Capitolo 12. Dinamica relativa

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1 Cpitolo 12 Dinmic reltiv 12.1 Le forze pprenti 1. Sppimo dll cinemtic reltiv che l ccelerzione di un punto P in un riferimento K e l ccelerzione ' di P in un riferimento K ' sono legte l un ll ltr dll relzione [A] ' tr 2 v ' dove tr è l ccelerzione di trscinmento (l ccelerzione che il punto P vrebbe rispetto K se, essendo rigidmente collegto K ', vesse in K ' velocità v ' zero e ccelerzione ' zero), mentre il prodotto 2 v ' (nel qule è l velocità con cui K' ruot rispetto K) rppresent l ccelerzione complementre (o «di Coriolis»). 2. Se il moto di K' rispetto K e di K rispetto K ' è trsltorio, è zero e quindi è zero l ccelerzione complementre. Se poi il moto di trslzione di K ' è rettilineo e uniforme, qulunque punto immobile in K ' si muove in K di moto rettilineo uniforme, quindi oltre ll ccelerzione complementre è zero nche l ccelerzione di trscinmento: pertnto ', e dunque l osservtore K e l osservtore K ' ttribuiscono l punto P divers velocità [ 1] m ugule ccelerzione. Se, più in prticolre, uno dei due osservtori è inerzile (ed è quindi utorizzto clcolre l forz pplict l punto P come prodotto tr mss e ccelerzione, in ccordo con l second legge di Newton), è inerzile nche l ltro, che ll stess mss ttribuisce l stess ccelerzione. 3. Supponimo or che K si inerzile, m che non lo si K '. Il prodotto m è in tl cso l forz ver, l forz F che effettivmente gisce su P, il prodotto m ' è invece l forz F ' che K ' ritiene erronemente essere pplict P. Dll [A] discende [B] F ' m ' m mtr 2m v ' F Ftr FC. Vle dire: l forz F ' rilevt d K' è in reltà l somm dell forz effettiv m e di due forze fittizie, inesistenti in qunto non legte un interzione di P con l- 1 Si ricordi che è v v ' vtr, cioè l velocità in K è l somm dell velocità in K ' e dell velocità di trscinmento, che è l velocità che il punto mobile vrebbe in K se in K' vesse velocità zero.

2 Cpitolo 12 Dinmic reltiv 331 tri corpi, m solo l ftto che K', che non è inerzile, pplic ciò nonostnte busivmente l second legge di Newton: tli forze pprenti (denominte volte «forze d inerzi» [2] ) sono l forz di trscinmento Ftr mtr e l forz di Coriolis F C 2m v '. Si noti che noti che tli formule definiscono le forze pprenti che si osservno in K' in modo univoco, per il ftto che tutti gli osservtori inerzili ttribuiscono un dto riferimento non inerzile l stess velocità ngolre e ttribuiscono l stess ccelerzione tr un punto immobile in tle riferimento. 4. Dunque, in un riferimento non inerzile l ccelerzione di un punto si può ottenere dividendo per l mss del punto non l forz d esso effettivmente pplict, m l somm di tle forz con le forze pprenti. Più in generle: se, per spiegre o prevedere il moto dei corpi, voglimo pplicre le leggi dell meccnic nei riferimenti non inerzili cos che volte permette di rrivre più fcilmente ll soluzione di un problem dobbimo mettere in conto, insieme lle forze effettive, nche le forze pprenti. 5. Si noti ncor che, mentre tutti gli osservtori inerzili ttribuiscono uno stesso punto l stess ccelerzione e vedono quindi l stess forz (l forz ver), nei diversi riferimenti non inerzili (che possono muoversi l uno rispetto ll ltro nei modi più disprti) sono vicevers in generle diverse si l ccelerzione ' di un punto, si di conseguenz l forz m ' osservt. 6. Primo esempio. Pendolo su crrello che nel riferimento del lbortorio (riferimento che qui considerimo inerzile) procede di moto rettilineo uniformemente vrio con ccelerzione : ciò che si osserv (fig.1) è che il filo del pendolo tende d ssestrsi in un posizione in cui form con l verticle un ngolo definito d tg = /g. Dl punto di vist degli osservtori inerzili ciò ccde perché in tl modo il componente orizzontle dell forz che il filo esercit sull pllin è m Fig.1 (il componente verticle è mg ), il che rende conto dell ccelerzione che gli osservtori inerzili (tutti) ttribuiscono ll pllin. Dl punto di vist invece di un osservtore non inerzile solidle col crrello, l pllin è immobile, e l posizione noml del filo si spieg col ftto che sull pllin giscono non solo il peso e l rezione del vincolo, m nche un forz pprente di trscinmento m (l forz pprente di Coriolis è in questo cso zero si perché è zero l velocità v ' dell pllin nel riferimento del crrello, si perché è zero l velocità ngolre del crrello). 2 In qunto sempre proporzionli ll mss (o quntità di inerzi) dei corpi su cui giscono.

3 332 Tonzig Fondmenti di Meccnic clssic 7. Secondo esempio: un crrello procede nel riferimento (inerzile) del lbortorio di moto rettilineo con ccelerzione costnte equivers ll velocità (l qule quindi ument linermente nel tempo). A un trtto, dll sommità di un st verticle di ltezz h fisst l crrello si stcc un pllin che cde perdendo terreno rispetto l crrello: si osserv che, se l presenz d ri è ininfluente, il punto di cdut dell pllin sul crrello dist h /g dll bse dell st. Nel riferimento del lbortorio (fig. 2) l circostnz si spieg col ftto che, dl momento in cui l pllin si stcc dll st, l su velocità orizzontle rest costnte, mentre l velocità del crrello continu d umentre: nel tempo T = 2h / g necessrio ll pllin per rrivre destinzione, lo spostmento orizzontle dell pllin è v 0 T, quello del crrello è v 0 T + T 2 /2 (l differenz è T 2 /2 = [/2] 2h/g = h /g). Nel riferimento invece del crrello (fig. 3) le leggi di Newton (utilizzte busivmente, perché il riferimento non è inerzile) portno concludere che sull pllin gisce oltre l peso mg nche un forz orizzontle m equivers ll velocità che, nel riferimento del crrello, viene ttribuit l lbortorio. Fig.2 Che cos si osserv nel riferimento del lbortorio. 8. Terzo esempio (fig. 4): pittform che nel riferimento (inerzile) del lbortorio ruot con r velocità ngolre costnte ttorno l proprio sse geometrico: un blocchetto di mss m, ppoggito senz ttrito sull tvol rotnte e vincolto con un moll ll sse di rotzione, ruot su volt con velocità ngolre su un circonferenz di rggio r, risultndo immobile rispetto ll tvol. Per gli osservtori inerzili, il blocchetto h un ccelerzione di vlore 2 r dirett in senso centripeto, e l unic forz orizzontle d esso pplict è l forz m 2 r proveniente dll moll. Fig. 4 Vicevers, un osservtore posto sull pittform rotnte (e in quiete rispetto d ess) consider il blocchetto immobile, e se pplic le leggi di Newton spieg tle immobilità col ftto che l forz proveniente dll moll è esttmente compenst v Fig.3 Che cos si osserv nel riferimento del crrello. v

4 Cpitolo 12 Dinmic reltiv 333 d un forz m di vlore m 2 r dirett in senso centrifugo. È chiro llor che nei riferimenti che, rispetto i riferimenti inerzili, ruotno con velocità ngolre costnte ttorno un sse fisso, l forz di trscinmento (l forz pprente su un punto immobile nel riferimento rotnte) h il crttere di forz centrifug. 9. Qurto esempio: dl centro dell pittform rotnte di cui v 0 sopr, l osservtore non inerzile lnci con velocità v 0 un v 0 blocchetto fcendolo scivolre di pitto lungo il dimetro d. Se non c è ttrito, nel riferimento «fisso» del lbortorio (fig.5) il blocchetto è libero d forze orizzontli e percorre con velocità costnte v 0 un triettori Fig. 5 Il punto di vist dell osservtore fisso rettiline mentre l pittform gli ruot sotto. Dl punto di vist invece dell osser- v v 0 vtore non inerzile che h effettuto il lncio (fig.6) l pittform v 0 è immobile, mentre il blocchetto percorre con velocità crescente un triettori che si incurv o verso destr o verso sinistr ( second che, vist dll lto del lbortorio, l pittform ppi ruotre in Fig. 6 Il punto di vist dell osservtore rotnte senso ntiorrio oppure orrio). Se vuole spiegre il moto del blocchetto sull bse delle leggi di Newton, l osservtore non inerzile deve mettere in conto un forz m 2 r dirett rdilmente verso il bordo dell pittform (forz centrifug di trscinmento), e un forz di Coriolis di vlore 2mv' (dove v' è il modulo del vettore v' v0 vtr ) dirett perpendicolrmente ll triettori (in qunto perpendicolre v ' ) verso l interno dell curv. Not: l velocità di lncio è l stess nei due riferimenti perché nell posizione inizile l velocità di trscinmento è zero.

5 334 Tonzig Fondmenti di Meccnic clssic 10. Osservzione. Il teorem dell energi cinetic vle nei riferimenti non inerzili solo se si tiene conto del lvoro dell forz pprente di trscinmento (l forz di Coriolis non compie lvoro essendo sempre perpendicolre ll velocità reltiv v '). Si ricordi questo proposito che il lvoro delle forze e l incremento dell energi cinetic sono in generle diversi nei diversi riferimenti (nei diversi riferimenti inerzili sono uguli le forze pplicte un punto P m risultno ovvimente diversi gli spostmenti subiti d P). Nel cso sopr esminto, l forz di trscinmento h direzione centrifug: dto che, rispetto ll pittform, l velocità del blocchetto h un componente rdile diretto nch esso in senso centrifugo, il lvoro dell forz di trscinmento è positivo, il che giustific, dl punto di vist dell osservtore solidle con l pittform, l umento dell velocità Il riferimento Terr 1. Dl punto di vist degli osservtori inerzili (tutti), il movimento dell Terr può essere schemtizzto come un rotzione con velocità ngolre costnte = (2 rd) / (86400 s) = 7, rd/s = 15 / h ttorno un sse l sse polre che in un nno percorre un circonferenz ttorno l Sole mntenendo un direzione fiss [3]. Perciò, l osservtore terrestre (l osservtore rispetto l qule l Terr è immobile) non è inerzile: e in molti csi non può spiegre ciò che osserv o prevedere ciò che osserverà se nelle leggi dell meccnic non introduce, ccnto lle forze effettive, le opportune forze pprenti. 2. Supponimo dpprim che un corpo C, posto in prossimità dell superficie dell Terr, si soggetto solo ll ttrzione grvitzionle proveniente dll Terr. L su ccelerzione nei riferimenti inerzili è g, dirett verso il centro dell Terr (che schemtizzimo come N un sfer). L su ccelerzione nel riferimento Terr è invece C x [A] g' 2 g R cos u 2 v' x dove è l velocità ngolre dell Terr, R il rggio dell Terr, l ltitudine cui C si trov, u x il versore di un sse x che esce 90 dll sse terrestre (fig.7), v ' l velocità reltiv (l velocità rispetto ll Terr) di C. S Fig.7 Dunque, dl punto di vist dell osservtore terrestre tutto v come se su C gissero, oltre l peso, ) un forz «di trscinmento» m 2 Rcos dirett perpendicolrmente ll sse terrestre in senso centrifugo; b) un forz «di Coriolis» perpendicolre ll sse terrestre e ll velocità reltiv v ', proporzionle l vlore di v ' e l 3 Il moto vero dell Terr è nturlmente più complicto: tr l ltro, l triettori dell Terr non è un circonferenz m un ellisse, e l direzione dell sse polre non è costnte.