Docente Francesco Benzi

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1 MACCHINE ELETTRICHE Coso di Lauea in Ingegneia Industiale Anno Accademico MACCHINE ELEMENTARI Docente Fancesco Benzi Univesità di Pavia Dispense in collaboazione con Giovanni Petecca e Lucia Fosini

2 MACCHINA ELEMENTARE CON UN SOLO AVVOLGIMENTO Si considei una macchina elementae con un solo avvolgimento concentato sullo statoe e sul otoe: statoe cilindico otoe a poli salienti un avvolgimento sullo statoe poli pp = 1 = m = m N s 1

3 Macchina elementae con un solo avvolgimento La macchina può essee schematizzata come un avvolgimento concentato lungo l asse avvolgimento di statoe, mente la diezione del otoe è individuata da un asse d in moto ispetto allo di statoe. d asse magnetico di otoe asse dell avvolgimento i di statoe s v s N.B.: convenzione:

4 Macchina elementae con un solo avvolgimento Vogliamo tovae l espessione dll della coppia it istantaneat al tafeo C e (t) e della coppia media al tafeo C media tamite un bilancio enegetico, utilizzando: EQUAZIONE ELETTRICA EQUAZIONE MECCANICA v s e R i s s C C J d d dt dt m s 3

5 dove: EQUAZIONE ELETTRICA v s R i s s dt Macchina elementae con un solo avvolgimento d s = L s i s = totale flusso concatenato con l avvolgimento di statoe L s = autoinduttanza dell avvolgimento di statoe, funzione di v s R i s s dl i dt s s dis v R i L i dt s s s s s dl dis v R i L i dt s dt s s s s s s dls d F.E.M. di tipo tasfomatoico F.E.M. di tipo otazionale 4

6 Macchina elementae con un solo avvolgimento EQUAZIONE ELETTRICA IN ALCUNI CASI PARTICOLARI Statoe e otoe cilindici: L s costante dl d s i s 0 Statoe cilindico e otoe a poli salienti : L cos è il caso che s Ls1 Ls dls i i L sin s s s d stiamo esaminando 5

7 EQUAZIONE MECCANICA Macchina elementae con un solo avvolgimento dove: C C J e d dt m Ce = Ce(t) = coppia istantanea al tafeo (coppia elettomagnetica), positiva se agisce in senso concode con la velocità m C = coppia esistente, positiva se agisce in senso opposto alla velocità m J d m m dt = coppia di inezia peché pp =1 6

8 Macchina elementae con un solo avvolgimento BILANCIO ENERGETICO CAMPO MAGNETICO P c P e MACCHINA ELETTRICA P m P p P = potenza elettica positiva se entante P e P e = P c + P p + P m P p = potenza peduta positiva se uscente P m = potenza meccanica positiva se uscente P c = potenza magnetica positiva se uscente veso il campo magnetico N.B.: Sono tutte potenze istantanee 7

9 BILANCIO ENERGETICO Macchina elementae con un solo avvolgimento P dw e dt v i e s s Sostituendo a v s l espessione data dall equazione di funzionamento elettico: di vi Ri il i dt s s s s s s s s dl dt s P e = potenza P p = potenza elettica peduta nell avvolgimento P c + P m = potenza accumulata nel campo magnetico + potenza meccanica 8

10 BILANCIO ENERGETICO Macchina elementae con un solo avvolgimento Pe sepaae P m e P c : è nota l espessione dell enegia magnetica accumulata nel campo magnetico sostenuto dalla coente i s che cicola nel cicuito di induttanza L s : 1 Wc L sis la coispondente potenza istantanea vale: dw d 1 di 1 dl P L i L i i dt dt dt dt c s s c s s s s s si scive il bilancio delle potenze nel seguente modo: di 1 dl 1 dl vi Ri Li i i dt dt dt s s s s s s s s s s s P e = potenza P p = potenza elettica peduta nell avvolgimento P c = potenza accumulata nel campo magnetico P m = potenza meccanica 9

11 COPPIA ISTANTANEA AL TRAFERRO Macchina elementae con un solo avvolgimento 1 dl 1 P i i dl s s m s s P m = potenza meccanica dt d Coppia istantanea al tafeo: C (t) e P m m pp P m Sostituendo a P m l espessione tovata pe la potenza meccanica: pp 1 dl 1 C (t) i pp i dl s s e s s d d dove: pp = paia poli nel nosto caso: pp = 1 =pp m = m 10

12 COPPIA ISTANTANEA AL TRAFERRO Macchina elementae con un solo avvolgimento 1 dl C e(t) pp is d 1 s Osseviamo che, nel caso di statoe e otoe cilindici: L costante C e (t) 0 s Invece, nel caso di statoe a poli salienti e otoe cilindico: L cos s Ls1 Ls C (t) pp 1 i L sin e s s è il caso che stiamo esaminando La coppia istantanea C e (t) è divesa da zeo se almeno una delle due stuttue è anisotopa e se l avvolgimento si tova sulla stuttua cilindica. 11

13 COPPIA MEDIA AL TRAFERRO Macchina elementae con un solo avvolgimento La coppia istantanea C e (t) è legata alla potenza istantanea. La coppia media C media è definita come il valoe medio della coppia istantanea: C media 0 C (t)dt e La coppia media C media è legata alla potenza attiva P attiva, e cioè al valoe medio della potenza istantanea: C media pp P attiva 1

14 COPPIA MEDIA AL TRAFERRO Macchina elementae con un solo avvolgimento A seconda dell andamento della coppia istantanea C e (t), lacoppia media C media può essee uguale o divesa da zeo: C media 0 C media 0 13

15 COPPIA MEDIA AL TRAFERRO Macchina elementae con un solo avvolgimento Nel caso di statoe cilindico e otoe a poli salienti, l espessione della coppia istantanea C e (t) è: C (t) pp 1 i L sin e s s Esiste una coppia media C media assume la coente i s (t). divesa da zeo a seconda dei valoi che Se i s (t) = costante = I : C (t) pp 1 I L sin e s media C C (t)dt 0 0 e 14

16 COPPIA MEDIA AL TRAFERRO Macchina elementae con un solo avvolgimento i (t) I cost Se s M si veifica che può esistee esiste una coppia media C media divesa da zeo se e solo se la coente ha pulsazione = ese0. L angolo ta l asse avvolgimento di statoe all istante t e l asse magnetico di otoe d è dato da: t appesenta la posizione iniziale dell asse avvolgimento di statoe ispetto all asse magnetico di otoe d. 15

17 COPPIA MEDIA AL TRAFERRO Macchina elementae con un solo avvolgimento i (t) I cost s M 1 i s (t) IM cos t IM 1 cos t Supponiamo che pp = 1 e quindi = : 1 C e (t) pp is L s sin is L s sin 1 C e (t) IM 1 cos t L s sin t 1 C e(t) IML s sin t sin t cos t 16

18 COPPIA MEDIA AL TRAFERRO Macchina elementae con un solo avvolgimento Ricodando che: 1 1 sin A cos B sin A B sin A B C e (t) IM Ls sin t sin 4 t sin Itemini e sono a valoe medio nullo e pulsanti a fequenza doppia e quadupla di quella di alimentazione. i Il temine dipende solo da (se = ) C media IML s sin IML s sin 4 17

19 COPPIA MEDIA AL TRAFERRO Macchina elementae con un solo avvolgimento 1 C media IML s sin 4 C 0 pe 0 k media C media è massima pe k 4 OSSERVAZIONI: La macchina non può avviasi da sola (non è autoavviante). Esiste una coppia media divesa da zeo solo se la macchina funziona alla velocità m = = (pp=1) e se esiste uno sfasamento tal assemagnetico di statoe tt d e l asse avvolgimento di otoe pe t = 0. 18

20 COPPIA MEDIA AL TRAFERRO Macchina elementae con un solo avvolgimento Poiché i s(t) IM cost la coente di statoe è massima pe t = 0, e quindi pe =-, e così anche la distibuzione ib i di f.m.m. di otoe. Quindi, pe t 0 e pe coente i(t) non massima, la macchina deve essee potata in otazione (tascinata da un motoe esteno). È anche possibile in altenativa sfasae la coente nel tempo di un angolo e fae in modo che pe t = 0 gli assi di otoe e statoe coincidano: i (t) I cos t s M t pe t = 0 =0 In questo modo, pe t = 0 la distibuzione di f.m.m. ha il valoe massimo, ma non così la coente i s (t). 19

21 COPPIA MEDIA AL TRAFERRO i (t) I cos t s M Macchina elementae con un solo avvolgimento 1 i s (t) IM cos t IM 1 cos t 1 C e(t) IML s sin t sin t cost CONCLUSIONE 1 sin 4 t 1 sin In linea teoica è possibile ottenee una coppia elettomagnetica a valo medio diveso da zeo anche in pesenza di un solo avvolgimento, puché si veifichino le condizioni descitte, tuttavia tale coppia è oscillante con valoi di oscillazione dello stesso odine del valoe medio della coppia, petanto la velocità della macchina saebbe sottoposta a oscillazioni e vibazioni di entità tale da endene impossibile l impiego patico 0

22 MACCHINA ELEMENTARE a due avvolgimenti N N s Una delle stuttue è in geneale anisotopa (otoe) t

23 Due equazioni elettiche e l equazione meccanica d i d L v R i L i dt d d dt m J Ce C Scittua in foma maticiale (indice s e pe statoe e otoe): vs Rs 0 is Ls Ls d is d Ls Lsis v 0 R i Ls L dt i d Ls L i d m J Ce C dt

24 Scittua pe esteso: dis di dls dls vs Ri s s Ls Ls is i dt dt d d di dis dl dls v Ri L Ls i is dt dt d d

25 Il bilancio enegetico (si moltiplica a sinista pe le coenti): T T T d i T d L i v i R i i L i i dt d

26 Espessione dell enegia enegia magnetica pe un sistema a n avvolgimenti: 1 1 T T dw d i ; 1 T d L c c c dt dt d W i L i P L i i i Si icoda che se L è simmetica: T T di L i i L d i dt e quindi: dt T d i 1 T d L P c i L i i dt d 1 T d i i L dt

27 Pe diffeenza si ottiene infine l espessione della potenza meccanica: 1 T dl P m i i d L espessione della coppia isulta alloa: dls dls Pm 1 d d is Ce is i m m dls dl i d d dl dl dl 1 ( ) s s pp is i isi d d d

28 N N s Nel caso in esame si icodano gli andamenti delle induttanze: L cos 1 s Ls Ls L cost L M cos s Sostituendo i ispettivi valoi la coppia isulta: C pp L i M i i e ( ) s sen s sen s Coppia di anisotopia Coppia cilindica

29 L andamento della coppia è legato a quello delle coenti Caso I i () t cost I ; i () t cost I s s C pp L I M I I e ( ) s sen s sen s Entambi i temini di coppia danno un contibuto di coppia media nulla

30 L andamento della coppia è legato a quello delle coenti Caso II i () t I cos t; i () t cost I s s t ( pp) 1 1 Ce LsIs sent sen t sen t ( pp ) 1 L I I s s sen t sen t Solo pe = isulta una coppia media non nulla: ( pp) ( pp) C I L sen L I I 4 em s s s s sen

31 Caso III i () t I cos t; i () t I cos t s s 1 Pe la coppia di anisotopia vale quanto visto nel caso pecedente. Pe la coppia cilindica: C () t ( pp ) L I I sen cos t cos t cil s s 1 ( pp) L s I s I sen cos1 t cos1 t ( ) pp L I I sen s s 1 t sen 1 t 4 sen 1 t sen 1 t Solope = isulta una coppiamedianonnulla:

32 Espessione geneale della coppia ( pp ) d L T C () t i i e d

33 Macchina elementae a 4 avvolgimenti q d b a B A di dl v R i L i d dt m J Ce C t dt d

34 Macchina elementae a 4 avvolgimenti va RA ia LA LAB LAa LAb ia v B 0 RB 0 0 i B LBA LB LBa L Bb d i B va 0 0 Ra 0 ia LaA LaB La Lab dt ia vb Rbib LbA LbB Lba Lb ib LA LAB LAa L i Ab A LBA LB LBa L d Bb i B d L L L L aa ab a ab i a LbA LbB Lba Lb ib

35 Macchina elementae a 4 avvolgimenti Pe la macchina in esame le induttanze in funzione di isultano: q d b a B L L L cos L cost A 1 a L L L cos L cost B 1 b L L L sen L L 0 AB BA ab ba L L M cos L L M sen Aa aa 1 Ab ba 1 L L M sen L L M cos Ba ab 1 Bb bb 1 A

36 Espessione della Coppia elettomagnetica LA LAB LAa LAbiA L L L L i 1 BA B Ba Bb B Ce ( pp ) ia ib ia ib L A L A L A L A i a LA LA LA LA i b Che può essee scitta sinteticamente: GAB GABabiAB 1 C e ( pp) iab iab GabAB Gab iab dove si sono usate le notazioni: ia d LA LAB iab e GAB ecc. ib d LBA L B

37 Espessione della Coppia elettomagnetica Sostituendo i valoi delle induttanze si ottiene: L sen L cos M sen M cos i 1 A L cos L sen M1 cos M sen i B 1 C e ( pp ) i A i B i a i b M1sen M1cos 0 0 ia Mcos Msen 0 0 ib

38 Espessione della Coppia elettomagnetica Scivendo l espessione della coppia in funzione delle sottomatici: ( ) T T T C pp i G i i G i i G i pp e AB AB AB ab abab AB AB ABab ab Sostituendo infine i valoi delle induttanze: C ( pp)[ L sen i i L cos i i e B A A B Coppia di anisotopia cos sen cos sen Mi i i Mi i i 1 a B A b A B Coppia cilindica

39 Equazioni della macchina in un sistema di ifeimento solidale con il otoe Si utilizza il concetto di tasfomazione. Pe lo statoe la tasfomazione avviene utilizzando la matice C 0 Pe il otoe non è necessaia alcuna tasfomazione; pe genealità si tasfomeanno le gandezze con una matice identità I cos θ sen θ 1 0 C 0 = I = -sen θ cos θ 0 1 Nel nuovo sistema di ifeimento di possono utilizzae gli indici D, Q, d, q ispettivamente: i i a = C = I i ib i D i A d 0 Q i i B q

40 Equazioni della macchina nel sistema oiginaio In foma maticiale: vab RAB 0 iab AB d dt vab 0 Rab iab ab AB LAB LABab iab ab L abab Lab iab

41 Equazioni della macchina nel sistema oiginaio d dt v R i d dt L i L i v R i L i L i AB AB AB AB AB AB AB ABab ab ab ab ab ab ab abab AB ab ab Moltiplicando a sinista pe C e icodando che C T 0 0 C 0=I T C v C R C C i C 0 AB 0 AB 0 0 AB 0 AB d v R i dt dq dq dq dq d dt

42 Equazioni della macchina nel sistema oiginaio Pe tasfomae le deivate dei flussi si deve ossevae che: d dc AB 0 DQ C C 0 0 d T d AB d C 0 T d C0 C0 C 0 DQ d d 0 1 d AB DQ d 1 0 T

43 Equazioni della macchina nel sistema tasfomato d 0 1 vdq RDQ idq DQ DQ dt 1 0 d v R i dq dq dq dq dt L i L i DQ DQ DQ DQdq dq L i L i dq dqdq DQ dq dq

44 Equazioni della macchina nel sistema tasfomato Si ottiene infine:

45 Equazioni della macchina nel sistema tasfomato Sostituendo alle sottomatici i ispettivi valoi:

46 Equazioni della macchina nel sistema tasfomato

47 Equazioni della macchina nel sistema tasfomato In foma maticiale:

48 Espessione della coppia nel sistema oiginaio Si considea una matice di tasfomazione complessiva C compendente sia la tasfomazione di statoe (sottomatice in alto a sinista), sia quella di otoe (sottomatice in basso a desta), quest ultima coincide con la matice identità I peché il sistema di ifeimento scelto è popio quello di otoe:

49 Espessione della coppia nel sistema oiginaio

50 Espessione della coppia nel sistema tasfomato

51 Espessione della coppia nel sistema tasfomato

52 Espessione della coppia nel sistema tasfomato