completo o parziale approvato dalle autorità di vigilanza. Art. 113: Un modello interno parziale è approvato dalle autorità di vigilanza se il requisito patrimoniale di solvibilità che ne risulta riflette meglio il profilo di rischio dell'impresa. Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

10 2 Il Rischio di Riservazione Il rischio di riservazione rappresenta il rischio che le riserve sinistri possedute dalla compagnia possano non essere sufficienti rispetto agli impegni assunti verso assicurati (e danneggiati). Tale rischio si origina da due fonti distinte: 1. il valore assoluto della riserva può risultare errato a causa di procedure inadeguate nella stima; 2. il valore della riserva, stante la natura stocastica delle liquidazioni future dei sinistri, può oscillare intorno al valore medio. La compagnia deve possedere un capitale a fronte di tale rischio (Reserve Risk Capital RRC) determinato con: metodologia VaR orizzonte di tempo annuale probabilità di rovina pari a 0,5% Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

11 2 Il Rischio di Riservazione Il rischio di riservazione dovrebbe tener conto sia degli eventi avversi che possono avvenire nell orizzonte temporale di un anno (shock period), sia delle loro conseguenze finanziarie sulle riserve tecniche fino alla loro completa estinzione (effect period). Development years Underwriting years UW N-11 UW N-10 UW N-9 UW N-8 UW N-7 UW N-6 UW N-5 UW N-4 UW N-3 UW N-2 UW N-1 UW N A N B C N+1 D A. Dati disponibili B. Shock period C. Effect period D. Costi ultimi La maggior parte dei metodi stocastici proposti in letteratura non sono però consistenti con tale struttura perchè considerano la variabilità su tutto il triangolo run-off dei pagamenti futuri, e quindi è come se prendessero in considerazione i possibili eventi avversi non soltanto nello shock period ma anche durante l effect period. Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

12 2 Il Rischio di Riservazione: modello standard (QIS5) RRC ( ) ρ σ = V ρ ( σ ) = exp( N log( σ σ 2 + 1) ) 1 V N ρ (σ ) : best estimate della riserva sinistri al netto dell effetto riassicurativo : 99,5%-quantile di una distribuzione normale standard : funzione della deviazione standard tale che ipotizzando una distribuzione lognormale si ottiene un risk capital pari a circa al Var di 99,5% o a tre volte sigma Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

13 2 Il Rischio di Riservazione: modello standard (QIS5) σ Per il calcolo di ( res, lob ) è possibile ricorrere a metodi alternativi che fanno riferimento all esperienza interna. σ = c σ + ( 1 c) σ ( res, lob ) ( U, res, lob ) ( M, res, lob ) Dove: c : coefficiente di credibilità; σ ( M, res, lob) : parametro di mercato; σ (U,res,lob) : parametro stimato dalla Compagnia Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

14 3 Il metodo del Re-Reserving Per superare tale limite dei modelli stocastici è stata proposta, in un lavoro del 2007 dell AISAM-ACME, la seguente metodologia da applicare su ognuna delle storie simulate: Development years Underwriting years UW N-11 UW N-10 UW N-9 UW N-8 UW N-7 UW N-6 UW N-5 UW N-4 UW N-3 UW N-2 UW N-1 UW N A N B C N+1 D 1.si simulano i valori relativi alla prima diagonale (shock period Area B) con il modello stocastico prescelto; Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

15 3 Il metodo del Re-Reserving Development years Underwriting years UW N-11 UW N-10 UW N-9 UW N-8 UW N-7 UW N-6 UW N-5 UW N-4 UW N-3 UW N-2 UW N-1 UW N A N B C N+1 D 2. tali valori simulati vengono aggiunti al triangolo run-off iniziale (Area A) per formare un nuovo triangolo che presenta una diagonale in più. Tale aggiunta permette di considerare gli eventi simulati-avvenuti nell orizzonte temporale di un anno. Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

16 3 Il metodo del Re-Reserving Development years Underwriting years UW N-11 UW N-10 UW N-9 UW N-8 UW N-7 UW N-6 UW N-5 UW N-4 UW N-3 UW N-2 UW N-1 UW N A N B C N+1 D 3. si applica al triangolo ottenuto nel punto 2 un metodo deterministico, coerente con il modello stocastico usato nel punto 1, per stimare tutti i pagamenti futuri dall anno N+1 in poi (effect period Area C). In questo modo si tiene conto degli effetti finanziari lungo tutto il periodo di smontamento della passività. Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

17 3 Il metodo del Re-Reserving Development years Underwriting years UW N-11 UW N-10 UW N-9 UW N-8 UW N-7 UW N-6 UW N-5 UW N-4 UW N-3 UW N-2 UW N-1 UW N A N B C N+1 D 4. il costo ultimo per generazione è ottenuto combinando i pagamenti relativi allo shock period, stimati nel punto 1, con i pagamenti relativi all effect period, determinati nel punto 3. Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

18 4 Il Fisher-Lange bayesiano: metodi bayesiani La differenza fondamentale dei metodi bayesiani rispetto ai modelli standard è che, una volta definito il modello probabilistico stima dei pagamenti futuri, i parametri del modello Θ = θ, 1 K, θ m considerati a loro volta delle v.a. con una fissata distribuzione π θ (doppio livello di aleatorietà) ( y θ ) per la sono a priori l idea alla base dei metodi bayesiani è quella di aggiornare la distribuzione a fy Θ { } priori dei parametri con l informazione desunta dall osservazione Y (triangoli run off) sfruttando il noto teorema di Bayes. Si ottiene quindi la distribuzione a posteriori dei parametri del modello: π Θ Y ( θ y) Y Θ ( y θ ) π ( θ ) ( θ ) π ( θ ) fy Θ = f y dθ (2) ( ) Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

19 4 Il Fisher-Lange bayesiano: metodi bayesiani La distribuzioni a posteriori viene quindi utilizzata per costruire la distribuzione di probabilità delle osservazioni future X (i pagamenti incrementali futuri), condizionata dal campione di dati osservati Y, ovvero si determina la distribuzione previsiva del modello: ( ) ( ) ( ) f x y = f x θ π θ y dθ X Y X Θ ΘY (3) La risoluzione per via analitica dell integrale al denominatore della distribuzioni a posteriori (2) è difficile se non in diversi casi impossibile. Al fine di risolvere tale integrale abbiamo deciso di utilizzare la tecnica simulativa degli MCMC (Monte Carlo Marcov Chain). Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

20 4 Il Fisher-Lange bayesiano Il modello deterministico Fisher-Lange ( average cost per claim method ) consente di determinare i pagamenti futuri, e di conseguenza la riserva sinistri, come prodotto tra la stima del numero di sinistri da pagare in futuro (np ij ) ed il costo medio (cm ij ) corrispondente: ( 1 ) i j n 1 Pij = npij cmij + ir + (4) dove: sinistri da liquidare np = nr aliq ij ij 1 ij 1 n v k = j ij v aliquote dei sinistri a riserva con seguito ik (5) velocità di liquidazione Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

21 4 Il Fisher-Lange bayesiano Estensione al caso stocastico del modello deterministico Fisher-Lange Impostazione bayesiana - distribuzioni a priori relative a: 1. aliquote dei sinistri con seguito: 2. velocità di liquidazione: 3. costi medi: CM ij ~ N Aliq ij ~ ( ϑ ν ω ν ) ν ~ N ; ij ~ j ( CM CM ϑ ; ω ) j N ( Aliq Aliq ϑ ; ω ) Distribuzioni a posteriori dei parametri e distribuzione previsiva del modello costruite mediante metodologie Monte Carlo Markov Chain (MCMC) Approcci bayesiani: si combina l expert knowledge o le informazioni precedentemente esistenti con le osservazioni ottenendo come risultato una stima del costo ultimo dei sinistri j Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

22 4 Il Fisher-Lange bayesiano I vantaggi principali che presenta il Fisher-Lange Bayesiano sono: supera i noti limiti del Chain Ladder (nelle sue varianti stocastiche come ad esempio il modello di Mack o l Over Dispersed Poisson), e più in generale delle metodologie di tipo link ratio; consente di rappresentare in maniera esplicita le politiche di liquidazione della Compagnia (attraverso la velocità di liquidazione); consente di rappresentare in maniera esplicita le politiche di riservazione della Compagnia (attraverso le aliquote dei sinistri con seguito che permettono di considerare anche i sinistri chiusi senza seguito ed i sinistri riaperti); permette di considerare e di trattare separatamente eventuali avvenimenti anomali che caratterizzano una particolare generazione o un particolare anno di calendario; consente di modellizzare il costo medio dei sinistri pagati e l inflazione futura autonomamente e indipendentemente rispetto al numero dei sinistri. Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

23 5 Una proposta per valutare il Risk Margin L approccio del Costo del Capitale per calcolare il Risk Margin, presenta alcune problematiche tuttora oggetto di dibattito tra gli organismi internazionali che si occupano della materia: 1. Proiezione dei requisiti di capitale futuri: RM 0 = CoC RRC n 1 t= 1 + ( 1+ i ( 0, t ) ) t 1 t (6) (7) (8) Formula CEIOPS QIS BE t RRCt = RRC0 BE 0 Proposta Autori BE = max 1;ln 1+ ( t ) ( ) cv R t RRCt RRC0 BE 0 cv R 0 2. Circolarità e doppio conteggio del Risk Margin: 99,5% ( ) RRC = VaR R BE RM 0 1year (9) Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

24 5 Una proposta per valutare il Risk Margin La formula proposta per valutare il Risk Margin è la seguente: RM 0 = ( ) ( 99,5% ) 1year 0 0 VaR R BE CoC prod 1+ CoC prod (10) dove: prod BE n 1 = t 1 max 1,ln 1 t= 1 BE0 cv 0 + cv ( R ) t 1 1 ( ) R ( 1+ i( 0, t) ) t (11) Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

25 5 Una proposta per valutare il Risk Margin I vantaggi della formula proposta sono i seguenti: il Reserve Risk Capital segue l andamento nel tempo dell underlying driver, i.e. best estimate; la formula tiene conto del fatto che con il passare del tempo la variabilità aumenta e quindi dovrebbe aumentare il capitale da detenere; tale aspetto viene preso in considerazione attraverso l utilizzo dei coefficienti di variazione. la variabilità futura delle riserve residue risulta sovrastimata alla data di valutazione a causa delle poche informazioni sui fattori che influiscono sulla stima dei pagamenti più lontani nel tempo: tale incremento è attenuato sfruttando l apposita funzione: max 1;ln ( 1+ x) ; la formula permette di superare al tempo stesso sia il problema della circolarità sia quello del doppio conteggio; il Risk Margin così calcolato tiene conto dell effettiva variabilità della riserva sinistri nel tempo. Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

26 6 Il Backtesting Procedimento di Backtesting: Stima della distribuzione della riserva sinistri con 9 generazioni Confronto tra il valore atteso della distribuzione della prima diagonale di bilancio (anno di bilancio 2007) e l importo effettivamente pagato dalle Compagnie Range di preferibilità dei modelli rispetto ai dati Y[i,j] Anno di Sviluppo Avvenimento Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

27 7 Applicazione Numerica R.C.G. Nell applicazione numerica è stato usato il modello Fisher-Lange bayesiano per calcolare la Best Estimate, il Risk Margin e il Reserve Risk Capital della riserva sinistri relativa al ramo RCG con i seguenti approcci: a) modello interno orizzonte di tempo annuale per stimare il RRC b) modello interno orizzonte di tempo intero run-off per stimare il RRC c) formula standard proposta nel QIS 5 (bozza) I risultati ottenuti sono stati confrontati con i valori determinati usando i seguenti modelli stocastici già noti in letteratura: I. Modello di Mack II. Over Dispersed Poisson con Bootstrapping III. Borhuetter-Ferguson bayesiano Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

28 7 Applicazione Numerica R.C.G. I modelli sono stati applicati a tre Compagnie che esercitano il ramo R.C.G. A. Compagnia di GRANDI dimensioni (396 milioni di euro) B. Compagnia di MEDIE dimensioni (106 milioni di euro) C. Compagnia di PICCOLE dimensioni (16 milioni di euro) valutazione dell impatto sulla dimensione delle riserve al variare del modello Analisi di Backtesting Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

29 7 Applicazione Numerica Compagnia A (GRANDE) COMPAGNIA A Internal 1Y Mack ODP Boot BF Bayes FL Bayes Current Estimate Risk Margin (% CE) 1,65% 2,39% 1,80% 1,75% Reserve Risk Capital (% CE) 6,92% 11,92% 5,11% 4,56% Sigma (1 year) 3,22% 5,18% 2,88% 2,75% Standard QIS5 Mack ODP Boot BF Bayes FL Bayes Current Estimate Risk Margin (% CE) 9,22% 9,22% 9,25% 5,98% Reserve Risk Capital (% CE) 46,96% 46,96% 46,96% 46,96% Sigma (1 year) 15,50% 15,50% 15,50% 15,50% (Dati in migliaia di euro) Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

30 7 Applicazione Numerica Compagnia A (GRANDE) A - Internal Model - 1 Year FL Bayes BF Bayes ODP Boot Mack Current Estimate Risk Margin Reserve Risk Capital (Dati in migliaia di euro) Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

31 7 Applicazione Numerica Compagnia A (GRANDE) A - Standard Formula - QIS5 FL Bayes BF Bayes ODP Boot Mack Current Estimate Risk Margin Reserve Risk Capital (Dati in migliaia di euro) Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

32 7 Applicazione Numerica Compagnia B (MEDIA) COMPAGNIA B Internal 1Y Mack ODP Boot BF Bayes FL Bayes Current Estimate Risk Margin (% CE) 5,37% 5,83% 6,17% 3,64% Reserve Risk Capital (% CE) 21,48% 27,69% 25,58% 20,41% Sigma (1 year) 9,43% 11,41% 15,12% 9,48% Standard QIS5 Mack ODP Boot BF Bayes FL Bayes Current Estimate Risk Margin (% CE) 9,55% 9,59% 9,40% 8,11% Reserve Risk Capital (% CE) 46,96% 46,96% 46,96% 46,96% Sigma (1 year) 15,50% 15,50% 15,50% 15,50% (Dati in migliaia di euro) Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

33 7 Applicazione Numerica Compagnia B (MEDIA) B - Internal Model - 1 Year FL Bayes BF Bayes ODP Boot Mack Current Estimate Risk Margin Reserve Risk Capital (Dati in migliaia di euro) Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

34 7 Applicazione Numerica Compagnia B (MEDIA) B - Standard Formula - QIS5 FL Bayes BF Bayes ODP Boot Mack (Dati in migliaia di euro) Current Estimate Risk Margin Reserve Risk Capital Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

35 7 Applicazione Numerica Compagnia C (PICCOLA) COMPAGNIA C Internal 1Y Mack ODP Boot BF Bayes FL Bayes Current Estimate Risk Margin (% CE) 13,99% 8,72% 7,09% 5,07% Reserve Risk Capital (% CE) 45,27% 44,12% 43,45% 44,90% Sigma (1 year) 18,92% 23,35% 17,15% 18,05% Standard QIS5 Mack ODP Boot BF Bayes FL Bayes Current Estimate Risk Margin (% CE) 11,16% 11,14% 7,58% 6,70% Reserve Risk Capital (% CE) 46,96% 46,96% 46,96% 46,96% Sigma (1 year) 15,50% 15,50% 15,50% 15,50% (Dati in migliaia di euro) Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

36 7 Applicazione Numerica Compagnia C (PICCOLA) C - Internal Model - 1 Year FL Bayes BF Bayes ODP Boot Mack Current Estimate Risk Margin Reserve Risk Capital (Dati in migliaia di euro) Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

37 7 Applicazione Numerica Compagnia C (PICCOLA) C - Standard Formula - QIS5 FL Bayes BF Bayes ODP Boot Mack Current Estimate Risk Margin Reserve Risk Capital (Dati in migliaia di euro) Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

38 7 Applicazione Numerica Risultati Fisher-Lange COMPAGNIA A Fisher Lange Internal - 1 Y Internal - Run off QIS5 Current Estimate Risk Margin (% CE) 1,75% 1,25% 5,98% Reserve Risk Capital (% CE) 4,56% 8,79% 46,96% Sigma 2,75% 3,95% 15,50% BFL - Insurer A QIS 5 Internal -Run off Internal -1 Y (Dati in migliaia di euro) Current Estimate Risk Margin Reserve Risk Capital Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

39 7 Applicazione Numerica Risultati Fisher-Lange COMPAGNIA B Fisher Lange Internal - 1 Y Internal - Run off QIS5 Current Estimate Risk Margin (% CE) 3,64% 3,85% 8,11% Reserve Risk Capital (% CE) 20,41% 21,61% 46,96% Sigma 9,48% 9,93% 15,50% BFL - Insurer B QIS 5 Internal -Run off Internal -1 Y (Dati in migliaia di euro) Current Estimate Risk Margin Reserve Risk Capital Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

40 7 Applicazione Numerica Risultati Fisher-Lange COMPAGNIA C Fisher Lange Internal - 1 Y Internal - Run off QIS5 Current Estimate Risk Margin (% CE) 5,07% 7,08% 6,70% Reserve Risk Capital (% CE) 44,90% 48,32% 46,96% Sigma 18,05% 18,42% 15,50% BFL - Insurer C QIS 5 Internal -Run off Internal -1 Y (Dati in migliaia di euro) Current Estimate Risk Margin Reserve Risk Capital Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

41 7 Applicazione Numerica Backtesting MACK COMPAGNIA B (MEDIA) 0.03 BF COMPAGNIA B (MEDIA) BF - COMPAGNIA MEDIA (Dati in migliaia di euro) Y[i,j] Anno di Sviluppo Avvenimento x 10 4 Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

42 7 Applicazione Numerica Backtesting 0.03 FL COMPAGNIA B (MEDIA) 0.03 ODP COMPAGNIA B (MEDIA) ODP - COMPAGNIA MEDIA FL - COMPAGNIA MEDIA x x 10 4 (Dati in migliaia di euro) Y[i,j] Anno di Sviluppo Avvenimento Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

43 7 Applicazione Numerica Backtesting COMPAGNIA GRANDE - A MEDIA - B PICCOLA - C MACK VALORI STIMATI OPD BF FL VALORE PAGATO RANGE DI PREFERIBILITA' COMPAGNIA A B C MACK ODP BF FL (Dati in migliaia di euro) Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

44 7 Applicazione Numerica Osservazioni I risultati del case study oggetto di analisi sembrerebbero portare alle seguenti conclusioni: la stima della Best Estimate è particolarmente influenzata dalla metodologia deterministica che sta alla base del modello stocastico; le misure di variabilità (σ) e di rischio (RRC) dipendono in maniera significativa dalla struttura probabilistica ipotizzata nel modello e dalle dimensioni della Compagnia. Criticità approccio standard QIS5: Reserve Risk Capital proporzionale alla Best Estimate σ coefficiente di variazione uguale per tutte le Compagnie ( M, res, lob) Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

45 Sviluppi futuri Sviluppi futuri Applicazione dei modelli a Compagnie che esercitano rami diversi Determinazione del Reserve Risk Capital di una Compagnia multiramo (analisi della dipendenza tra i rami e relativo impatto sul requisito di capitale) Backtesting Definizione dei criteri di validazione e stima dei parametri Definizione dei criteri per la scelta tra diversi modelli interni Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

46 Riferimenti Bibliografici [1] AISAM-ACME, 2007, Study on non-life long tail liabilities. Reserve risk and risk margin assessment under Solvency II, (pdf available on web). [2] CEIOPS, 2010, QIS5 Draft - Technical Specifications, (pdf available on web). [3] European Commission, 2009, Solvency II directive, (pdf available on web). [4] England P., 1999, Analytic and bootstrap estimates of prediction errors in claims reserving, Insurance: Mathematics & Economics Elsevior Science Publishers - New York. [5] Fisher W., Lange J., 1973, Loss Reserve Testing: A Report Year Approach, Casualty Actuarial Society Proceedings. [6] Forte S., Ialenti M., Pirra M., 2008, Bayesian Internal Models for the reserve risk assessment, Giornale dell Istituto Italiano degli Attuari, Volume LXXI, Roma. [7] Forte S., Ialenti M., Pirra M., 2010, Claims reserving uncertainty in the development of internal risk models, MAF Ravello (pdf available on web). [8] Gilks, W.R., Richardson S., Spiegelhalter D. J.,1995, Markov Chain Monte Carlo in Practice. Chapman and Hall). [9] IAA Risk Margin Working Group, 2008, Measurement of liabilities for insurance contracts: current estimates and risk margins, (pdf available on web). [10] Mack, T. 1993, Distribution-free calculation of the standard error of chain ladder reserve estimates, Astin Bulletin, Vol. 23, No.2. [11] Scollnik, D. P.M., Actuarial Modelling with MCMC and BUGS, North American Actuarial Journal 5:2, 2001, pp Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

47 GRAZIE! Salvatore Forte Matteo Ialenti Marco Pirra Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 1 Luglio

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