Appunti di Meccanica dei Fluidi M. Tregnaghi

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1 Aunti di Meccanica dei Fluidi 3. STATICA: PRESSIONE E LEE IDROSTATICA PRESSIONE IN UN PUNTO La ressione è il modulo della forza esercitata da un fluido er unità di suerficie che agisce in direzione normale alla suerficie stessa. Tale modulo è indiendente dalla giacitura della suerficie. In un liquido in quiete: 1) non ci sono sforzi tangenziali in quanto: dv 0 dy F lim n F lim t da0da da0da n 0 2) il modulo dello sforzo normale coincide con la ressione. In tali condizioni si dimostra che: 1) il modulo dello sforzo normale è indiendente dalla direzione secondo cui agisce; 2) la ressione (= modulo dello sforzo normale) genera ertanto un camo scalare (x,y,z). Per un fluido in movimento si definisce: 1 3 x y z Equilibrio delle forze lungo x: x sin 0 bz bs Equilibrio delle forze lungo z (al limite er Δz 0): 1 cos z b x bs bxz 2 1 z z0 2 z 0 Da cui: x z x Si ossono definire 1) ressione assoluta * 0 2) ressione relativa * atm Dove atm è la ressione atmosferica 1, Pa atm 5 12

2 Aunti di Meccanica dei Fluidi EQUAZIONI INDEFINITE DELLA STATICA La legge di Stevin o legge idrostatica stabilisce che er un fluido esante e incomrimibile è costante la somma della quota geodetica e dell'altezza iezometrica o, in altri termini, è ovunque costante il carico idrostatico di un fluido in quiete. Teorema della quantità di moto: 0 statica Fm Fs ma moto rigido mdv dt dinamica F forze suerficiali s dfsx da dx da x dxda dw x x dfs dw m F m forze di massa df df gdw g gcosnx gh x g gcosny gh y gcosnz g h z dfg gdw gh dw Se hx, y, z zghdw gk dw Equazione indefinita della statica dfdf dw ghdw 0 g s In generale, er un fluido comrimibile: gh0 con, T Per un fluido incomrimibile: h 0 con cost In forma integrale z h zcost LEE DI STEVIN altezza iezometrica z quota geodetica quota iezometrica z iano dei carichi idrostatici La legge di Stevin o legge idrostatica vale er: 1) fluido incomrimibile; 2) fluido esante. Per i gas (comrimibili) si deve tenere conto della diendenza della densità dalla ressione. Se la variazione di quota non è significativa si uò assumere: gas 0 0 gas cost 13

3 Aunti di Meccanica dei Fluidi PRESSIONE E PROFONDITÀ Per la legge di Stevin o legge idrostatica in un fluido esante e incomrimibile la ressione (sia relativa che assoluta) varia linearmente con la rofondità. In termini di ressioni assolute: * z z0 Z 0 quota.c.i. assoluto ( * 0 0 ) In termini di ressioni relative: z za Z a quota.c.i. relativo ( a 0 ) atm 0 za z La ressione alla quota del unto M è data da: PRESSIONE RELATIVA z z h M a M M PRESSIONE ASSOLUTA * * M z0 zmhm z z z z h 0 a a M atm M La ressione (relativa o assoluta) varia linearmente con la rofondità risetto alla quota del iano dei carichi idrostatici (relativo o assoluto). La differenza di ressione tra due unti è la stessa sia in termini di ressioni assolute che relative: * * A B * * za zb A B hab A z z h B A B A B AB Diagramma delle ressioni (relative) La endenza del diagramma delle ressioni è uguale all'arcotangente del eso secifico del fluido. 14

4 Aunti di Meccanica dei Fluidi PIANO DEI CARICHI IDROSTATICI Il iano dei carichi idrostatici assoluto si trova semre al di sora della suerficie libera del fluido. Il iano dei carichi idrostatici relativo uò trovarsi al di sotto della suerficie libera nel caso questa sia a contatto con una ressione relativa < 0. 1) La ressione assoluta deve semre risultare una quantità ositiva. La ressione relativa uò essere negativa. 2) Il iano dei carichi idrostatici assoluto non uò mai trovarsi al di sotto della suerficie libera del fluido. 3) La osizione del iano dei carichi idrostatici (relativo) viene individuata sommando alla quota della suerficie del liquido il termine Δz = M /γ. 4) M è la ressione a contatto con la suerficie del liquido. La differenza di quota Δz risulta negativa se la suerficie del fluido è in deressione, ovvero er M < 0. Questo indica che il.c.i. relativo si trova al di sotto della suerficie del liquido. 15

5 Aunti di Meccanica dei Fluidi PRINCIPIO DEI VASI COMUNICANTI Per la legge di Stevin o legge idrostatica le suerfici orizzontali che collegano un medesimo fluido sono suerfici isobare. In articolare, un liquido contenuto in due o iù contenitori comunicanti tra loro raggiunge lo stesso livello. Suerfici orizzontali sono suerfici isobare solo se i unti sono collegati dallo stesso fluido: 0 z z A B B A A B Ma: C c zc zc d zd zd D d zd zmerc ' zmerc zd z z ' z z d d D Merc D z z D C Merc D C Princiio dei vasi comunicanti: Equilibrio statico Un liquido contenuto in due o iù contenitori comunicanti tra loro, raggiunge lo stesso livello, originando un unico iano dei carichi idrostatici. Ogni generico unto M all'interno del fluido deve ossedere lo stesso carico idrostatico. In articolare dove = 0, il liquido si troverà alla quota z = z a. m zm za z0za Benché il fluido contenuto nel cilindretto (2) eserciti una forza eso F 2 sulla base del reciiente maggiore risetto alla forza eso F 1 del fluido contenuto nel cilindretto (1), ovvero risulta F 2 > F 1, il sistema rimane in equilibrio statico: F W ha ha F F W ha ha F Paradosso idrostatico: F F ghaf F caso a) caso b) caso c) Fa, F h A Fb, F h A Fc, F h A In generale: F da da da ha da S Sbase Slat Slat Nei casi b) e c) lo squilibrio tra la forza eso F e la forza di reazione F sul fondo del reciiente è comensato dalla comonente verticale della reazione delle areti (F' e F") sul fluido che: contrasta il eso del fluido nel caso b) si somma al eso del fluido nel caso c) 16

6 Aunti di Meccanica dei Fluidi PRINCIPIO DI PASCAL Per la legge di Stevin o legge idrostatica l'incremento di ressione in un unto del fluido si trasmette in ogni altro unto del fluido con la stessa intensità, indiendentemente dalla direzione. Princiio di Pascal: L'incremento di ressione in un unto del fluido orta ad un incremento di ressione in tutto il fluido. Alicazione: Pressa idraulica Alicando una iccola forza F 1 ottengo una forza F 2 > F 1. Il lavoro comiuto è lo stesso, in quanto: A1 W L1 F1x1 F2 x1 F2 F2x2 L2 A A 2 2 Botte di Pascal: Si considerino 2 botti identiche riemite d'acqua, la cui ressione sul fondo sia di oco inferiore a quella limite di rottura. Alicando 2 diversi volumetti di fluido, la rottura della botte non viene rovocata dal eso del volumetto sovrastante, ma dal raggiungimento di una certa quota iezometrica limite. Zci,2 Zci,1 Il aradosso consiste nel fatto che, nonostante la botte (1) soorti un eso maggiore, la botte (2) raggiungerà er rima una condizione critica di rottura. Per il rinciio di Pascal, le ressioni nella botte (2) sono ovunque maggiori di quelle nella botte (1) di un certo Δ: a2 a1 b2 b1 h h 2 1 L'equilibrio statico viene comunque risettato: F da A H A, botte b1 a1 B B B S1 S2 da A H A b2 b2 B B B 17