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1 COORDINATE DOWNLOAD Il pdf di questa lezione (0227a.pdf) è scaricabile dal sito calvini/scamb/ 27/02/2012

2 LIBRO DI TESTO CONSIGLIATO D. Halliday, R. Resnick, J. Walker FONDAMENTI di FISICA (Meccanica, Termologia) V edizione (o succ.), Casa Editrice Ambrosiana - Milano 2

3 POSIZIONE DI UN PUNTO SU UNA RETTA Si scelgono sulla retta r un punto di riferimento O che viene chiamato origine e un verso di percorrenza (lungo r). Con ciò r diventa una retta orientata. Serve inoltre un unità di misura di lunghezza (m = metro) che serve a quantificare di quanto ci si allontana da O. Con queste premesse, la posizione di un punto P su r viene individuata attraversp l ascissa x P che esprime la distanza con segno che P ha da O. Se, partendo da O, per raggiungere P ci si muove concordemente con il verso di percorrenza prefissato su r, allora x P sarà positiva (come in figura). Altrimenti x P sarà negativa. 3

4 COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO Un sistema di coordinate cartesiane ortogonali nel piano viene assegnato mediante due rette orientate giacenti nel piano stesso, tra di loro ortogonali. Queste rette vengono dette assi cartesiani: asse x e asse y. Per origine O si sceglie l intersezione tra gli assi. Si fissa un unità di misura (m). La posizione di un punto P giacente nel piano viene individuata dalla coppia (x P, y P ), rispettivamente ascissa e ordinata di P. La loro determinazione può essere fatta tracciando le parallele agli assi passanti per P (vedi figura). 4

5 COORDINATE POLARI NEL PIANO Un sistema di coordinate polari (ρ, φ) nel piano viene assegnato dalla legge di trasformazione polari cartesiane x = ρ cos(φ) ; y = ρ sen(φ) (1) e dalla legge di trasformazione inversa cartesiane polari ρ = x 2 + y 2 ; φ = atan ( ) y x + 1 sign(x) 2 π. (2) Nella seconda di (2), se x = 0, vale φ = sign(y) π/2. Per ρ (raggio) e φ (anomalia) i campi di variabilità sono dati da ρ 0 ; 2 π > φ 0. (3) Pertanto, nei casi in cui la seconda di (2) dà valori negativi per φ, si deve aggiungere 2 π al risultato. 5

6 COORDINATE POLARI NEL PIANO 6

7 COORDINATE CARTESIANE NELLO SPAZIO Un sistema di coordinate cartesiane ortogonali nello spazio viene assegnato mediante tre rette orientate, tra di loro ortogonali e passanti per una comune origine O. Queste tre rette costituiscono una terna di assi cartesiani ortogonali (assi x, y, z). La posizione di P può essere individuata dalla terna di coordinate cartesiane (x P, y P, z P ). La figura indica come z P possa essere determinata dall intersezione con l asse z del piano passante per P parallelo al piano xoy. e La determinazione di x P e y P può essere fatta in maniera analoga. 7

8 COORDINATE CILINDRICHE Un sistema di coordinate cilindriche (ρ, φ, z) nello spazio viene assegnato lasciando immutata la coordinata cartesiana z e sostituendo alle coordinate x e y le corrispondenti (ρ, φ) polari del piano. Si hanno le leggi di trasformazione x = ρ cos(φ) ; y = ρ sen(φ) ; z = z (4) e ρ = x 2 + y 2 ; φ = atan ( y x ) + 1 sign(x) 2 π ; z = z. (5) Anche in questo caso, se x = 0, vale φ = sign(y) π/2. Inoltre, nei casi in cui si ottengono per φ valori negativi si deve aggiungere 2 π al risultato. 8

9 COORDINATE SFERICHE (NELLO SPAZIO) Un sistema di coordinate sferiche (r, θ, φ) nello spazio viene assegnato dalla legge di trasformazione sf eriche cartesiane x = r sen(θ) cos(φ) ; y = r sen(θ) sen(φ) ; z = r cos(θ) (6) e dalla legge di trasformazione inversa cartesiane sf eriche r = x 2 + y 2 + z 2 ; θ = acos ( ) z r ; φ = atan Nella terza di (7), se x = 0, vale φ = sign(y) π/2. ( y x ) + 1 sign(x) π. 2 (7) Per le coordinate sferiche (r, θ, φ) i campi di variabilità sono dati da r 0 ; π θ 0 ; 2 π > φ 0. (8) Aggiungere 2 π al risultato della terza di (7) se dà valori negativi per φ! 9

10 COORDINATE SFERICHE 10

11 COORDINATE GEOGRAFICHE Con l approssimazione che la superficie terrestre sia sferica con raggio R = 6370 km, risulta possibile convertire nelle coordinate sferiche θ e φ le coordinate geografiche latitudine e lungitudine, che sono abitualmente utilizzate per individuare un punto sulla Terra. Se si indicano con α N e α S la latitudine Nord e Sud e con β E e β W la longitudine Est e Ovest e se si usano i gradi, valgono le seguenti relazioni θ = 90 α N ; θ = 90 + α S (9) e φ = β E ; φ = 360 β W. (10) 11