Precisione e Cifre Significative

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1 Precsone e Cfre Sgnfcatve Un numero (una msura) è una nformazone! E necessaro conoscere la precsone e l accuratezza dell nformazone. La precsone d una msura è contenuta nel numero d cfre sgnfcatve fornte o, se presente, nell errore d msura. Una manpolazone numerca non può nè aumentare nè dmnure la precsone d una nformazone! Il numero d cfre sgnfcatve s calcola contando le cfre, a partre dalla prma cfra non nulla, da snstra verso destra. esempo: cfre sgnfcatve 6 cfre sgnfcatve 6 cfre sgnfcatve 1 cfra sgnfcatva 7 cfre sgnfcatve 1 cfra sgnfcatva Attenzone: non confondere l n. d cfre sgnfcatve con l n. d cfre decmal!!!

2 ! Una manpolazone numerca non può nè aumentare nè dmnure la precsone d una nformazone!! moltplcando o dvdendo due numer l rsultato non può avere pù cfre sgnfcatve del fattore meno precso! addzon e sottrazon: l ultma cfra sgnfcatva del rsultato occupa la stessa poszone relatva all ultma cfra sgnfcatva degl addend [ nella somma non è mportante l numero delle cfre sgnfcatve ma la poszone d queste] esemp: esempo torta 850 : 6 = 142 g altr esemp *12. 3 = 1.52* *12.30 = * = =

3 Attenzone! Il valore vero d una msura non è noto a pror. Es. msura della dstanza da un punto d rfermento RISOLUZIONE: mnma varazone della grandezza da msurare che può essere apprezzata dallo strumento PRECISIONE esprme quanto l rsultato è determnato con esattezza, ed è qund legato al numero d cfre sgnfcatve ACCURATEZZA esprme quanto l rsultato sa vcno al valore vero presunto Occorre: analzzare le font d errore ed effettuare mede su un numero congruo d msure

4 Error d msura e operazon d meda La msura d una grandezza fsca è sempre affetta da una certa mprecsone. La dfferenza tra l valore msurato d una certa grandezza e l valore reale vene chamato ERRORE Esempo: Voglamo msurare l tempo d oscllazone d un pendolo con un cronometro n grado d apprezzare l centesmo d secondo. Rsultato 1^ msura: 2.30 s Anche se abbamo operato con la massma cura, non possamo affermare che la grandezza da no msurata abba realmente questo valore. Tenendo conto della sensbltà del cronometro, possamo dre che la msura ha un valore compreso tra 2,29s e 2,31 s E qund scrveremo (2,30 ± 0,01)

5 Se eseguamo la msura 10 volte, potremmo trovare seguent rsultat: # prove tempo ,30 2,33 2,28 2,35 2,30 2,32 2,25 2,35 2,32 2,26 A che cosa possamo addebtare l errore n questo tpo d msura? Esstono due tp d error: 1 Le ncertezze spermental che possono essere rvelate rpetendo le msure sono chamate error casual. Possbltàd trattamento statstco 2 Error sstematc: non possono essere trattat statstcamente

6 Alcun Esemp Determnazone del tempo d oscllazone del pendolo " Poss. sorgente d errore casuale: tempo d reazone nel far partre l cronometro. Uguale probabltà d sovrastmare o sottostmare l perodo d oscllazone. " Poss. sorgente d errore sstematco: staratura dello strumento (marca costantemente lento). La rpetzone delle msure non evdenzerà questa sorgente d errore.

7 Msura d una lunghezza con un rghello. " Poss. sorgente d errore casuale: nterpolazone tra due tacche della scala. Uguale probabltà d sovrastmare o sottostmare la lettura. " Poss. sorgente d errore sstematco: deformazone del rghello.

8 # In generale le sorgent d error casuale sono: Pccol error d gudzo dell osservatore; problem d rsoluzone spazale; pccol dsturb dell apparato d msura (p.es. vbrazon, rumore elettrco, nterferenza EM); parallasse (per 50% errore d tpo sstematco) ecc. # In generale le sorgent d error sstematco sono: Errato o mancato azzeramento degl strument; Perdta d calbrazone degl strument; parallasse (per 50% errore d tpo casuale) ecc.

9 Meda e devazone standard Tornamo all esempo della msura del tempo d oscllazone del pendolo n cu abbamo ottenuto seguent rsultat: # prove tempo ,30 2,33 2,28 2,35 2,30 2,32 2,29 2,35 2,32 2,26 Qual è la mglor stma d x? S può dmostrare che la mglor stma, x best, d x èla meda: x best = 2,30 + 2,33 + 2,28 + 2,35 + 2,30 + 2,32 + 2,29 + 2,35 + 2,32 + 2,26 10 = 2.31 In generale, per N msure ndpendent della grandezza x, la sua mglor stma, x best : x best xn = = = = 1 µ x + x N N x N

10 Scarto o devazone Lo scarto ndca d quanto l valore x msurato dffersce d = x x dalla meda. (10) E la dfferenza tra la msura stessa e la meda s = x - µ # prova 1 Valore msurato x 2,30 Scarto s , , , , ,32 2, x = , ,32 2, = 0 s Dato che le msure sono sa superor sa nferor alla meda Abbamo scart postv e negatv. S dmostra che la somma degl scart da sempre esattamente 0.

11 Devazone standard o Scarto quadratco medo Poché la meda degl scart è sempre nulla, essa non è un ndcatore sgnfcatvo. Al contraro, ha un sgnfcato statstco mportante lo scarto quadratco medo o Devazone standard. σ x = s s N s 2 N Il rsultato d una grandezza ottenuta da una sere d msure rpetute verrà qund espresso attraverso la sua meda e la sua devazone standard x = µ ± σ x

12 Come s combnano gl error su 2 msure? Somma d msure A volte può captare d dover sommare tra loro due dfferent msure. Ad esempo la larghezza d un armado e la larghezza d una scrvana per verfcare se è possble accostarl uno d fanco all altra lungo una parete. S dmostra che la mglore stma per l errore spermentale sulla somma d due grandezze è la somma delle devazon standard. larghezza armado x a = 90 cm, larghezza scrvana x s = 120 cm, dev. standard armado σ a =1 cm dev. standard scrvana σ s =3 cm Larghezza totale x = x a + x s = = 210 cm, Dev. standard totale σ = σ a + σ s = = 4 cm

13 Prodotto d msure Volendo calcolare l area d una stanza è necessaro moltplcare la msura lneare d un lato della stanza per la msura lneare dell altro lato della stanza. A questo punto come s propaga l errore sulla msura della superfce della stanza? Per farlo è necessaro ntrodurre un nuovo concetto, quello d errore relatvo. L errore relatvo è un ndcatore che auta a capre quanto è precsa una msura. E evdente che la msura della lunghezza d una strada con una precsone d 3 cm è una msura pù precsa della msura della lunghezza d una scrvana con una precsone d 1 cm. L errore relatvo paragona l errore computo o errore assoluto con la msura computa. S defnsce σ = rel σ x x S dmostra che la mglore stma per la propagazone degl error nel caso del prodotto d due msure s ottene sommando gl error relatv delle msure stesse.

14 Esempo Supponamo d voler msurare l area d una stanza con le seguent d dmenson: Larghezza 3 m ± 4 cm Profondtà 4.5 m ± 3 cm Calcolo gl error relatv d ogn msura: σ rel larghezza = 0.04m / 3m = σ rel profondtà = 0.03 m / 4.50 m = AREA STANZA 13.5 m 2 ERRORE REL. AREA = Una volta noto l errore relatvo è possble andare a calcolare l errore assoluto da assocare alla msura nvertendo la relazone σ x σ = σ = σ x rel x rel x ERRORE ASSOLUTO STANZA: m 2 =0.26 m 2 AREA STANZA: 13.5 m 2 ±0.26 m 2

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