FLUIDODINAMICA. (Giovanni Paolo Romano)

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1 FLUIDODINAMICA (Govann Paolo Romano) Anno Accademco 9-

2 Bblografa: G. Qerzol, Dspense d Idralca, Unversta d Caglar, 999 P.H. Knd, I.M. Cohen, Fld Mechancs, Academc Press, B.R. Mnson, D.F. Yong, T.H.Oksh, Fndamentals of Fld Mechancs, Wley, 995 E. Mattol, Aerodnamca, Levrotto & Bella, 989 F. Sabetta, Gasdnamca, Edzon Ingegnera, 999 Brton, Sharpe, Kenkns, Bossanyl, Wnd Energy Handbook, Wley & Sons,

3 PROGRAMMA DEL CORSO Fldodnamca Rcham d Anals Tensorale Termodnamca Classca Propreta Fsche de Fld Cnematca de Fld Eqazon della Fldodnamca Relazon Costttve Admensonalzzazone, Eqazon Lmte e Solzon Esatte Dnamca ortcta Solzon Esterne Flss Potenzal Flss d Strato Lmte Resstenza d Attrto e d Forma Flss Comprmbl Aerodnamca de Generator eolc 3

4 Captolo NOTE INTRODUTTIE E RICHIAMI DI ANALISI TENSORIALE. CHE COSA E LA FLUIDODINAMICA? La fldodnamca consdera l comportamento de fld n moto. Lo stdo d qesta dscplna è mportante per de motv: n prmo logo, ancora ogg, non sono ben char meccansm e fenomen fsc che ntervengono nella dnamca non lneare d n fldo n moto (dalla scala rgardante l moto d mcropartcelle, al fmo d na sgaretta, fno a qella rgardante l moto d ntere galasse d stelle), n secondo logo le applcazon ndstral connesse a fenomen fldodnamc sono le pù dsparate. Lmtandoc all Ingegnera, s possono elencare l progetto e l ottmzzazone d trbne, scambator d calore, motor, sstem d combstone, profl e sperfc alar, velvol complet, motoccl e atovettre (anche per flss ntern), scaf ed elche naval, sstem d condzonamento e aerazone, valvole cardache, condott sanggn e cor artfcal, dspostv s scala mcrometrca e nanometrca. Non pò però esstere na separazone netta tra la comprensone de fenomen fldodnamc e l so tlzzo a fn applcatv, n qanto l corretto fnzonamento d n dspostvo non deve prescndere dalla conoscenza d cò che n effett accade al so nterno e/o esterno. La fldodnamca s sddvde nell aerodnamca e gasdnamca che stdano l comportamento de flss gassos (come l ara) e l drodnamca, che stda l comportamento de flss lqd (come l acqa). In effett però la descrzone matematca del comportamento d n fldo n moto prescnde qas completamente dalla natra del fldo stesso. A qesto proposto, è mportante mettere n evdenza che tale descrzone matematca è assoltamente necessara per capre a fondo cosa sccede n n fldo n moto. Una volta determnate le eqazon matematche caratterstche che descrvono qesto problema fsco, la loro solzone potrà essere affrontata con metod analtc (o teorc), spermental (o emprc) o nmerc (l ordne rspeccha l evolzone storca nella rcerca d solzon d problem fldodnamc). Qest tre aspett della fldodnamca sono al gorno d ogg assoltamente complementar pttosto che alternatv (sebbene spesso antagonst!). In molt cas la conoscenza completa delle eqazon della fldodnamca permette d elaborare modell semplfcat con cognzone de loro lmt d valdtà. 4

5 . INTRODUZIONE ALL ANALISI TENSORIALE Nello scrvere le eqazon che regolano l comportamento d fld n moto, s ncontreranno delle qanttà a de o pù ndc dette tensor. L so de tensor è gstfcato dal fatto che a volte sarà necessaro descrvere lo stato (p.e. d tensone, da c l nome tensore) d na porzone d fldo non solo con rfermento alla drezone e modlo (coè tramte n vettore), ma anche n rfermento al pano sl qale avvene la applcazone dello stato (d tensone). Se consderamo n cbetto elementare d fldo (qale qello n fgra ) e n sstema d rfermento ortogonale destrorso (,, 3 ), allora la forza che agsce slla sperfce ( =const) la possamo dentfcare come n vettore ( () ) con tre component lngo gl ass ( (), (), ()3 ) d c la prma rappresenta na componente d forza normale alla sperfce e le altre de la forza tangenzale. Se ora consderamo la sperfce ( =const), s qesta potrà agre (nel caso pù generale possble) na forza dfferente dalla precedente (ad esempo dovta allo scorrmento del fldo che pò dare na forza tangenzale aggntva) d novo dentfcable con n vettore ( () ) con tre component lngo gl ass ( (), (), ()3 ). Il dscorso pò essere rpetto per la sperfce 3 per ottenere le 9 component scalar necessare a descrvere qesto stato (d tensone) o n manera eqvalente le 3 component vettoral. In na descrzone pù compatta, qesta qanttà vene ndcata come j (dove sa che j possono varare da a 3 e s è elmnata la parentes dopo l prmo ndce) e descrtta con l nome d tensore del secondo ordne. () ()3 () () () () 3 ()3 () 3 Fgra. Esempo d forze normal e tangenzal agent s n cbetto elementare d fldo. 5

6 Qnd è bene memorzzare che n n tensore d qesto tpo l prmo ndce s rfersce alla sperfce s c è applcata la forza, mentre l secondo ndce è relatvo alla drezone d applcazone (p.e. 3 rappresenta la componente sl pano = const nella drezone 3 ). I fenomen fsc sono rappresentabl n no spazo vettorale trdmensonale nel qale s sppone valda la geometra ecldea. Le qanttà fsche che caratterzzano fenomen sono dnqe fnzone delle coordnate d n generco pnto (,, 3 ) e del tempo, t. In qesto spazo le grandezze fsche sono rappresentate attraverso enttà matematche dverse a seconda delle propretà geometrche attraverso le qal sono defnte: scalar, assocat ad n pnto dello spazo e defnt attraverso n nmero reale, (p.e. la temperatra o l modlo della veloctà); vettor, assocat ad n pnto e ad na drezone orentata, e defnt attraverso 3 nmer real, le component scalar del vettore, v=(v, v, v 3 ) (p.e. le tre component della veloctà o d na forza come vsto sopra): tensor d ordne n, che nel caso n= sono assocat ad n pnto dello spazo e a 3 drezon orentate, e, come gà vsto, sono defnt per mezzo d 3 grandezze vettoral (component vettoral del tensore, a )o d 9 nmer real, le component scalar del tensore, a a a3 a j, rappresentabl da na matrce 33, a a a a3 (p.e. lo stato d tensone s a3 a3 a33 n elemento fldo). In generale, la descrzone de fenomen è effettata attraverso tensor d ordne, n, che, nello spazo a tre dmenson, sono defnt medante 3 n nmer real (le component scalar del tensore). Pertanto no scalare pò essere consderato n tensore d ordne zero, n vettore, n tensore d ordne e così va. Per poter defnre correttamente qeste enttà e per tlzzarle per dervare legg fsche ndpendent dalla trasformazone tra sstem d rfermento, è necessaro defnre le operazon che possono essere effettate e le legg secondo le qal s trasformano le loro component n n cambamento d sstema d rfermento. In altre parole, le enttà tensoral resteranno le stesse nella trasformazone tra sstem d rfermento mentre camberanno le loro component. 6

7 .3 TRASFORMAZIONI TRA SISTEMA DI RIFERIMENTO ORTONORMALI Consderamo de sstem d rfermento ortonormal {c } e {c j } e cerchamo la trasformazone che lega le component d n generco vettore, v, nella base d partenza {c } a qelle nella nova base {c j }: v = v c, v = v j c j () La generca trasformazone lneare sarà del tpo c j = c T j c T () j,3 dove coeffcent T j sono legat a cosen drettor della trasformazone (per esempo nel caso d rotazone tra de sstem d rfermento d n angolo s n pano, c =c cos+c sen, c =- c senα+c cosα e qnd T =cos, T =sen e così va). Nella (), e così per l segto, s è sata la notazone d Ensten per la qale l ndce rpetto (n qesto caso ) corrsponde alla somma per valor da a 3. Essendo de sstem d rfermento ortonormal, è possble scrvere T j T jk = k o anche T j T kj = k (ma T j T jk k ) (3) dove k è l cosddetto delta d Kronecker (Leopold Kronecker, 83-89), gale a se =k e gale a se k rappresentable come na matrce 33 con element ntar slla dagonale e nll altrove (attenzone alla poszone degl ndc perché T j T jk k ). La moltplcazone per lo scalare delta d Kronecker prodce na varazone dell ndce da a k o vceversa. In relazone all esempo precedente della rotazone d n angolo sl pano, la relazone (3) corrsponde banalmente alle operazon sen +cos = e sencos-cossen=. D consegenza possamo scrvere e qnd v = v c = v j c j = v j c T j (4) v = v j T j (5) Moltplcando ambo membr per T k, e applcando la (3), s ottene la trasformazone nversa v k = v T k (6) 7

8 Un enttà matematca che s trasforma secondo la (6) vene chamata vettore. Consderamo adesso n tensore del secondo ordne a e vedamo n che modo s trasformano le se component vettoral e scalar. Per qanto rgarda le prme, ovvamente varrà la (6) essendo de vettor a = a k T k (7) Per qello che rgarda le component scalar nvece dobbamo applcare rpettamente la formla d trasformazone consderando che vale e che qnd a kn = a k c n (8) a j = a c j = a k T k c j = a k T k c n T nj = a kn T k T nj (9) che rappresenta la legge d trasformazone cercata e contemporaneamente defnsce n enttà matematca che vene chamata tensore del secondo ordne. Allo stesso modo s possono rcercare le legg d trasformazone che defnscono tensor d ordne sperore. Eserczo: dmostrare che l delta d Kronecker è nvarante per cambament d sstema d rfermento. Applcando la (9) e la (3), s ottene j = T k T mj km = T k T kj = j Un tensore, come l precedente, nvarante per cambament d sstem d rfermento, è detto sotropo. In qesto senso, ttt gl scalar sono sotrop, mentre non lo è nessn vettore e tra tensor del secondo ordne solo l delta d Kronecker (tra tensor del qarto ordne sono sotrop solo le combnazon d delta d Kronecker, j kl )..4 OPERAZIONI TRA TENSORI Una volta defnte le enttà scalar, vettoral o n generale tensoral (tlzzando l osservazone gà fatta che gl scalar e vettor possano essere consderat tensor rspettvamente 8

9 d ordne e ), s possono ntrodrre le operazon tra qeste e verfcare a qale nova enttà danno orgne. La somma (o dfferenza) pò essere calcolata solo tra tensor dello stesso ordne e fornsce ancora n tensore dello stesso ordne de sngol termn (s pò verfcare faclmente tramte la regola d trasformazone (9)) e che ha per component la somma (o dfferenza) delle component omologhe: c = a b c j = a j b j Nella moltplcazone o dvsone d n tensore per no scalare s moltplca (o s dvde) cascna componente del tensore per lo scalare. S ottene qnd n tensore dello stesso ordne d qello d partenza (come s pò verfcare faclmente con le regole d trasformazone): c = b / c j = b j / Il prodotto tra tensor, pò essere effettato n dfferent mod. Per tensor del secondo ordne, facendo rfermento alla rappresentazone tramte matrc 33, sarà possble come prma cosa costrre n prodotto d cascn elemento della prma per cascn elemento della seconda (coè n enttà rappresentable da na matrce 99) che rappresenta n tensore del qarto ordne c = a b c a jkm j b km In qesta operazone, detta prodotto esterno, vene qnd a cambare l ordne del tensore. Nel caso n c tale operazone venga effettata tra de vettor, s orgna n tensore del secondo ordne c = a b c a b j j Una seconda modaltà per effettare l prodotto, è qella eqvalente alla moltplcazone rghe per colonne tra matrc (prodotto nterno). In qesto caso, l tensore rsltante ha lo stesso ordne d qello d partenza c = a b c a j k b kj 9

10 (è bene rcordare che nell operazone precedente è novamente sottntesa l operazone d somma tra ndc rpett). Qando no o pù ndc d n tensore vengono ad essere rpett s dce che s è effettata na contrazone degl ndc (da qesto s dedce che per determnare semplcemente l ordne del tensore rsltante basterà sommare gl ndc lber coè non rpett, p.e nel caso precedente ). Nel caso del prodotto d de vettor qesta contrazone corrsponde al prodotto scalare c = a b c a b Infne è possble ottenere l prodotto d de tensor del secondo ordne satrando entramb gl ndc per ottenere no scalare (prodotto scalare tra tensor) c = a : b c a b j j I prodott descrtt n precedenza s applcano anche al caso d tensor d ordne dfferente. Per esempo, nel caso del prodotto d n tensore del secondo ordne per n vettore, s pò ottenere n tensore del terzo ordne (prodotto esterno) o n vettore (prodotto nterno) c = a b c jk = a j b k. c = a b c = a j b j. In qeste operazon non è stato nserto l prodotto vettorale tra vettor (nfatt né l prodotto esterno tra vettor né qello nterno permettono d ottenere novamente n vettore), che vene ndcato come ab. Per scrverlo per component, è necessaro ntrodrre n novo operatore, detto tensore d Rcc (Gregoro Rcc-Crbastro, ), jk, gale a se gl ndc sono ttt dfferent con combnazon par (3, 3, 3, ), gale a - se gl ndc sono ttt dfferent con combnazon dspar (3, 3, 3, ) e gale a se almeno no degl ndc è rpetto. E qnd possble scrvere l prodotto vettorale formalmente come c a b () jk j k Provamo come esempo ad ottenere la componente c :

11 c ab ab 3ab3 ab ab 3ab3 3a3b 3a3b 33a3b3 c 3ab3 3a3b ab3 a3b e così per le altre component. Ttte le operazon d prodotto tra tensor llstrate n precedenza danno orgne a nove enttà, la c natra pò essere verfcata con le regole d trasformazone. Eserczo: verfchamo che l prodotto scalare tra tensor è effettvamente no scalare. Applcando la regola d trasformazone (9) e la defnzone (3), s ottene c a b, c' a' b' a T T b T T a b a b c j j j j kn k nj lm l mj kn kl lm nm kn kn coè la qanttà resta nvarata nel passaggo tra sstem d rfermento e qnd è no scalare..5 PROPRIETA DI SIMMETRIA E mportante determnare se n tensore possa essere decomposto n part con partcolar propretà d smmetra sopratttto consderando l passaggo tra dfferent sstem d rfermento. Innanzttto consderamo la decomposzone d n tensore nella sa parte smmetrca ed antsmmetrca. Se a è n generco tensore d component a j, possamo sempre scrvere: a j = ½(a j + a j ) + ½(a j - a j ) = sym(a j ) + skew(a j ) () dove la prma parte è ovvamente smmetrca (resta coè nvarata scambando l ndce con j) mentre la seconda è antsmmetrca (camba segno scambando e j). La parte smmetrca è costtta da 6 component ndpendent, mentre la parte antsmmetrca da solo 3 component. Analogamente è sempre possble scomporre n tensore generco n na parte sferca ed na devatora: a j = /3 tr(a) j + (a j /3 tr(a) j ) ()

12 avendo ndcato con tr(a) = a (somma sottntesa) la tracca d a. Il prmo termne a secondo membro ndca la parte sferca d a, ed, essendo no scalare per l delta d Kronecker, ha la propretà che le se component non varano al varare del sstema d rfermento, mentre l secondo termne, racchso tra parentes, rappresenta la sa parte devatora (che ovvamente pò varare). La parte sferca è costtta da n solo componente ndpendente, mentre qella devatora da 8 component ndpendent (no degl element slla dagonale pò essere rcavato dagl altr de). Eserczo: dmostrare che se n tensore è smmetrco n n sstema d rfermento lo è n ttt. Se a j = a j allora applcando la (9) e la (3) a j = a kn T k T nj = a nk T nj T k = a j come da dmostrare (lo stesso vale per n tensore antsmmetrco)..5 AUTOALORI E AUTOETTORI Dato n tensore del secondo ordne, a, è possble trovare n sstema d rfermento, ndvdato dalla terna vettorale b, nel qale l tensore sa esprmble n forma dagonale, rsolvendo l sstema lneare omogeneo ottento dalla relazone a j b j = j b j, (a j - j ) b j = dove b è detto atovettore e atovalore. Il sstema precedente ammette solzone non banale per le component scalar dell atovettore na volta che l determnante del sstema stesso sa dverso da zero, coè det(a j - j ) = La relazone precedente, detta eqazone caratterstca, costtsce n eqazone d terzo ordne per l ncognta con termn not dat da cosddett nvarant del tensore a (tracca, somma determnant mnor e determnante, coè tre qanttà scalar ndpendent dal sstema d rfermento), che na volta rsolta, fornsce tre valor d necessar a trovare la terna b. In effett, essendo solo de delle eqazon del precedente sstema lnearmente ndpendent, è necessaro

13 aggngere na terza condzone che d solto è qella d normaltà tra le component dell atovettore (b b j = j, coè che sano versor). Gl atovalor che s ottengono dalla solzone dell'eqazone caratterstca, possono essere, n generale, nmer real o compless. Nel caso d tensor smmetrc s pò dmostrare che gl atovalor sono real, sono tra loro ortogonal (defnscono qnd n sstema d rfermento cartesano detto sstema d rfermento prncpale per qel tensore) e nel sstema d rfermento prncpale, le nche component dfferent da zero, sono qelle della dagonale prncpale che concdono con gl atovalor (a j =,,3 j ). La procedra d dagonalzzazone appena descrtta è partcolarmente mportante per esprmere le relazon tensoral n forma semplce (p.e. nel caso del tensore degl sforz)..6 CAMPI ETTORIALI E TENSORIALI Scalar, vettor e tensor n fldodnamca, defnt n n domno spazale, possono essere fnzon del tempo, t, e delle coordnate spazal,,, 3. D consegenza, sarà possble effettare le dervate parzal per esempo delle component d na qanttà vettorale v sa rspetto al tempo che allo spazo (lo stesso vale per n qalsas scalare o per le component scalar d n tensore) v t,, 3,t v 3 j,,,,t S defnsce l'operatore vettorale dfferenzale (s legge nabla) l operatore d component (3) 3 Tale operatore pò agre sa s scalar, vettor e tensor. In partcolare qando opera s n campo scalare,, permette d ottenere l vettore gradente: 3

14 . (4) 3 Un campo vettorale esprmble come l gradente d na fnzone scalare è detto potenzale. Qando opera s n vettore, v, medante prodotto scalare, l operatore nabla fornsce no scalare detto dvergenza d v v =dv(v) = v / = v / + v / + v 3 / 3 (5) Un campo con dvergenza nlla è detto solenodale. Se nvece s effetta n prodotto vettorale, allora s ottene n vettore detto rotore del vettore v = rot(v) = jk v k / j (6) con le component ottente tramte la (). Un campo con rotore nllo è detto rrotazonale. S not che per defnzone la dvergenza d n rotore è dentcamente nlla (cò s dmostra faclmente applcando la (5) alla (6)). Se nfne s effetta l prodotto esterno del nabla s n vettore s ottene n tensore del secondo ordne (da qesto e da altr pnt d vsta l operatore nabla s comporta qnd come n vettore). v = v / j (7) che avrà qnd 9 component scalar che costtscono le dervate d cascna componente del vettore n cascna drezone. Qando l operatore nabla è nvece applcato ad n tensore del secondo ordne, s ottengono delle qanttà vettoral o tensoral d terzo ordne a seconda che s effett n prodotto nterno o esterno a = a j / j a = a j / k Eserczo: dmostramo che n campo potenzale è rrotazonale, coè che 4

15 5 = (8) nfatt, applcando la (6) alla (4), s ottene per la componente -esma del prodotto vettorale j k jk k j jk k j jk dove come al solto è sottntesa la sommatora s j e k. Non potendo esserc ndc j e k gal a (altrment l tensore d Rcc sarebbe nllo), n qesta somma c sono solo de termn j k kj j k jk j k kj k j jk che sono gal ma d segno opposto (poché l tensore d Rcc camba segno se s scambano de ndc adacent). ceversa, se n campo vettorale ha rotore nllo, coè è rrotazonale, allora pò essere espresso come l gradente d na fnzone scalare ed è detto a potenzale. Tramte sccessva applcazone scalare dell operatore nabla è anche possble defnre lteror fnzon tra le qal la fnzone laplacano d no scalare e d n vettore = () = 3 j j j (9) v = ( v) = 3 v v v v v j j j () Se n campo vettorale è rrotazonale, s è gà vsto che è possble defnre n potenzale per tale campo. Se calcolamo la dvergenza del campo vettorale, ottenamo propro l laplacano del potenzale v = () = D consegenza, se l campo vettorale è solenodale, l laplacano del potenzale sarà dentcamente nllo, ottenendo la cosddetta eqazone d Laplace (Perre-Smon Laplace, )

16 = () che è n eqazone lneare d secondo grado alle dervate parzal. A partre da camp vettoral e dagl operator appena defnt, è possble dmostrare de teorem che permettono d sosttre ntegral d volme con ntegral d sperfce (o ntegral d sperfce con ntegral lngo na lnea chsa). ene nel segto fornto solo l enncato d qest de teorem. Se F è na fnzone defnta n ttt pnt d n domno lmtato racchso dalla sperfce chsa S, s dmostra che (teorema d Green, George Green ): F d S Fn ds () essendo, così come nel segto, n l versore normale esterno (scente) alla sperfce. Se sono defnte n ttto l domno le component d n vettore v, applcando l teorema d Green per le tre component d v s pò dmostrare l teorema della dvergenza: vd v d S v n ds S v nds (3) dove l'ntegrale d sperfce rappresenta l flsso d v attraverso la sperfce S. Il teorema stablsce qnd l gaglanza tra l flsso della qanttà vettorale attraverso na sperfce chsa (entrante e scente) e la varazone della qanttà stessa nel volme delmtato da tale sperfce. In defntva, n na sa forma pù generale, l teorema d Green pò essere applcato consderando F=a n tensore d ordne arbtraro, le c component a j rsltano comnqe defnte n. Assegnata na lnea chsa L, con versore tangente s, n n campo D n ttt pnt del qale rslt defnto l vettore v ed na sperfce aperta S n D avente come contorno L, s pò dmostrare che (teorema d Stokes o della crctazone, George Gabrel Stokes 89-93): s v L S v dl nds (4) coè la crctazone d v (l prmo membro della precedente espressone, spesso ndcato anche come ) è gale al flsso del rotore d v attraverso na qalsas sperfce delmtata da L. 6

17 Captolo PROPRIETA FISICHE DEI FLUIDI, FLUIDOSTATICA E TERMODINAMICA. DEFINIZIONE DI FLUIDO Per defnre cosa è n fldo, è tle consderare che per confronto n soldo s deforma sotto sollectazone esterna (coè camba la sa forma come consegenza dell alterazone della dstrbzone d pressone al so nterno) n manera tanto mnore qanto mnore è la sollectazone applcata e come consegenza pò tornare alla confgrazone nzale (corpo elastco) o deformars permanentemente (corpo plastco). In n fldo, nvece, la deformazone pò anche essere elevata a fronte d pccole sollectazon (s pens ad na sfera che cade n ara o acqa la c poszone camba ndefntamente come qella del fldo che la crconda). ceversa, la veloctà con la qale l fldo reagsce alla sollectazone resta lmtata per pccole pertrbazon (la sfera n cadta raggnge veloctà d traslazone costante così come la veloctà d deformazone del fldo crcostante). La dfferenza tra de stat dpende ovvamente dalla dfferente strttra molecolare e dalle relatve forze agent. Possamo pertanto defnre fldo qel mezzo contno per l qale, n consegenza d na sollectazone costante, ad n tempo nfnto corrsponde na veloctà d deformazone fnta e qnd msrable. (T, p) varazone s pccola scala (molecolare) -7 cm valore locale della grandezza (, T, p) -4 cm varazone s larga scala (dstrbzone spazale) - cm dstanza Fgra. Andamento della denstà (temperatra, pressone) n fnzone della dstanza tra partcelle flde. 7

18 La matera, che è costtta da partcelle elementar, sarà trattata n segto come n mezzo contno spponendo coè che la massa sa dstrbta con contntà nello spazo. In effett le propretà del fldo, nteso come mezzo contno saranno ottente attraverso delle mede effettate s d n volme, detto partcella flda. Come rportato n fgra, qesto volme, corrsponde anche alla mnma scala alla qale possamo descrvere l comportamento d n fldo (potes del contno). Deve essere sffcentemente pccolo rspetto alle scale de fenomen fldodnamc, affnché le grandezze mede s d esso possano essere approssmate con no svlppo d Taylor (Brook Taylor, ) al prmo ordne, ma grande abbastanza da contenere n nmero d partcelle elementar così elevato che le mede sano statstcamente sgnfcatve. Per dare n ordne d grandezza a qeste consderazon, precsamo che la dstanza ntermolecolare n ara è crca gale all nverso della radce cbca del nmero d Avogadro (Lorenzo Romano Amedeo Carlo Avogadro, )(~ 9 molecole/cm 3 d ara) e qnd par a crca 3-7 cm, 3 nm, mentre l ordne d grandezze delle pù pccole strttre n n fldo pò essere nferore a m ed nfatt l ordne d grandezza d n bon sensore d msra n fldodnamca dovrebbe essere ntorno a m. L'potes del contno porta dnqe ad gnorare la strttra ntma della matera a lvello atomco e la descrzone del moto a tale lvello. Per tenerne comnqe conto n modo macroscopco, vengono ntrodotte varabl termodnamche qal denstà, temperatra e pressone. In altre parole non possamo descrvere na qanttà osservable macroscopca (come per esempo la temperatra) a lvello de sngol mot molecolar essendo qesta dervata solo s base statstca a partre da tal mot. Sarebbe nfatt mpossble descrvere ttt mot de sngol atom e molecole se non s base statstca a casa dell elevato nmero d component. Dobbamo allora lmtarc a fare n potes semplfcatva defnendo le varabl s na scala ntermeda.. FLUIDOSTATICA S consder come prma approssmazone qella d n fldo a rposo e cerchamo le relazon esstent tra le varabl. Mentre nel caso d fldo a veloctà dfferente da zero sarà necessaro consderare che la pressone (anche a bassa veloctà), la temperatra e denstà (ad elevate veloctà) saranno fnzone dello stato d moto, nella fldostatca è possble parlare d qeste qanttà come dpendent solo dal pnto consderato. 8

19 Per qanto rgarda la denstà, s consder n pnto P, ndvdato dalla sa poszone, all'nterno del mezzo n esame, ed n volme che lo racchde, avendo ndcato con M la massa contenta n, l lmte: lm M non è na fnzone contna delle varabl spazal e dpende dal modo con c s fa tendere l volme a zero, essendo fnzone del nmero d partcelle elementar che sono present nel volme nell stante consderato. In effett esste ed è nco solo l lmte per p, con p volme della partcella flda. In qesto caso nfatt, l nmero d partcelle elementar contente nel volme è così grande da fare sì che la massa medamente contenta n esso sa ndpendente dal comportamento delle sngole partcelle elementar e dal modo n c l volme vene fatto tendere a p. L'potes del contno permette d consderare concdent de lmt e defnre na fnzone scalare, la denstà, ndcata con (): M M lm lm. (5) p In n fldo a rposo sono assent sforz tangenzal e l nca forza tra le sperfc adacent d fldo è qella normale alla sperfce stessa. Con rfermento al volme elementare d fldo d fgra 3, tlzzando la relazone tra forza elementare normale e pressone (che defnsce la pressone stessa) df = - p n ds dove n è la normale scente da cascna sperfce, e applcando a tale volme l blanco delle forze (somma nlla) n drezone, s ottene p ds p ds sen = p d d 3 - p d d 3 sen = Consderando che d = d /sen, s derva mmedatamente che p = p coè la pressone non vara n drezone. Il dscorso pò essere rpetto ntegralmente nella drezone 3 per ottenere l ndpendenza anche lngo qesta drezone. 9

20 Possamo qnd affermare che n n fldo a rposo s pan orzzontal la pressone s mantene costante (legge d Pascal, Blase Pascal, 63-66) p p, 3 Se ora analzzamo la stazone d fgra 3 lngo la drezone vertcale,, notamo che oltre a termn contenent la pressone, c sarà anche l termne del peso del cbo elementare, g d, essendo g l accelerazone d gravtà: p d d 3 p d d 3 - g d d d 3 = (7) e avendo gà sosttto d = d /sen. Dalla relazone precedente rslta p (6) g (8) (avendo ndcato p=p - p ), che mostra come n n fldo a rposo la pressone decresce con l altezza (l asse vertcale è orentato verso l alto). Nel caso n c la denstà del fldo possa essere consderata nforme (cosa non vera n atmosfera), rslta la legge dell drostatca (o d Stevno, Smon Stevn, 548 6), per la qale la pressone dmnsce lnearmente con l altezza da na qota d rfermento p = p - g h (9) avendo preso p=p alla qota d rfermento = e la qota h da qesto rfermento. Per esempo scendendo n profondtà n acqa (qnd on valor d h negatv), la pressone cresce d crca n atmosfera ogn metr, (da verfcare per eserczo). S not anche che, se nella (7) faccamo tendere l cbo elementare ad n pnto (d d d 3 ) rslta comnqe p = p, coè comnqe sa orentata la sperfce la pressone resta costante ed è qnd na qanttà scalare.

21 p ds n d p ds n ds ds p ds n p 3 ds n 3 d d 3 3 Fgra 3. Presson agent s n volme elementare d fldo. La legge dell drostatca permette anche d spegare l prncpo d Archmede (Archmede d Sracsa, 87 a.c. a.c.), che rende conto della spnta che rceve n corpo mmerso n n fldo: n corpo mmerso n n fldo deale è soggetto ad na forza, dretta verso l alto e n modlo par al peso del volme d fldo spostato dal corpo mmerso (forza d galleggamento o spnta drostatca). Infatt, consderando per semplctà na forma cbca d lato l, composto da n materale avente denstà m dfferente da qella del fldo,, qesto perceprà alla base na pressone del fldo crcostante maggore d gl rspetto a qella slla facca sperore (slle facce lateral le presson s eqvalgono). Come consegenza d qesta dfferenza d pressone, l cbo perceprà na forza par a gl 3 =g =mg, che rappresenta propro l peso del volme d fldo ed è dretta verso l alto se samo n n lqdo, dove la pressone amenta con la profondtà. L eqlbro o meno tra la forza d Archmede e la forza peso determnerà la possbltà d galleggamento o meno del corpo, che qnd sarà legata alla dfferenza tra le denstà del corpo e del lqdo ( m -). Solo nel caso d ( m -) sarà possble avere l galleggamento del corpo. Infne, la temperatra è defnta alla scala molecolare come lo stato d agtazone del sstema, ma dalla teora cnetca de gas pò essere assocata ad na propretà macroscopca termodnamca che descrva lo stato termco del sstema, qale la temperatra. E na grandezza scalare.

22 .3 RICHIAMI DI TERMODINAMICA In fld monofase (coè caratterzzat da na sola componente flda) la pressone, denstà e temperatra, T, sono legate da na relazone fnzonale del tpo: p p,t, detta eqazone d stato, che rende necessaro e sffcente ndvdare solo de s tre d qeste qanttà. Per n fldo ncompressble (nel segto s serà qesto termne al posto d qello pù corretto n talano, ncomprmble), qale n lqdo, la denstà non è n generale fnzone della pressone ( ) e vale p T e la pressone resta na varable ndpendente (addrttra ndetermnata n valore assolto vsto che possono essere ottent dalle eqazon solo gradent d pressone). La propagazone d pertrbazon d denstà e temperatra nel fldo è governata dal coeffcente d espansone termca T Invece, n n gas compressble, na varazone d denstà o pressone s propaga nel mezzo ad na veloctà fnta detta veloctà del sono p c (3) Dalla defnzone precedente, s pò notare che n n fldo ncompressble la veloctà del sono tende all nfnto (). In n gas, s pò anche defnre l modlo d elastctà A = c

23 Nel caso d n gas perfetto, dalla teora cnetca de gas, s rcava l eqazone d stato p RT (3) dove la costante vale (per ara secca) R = 87 J/Kg K. algono anche le segent relazon: R c p c c p cv v (3) dove c p rappresenta l calore specfco a pressone costante ( c reversbl), c l calore specfco a volme costante ( c p dq dt dq dt per process p, sempre per process reversbl) e è l rapporto tra calor specfc (par crca a.4 per ara a temperatra standard). Sa c p che c sono fnzon della temperatra. erfcare per eserczo che valgono le relazon nverse rspetto alle (3) c c p R R (33) La qanttà Q, che compare nelle defnzon de calor specfc, rappresenta la qanttà d calore che l sstema rceve dall esterno e che compare nella prma legge della termodnamca (conservazone energa totale), nseme al lavoro fatto sl sstema dalle forze esterne (per ntà d massa), L, e all ncremento d energa, de (sempre per ntà d massa) L + Q = de (34) L energa E costtsce l energa nterna del sstema composta d na parte propramente nterna d natra termca, U, e na parte d energa cnetca del fldo, ( ). Per n processo termodnamco reversble (per esempo na varazone d volme con espansone o contrazone lenta) vale 3

24 dl pd ( s è ndcato con l volme per ntà d massa coè /) ed essendo l processo reversble lento, coè senza varazon d energa cnetca, s pò scrvere la (34) n termn nfntesm reversbl o anche du dq pd du dq d p dt dt dt che a volme costante fornsce du dt dq dt c da c rslta du c dt o, n termn fnt, U c T. Defnendo entalpa la qanttà h U p (s defnsce anche entalpa totale la qanttà H = h + / + G, dove G rappresenta l potenzale delle forze gravtazonal), sempre per n processo reversble, tlzzando l prmo prncpo, vale dh du pd dp dq dp Rpetendo qanto fatto n precedenza, s ottene dh dt dq dt dp dt che, a pressone costante fornsce 4

25 dh dt dq dt c p da c rslta dh c p dt o, n termn fnt h c T. p Sempre per n processo reversble, s pò defnre l entropa, S, come ds dq T che qnd permette d scrvere l prmo prncpo della termodnamca come du TdS pd. Un processo è detto adabatco se avvene senza addzone o sottrazone d calore dall esterno. Se oltre a qesto l processo avvene anche senza attrto, allora è detto sentropco e, dalla defnzone precedente d entropa, è possble ottenere (dmostrare per eserczo) p cost. (35) D consegenza per n gas perfetto sentropco s trova cost. p p da c rsltano le relazon per la veloctà del sono, l modlo d elastctà e l coeffcente d espansone termca 5

26 p c RT A p T Il valore della veloctà del sono n ara è par a crca 35 m/s (alla temperatra d C=93 K). (36).4 DIFFUSIONE In aggnta alle varabl termodnamche, v sono da consderare n n fldo altre qanttà mportant che ntervengono ne process d dffsone. Nella dffsone d qanttà d moto tra strat adacent d fldo a veloctà dfferente ntervene l coeffcente d vscostà dnamca,, o n manera eqvalente, l coeffcente d vscostà cnematca, /. Le ntà d msra sono rspettvamente [massa/tempolnghezza] e [lnghezza /tempo]. In acqa vale -6 m /s e n ara.5-5 m /s a temperatra ambente (la dffsone d qanttà d moto è qnd pù effcente n ara che n acqa). In generale l coeffcente d vscostà dnamca è fnzone sa delle coordnate spazal che d qelle temporal, ma n pratca è fnzone della sola temperatra = (T). Il coeffcente d condcbltà termca, K, e l coeffcente d dffsvtà termca,, K /, ntervengono nella dffsone d calore nel fldo. Le ntà d msra sono c p rspettvamente [lnghezzamassa/tempo 3 temperatra] e [lnghezza /tempo]. In acqa vale.4-7 m /s e n ara -5 m /s a temperatra ambente (la dffsone d calore è qnd pù effcente n ara che n acqa). In generale l coeffcente d condcbltà termca è fnzone sa delle coordnate spazal che d qelle temporal, ma n pratca è fnzone della sola temperatra K = K(T). Il coeffcente d dffsvtà molecolare, D, ntervene nella dffsone d noscalare nel fldo (per esempo n colorante n acqa o fmo n ara). Le ntà d msra sono [lnghezza /tempo]. Per n colorante n acqa vale D -9 m /s a temperatra ambente e per fmo n ara D -5 m /s sempre a temperatra ambente. Il valore n generale dpende sa dallo scalare che dal fldo. 6

27 Captolo 3 CINEMATICA DEI FLUIDI 3. DESCRIZIONE EULERIANA E LAGRANGIANA La cnematca de fld stda l moto d na partcella flda, come defnta nel captolo, non soggetta a forze. C s deve qnd chedere n che modo sa possble defnre l moto d n fldo rspetto per esempo a qello d n corpo soldo descrtto dalla meccanca del pnto. Rspetto a qest ltma condzone, bsogna consderare che l mezzo stesso (coè l fldo) è n moto. E allora possble costrre la varazone d na qanttà F (che pò rappresentare la temperatra, la pressone o la veloctà) n dfferent modaltà. Con rfermento alla fgra 4: - F,t F, coè fssata la poszone nzale (o n altre parole la partcella flda), vene descrtta la varazone nel tempo lngo la traettora della partcella flda consderata, trasportata dal fldo crcostante anch esso n moto descrzone Lagrangana (Joseph-Los Lagrange, nato Gseppe Lodovco Lagranga ) t= t=t t= t=t EUL: F=F(t)-F() LAG: F=F(t)-F() Fgra 4. Moto d partcelle flde. 7

28 - F F,t, coè fssato n pnto nello spazo (), vene descrtta la varazone nel tempo n qel pnto al passaggo d dfferent partcelle flde descrzone Elerana (Leonhard Eler, ) - F,t F, coè fssata la poszone nzale (la partcella flda), vene descrtta la varazone nel tempo lngo la traettora della partcella flda consderata, lbera d movers d moto propro nel fldo anch esso n moto descrzone materale Un esempo d qeste tre modaltà è dato da n fme che scorre rspetto al qale s va ad esamnare la varazone d na propretà del fldo n n sstema d rfermento concdente con na fogla (mmagnata molto leggera e completamente trasportata dalla corrente e qnd da descrvere n manera Lagrangana), n sasso (fermo n n pnto rspetto al qale scorre l fldo e qnd da descrvere n manera Elerana) e n pescolno (che oltre ad essere trasportato dalla corrente flda ha n moto propro dovto a forze esterne e qnd soggetto ad na descrzone materale). Anche la manera con la qale s effettano msrazon spermental rslterà dfferente n dpendenza del tpo d descrzone che s vole ottenere: se per esempo s vole msrare la qanttà F segendo l moto d ogn sngola fogla (o n manera eqvalente d ogn partcella, per esempo nqnante, trasportata dal fldo n moto) s dovrà effettare na msra s n sstema d rfermento Lagrangano n moto, mentre se s vole vedere cosa la varazone d F n n dato pnto del campo s farà na msra Elerana con na sonda poszonata n qel pnto. La msra d tpo materale sarà nvece svolta n manera smle a qella della meccanca del pnto. Come consegenza d qanto detto, volendo determnare le varazon della grandezza F nel tempo, dovremo calcolare F,t t nel caso Elerano n qanto è fssato e F varerà anche nello spazo (per valtare qesta varazone bsognerà consderare anche la sa dervata spazale), df dt,t nel caso materale 8

29 n qanto è fssato e, movendos con la partcella flda, valtamo anche le varazon d F nello spazo e per qesto samo la dervata totale DF Dt,t nel caso Lagrangano come nel caso precedente ma con smbologa dfferente per rmarcare l fatto che è presente l solo trasporto del fldo e non l moto propro. Per poter scrvere delle eqazon del moto, è necessaro esplctare le varazon d F sa rspetto al tempo che allo spazo. In partcolare, s voglono scrvere le eqazon n n pnto (coè n forma Elerana) tenendo anche conto delle varazon spazal da pnto a pnto. In generale s potrà qnd scrvere df F F dt t d dove le varazon nfntesme t e sono completamente ndpendent. In n fldo n moto però varrà la relazone d dt dove rappresenta la -esma componente della veloctà del fldo nella descrzone Lagrangana o qella del pnto materale nella descrzone materale. Sarà qnd possble scrvere DF Dt df dt F F, t nella descrzone Lagrangana (37) F F, t nella descrzone materale e la prma vene anche detta dervata sostanzale per evdenzare l fatto che la dervata è fatta tenendo presente la veloctà della partcella flda. Nelle espresson precedent vene esplctato l legame tra la dervata Elerana ( F ) e qella Lagrangana ( DF ). Da n pnto d vsta t Dt vettorale, tlzzando la defnzone d operatore nabla e l prodotto vettorale ntrodott nel captolo, s pò scrvere 9

30 DF Dt F F (38) t Se la qanttà F è a sa volta na qanttà vettorale (per esempo la veloctà stessa, ) D Dt t (39) o per component D Dt j (4) t j che rappresenta propro l accelerazone della partcella flda. 3. MOTO RELATIO DI UNA PARTICELLA FLUIDA Per la descrzone del comportamento cnematco nell ntorno d n pnto consderamo n volme nfntesmo, tale che la veloctà al so nterno possa essere approssmata con no svlppo d Taylor al prmo ordne. Sceglamo na terna d ass d rfermento che, ad n certo stante, ha orgne nel barcentro della partcella stessa (come raffgrato n fgra 5). Il barcentro G, drante l'ntervallo d tempo t, s sposta nel pnto G' con veloctà G GG = G t Un generco pnto P della partcella flda, ndvdato dalla sa poszone, s sposta nello stesso ntervallo d tempo n P' con veloctà PP = t La veloctà, generalmente dversa da G, s ottene come svlppo n sere nell'ntorno dell'orgne (che concde con l barcentro della partcella), che per la componente pò essere scrtto come 3

31 3 Fgra 5. olme elementare e moto relatvo de pnt n n fldo.... o j j G j G dove j sono le coordnate della dstanza GP. Tenendo conto dell approssmazone al prmo ordne, termn d ordne sperore al prmo vengono trascrat e pertanto lo spostamento d n generco pnto n n fldo è descrtto dal tensore del secondo ordne gradente d veloctà valtato nel barcentro (sarà n segto omesso l pedce G), j. Come rcordato nel captolo, relazone (), ogn tensore del secondo ordne pò essere decomposto nella somma d de tensor, no antsmmetrco (ndcato con r j, detto tensore d rotazone) ed no smmetrco (ndcato con e j detto tensore veloctà d deformazone) j j j j j j e r D consegenza, le component della veloctà del generco pnto d na partcella saranno date da j j j j G e r (4) 3 G G P P

32 coè l moto pò essere consderato come la somma de tre termn della (4) che corrspondono a: na veloctà d traslazone par a qella del barcentro della partcella; na rotazone rgda descrtta dalla parte antsmmetrca del tensore gradente d veloctà, r j ; na veloctà d deformazone descrtta dalla parte smmetrca d tale tensore, e j. I prm de termn s presentano anche nel moto d n soldo non deformable. Il sgnfcato del prmo non rchede comment, mentre qello del secondo e del terzo saranno dscss nel segto. Nel caso d n moto d rotazone rgda nfntesma attorno a G, sarà sempre possble ndvdare, oltre al pnto G, na retta passante per esso che mantene fss ttt pnt: l'asse d rotazone. Senza perdere d generaltà, s pò assmere l asse come asse d rotazone con veloctà angolare, come ndcato n fgra 6. Indcata anche con d la dstanza dall'asse d rotazone d n generco pnto P nzalmente posto sll'asse 3, le relazon che descrvono l so moto, sono: = d sen(t) = cost 3 = d cos(t) e qnd = 3 = 3 = - D consegenza, l tensore smmetrco e j ha ttte le component nlle, 3 3. P 3 t G d P Fgra 6. Rotazone elementare ntorno all asse vertcale. 3

33 33 Invece, l tensore antsmmetrco, r j, rslta gale a: (4) Qnd, l nco termne dfferente da zero, j j r, rappresenta propro na rotazone rgda. D altra parte, come vsto nella sezone.5, n qalsas tensore antsmmetrco conserva tale propretà nel cambamento d sstema d rfermento e pò essere rcondotto nella forma precedentemente rportata, qnd l rsltato ottento resta sempre valdo. Le propretà d rotazone locale d n fldo sono descrtte spesso attraverso la vortctà del campo (ndcata con ), che è gà stata ntrodotta nel paragrafo.6 (relazone 6) con l termne d rotore della veloctà. è na stretta relazone d qesta con l tensore r j, kj kj jk k j j k k j j k jk j k jk r e ma l prmo termne è gale a zero perché slla dagonale jk e for termn s eldono de a de (poché camba l segno d jk, ma non d e kj ), mentre l secondo termne fornsce jk jk kj jk r r Nell'esempo fatto n precedenza, rotazone rgda ntorno all'asse, solo la componente rslta dversa da zero e sando la (4) 3 3 r r r ω coè l nca componente d vortctà dfferente da zero rslta par a volte la veloctà d rotazone angolare costante.

34 Nel caso n c l moto sa descrtto dal solo tensore smmetrco, e j con r j (l moto rslterà qnd rrotazonale per qanto appena detto), s avrà 3 e e e 3 e e e 3 e 3 e e (43) Come n precedenza, senza perdere d generaltà, facendo rfermento alla fgra 7, consderamo n moto pano e sceglamo qesto pano come (, ). Lavorando s n elemento nfntesmo, spponamo noltre che ttt termn del tensore delle veloctà d deformazone sano costant (e j =cost.). In altre parole qesto sgnfca che la veloctà sa na fnzone lneare delle coordnate ( =cost.). Consderando allora l pnto A dell asse (caratterzzato da avere coordnata j =) e l so spostamento nel pnto A, tlzzando le (43) sl pano s potrà scrvere e A A A e A, e t A A e t A A e smlmente per B s che s sposterà n B e B B B e B, e t B B e t B B C ( ) B B ( ) B B C A ( ) A O A ( ) A Fgra 7. Deformazone elementare sl pano. 34

35 Qnd sarà possble scrvere per gl element slla dagonale del tensore d veloctà d deformazone e A t e B t (44) che qnd rsltano essere le veloctà d allngamento relatvo lngo gl ass coordnat (qanto s allnga n segmento orentato come l asse nella stessa drezone). Se consderamo pnt A e B s n pano ortogonale all asse coordnato (per esempo ), ttt pnt con la stessa coordnata s sposteranno alla stessa veloctà ed l pano s sposterà parallelamente a se stesso. A seconda del segno d e avremo qnd na dlatazone o na compressone. Per termn che non s trovano slla dagonale prncpale s ha: e A tg tg e t t t t t t B avendo confso la tangente con l angolo cosa lecta per ntervall d tempo nfntesm. L angolo tra OA e OB, che all stante nzale è retto, dopo n tempo t dventerà par a =/ - - = / - e t, poché e = e e qnd =. La veloctà d varazone dell angolo tra de segment è dnqe: t t e. Pù n generale s pò concldere che le component del tensore e j, con j, rappresentano ½ della varazone nell'ntà d tempo dell'angolo, nzalmente retto, formato da pnt che s trovano lngo gl ass coordnat. In altre parole rappresenta la rotazone relatva tra de pan o la veloctà d scorrmento d n pano rspetto all altro. Se ora c mettamo nel sstema d rfermento prncpale per l tensore e j (qesto è sempre possble per n tensore smmetrco come vsto nel paragrafo.5), avremo sol termn dagonal dfferent da zero e con qest è possble costrre la somma (coè la tracca d e j ) e e e e

36 che rappresenta la dvergenza della veloctà. Qesta qanttà rappresenta anche la varazone relatva d volme del fldo nell ntà d tempo e t Infatt l volme del fldo pò essere scrtto come 3 mentre la varazone sarà data al prmo ordne da ' 3 3 Scrvendo ttt gl ncrement,, secondo la (44), s pò calcolare la dfferenza d volme come ' e333t 3e t 3et avendo trascrato termn d ordne t e speror. S pò qnd scrvere e e e33 t (45) che rappresenta propro qanto scrtto n precedenza. Essendo la qanttà trovata no scalare, l rsltato è ndpendente dal sstema d rfermento (ovvamente l dscorso è valdo per nfntesm del prmo ordne). Possamo qnd concldere l captolo slla cnematca d na partcella flda enncando novamente qanto affermato nella (4) e coè l teorema d Helmholtz (Hermann von Helmholtz, 8-894): n elemento fldo s deforma attraverso na traslazone (lngo tre drezon), na rotazone (attorno a tre ass) e na deformazone. Qest ltma a sa volta s compone d na dlatazone o compressone (lngo tre ass coordnat) e da no scorrmento (lngo tre pan coordnat). 36

37 Captolo 4 EQUAZIONI DELLA FLUIDODINAMICA 4. I PRINCIPI DELLA FLUIDODINAMICA La fldodnamca è basata s de class d potes fondamental dalle qal s parte per ottenere n sstema d eqazon dfferenzal n c v sano tante eqazon qante ncognte: prncp d conservazone e blanco, che caratterzzano la dnamca de fld, e le eqazon costttve e d stato, che stablscono delle relazon specfche per cascn fldo. I prncp s qal s basa la dnamca de fld sono:. Prncpo d conservazone della massa. La massa d na qalsas porzone d fldo è costante. Sa m n volme costtto sempre dalla stessa porzone d matera, ovvero n volme materale, la sa massa è data da m d ; (46) m qnd, qesto prncpo pò essere espresso come Dm Dt D d Dt. (47) m b. Prncpo d blanco della massa d no scalare. La varazone d massa d n qalsas scalare presente n no stesso volme materale fldo è blancata dal flsso,, d qesto scalare attraverso la sperfce, S, che delmta l volme stesso a casa della dffsone molecolare. Se la massa dello scalare è data da m d (48) s m s essendo s c la concentrazone dello scalare, l prncpo pò essere espresso come: 37

38 D Dt m c d S Φ n ds. (49) La relazone precedente rslta valda qando la concentrazone dello scalare sa sffcentemente bassa da non modfcare le altre eqazon della fldodnamca, coè qando sa possble trascrare l nterazone partcella flda-scalare e le evental reazon chmche collegate. S dce che l eqazone è dsaccoppata dal resto del sstema (s rsolvono coè prma le altre eqazon della fldodnamca e po qesta).. Prncpo d blanco della qanttà d moto. La varazone della qanttà d moto, nell ntà d tempo, d na qalsas porzone d fldo è par alla rsltante delle forze esterne (d volme e sperfce) che agscono slla porzone d fldo stessa, come dervato dalla seconda legge d Newton F = ma. Facendo ancora rfermento ad n volme materale, m, la sa qanttà d moto, q, è data da q d (5) m e, ndcando con R la rsltante delle forze esterne (d volme qal forze d gravtà e centrfga e d sperfce qal forze d tpo vscoso coè d attrto) che agscono s m, l prncpo pò essere espresso come Dq Dt D Dt m d R ; (5) 3. Prncpo d blanco del momento della qanttà d moto. La varazone del momento della qanttà d moto, nell ntà d tempo, d na qalsas porzone d fldo è par al momento rsltante delle forze esterne che agscono slla porzone d fldo stessa. 4. Prncpo d conservazone dell energa. La varazone d energa contenta n na porzone d fldo n n volme materale è par al lavoro delle forze esterne (d volme e sperfce) nell ntà d tempo meno la qanttà d calore che flsce verso l esterno nell ntà d tempo ( prncpo della termodnamca). Defnendo l energa totale come somma d energa nterna e cnetca E = U + / 38

39 E E' d (5) m s pò scrvere tale prncpo come (l segno ndca nell ntà d tempo) DE Dt D E' d L' Q' Dt ; (53) m Il prncpo d conservazone della massa, affermando che la stessa porzone d fldo ha sempre la stessa massa, stablsce che essa è na propretà ntrnseca della matera ntesa come mezzo contno. Il secondo prncpo, qello d blanco della qanttà d moto, stablsce nvece, come vedremo pù avant, a qal accelerazon è soggetto n fldo sl qale agsce n determnato sstema d forze. Il prncpo d blanco del momento della qanttà d moto permette d stablre alcne mportant caratterstche d smmetra dello stato tensonale d n fldo e l prncpo d conservazone dell energa permette d ottenere n eqazone addzonale ne cas n c rsltno mportant le varazon d energa nterna (d solto collegate alla temperatra del fldo). 4. IL TEOREMA DI REYNOLDS Qanto esposto costtsce na formlazone lagrangana de prncp, nfatt le eqazon sopra scrtte fanno rfermento non a logh defnt dello spazo ma a porzon d matera dentfcate con volm materal. Per passare ad na descrzone elerana, rferta a n pnto fsso nello spazo come nel paragrafo 3., abbamo bsogno d trovare n espressone elerana per la dervata materale d n ntegrale s d n volme m che dpende dal tempo; qesta c è data dal teorema del trasporto o d Reynolds (Osborne Reynolds, 84-9) che consste nell applcazone della relazone (37) al caso n c l volme materale sa esso stesso varable nel tempo. Con rfermento alla fgra 8, la dervata sostanzale dell'ntegrale d na grandezza A=A(,y,z,t) n n volme materale m (t), racchso dalla sperfce S m, al prmo ordne è data da: 39

40 D Dt m lm t lm t Ad lm ( t ) m m ( t ) t A( t' )d A( t' )d t A( t' )d t A( t' ) A( t ) d lm t ( t' ) ( t ) m m t A( t )d ( t ) m A( t )d A( t' )d t (54) (t vene portato all nterno dell ntegrale essendo costante coè m (t) non tende a zero per t che tende a zero), essendo t' = t + t e = m (t') - m (t). Il prmo termne dell ltmo membro rappresenta l lmte per t che tende a zero del rapporto ncrementale della grandezza A rspetto alla varable t, esegta s d n volme fsso, c = m (t) lm t (t) A(t' ) A(t) d t m c A d t c è n volme, detto d controllo, che non dpende dal tempo e che gode della propretà d concdere con m all stante t. Per cò che rgarda l secondo termne, dalla fgra 8 s dedce che hds ntds m (55) m m (t ) n h ds m (t) Fgra 8. arazone del volme d controllo nel tempo. 4

41 e qnd lm t m A t' d t S A t nds. (56) Inoltre, essendo lm A(t' ) A(t) t (57) e S m (t) = S c, la sperfce del volme d controllo, s ha: D Dt Ad c A d t m S c A nds. (58) s pò qnd ottenere D A Ad d Dt t m c I II A nds (59) Sc III che è na prma formlazone del teorema d Reynolds, la qale pò essere così letta: la varazone della qanttà A, ntegrata s d n volme materale (termne I), è data dalla somma della varazone d A all nterno del volme d controllo (termne II) e del flsso d A attraverso la sperfce S c (termne III). Nel caso n c A ed sano fnzon contne, applcando l teorema della dvergenza (3) all ltmo termne s rcava D Dt Ad m c A t A d (6) che costtsce la cosddetta forma conservatva del teorema (compare l segno d dervata davant a qalsas smbolo e la relazone derva drettamente da n volme fsso nello spazo e nel tempo), oppre svolgendo la dervata del prodotto, la cosddetta forma non conservatva D Dt m Ad c A t A A d c DA Dt A d (6) 4

42 Tramte le forme (58) e (6) è possble scrvere esplctamente prncp d blanco e conservazone elencat nel paragrafo precedente. In entrambe l prmo termne esprme la varazone pramente temporale della grandezza, mentre l secondo termne rappresenta l trasporto della grandezza dovto al campo d veloctà. 4.3 EQUAZIONE DI CONSERAZIONE DELLA MASSA Applchamo le forme (6) e (6) alla relazone (47), che esprme la conservazone della massa d fldo contento n no stesso volme fldo n moto, per ottenere la forma ntegrale conservatva m t d. (6) e la forma ntegrale non conservatva m D d Dt. (63) Affnché la relazone precedente sa verfcata per qalsas volme fldo (che n effett è stato scelto n forma generca), potzzando che le fnzon ntegrande ( e ) sano contne ed a dervata contna, possamo scrvere l eqazone come valda anche n forma dfferenzale (a meno qnd che non sano present dscontntà nel campo), ottenendo la cosddetta eqazone d contntà sa n forma conservatva che non conservatva t. (64) D Dt (65) 4

43 Lo stesso rsltato s pò ottenere consderando dal pnto d vsta elerano, l flsso entrante ed scente attraverso la sperfce che delmta n paralleleppedo nfntesmo fsso. Nelle relazon precedent vengono nfatt blancate la varazone d denstà del fldo (sa nel tempo che dovte al trasporto da parte del fldo n moto) con la varazone d volme (coè l termne contenente la dvergenza della veloctà come ndcato nella (45)) e se dmnsce l na deve amentare l altro e vceversa. Nel caso partcolare d moto stazonaro, /t=, l eqazone (64) s rdce a. (66) Nel caso n c l fldo sa ncomprmble (o ncompressble), allora D/Dt= e le relazon precedent s rdcono a (67) e l campo rslta qnd solenodale. Le eqazon (64)-(67) sono eqazon alle dervate parzal non lnear (a casa del termne d trasporto), tranne la (67) che è lneare, del prmo ordne. Esamnamo n po pù n dettaglo l sgnfcato d fldo ncomprmble. In prma approssmazone qesto accade qando la denstà rslta costante, però n manera pù precsa qesta stazone s presenta qando la denstà d n elemento fldo non è fnzone delle varazon d pressone, /p=, (e la veloctà del sono è qnd par a nfnto dalla (3)) e qnd qando le varazon d pressone sono pccole rspetto alla pressone assolta (termodnamca). In qeste condzon gl effett d comprmbltà possono essere trascrat e s pò dre che =(p)=const e qnd per na partcella flda D/Dt= drante l moto, da c derva la (67). Da ttto cò sembra pù corretto affermare d avere a che fare con n flsso (legato allo stato d moto) pttosto che n fldo ncompressble. 4.4 EQUAZIONE DI BILANCIO DELLA MASSA DI UNO SCALARE Applchamo le forme (6) e (6) alla relazone (49), che esprme l blanco della massa d scalare contento n n volme fldo n moto, per ottenere la forma ntegrale conservatva 43

44 m Dc c Dt Φ n ds. (68) d S In qesta eqazone l flsso dello scalare, così come accadrà per le altre eqazon, rappresenta n lterore qanttà ncognta. Per rsolvere l eqazone sarà qnd necessaro esprmere qesta ncognta n fnzone delle altre varabl attraverso n lterore relazone detta relazone costttva. In partcolare, senza entrare troppo nel dettaglo, come verrà nvece fatto per la relazone costttva del tensore degl sforz, è logco pensare che l flsso sa proporzonale al gradente d concentrazone (n altre parole dove la concentrazone rslta costante non c sarà dffsone o flsso dello scalare e vceversa qesta sarà massma dove c sono le varazon pù pronncate d concentrazone) secondo la legge d Fck (Adolf Egen Fck, 89-9), Φ D c (69) dove l segno meno tene conto del fatto che se la concentrazone dmnsce (c<) allora l flsso rslta postvo e dove l fattore d proporzonaltà D pò dpendere dalla drezone d applcazone e dalla sperfce d rfermento ed è percò n tensore. D = D(,, 3,t) rappresenta l tensore d dffsvtà molecolare n generale dpendente dal pnto consderato e dal tempo. Se l fldo è sotropo allora l tensore D rslta essere na qanttà scalare (che pò comnqe dpendere dalle coordnate spazal attraverso la temperatra), D j = D j, detto coeffcente d dffsvtà molecolare e la (69) dventa Φ Dc (7) Tramte qesta relazone costttva, la (68) dventa, applcando l teorema della dvergenza (3) Dc c Dt d (7) d Dc n ds Dc m S m che rappresenta la forma ntegrale non conservatva dell eqazone d blanco della massa d scalare (la forma conservatva s ottene esplctando la dervata sostanzale a prmo membro). Essendo l volme arbtraro, sotto le condzon d contntà gà ntrodotte n precedenza, s pò scrvere n termn dfferenzal eqazon sml a qelle d conservazone della massa d fldo con n pù l termne dffsvo a secondo membro 44

45 Dc Dt c Dc c (7) t c Dc (73) Se l fldo è ncomprmble (relazone (67)), l eqazone (7) dventa Dc Dt Dc (74) mentre se samo n condzon stazonare s ottene dalla (73) c Dc (75) Se l coeffcente D è costante nello spazo (coè l campo ha solo pccole varazon d temperatra), allora pò essere portato for dal segno d dervata. Le eqazon (7)-(75) sono eqazon alle dervate parzal non lnear (a casa del termne d trasporto), tranne la (75) che è lneare, del secondo ordne (a casa del termne dffsvo a secondo membro). In generale, n qeste eqazon, vene espresso l blanco tra la varazone temporale della concentrazone d scalare, l termne d trasporto da parte del campo d moto, l termne dovto alla comprmbltà del fldo e la dffsone molecolare dello scalare nel fldo Prma d passare all eqazone d blanco della qanttà d moto, è tle capre n qale modo s pò rconoscere se n termne nelle eqazon rslt d pro trasporto (passa da na zona all altra del campo ma non ne esce) oppre d dffsone o dsspazone (foresce dal campo magar n altra forma, p.e. calore). Per fare qesto basta applcare l teorema della dvergenza all ntero volme consderato (con la frontera del campo costtta da sperfc solde o altro) e vedere cosa sccede al flsso verso l esterno. Per esempo per l termne dentfcato come trasporto c d c n ds (76) T S T l secondo ntegrale applcato alla sperfce totale mpermeable (per esempo n n canale) porta ad avere sempre n (per l mpermeabltà) e qnd ad dentfcare l termne sotto ntegrale a prmo membro come termne d trasporto n qanto globalmente ha ntegrale volmetrco par a zero. Invece, per l termne dentfcato come dffsvo, vale 45

46 D cd T S T Dc n ds (77) che sarà gale o dfferente da zero se l gradente d concentrazone attraverso la sperfce esterna c/n è par o dfferente da zero (per esempo se lo scalare è la temperatra allora c sarà n flsso d temperatra verso l esterno). 4.5 EQUAZIONE DI BILANCIO DELLA QUANTITA DI MOTO Applcando l teorema del trasporto d Reynolds, nella formlazone (6) avendo assnto A=, all eqazone (5) m D Dt d R (78) Rcordamo però che, a dfferenza delle eqazon precedent, qesta è n eqazone per na qanttà vettorale, la veloctà del fldo, ed è qnd composta da tre eqazon scalar. Per qesto motvo scrvamo l eqazone precedente n termn d component scalar ndvdate dall ndce m D Dt j j d R. (79) Scomponamo ora la rsltante delle forze esterne s na partcella flda, R, n na parte dovta alle forze proporzonal alla massa (volme) ed n na dovta alle forze applcate alla sperfce. Per qeste ltme, se consderamo n generco elemento della sperfce, S, con normale n (esterna), sottoposto ad na forza d sperfce F s, n congrenza con l potes del contno essterà e sarà fnzone contna l lmte t n F s lm S S che chameremo sforzo relatvo alla normale n. Con rfermento alla fgra 9, t n rappresenta la forza, per ntà d sperfce, eserctate attraverso la facca postva sl fldo a contatto con la facca negatva. 46

47 n F - S Fgra 9. Sgnfcato dello sforzo agente s na sperfce. + Analogamente, per le forze d massa, essterà e sarà fnzone contna l lmte f F v lm m dove F v sono le forze che agscono s d n elementno d volme e m= è la sa massa. Con qeste poszon l blanco della qanttà d moto dventa m D Dt d fd m S t n ds (8) Effettando la dervata sostanzale del prodotto d c a snstra dell eqazone s ottene m D Dt d d m D Dt D Dt m D d Dt, essendo nllo, per la conservazone della massa (65), l termne tra parentes tonde nel penltmo membro. Inserendo qesta decomposzone nella relazone (8) s ottene m D d fd t nds (8) Dt m S che costtsce na forma ntegrale dell eqazone d blanco della massa (ma c e ancora n ntegrale d sperfce a secondo membro). 47

48 Per poter scrvere n eqazone n forma dfferenzale, come fatto per le eqazon precedent ne paragraf 4.3 e 4.4, è necessaro trasformare l ntegrale d sperfce a secondo membro n n ntegrale d volme. S deve qnd cercare n modo alternatvo d descrvere lo stato d tensone slla sperfce del volme d controllo. S consder l tetraedro lmtato dalle sperfc d area S che gaccono s pan coordnat e dalla sperfce d area S n, che gace sl pano ndvdato dalla normale n (detto tetraedro d Cachy, Agstn-Los Cachy, ) rportato n fgra. Sa noltre h la dstanza tra la sperfce S n e l orgne. Le normal alla sperfce sono assnte postve qando sono scent dal volme consderato, pertanto le normal postve relatve alle facce che gaccono s pan coordnat sono opposte a versor c che ndvdano gl ass stess. Faccamo ora tendere la dmensone caratterstca del tetraedro h e valtamo l ordne d grandezza de sngol termn dell eqazone (8): ntegral d volme sono proporzonal al volme del tetraedro, e d consegenza ad h 3, mentre l ntegrale d sperfce è proporzonale all'area della sperfce del tetraedro e qnd ad h. Al lmte per h che tende a zero de ntegral d volme saranno allora trascrabl rspetto qello d sperfce, e, affnché l eqazone sa valda, dovrà qnd essere soddsfatto l lmte lm t ds, h S c n che, per l tetraedro d Cachy d fgra, afferma che la somma delle forze d sperfce agent s cascna facca deve annllars. c n S n h n c ds ds n c 3 ds Fgra. Tetraedro d Cachy e proezone sl pano (,). 48

49 Lo sforzo relatvo alla generca sperfce S, con normale c, sarà ndcato con, e la sa j- esma componente con j (come gà ntrodotto nel captolo ). Le component scalar d qesta forza (tre sforz vettoral no per cascna sperfce) possono essere ordnate secondo gl element d na matrce In modo analogo ndcheremo con n lo sforzo slla qarta facca, che ha per normale n. Le sono relatve alle normal c, nterne al tetraedro, e rappresentano le forze che l tetraedro esercta sl resto del fldo. Esse sono qnd gal ed opposte alle sollectazon esterne che sbsce l tetraedro. Affnché s annllno ttte le forze sperfcal dovrà essere n ds n - ds - ds - 3 ds 3 = n ds n - ds = e dvdendo per S n n ds cos n n ds n dove, con rfermento alla fgra a destra, n è l angolo formato tra la normale n e l versore c, ed l so coseno è par alla -esma componente d n (ncos n =n, ds =ds n cos n =ds n n ). L espressone precedente ndca che la tensone s na generca sperfce è determnata dalla somma d qelle relatve agl ass coordnat. Utlzzando le component scalar la j-esma componente dello sforzo slla sperfce S n, n,s potrà scrvere come j = j n La matrce j rappresenta le component d n tensore, perché moltplcata secondo le regole matrcal per le component d n vettore (n ) fornsce sempre le component d n vettore. Indcheremo qesto tensore con e lo chameremo tensore egl sforz. Attraverso d esso possamo esprmere lo sforzo, t n, relatvo ad n elemento d sperfce con na generca normale n come t n = n (8) 49

50 Qesta relazone, che è d tpo tensorale e qnd nvarante per cambament d sstema d rfermento, stablsce l'esstenza del tensore degl sforz e rappresenta l teorema fondamentale d Cachy. erfchamo che qesto tensore degl sforz è n tensore smmetrco. In effett qesta verfca derva dall applcazone dell eqazone d conservazone del momento della qanttà d moto (prncpo 3 nel paragrafo 4.) che n qesto modo dventa n eqazone dpendente e non pù ndpendente dalle altre (tranne che ne cosddett flss polar, coè qell ne qal le forze agent formano de pol d masse concentrate come nel caso d camp elettrc n fld polarzzat). Dmostramo la relazone d smmetra sl pano (,), =, essendo po possble rpeterla per gl altr pan, e consderamo l eqlbro de moment delle forze agent sl paralleleppedo, per e che tendono a zero (s consder la fgra ). Al momento delle forze rspetto al centro contrbscono solo termn j con j e qnd ' 3 ' 3 '' 3 '' 3 I 3 3 dove I 3 rappresenta l momento d nerza rspetto all asse 3 e l accelerazone angolare sl pano consderato. Essendo 3 d 3 /dt rappresenta I 3 MR M 3 Fgra. Forze sperfcal agent sl pano (,). 5

51 è possble scrvere ' ' '' '' 3 Qando e tendono a zero, valor con l e con l tendono al valore assnto al centro del volme (senza accento),, e qnd come s voleva dmostrare. Il dscorso pò essere esteso a dmostrare la smmetra d ttte le component del tensore degl sforz che, come detto nel captolo, è na propretà nvarante nel cambamento tra sstem d rfermento e consente d ndvdare sempre l sstema prncpale. Rprendamo l percorso verso na formlazone dfferenzale dell eqazone d blanco della qanttà d moto, nserendo la (8) nella eqazone (8) m D d fd τ nds (83) Dt m S ed, applcando l teorema della dvergenza (3), s pò trasformare l ltmo ntegrale n n ntegrale d volme come gl altr m D d fd τd. (84) Dt m m Assmendo come n precedenza che non v sano dscontntà nel campo, qesta relazone deve essere valda per qalsas volme d controllo, qnd deve sssstere anche tra le fnzon ntegrande D Dt f τ. (85) detta eqazone d Cachy, che costtsce l eqazone d blanco della qanttà d moto. Svlppando la dervata totale a prmo membro possamo rscrverla, per component 5

52 t j j f j j. (86) In qeste tre eqazon scalar compaono come ncognte le se component scalar del tensore degl sforz slla sperfce d controllo che esprmono la dffsone d qanttà d moto. Come per l flsso d no scalare attraverso la sperfce d controllo nel paragrafo 4.4 (azon d dffsone molecolare), anche qeste vanno specfcate attraverso lteror relazon, dette costttve. 4.6 RELAZIONI COSTITUTIE PER IL TENSORE DEGLI SFORZI Come s gà accennato, per chdere l problema specfco dell eqazone della qanttà d moto, oltre alle eqazon d blanco, che rappresentano prncp fondamental della meccanca, abbamo bsogno d eqazon che stablscano, per cascn tpo d fldo, la relazone tra stato d tensone e stato d deformazone. In genere no stato d sollectazone applcato ad n corpo prodce na deformazone ed na varazone della deformazone nel tempo, coè na veloctà d deformazone. Come detto nella parte ntrodttva (Captolo ), sono defnt sold qe mezz contn ne qal, ad no stato tensonale costante corrsponde na deformazone costante al lmte t. Sono nvece defnt fld qe mezz contn ne qal no stato tensonale costante prodce na varazone della deformazone nel tempo ovvero na veloctà d deformazone per t. Per scrvere le eqazon costttve partamo da tre assom fondamental:. gl event ad n assegnato stante sono condzonat da event passat e non da event ftr;. lo stato n n pnto è determnato solo da cò che accade nell'ntorno del pnto stesso; 3. qalsas legge fsca è ndpendente dal sstema d rfermento scelto. Per soddsfare l prmo assoma è sffcente spporre che la dpendenza dagl event passat sa descrtta dalle varabl che descrvono lo stato termodnamco della partcella (per esempo la temperatra). Dal secondo assoma rslta che lo stato d tensone n n pnto pò essere fnzone solo delle varabl cnematche e termodnamche e delle loro dervate spazal del prmo ordne n f,,varabl termodnamche j j k (87) m 5

53 essendo j, k e le dervate parzal valtate nello stesso pnto e nello stesso stante. Senza perdere d generaltà, possamo noltre descrvere lo stato del sstema n n rfermento che abba la stessa veloctà d traslazone e d rotazone della partcella flda e qnd s ha k e r mn =, per c n m r mn e mn e mn (88) secondo qanto rportato nel paragrafo 3.. Qnd, slla base del terzo assoma, la (87) dventa j = f j (e mn, varabl termodnamche) (89) e l tensore degl sforz rslta effettvamente legato alle veloctà d deformazone del fldo. Dobbamo a qesto pnto fare delle potes sl tpo d fldo convolto. Sono defnt fld stokesan, qe fld che hanno le segent propretà sono omogene, ovvero l legame costttvo (89) non vara da pnto a pnto ma è lo stesso n ttto l fldo; sono sotrop, ovvero non hanno drezon preferenzal (sege che a rposo, ovvero n n caso banale d stato d deformazone sferco, l tensore delle tenson non pò che essere sferco e qnd sotropo); a rposo, (fldo n qete, e mn =) l tensore j è legato alla deformazone ed alle varabl termodnamche attraverso na eqazone d stato; f j è contna e dervable n volte. Il termne che compare nella dagonale del tensore, nel caso d fldo n qete, è espresso per mezzo della qanttà p, chamata pressone (p=-/3 tr( j )). In base alle potes precedent è possble svlppare n sere d Taylor f j I II III A A e A e e... (9) j j jmn mn jmnsr mn sr nella qale tensor A sono, n generale, fnzone delle varabl termodnamche, come la temperatra. Inoltre, essendo l fldo sotropo, tensor A dovranno essere anch ess sotrop e qnd al secondo ordne s ottengono solo moltplcando l delta d Kronecker per no scalare, 53

54 mentre al qarto ordne s ottengono combnando lnearmente prodott fra de delta d Kronecker ottent permtando pedc (paragraf.3 e.5). Qnd nella (89) A II jmn A I j A (9) j mn A m jn A3 j A (9) n mj e così s pò ottenere l tensore del sesto ordne attraverso na combnazone lneare de prodott d tre delta d Kronecker ottent permtando pedc. Sono defnt fld newtonan (Isaac Newton, ) qe fld stokesan che hanno n legame lneare tra sforz e veloctà d deformazone. Nell espressone (9) potranno qnd comparre solo termn del tpo A I ed A II A j j A j mn A m jn A3 n mj e mn A j e nn A e j A3 e j A Ae nn j A A3 e j j A (93) essendo l tensore delle veloctà d deformazone n tensore smmetrco. Rslta qnd che l tensore degl sforz è anch esso smmetrco (come doveva essere dal paragrafo precedente). Introdott de coeffcent d vscostà (nfatt le qanttà A con hanno propro dmenson d massa/(tempolnghezza)) = A e = ½(A + A 3 ), l'eqazone costttva per fld newtonan pò essere scrtta come: j p enn j ej (94) nella qale e nn dv = ( n / n ), e e dpendono dalla temperatra. Non ttt fld sono newtonan, per alcn (non newtonan) la relazone tra tensore degl sforz è non lneare come ad esempo nelle vernc, colla, gelatna, polmer lqd e sopratttto per l sange. In qest cas sono sa present effett non lnear che effett d persstenza d tpo elastco e le relazon costttve saranno del tpo j ( / j ) n (n= corrsponde al caso d fldo newtonano, n< al caso d fldo psedoplastco e n> al caso d fldo dlatante). 54

55 55 La relazone (94) pò essere lterormente semplfcata consderando l potes fatta n precedenza che a rposo l tensore j sa legato alla deformazone ed alle varabl termodnamche attraverso n eqazone d stato e che l termne che compare nella dagonale del tensore stesso sa espresso per mezzo della pressone. Infatt se calcolamo la tracca dalla (94) p e e e p dovendo essere l termne slla dagonale par a p, deve rsltare 3 K coè deve annllars la cosddetta vscostà d volme K (qesto corrsponde al fatto che se le molecole del gas sono monoatomche, come n ara, allora v sono grad d lbertà traslator e la rpartzone del campo d pressone è qas stantanea, mentre se le molecole sono plratomche allora v sono grad d lbertà anche rotator con tempo d rlassamento fnto e K). Dalla relazone precedente è possble scrvere la (94) come j j j n n j p 3 (95) avendo esplctato l tensore delle veloctà d deformazone. 4.7 EQUAZIONI DI NAIER - STOKES Introdotta l'eqazone costttva (95) n qelle d Cachy (86) s ottene: j j j n n j j p f t 3

56 56 e dvdendo per la denstà s ottengono le cosddette eqazon d Naver-Stokes (Clade-Los Naver, ) j j j n n j j p f t 3 In forma vettorale 3 f p t (96) In qeste eqazon c sono a prmo membro termn d varazone del campo d veloctà nel tempo e a casa del trasporto fldo e a secondo membro le forze esterne, l gradente d pressone, le forze vscose d tpo compressble e qelle ncompressbl. Sono eqazon dfferenzal, alle dervate parzal, non lnear del secondo ordne. Comncamo ad ntrodrre alcne potes semplfcatve per arrvare ad eqazon pù semplc. Prma d ttto consderamo che la dpendenza del coeffcente d vscostà dalle coordnate spazal avvene attraverso la relazone =(T), che è na relazone emprca che va aggnta al sstema d eqazon (come per l coeffcente d dffsvtà molecolare nel paragrafo 4.4). Se la dpendenza dalla temperatra è pccola, allora è possble assmere che l coeffcente d vscostà sa costante e le eqazon s semplfcano n j j n n j j p f t 3 (97) essendo =/ l coeffcente d vscostà cnematca (paragrafo.4) e dove l ltmo termne a secondo membro corrsponde al laplacano. Nel caso d flsso ncompressble la dvergenza della veloctà è par a zero (paragrafo 4.3) e l eqazone s rdce a j j j j p f t (98)

57 Nel caso d assenza d forze vscose (o forze vscose trascrabl rspetto al termne non lneare a prmo membro) s ottene la cosddetta eqazone d Elero t j j p f (99) Se gl effett vscos sono nvece preponderant rspetto al termne non lneare, nel caso ncompressble, è possble ottenere le cosddette eqazon d Stokes, che sono lnear t f p j j () Se nfne cerchamo cosa sccede nel caso statco, con la forza peso f=-gk (dove k è l versore dell asse vertcale), ottenamo la relazone eqvalente alla legge dell drostatca del captolo (eq. 8) g p 4.8 EQUAZIONI DI NAIER STOKES IN FORMA ADIMENSIONALE Come vsto alla fne del paragrafo precedente, n molte stazon rslta necessaro confrontare tra loro dfferent termn delle eqazon d Naver-Stokes. Per compere qesta operazone correttamente è necessaro rendere admensonal le eqazon così che dfferent termn possano essere confrontat nmercamente. Per effettare qesta admensonalzzazone, è necessaro nnanzttto sceglere le grandezze ndpendent fondamental attraverso le qal sa possble esprmere ttte le altre (nel caso specfco sono tre). S deve po sceglere na scala (coè na grandezza d rfermento) per cascna grandezza fondamentale. Nel nostro caso, na bona scelta pò essere qella d consderare la veloctà, con grandezza d rfermento U, par alla veloctà della corrente ndstrbata, na lnghezza, caratterzzata dalla dmensone caratterstca L, ed na denstà, caratterzzata dal valore d rfermento ndstrbato. Attraverso qeste tre scale possamo admensonalzzare ttte le grandezze n goco. 57

58 58 Consderamo l eqazone d Naver-Stokes (98), coè nel caso d coeffcente d vscostà costante, scrtta nel caso n c le nche forze d massa sano qelle dovte al campo gravtazonale, f = -gk (s veda la fne del paragrafo precedente) 3 p gk t () Attraverso le scale scelte possamo scrvere le grandezze admensonal * = / L; * = / U; * = / ; p * = p / p ; t * = t / t. Per esprmere le dervate n forma admensonale rcordamo che essendo operator lnear s ha * * L t t t 3 Se sosttamo nell eqazone () s ottene * * * * * * * * * * * * * 3 L U L U p L p gk L U t U t e, dvdendo entramb membr per U /L (così che l termne nerzale d trasporto a prmo membro abba fattore moltplcatvo ntaro), * * * * * * * * * * * * * 3 UL UL p U p k U gl t Ut L Nella relazone precedente possono essere rconosct qattro grpp admensonal nmero d Strohal (ncent Strohal, 85-9) Ut L St

59 nmero d Frode (Wllam Frode, 8-879) nmero d Rark nmero d Reynolds U () gl F r U R p UL Re che permettono d gngere alla forma admensonale dell eqazone d Naver-Stokes St t * k F r p R 3 Re Re (3) nella qale, per semplctà, sono stat omess gl astersch che ndcano le grandezze admensonal. Qesta forma dell eqazone s presta anche all nterpretazone del sgnfcato de grpp admensonal sopra dentfcat. Spponamo nfatt d aver scelto le scale delle grandezze n modo tale che ttte le grandezze admensonal, nell ambto del problema che stamo consderando, sano d ordne, così come le loro dervate admensonal. Nell eqazone precedente ttt termn rsltano d ordne tranne qattro grpp admensonal che possono nvece assmere n valore qalnqe. In altre parole s ottengono cas lmte elencat alla fne del paragrafo precedente semplcemente consderando valor n goco de nmer admensonal. Per esempo, valtando l ordne d grandezza del nmero d Reynolds possamo stmare qanto sano mportant gl ltm de termn, qell legat alla presenza della vscostà, rspetto a termn a prmo membro ( termn nerzal d ordne ). Qnd l nmero d Reynolds pò essere nterpretato come na stma del rapporto tra forze d nerza e forze vscose (e nfatt basta fare l rapporto tra l ordne d grandezza delle forze d nerza, mau /L=L U, e l ordne d grandezza delle forze vscose, SUL /L=UL, per ottenere propro l nmero d Reynolds). In partcolare se Re termn vscos saranno trascrabl e la vscostà non nflenza n modo sgnfcatvo l fenomeno che s sta stdando (tale nfatt è l lmte che porta all eqazone d Elero ()). Smlmente per Re possamo ottenere l lmte dell eqazone d Stokes () n c termn vscos dventano preponderant. L ordne d grandezza del nmero d Frode fornsce nvece nformazon sll ordne d grandezza del termne gravtazonale, e pò essere qnd nterpretato come na stma del rapporto tra forze d nerza e forze gravtazonal. Analogamente al caso precedente, se Fr l termne dovto alle forze gravtazonal pò essere trascrato e la presenza della gravtà non nflenza n 59

60 modo sgnfcatvo l nostro fenomeno. Se nvece l nmero d Frode è fnto allora saremo n presenza d flsso sbcrtco (Fr<) o spercrtco (Fr>) con consegente formazone e mportanza de fenomen ondos e d galleggamento (onde d sperfce, aerostat e drgbl). Il nmero d Strohal da nvece ndcazon sgl effett non stazonar: se l tempo caratterstco t L/U (qesta qanttà rappresenta propro l tempo scala per na corrente con veloctà U che nveste n corpo d dmensone L), St e tal effett sono trascrabl con condzon d stazonaretà rspetto al tempo caratterstco del problema L/U. Se nvece t < L/U, allora St> e le non stazonaretà sono mportant. Il termne contenente l nmero d Rark tene conto degl effett del campo d pressone e pò anche essere scrtto (consderando la veloctà del sono per n gas perfetto sentropco, cfr (36) del captolo ) come dove s è ntrodotto l R U U Ma, p c nmero d Mach (Ernst Josef Mach, ) U Ma (4) c che tene conto degl effett d compressbltà che ntervengono sl campo d pressone. Se l nmero d Mach tende a zero (così come l nmero d Rark), coè per U<<c, allora samo prossm a condzon d ncompressbltà e gradent d pressone sono rlevant (la pressone d rfermento, p, pò essere anche molto maggore della pressone dnamca d rfermento, U ). Se nvece Ma, coè per U>>c, allora samo n condzon d compressbltà con preponderanza della pressone dnamca (s not che la stessa eqazone d conservazone della massa opportnamente admensonalzzata presenterà n fattore /c davant al termne D/Dt che mostra come nel caso ncompressble, c, resterà l solo termne contenente la dvergenza della veloctà. In conclsone s pò affermare che, fatta na scelta oclata delle scale d n fenomeno, la valtazone de nmer admensonal permette d ottenere l mportanza relatva de sngol termn delle eqazon d Naver-Stokes e qnd della loro rlevanza nello stdo del fenomeno stesso. 6

61 4.9 EQUAZIONE DI CONSERAZIONE DELL ENERGIA I prncp sopra enncat sono sffcent a rsolvere ttt qe problem ne qal l nca forma d energa n goco sa qella meccanca. Le varabl termodnamche possono entrare n goco nelle eqazon costttve, per esempo ntrodcendo na dpendenza della vscostà dalla temperatra (che rslta n dato del problema). Qando entra n goco anche l energa termca allora è necessaro fare rfermento anche a prncp della termodnamca, come gà ntrodotto nell eqazone (53) nel paragrafo 4. che vene q d segto rportata DE Dt D E' d L Q Dt ; (5) m essendo E = U + / la somma dell energa nterna per l'ntà d massa, U, (legata all'energa cnetca a lvello atomco, d c non s pò tener conto nello schema d mezzo contno e qnd legata alla temperatra del fldo tramte l calore specfco a volme costante, come rportato nel paragrafo.3) e dell energa cnetca del fldo sempre per ntà d massa. Applcando l teorema d Reynolds nella sa prma formlazone (59) e svlppando le espresson del lavoro compto nell ntà d tempo dalle forze d sperfce e dalle forze d massa nella relazone (53), s rcava settoralmente e per ndc t t m m E' d E' d S S E' nds E' n ds m m f d I I f d S S j τ n j II II n ds ds m III m III Qd Qd S I S q n ds q nds I (6) dove I) lavoro delle forze d massa; II) lavoro delle forze d sperfce; III) calore scambato a dstanza con l'esterno (rraggamento e convezone); I) calore scambato attraverso la sperfce (condzone); essendo Q l calore fornto al volme per rraggamento per ntà d massa e d tempo, l vettore q l flsso d calore per ntà d sperfce ed n la normale scente. 6

62 Utlzzando la seconda formlazone del teorema d Reynolds (6) per calcolare la varazone dell'ntegrale dell'energa, tenendo conto dell eqazone d blanco d massa, s ottene D Dt m D E'd Dt c E' E' d c DE' d Dt Essendo n tensore smmetrco s ha ( n) = j n j = j n j = ( ) n e applcando l teorema della dvergenza agl ntegral sperfcal s ottene l'eqazone d blanco dell'energa totale n forma dfferenzale (sotto le consete potes d contntà delle fnzon) DU Dt DU Dt D f τ Q q Dt D q f j j Q Dt (7) e sosttendo l eqazone costttva (94) (scrvendo j = j - p j, coè lascando nel termne j ttta la parte con attrto) DU Dt D p f j j Q (8) Dt q che rappresenta l eqazone dell energa totale per fld newtonan. S not che moltplcando ttt termn della -esma componente dell eqazone d Cachy (85) per, coè facendo l prodotto scalare con la veloctà, s ottene l'eqazone d blanco dell'energa meccanca, che qnd non è n eqazone ndpendente da qelle della qanttà d moto D j f (9) Dt j e sottratta all'eqazone d blanco dell'energa totale (7) porta all'eqazone d blanco dell'energa termca n termn d energa nterna (che qesta volta è ndpendente dalle altre) 6

63 DU Dt DU Dt j τ j q Q. () q Q Sa nella () che nella () s pò sosttre l espressone del tensore degl sforz rcavata dalla relazone costttva per ottenere le eqazon per fld newtonan. L eqazone trovata è dfferenzale, alle dervate parzal, del secondo ordne, non lneare. Slla base degl stess assom che hanno portato alle eqazon costttve tra sforz e veloctà d deformazone s pò rcavare la relazone costttva esstente tra flsso d calore e gradent d temperatra q T F (T, j,varabl termodnamche) e assmendo nvaranza rspetto ad n cambamento del sstema d rfermento (cade la dpendenza da T), svlppando n sere d Taylor nell potes d flsso d calore nllo, n assenza d gradent d temperatra, assmendo comportamento sotropo e qnd tensor sferc e legame lneare tra q, flsso d calore, e gradente d temperatra, s ottene la relazone d Forer (Jean Baptste Joseph Forer, ) T q K () dove K è la condcbltà termca. Il segno meno è stato ntrodotto per poter porre K postvo, poché l calore flsce dalle zone a temperatra pù elevata a qelle a temperatra pù bassa, qnd nel verso opposto al gradente d temperatra. Rcordando che U=c v T, e spponendo costante cv, l'eqazone d blanco dell'energa termca () n termn d temperatra s scrve c v DT Dt p D T j K Q Dt j () avendo tlzzato l fatto che dall eqazone d conservazone della massa (65) derva D Dt 63

64 L eqazone (3) è n eqazone per la temperatra se sono dat la pressone, la veloctà e la denstà. S not che l eqazone d blanco dell energa termca appena trovata è del ttto analoga a qella del blanco della massa dello scalare (7), nel caso d n gas perfetto c vengano trascrat gl effett dell attrto e senza contrbt del calore d volme Q (assenza d rraggamento e convezone con l esterno). Infatt n qesto caso s pò scrvere la (3) come c v DT Dt p T K dvdendo per c e sando l eqazone d stato de gas perfett s ottene n eqazone formalmente analoga alla (7) dove al posto del coeffcente d dffsvtà molecolare c e qello d dffsvtà termca (=K/c ) e l termne contenente gl effett d compressbltà è moltplcato per (-) DT Dt T T K c coè la dffsone del campo d temperatra avvene esattamente come qella d no scalare nel campo (scalare passvo). 4. RIEPILOGO EQUAZIONI - INCOGNITE E bene replogare le eqazon della fldodnamca rcavate fno ad ora facendo n blanco complessvo tra eqazon ed ncognte. In assenza d no scalare passvo, abbamo l segente sstema d eqazon (65), (85), () ) D Dt ) D f τ Dt eqazone, 3 eqazon,,, DU Dt 3) q Q τ eqazone, U,,, q 64

65 alle qal va aggnta l eqazone d stato (d c al paragrafo.3) 4) p p(,t ) eqazone p,, T In qeste 6 eqazon sono present alcne qanttà assegnate come forzant esterne (f, Q), altre che vanno specfcate attraverso le relazon costttve ( cosddett flss),, p, q f '' T K τ f ',, e qanttà che vanno assegnate come eqazon o relazon emprche d dpendenza dalle varabl termodnamche (o eventalmente costant) U f T, T, K KT, Cò permette d ottenere n sstema d 6 eqazon nelle 6 ncognte,, p, T (a volte l ntero sstema vene mpropramente contrassegnato dal nome eqazon d Naver-Stokes). Cascna delle ncognte precedent è fnzone d,, 3, t. Con assegnate condzon nzal e al contorno vene specfcato l partcolare problema n esame e formalmente s pò cercare na solzone del sstema stesso (se esste). Nel caso n c sa presente na qanttà scalare, n concentrazone c che rappresenta l lterore ncognta, alle eqazon precedent va aggnta anche l eqazone (68), specfcando l lterore relazone costttva per l flsso molecolare ( = f (c, D)) e la dpendenza dalla temperatra del coeffcente d dffsvtà molecolare (D = D(T)). In molt cas è possble semplfcare l precedente sstema d eqazon trascrando alcn de termn e delle ncognte che compaono per ottenere delle solzon esatte d problem semplfcat. In altre condzon sarà necessaro fare lteror potes semplcatve. S not che per esempo nel caso ncompressble, l eqazone dell energa e d stato non sono necessare (a meno d problem d flss termc) ed l sstema d eqazon s rdce n qattro eqazon (contntà + blanco d qanttà d moto) n qattro ncognte (le tre component d veloctà e la pressone). In altre parole la denstà e la temperatra sono determnate dalle condzon al contorno e dalle relazon termodnamche. 65

66 Captolo 5 SOLUZIONI ESATTE ED EQUAZIONE DI BERNOULLI 5. FLUSSI PARALLELI, MOTI DI HAGEN-POISEUILLE E COUETTE Come detto, solo n cas partcolar s pò trovare na solzone delle eqazon d Naver- Stokes n forma analtca. Un caso partcolarmente nteressante è qello de flss parallel. E' defnto flsso parallelo qello n c de component della veloctà sono n ttto l campo gal a zero ; = 3 = Nelle potes d fldo ncomprmble, condzon stazonare, St <<, forze d massa gravtazonal: f = -(gh), con h qota del condotto, temperatra T=const., s pò scrvere l'eqazone del blanco d massa semplcemente come qnd la componente non è fnzone d e dpende solo da e 3. Proettando le tre eqazon d Naver-Stokes s tre ass, s ottengono le eqazon d Stokes per l caso stazonaro (annllandos ttt termn a prmo membro) che rsltano lnear, del secondo ordne 66

67 67 h g p g h g p g h g p g 3 3 Se ntrodcamo la qanttà h = p/g + h, detta carco pezometrco, dalla seconda e terza eqazone, s pò osservare che essa rslta essere fnzone ncamente d. La sa dervata cambata d segno vene ndcata con = -h /, ed è chamata pendenza pezometrca. Il moto del fldo avvene nel senso de carch pezometrc decrescent e qnd con pendenza pezometrca postva. Nel caso bdmensonale sl pano (, ) h = h ( ), ( ), e la prma delle relazon precedent s rdce a d d d dh' g. Il prmo membro è fnzone della sola, l secondo membro è fnzone della sola, per poter verfcare tale relazone n ttt pnt del campo, entramb membr devono essere costant (coè l carco deve essere na fnzone lneare d ). Integrando de volte s ha k k d dh' g k d dh' g d d (3) coè s ottene na relazone che mostra come la dstrbzone delle veloctà all'nterno del campo sa d tpo parabolco (moto d Hagen-Poselle, Jean Los Mare Poselle, ). Utlzzando le condzon al contorno, le relazon ottente possono essere specfcate per l caso del flsso che scorre fra de pastre dstant b. Nel caso n c le pastre sano ferme, le condzon al contorno sono

68 b Fgra. Rappresentazone del moto d Hagen-Poselle. () = ; (b) = dalle qal s determnano valor d k e k per ottenere la solzone esatta g dh' d b. Se mponamo che la veloctà al centro del condotto ( =b/) sa gale a U, ottenamo la relazone tra l gradente del carco pezometrco e la veloctà U g dh' d b 4, che conferma qanto affermato n precedenza, che l moto del fldo avvene nel senso de carch pezometrc decrescent. Da qesta relazone la solzone esatta pò anche essere scrtta come 4 U b b Nella drezone relatvamente ad na sperfce con normale lngo, rcordando l eqazone costttva (95), lo sforzo d taglo rslta lneare ed è dato da 68

69 U 4 e b b Alle paret ( =, =b) rslterà l valore costante 4 b U che esprme l eqlbro tra lo sforzo d taglo alla parete (forza d attrto) e la pendenza pezometrca. Da qesta relazone è possble calcolare la forza d attrto dalla relazone F = nds, consderando che la normale scente ha verso opposto e che qnd de contrbt s sommano D F 8U b S da c s vede che la resstenza è drettamente proporzonale alla veloctà (resstenza d Stokes). S pò qnd calcolare l cosddetto coeffcente d resstenza D 6U 6 c D U S bu Re (4) essendo Re l nmero d Reynolds ntrodotto nella (3) del paragrafo 4.8. Il rsltato trovato ha valdtà nversale per flss lamnar ne termn dell andamento come l nverso del nmero d Reynolds, mentre l coeffcente dpende dallo specfco problema fldodnamco (condotto, strato lmte, sca). Oltre alla forza tangenzale (parte smmetrca del tensore delle veloctà d deformazone), è possble valtare anche la parte antsmmetrca che, come vsto nel captolo 3, è legata al rotore della veloctà e alla vortctà. Il moto rslta rotazonale con componente d vortctà dfferente da zero n drezone perpendcolare al pano (, ) 4U 3 b b 69

70 coè vene generata vortctà proporzonalmente allo sforzo d taglo. Qesto n qalche modo testmona d n legame tra generazone d vortctà ed effett della vscostà (è possble ottenere qesto legame n forma esatta calcolando l rotore delle eqazon d Naver Stokes, coè D l eqazone d trasporto della vortctà,, dove n D se =, D/Dt= ). Dt S osserv che nella defnzone del carco pezometrco sono present de termn, h = p/g + h. Il prmo tene conto della pressone e l secondo dell altezza d carco. Nel caso n c la qota del condotto sa costante (come n Fgra 3 a snstra), =cost., allora l gradente del carco sarà dh' d dp d, U b g 8 dp d da c vedamo che l moto è determnato dal gradente d pressone (nel caso specfco a casa della presenza del serbatoo a lvello pù elevato) e che tale gradente deve essere negatvo per avere n moto n drezone postva. Se nvece la qota del condotto non è costante (come n Fgra 3 a destra), h = f( ), allora dh' d df d dp df dp gb, U g d d g d 8 da c vedamo che, anche nel caso d gradente d pressone nllo, l moto è mantento graze alla varazone d qota (nclnazone) del condotto. Tale varazone deve essere negatva (qota decrescente) per avere n moto n drezone postva. -dp/d -(dp/d +df/d ) U U Fgra 3. Moto n condotto con solo gradente d pressone (a snstra) e con sovrapposta varazone d qota (a destra). 7

71 Nel caso n c s rsolvano le eqazon (4) con condzone al contorno d parete sperore moble a veloctà lngo l asse, s avranno le segent condzon al contorno () = ; (b) = dalle qal s determnano valor d k e k n (4) per ottenere la solzone esatta g dh' d b b. La dstrbzone delle veloctà è ottenta dalla somma d n termne parabolco e d n termne lneare come rappresentato n Fgra 4. A seconda del segno del carco pezometrco avremo le tre stazon rportate nella fgra stessa. Il secondo termne della relazone precedente è qello che s avrebbe nel caso n c na delle de pastre s movesse parallelamente a se stessa con veloctà n assenza d gradente d pressone. In qesto caso lo sforzo d taglo slla parete nferore sarà g dh' b d b. In assenza d carco pezometrco (moto d Coette, Marce Mare Alfred Coette, ) resta solo l secondo termne che è na costante e pò essere confrontato con qello che s avrebbe nel caso d contatto dretto tra la sperfce nferore e sperore poste ad na dstanza, s /. S pò rcavare che l prmo sarà molto mnore del secondo sa perché << s, sa perché b>> e che qnd tale accorgmento pò essere sato come n dspostvo d lbrfcazone. b Fgra 4. Rappresentazone del moto d Coette. 7

72 7 5. EQUAZIONE DI BERNOULLI Le solzon trovate nel paragrafo precedente sono relatve a condzon d moto nelle qal termn delle eqazon contenent gl effett della vscostà tendono ad essere molto maggor d qell nerzal a prmo membro (eqazon d Stokes). In qesto senso, anche con rfermento alle eqazon dmensonal presentate nel paragrafo 4.8 (4), s pò dre che tal eqazon sono state ottente nel lmte d nmer d Reynolds molto bass, Re. In manera alternatva è possble vedere cosa sccede nel lmte d nmer d Reynolds molto alt (Re, eqazon d Elero) qando termn vscos possono essere trascrat rspetto a qell nerzal. Prma d ttto provamo a scrvere l termne n dervata sostanzale a prmo membro dell eqazone d blanco della qanttà d moto n forma dfferente t t Dt D dove = e rappresenta la vortctà. La seconda gaglanza è n denttà vettorale che s pò dmostrare faclmente componente per componente, p.e. per la prma Inserendo la relazone precedente nell eqazone d Naver Stokes, nella forma (97), s ottene f 3 p t Se scrvamo le forze esterne come conservatve (esprmbl coè tramte l gradente d na fnzone potenzale, f=-g e come vsto qesto è spesso possble, p.e. nel caso della forza d gravtà G=gh) e c mettamo nel caso d flsso non vscoso (Re), dalla precedente eqazone s ottene

73 t G p (5) Se ora consderamo l campo d veloctà come rrotazonale (), sgnfcherà che esste na fnzone potenzale l c gradente è par al campo d veloctà stesso, =, e l prmo termne nell eqazone precedente potrà essere scrtto come (/t). Se nvece è possble scrvere la denstà come dpendente solo dalla pressone (fldo barotropco), l secondo termne a prmo membro dventa dp p (notamo che tale poszone è possble sa nel caso d flsso ncompressble, =cost., che nel caso d flsso sentropco, governato dalla (35)). In qeste condzon è possble scrvere la (5) come t dp G coè la qanttà tra parentes rslta na costante, k, rspetto a ttte le varazon spazal (la costante pò qnd dpendere dal tempo nel caso non stazonaro) t dp G k t (6) La relazone precedente costtsce na delle forme possbl dell eqazone d Bernoll (Danel Bernoll, 7-78). Nel caso stazonaro e ncompressble, la relazone precedente s rdce a p G k (7) con la costante k che è la stessa n ttto l campo. La relazone precedente afferma che c è n blancamento tra la energa cnetca, l energa potenzale delle forze esterne e l energa dovta al campo d pressone (ttte per ntà d massa). S pone qnd l problema d qal è la relazone tra l eqazone d Bernoll appena trovata e l eqazone d conservazone dell energa (n effett l eqazone d Bernoll è stata appena rcavata dall eqazone del blanco della qanttà d moto 73

74 che qnd vene atomatcamente soddsfatta sotto le potes fatte na volte che è soddsfatta l eqazone d Bernoll). Rprendamo allora l eqazone d conservazone dell energa totale nella forma (9) valda per fld newtonan DU Dt D p f j j Q (8) Dt q e scrvamola assmendo forze esterne conservatve e assenza de termn vscos, come gà fatto n precedenza, assmendo noltre che non v sa trasmssone d calore (Q=, q=) DU Dt D Dt G p Notamo che l ltmo termne nella relazone precedente, tlzzando l eqazone d conservazone della massa nella forma (65), pò essere scrtto come p p p p D Dt Dp Dt D p Dt e qnd assmendo che le l potenzale delle forze d massa sa stazonaro, s ottene DU Dt D Dt U Dt DG D D p Dt Dt G p DH Dt che c dce che la qanttà tra parentes, detta entalpa totale, H, è gale ad na costante, k, movendos lngo la traettora d na partcella flda n moto ( a forma dell eqazone d Bernoll) H U G p k (9) che derva dall eqazone d conservazone dell energa che vene qnd ad essere atomatcamente soddsfatta na volta soddsfatta qesta forma dell eqazone d Bernoll. La 74

75 seconda forma dell eqazone d Bernoll non sembrerebbe concdere con la (7) anche assmendo n qest ltma l potes d stazonaretà come fatto per rcavare la (). Qesta seconda forma è n effett na forma pù generale, rcavata dall eqazone dell energa, nella qale sono ben evdent contrbt d energa nterna (l prmo e l ltmo), d energa cnetca (l secondo) e d energa potenzale (l terzo). Per evdenzare la smltdne tra le de forme dell eqazone d Bernoll (7) e () è tle rcordare che n flsso non vscoso e non condttore d calore, qale qello n esame, è anche sentropco. D consegenza, per qesto vale U p c T p c p R p p c R p c avendo tlzzato le relazon del paragrafo.3. D altra parte per n gas perfetto sentropco rslta dp p c e qnd per l caso sentropco stazonaro le eqazon (7) e () s rdcono entrambe alla eqazone d Bernoll nella forma G p k () (al posto dell ltmo termne s pò anche scrvere c /(-)), dove la costante è ndpendente dal tempo ed è la stessa n ttto l campo se l campo è rrotazonale. S not che nel caso ncompressble stazonaro sentropco, tlzzando la forma del prmo prncpo della termodnamca contenente l entropa (paragrafo.3), è possble scrvere du TdS pd TdS pd e qnd, anche n qesto caso, entrambe le forme del teorema d Bernoll convergono all nca forma (8). Le vare forme dell eqazone d Bernoll sono non lnear n termn algebrc con ncognte la pressone e la veloctà (l potenzale delle forze esterne è pensato assegnato e la denstà è determnata dalla pressone). 75

76 5.3 APPLICAZIONI DELL EQUAZIONE DI BERNOULLI La prma applcazone dell eqazone d Bernoll rgarda n apparato d msra molto comne n dfferent camp ngegnerstc: l tbo d Ptot (Henry Ptot, ). S tratta d n dspostvo che permette la msra della veloctà d n fldo n moto da msre della dfferenza d pressone. Nel caso d basso nmero d Mach (tpcamente mnore d.3, come s vedrà nel segto) è possble consderare l flsso come ncompressble e, assmendo assenza d forze d massa e flsso non vscoso, rrotazonale e stazonaro, s pò scrvere la relazone (8) come p k Come rappresentato n Fgra 5, calcolamo la qanttà costante a prmo membro sa n corrspondenza del foro anterore (detto presa totale o d rstagno, dove le qanttà sono caratterzzate dal pedce t) che del foro laterale (detto presa statca, pedce s) t pt s ps. D U s D.3 D h s h t p t p s Fgra 5. Geometra delle prese d pressone totale e statca n n tbo d Ptot. 76

77 dove l tbo d Ptot è orentato nel verso della corrente meda e qnd le veloctà s ntendono n termn d component nella drezone del moto. S not che nel pnto d rstagno la veloctà è per defnzone nlla, t, e qnd è possble ottenere la pressone totale (o d rstagno) come p t s p s dove l prmo termne a secondo membro rappresenta la cosddetta pressone dnamca e l secondo la pressone statca. D consegenza la veloctà potrà essere rcavata come s pt ps () La relazone precedente permette d rcavare la veloctà dalla msra della dfferenza d pressone tra le de prese totale e statca. Tale msra pò essere effettata determnando la corrente elettrca che attraversa membrane deformabl avent resstenza elettrca proporzonale alla deformazone, oppre pù semplcemente collegando le scte a de condott manometrc, come mostrato n fgra 5. In qesto caso, applcando l blancamento drostatco (9) del captolo, s pò scrvere p t pt m ght, ps ps gh m s (dove m ndca la denstà del fldo manometrco n generale dfferente da qella del fldo n moto e l pedce ndca le qanttà calcolate con fldo a rposo), per rcavare qnd s m g ht hs () da c è possble rcavare la veloctà del fldo n prossmtà della presa statca. Nel caso n c la veloctà del fldo sa tale da non poter consderare valda l potes d ncompressbltà, per trovare la pressone d rstagno, bsognerà partre dall eqazone d Bernoll nella forma (), assmendo qnd n flsso non vscoso, stazonaro e sentropco. Nel pnto d rstagno sarà (consderando che anche la denstà è varable) 77

78 78 s s t p p da c consderando che per n flsso sentropco k p s s t p k p e ntrodcendo l nmero d Mach, la veloctà sarà s s s s s Ma RT Ma c e sando l eqazone d stato de gas perfett coscché s s p k RT, s ottene s s t Ma p p (3) che costtsce la relazone per la pressone totale (o d rstagno) per l caso compressble. Da qesta espressone, msrando le presson p t e p s, posso trovare l nmero d Mach e se voglo rcavare la veloctà sarà necessara la msra ndpendente della temperatra T s per ottenere la veloctà del sono. S not che nella relazone precedente, se s effetta no svlppo n sere per bass nmer d Mach (Ma) s ottene 4 s s s s s s s s s t p RT p Ma o Ma p p coè propro la pressone totale ottenta nel caso ncompressble. S not anche che per nmer d Mach crescent la (4) fornsce n valore della pressone d rstagno sempre maggore del caso ncompressble. In partcolare se defnamo l coeffcente d pressone U p p C p

79 dove l pedce s rfersce alle grandezze valtate nella corrente ndstrbata (qnd anche n corrspondenza della presa statca), possamo calcolarlo n corrspondenza del pnto d rstagno (p=p t ) per ottenere nel caso ncompressble pt ps C p R s, mentre nel caso compressble con nmero d Mach molto elevato (Ma), (C p ) R (qest ltmo rsltato s rcaverà nel captolo 9 dedcato a flss compressbl). La seconda applcazone dell eqazone d Bernoll rgarda la msra d portata attraverso l cosddetto tbo d entr (Govann Battsta entr, 746-8). Con qesto apparato s msra la portata n corrspondenza del restrngmento d na sezone dell mpanto (come mostrato n fgra 6). Pò essere tlzzato sa per lqd che per gas n condzon ncompressbl e compressbl. Nel caso ncompressble, nelle solte potes n c è valda l eqazone d Bernoll nella forma (8), consderando anche la portata UA costante nelle sezon e (essendo A l area d cascna sezone), s ottene la msra della veloctà p U p U, U p p A A U U A A p p U A A Fgra 6. Tbo d entr. 79

80 Nella relazone precedente qesta volta s effettano de msre d pressone statca (ma le modaltà sono eqvalent a qelle per l tbo d Ptot). S pò ottenere n manera smlare anche n espressone per l caso compressble. 5.4 EQUAZIONE PER IL POTENZIALE Come vsto, l eqazone d Bernoll nelle potes d flsso ad alto nmero d Reynolds (Re), senza trasmssone d calore, stazonaro e sentropco, sosttsce sa l eqazone dell energa che qella della qanttà d moto. C s chede allora come sa mpostato n qesto caso l sstema d eqazon e ncognte, vsto che n qesta eqazone compaono come ncognte sa la pressone che la denstà. L eqazone che manca è ovvamente l eqazone d conservazone della massa, che, nel caso stazonaro, ha la forma (66) q rportata (avendo anche svlppato l prodotto scalare). Il gradente d denstà pò essere collegato a qello d pressone tramte la veloctà del sono p p c e qnd, tlzzando la (6) (rrotazonale e stazonaro) G c c l eqazone d conservazone della massa s scrve come G. c c che permette d elmnare la denstà. Se la scrvamo per component 8

81 8 k k G c c (4) La (5) è n eqazone fortemente non lneare (addrttra al terzo ordne) pr essendo alle dervate del prmo ordne. Inoltre sembrerebbe n nca eqazone scalare avente come ncognte ttte e tre le component d veloctà. Però per n campo rrotazonale esste sempre la fnzone scalare potenzale legata al campo dall operatore gradente (paragrafo.6 del captolo ), =, e qnd possamo sosttre nella (5) per ottenere k k G c c (5) che è n eqazone nella sola ncognta. Una volta potetcamente rsolta qesta eqazone, s possono ottenere le component d veloctà dall operatore gradente e con qeste calcolare algebrcamente l rapporto p/ dalla () q rportata k p G dove la costante vene calcolata con valor all nfnto come gà fatto nelle applcazon dell eqazone d Bernoll. La stazone però dventa partcolarmente semplce nel caso ncompressble. Infatt n qeste condzon la veloctà del sono (3) tende all nfnto e l eqazone (6) s rdce a 3 (6) coè l eqazone d Laplace (), che è lneare nell ncognta potenzale d veloctà. In qesto caso anche l eqazone d Bernoll s rdce alla forma pù semplce (8). Qest camp d moto sono dett camp o flss potenzal (o corrent elerane d fldo deale) e verranno consderat n manera approfondta nel prossmo captolo.

82 Captolo 6 FLUSSI POTENZIALI O SOLUZIONI ESTERNE 6. FORMULAZIONE DEL PROBLEMA Come vsto al termne del captolo precedente, nelle condzon d moto n c sano trascrabl gl effett della compressbltà, lo stdo de mot rrotazonal s rdce alla rsolzone dell eqazone lneare d Laplace per la fnzone potenzale (e qnd per le component d veloctà, problema cnematco) e all eqazone, non lneare n forma algebrca, d Bernoll nella forma pù semplfcata (8) per la pressone (problema dnamco). Poché tal condzon sono qelle che normalmente s ncontrano lontano dalla sperfce d corp, per nmer d Reynolds sffcentemente elevat, lo stdo d tal camp d moto s ndca anche come relatvo a solzon esterne per elevat nmer d Reynolds. Le ncognte denstà e temperatra sono nvece costant, mposte dalle condzon al contorno o determnate dalle relazon termodnamche. L eqazone d Laplace è na sola eqazone n na sola ncognta e pò essere rsolta na volta che sano note le condzon al contorno (s pò dmostrare che n qeste condzon la solzone è nca). In generale è possble assegnare al contorno del domno n c scorre n fldo de tp d condzon: (Nemann & Drchlet) na condzone dnamca, la qale rchede che l fldo non scvol sl contorno soldo, e che qnd la veloctà relatva tra contorno e fldo s annll nella sperfce d contatto (aderenza). Qesta condzone tene conto degl effett della vscostà del fldo. na condzone cnematca, che rchede che l contorno non possa essere attraversato dal fldo, e che qnd la componente normale della veloctà sa nlla sl contorno (mpermeabltà). Nel caso n esame, essendo l eqazone d Laplace pramente cnematca, anche le condzon al contorno che potremo mporre, dovranno essere pramente cnematche e s tlzzerà qnd la condzone d mpermeabltà. L eqazone d Laplace è del secondo ordne e le condzon al 8

83 contorno mposte potranno essere de. Se consderamo, ad esempo, l flsso attorno ad n corpo, s mporrà la condzone d mpermeabltà slla sperfce del corpo e l altra condzone sarà nvece tlzzata per descrvere le caratterstche del flsso lontano dal corpo. La prma condzone rgarda l valore della veloctà del fldo ortogonale alla sperfce del corpo, n= (essendo n la normale scente dalla sperfce), che, tradotta n termn d potenzale d veloctà, dventa na condzone slla dervata, n=, coè /n= (condzone alla Nemann, John von Nemann, nato János Nemann, ). La seconda condzone rgarda nvece la veloctà del fldo lontano dal corpo, ()=U, e s tradce n na condzone slla fnzone potenzale, /()= U, coè ()= U (condzone alla Drchlet, Johann Peter Lejene Drchlet, ). La condzone d lneartà dell eqazone rslta partcolarmente tle perché permette la sovrapposzone d mot elementar dfferent per costrre condzon pù complesse (nel caso non lneare delle eqazon d Naver-Stokes non vale ovvamente la sovrapposzone degl effett). D altra parte l raggngmento d qesta eqazone semplfcata rslta ovvo qalora s consder che per n moto rrotazonale esste n potenzale e che se tale moto è anche ncompressble, annllandos la dvergenza della veloctà, dovrà rsltare propro l eqazone d Laplace (come mostrato nel paragrafo.6 per ottenere la relazone ()). Qest ltma consderazone pò essere formlata n forma pù generale. Infatt è sempre possble scrvere n generco campo (n partcolare qello d veloctà) come la somma d de termn, l prmo che rappresenta l gradente d na fnzone scalare (detto potenzale scalare) e l secondo che rappresenta l rotore d n campo vettorale (detto potenzale vettore) K (7) dove per rsolvere qeste eqazon (coè trovare potenzal per n assegnato campo d veloctà e vceversa) è necessaro specfcare n lterore relazone per l vettore K, d solto nella forma K=. Per defnzone l prmo termne nella (8) avrà rotore nllo e l secondo dvergenza nlla. Così s possono scrvere la dvergenza e l rotore del campo d veloctà come K K K da c rcavamo faclmente che se vale l potes d ncompressbltà deve essere verfcata l eqazone d Laplace per l potenzale scalare, mentre se vale l rrotazonaltà deve essere valda 83

84 l eqazone d Laplace per l potenzale vettore. Nel caso bdmensonale (D), poché non esstono la componente d veloctà ortogonale al pano e le dervate n tale drezone, l potenzale vettore s rdce ad na sola componente, K 3, coè ad na fnzone scalare detta fnzone d corrente ed ndcata con la lettera. L potes d rrotazonaltà, che è alla base della teora de flss potenzal, sebbene da n pnto d vsta formale sa sffcente a mpostare l problema, non è nvece sffcente da n pnto d vsta fsco né tanto meno ngegnerstco. Per capre se essa sa applcable nella rsolzone d n problema concreto, sarà necessaro sapere sotto qal condzon fsche l potes ora formlata sa accettable. L rrotazonaltà è n potes d carattere cnematco, qnd qalsas flsso d qalsas fldo pò, n lnea d prncpo, essere rrotazonale n qalche stante d tempo, cò nondmeno, l potes è accettable nell affrontare n problema solo se l flsso rmane rrotazonale anche nel sccessvo svlppo del fenomeno. Affnché n flsso rrotazonale rmanga tale è necessaro che sano verfcate le segent condzon: effett della vscostà trascrabl (Re>>): solo n qesto caso nfatt gl sforz sono ovnqe ortogonal alla sperfce s c agscono (s veda la relazone costttva) e non sono present azon tangenzal che metterebbero n rotazone la partcella flda; forze d massa dotate d potenzale, n modo che la rsltante della forza esterna sa applcata al centro d massa della partcella flda ed essendo l rotore delle forze gale a zero non possono essere nnescate rotazon della partcella stessa ; fldo barotropco, ovvero la denstà deve essere fnzone solo della pressone p (sotermo, ncompressble o sentropco), e qnd p, altrment l pnto s c vengono applcate le forze fldodnamche (determnato dalla dstrbzone d pressone slla sperfce) potrebbe essere dfferente dal centro d massa (determnato dalla dstrbzone d denstà nel volme) e cò potrebbe ndrre rotazon della partcella flda. 6. PRECISAZIONI SULLA FUNZIONE POTENZIALE DI ELOCITA Consderamo n n campo rrotazonale, nel domno d stdo, na lnea orentata, l, d elemento ds, che costtsce l bordo d na sperfce S ed dentfchamo s tale lnea de pnt, ed (come rappresentato n fgra 7). La crcolazone lngo tale lnea è data da 84

85 ds S l l Fgra 7. Integrale d lnea e crcolazone. ds (8) l esprmamola per mezzo del teorema d Stokes (se l campo è semplcemente connesso) l ds S nds, per l potes d rrotazonaltà. L ntegrale d lnea pò essere spezzato n de contrbt, no lngo la lnea l e l altro lngo la lnea l (fgra 7) ds ds ds,l,l,l, l ds Qnd l ntegrale calcolato lngo la lnea l è gale a qello calcolato lngo la lnea l. Avendo però scelto l crcto, l, e qnd l e l, n modo arbtraro, s pò concldere che l ntegrale, coè la crcolazone, è ndpendente dal percorso scelto. In altre parole la qanttà sotto l segno d ntegrale, ds, è n dfferenzale esatto. Pertanto, fssato, è nvocamente defnta la fnzone ds detta appnto potenzale del campo d veloctà, legata al campo d veloctà dalla relazone =. Infatt, essendo l potenzale n dfferenzale esatto, è possble scrvere 85

86 ma essendo anche d ds d d d d 3d3 d d 3 3 rslta propro =. D altra parte, qesta fnzone ha n sgnfcato fsco ben precso perché la condzone d= corrsponde ad avere la veloctà ortogonale localmente all elemento ds della lnea l. D consegenza le lnee eqpotenzal (=cost.) corrspondono a lnee ortogonal localmente al campo d veloctà. Dalla (9), se non rslta la crcolazone gale a zero (anche n n campo rrotazonale), coè nelle condzon n c non è valdo l teorema d Stokes, allora l potenzale dpenderà dal percorso fatto e sarà qnd na fnzone a pù valor. ds ds l l 6.3 FLUSSI POTENZIALI 3D Flsso nforme Consderamo n flsso nforme ed ndchamo con U la veloctà del fldo ndstrbato. Dato n sstema d ass cartesan orentato n modo che l asse concda con la drezone del flsso (come n fgra 8), l vettore sarà =(U,, ) y v Fgra 8. Flsso nforme n flsso potenzale 3D. 86

87 Il campo d moto scelto è rrotazonale e l potenzale sarà dato da U cost (9) la qale soddsfa n modo banale l eqazone d Laplace. Le sperfc eqpotenzal saranno n qesto caso pan con coordnata = cost. Dall eqazone d Bernoll nella forma (8) senza forze esterne, la pressone rslta ovnqe gale alla pressone d rfermento p (C p ). Sorgente o pozzo pntforme Immagnamo che da n pnto P del domno esca (sorgente) o entr (pozzo) na portata volmetrca d fldo par a m. Ovvamente l pnto P sarà na dscontntà del campo perché n tale pnto non vale l eqazone d conservazone della massa (non sarà qnd valdo l teorema della dvergenza). Possamo però calcolare l flsso attraverso na qalsas sperfce sferca, S, ntorno a P avente normale scente n, che sarà propro m m n ds (3) S C s rcondce n qesto modo ad n problema a smmetra sferca nel qale l nca grandezza geometrca defnta è la dstanza radale, r, d P da n pnto della sperfce S. Dovrà qnd rsltare che l potenzale e la veloctà saranno solo fnzone della coordnata r (n qanto non v sono mot tangenzal o azmtal). In coordnate sferche la fnzone gradente d veloctà pò essere scrtta come r n P S Fgra 9. Sorgente o pozzo pntforme n flsso potenzale 3D. 87

88 r r r sen (3) essendo e gl angol tangenzale e azmtale, dato che l elemento d volme (d d d 3 ) vene sosttto da (dr rd rsen d). Per la dpendenza pramente radale, d qeste tre component solo la prma sarà dfferente da zero. D consegenza anche la veloctà avrà come nca componente dfferente da zero qella radale (a sa volta fnzone d r) e dalla (3) m S r n ds r 4 r r dalla qale s rcava mmedatamente l espressone della componente radale della veloctà r m 4 r che decresce nversamente al qadrato della dstanza. Il campo rsltante s pò verfcare che è rrotazonale (tranne n P). Integrando la precedente s ottene l potenzale m 4 r cost (3) che è anche solzone dell eqazone d Laplace scrtta n coordnate sferche r sen r r r r sen r sen (33) Dpendendo solo da r, le sperfc eqpotenzal sono sfere concentrche centrate n P. S osserv che per m> c è n flsso volmetrco scente dalle sperfc che contornano P, qnd la dscontntà rappresenta na sorgente, mentre per m<, l flsso è entrante e la dscontntà rappresenta n pozzo. Dall eqazone d Bernoll, la pressone rslta na fnzone crescente allontanandos dal pnto P (la veloctà dmnsce) e C p per r. 88

89 Semcorpo S consder l campo ottento dalla sovrapposzone d na corrente nforme ed na sorgente (che ovvamente sarà ancora solzone dell eqazone d Laplace per la propretà d lneartà dell eqazone stessa) per l qale l potenzale sarà dato dalla somma delle (3) e (33) m U r cos cost 4 r avendo scelto n sstema d coordnate sferche, dalla (3) s ottene per le component d veloctà r m U cos 4 r U sen ; (34) Con qesta semplce sovrapposzone ottenamo che l campo smlato è qello d n semcorpo (come rappresentato n fgra ) che dvde le lnee tangent al vettore veloctà provenent dall'nfnto da qelle che passano per l'orgne ove è posta la sorgente. A conferma della smmetra rspetto all'asse, rslta = lngo l'asse d smmetra ( =, ). Come vsto nel captolo precedente, sono defnt pnt d rstagno pnt n c la veloctà è nlla. a r b Fgra. Semcorpo n flsso potenzale 3D. 89

90 Nel caso n esame s ha n solo pnto d rstagno lngo l'asse, per =, ad na dstanza, a, dall'orgne, ottenta annllando la r (l nca componente dfferente da zero lngo l asse) a m 4U Il raggo b della sezone trasversale del semcorpo, per dstanza assale tendente all'nfnto, s ottene egaglando la portata emessa dalla sorgente, m, con qella che attraversa tale sezone dove la veloctà è nforme, b U m m b U b a U A partà della veloctà nforme, U, l semcorpo amenta le se dmenson all'amentare dell'ntenstà della sorgente e vceversa, a partà dell'ntenstà della sorgente, le dmenson del corpo dmnscono all'amentare della veloctà. Per qanto rgarda l campo d pressone, applcando l teorema d Bernoll e sando le (35), s rcava p p U a r 4 a r cos da c rslta che d fronte al semcorpo (r=a, =) la pressone d rstagno è propro par alla somma della pressone statca e dnamca e che C p = (coè propro valor d rstagno trovat per l tbo d Ptot nel paragrafo 5.3). Invece per r, pp e C p. Inoltre, rspettando l blancamento tra energa cnetca e pressone, la pressone tende a dmnre lngo l semcorpo dove nvece la veloctà amenta. Per esempo nel pnto r=a, =/ la pressone è par alla dfferenza tra pressone statce e dnamca e C p =-. Qesto tpo d andamento (veloctà crescente e pressone decrescente) è qello che s rscontra nella parte anterore d ttt corp sa nel caso de flss potenzal che real (le dfferenze sostanzal sl campo d pressone s avranno nella sca de corp). 9

91 9 Corpo chso In manera analoga al caso precedente, se s sovrappone ad na corrente nforme na sorgente, S, ed n pozzo, P, d egale ntenstà, post ad na dstanza d, s smla n flsso attorno ad n corpo chso. Con rfermento alla fgra, s ottene: cos t r m r m U p s 4 4 dove d r d r p s sosttendo le espresson d r s ed r p e calcolando l gradente s ottene la veloctà s r p / d m r / d m U, p s r m r m In generale s smla n corpo chso tlzzando pozz e sorgent tal che abbano somma algebrca delle ntenstà egale a zero, mentre s smla n corpo aperto se tale somma è dversa da zero. X r s r p d S P Fgra. Corpo chso n flsso potenzale 3D.

92 Paradosso d D Alembert S rporta solo l enncato senza la dmostrazone d n paradosso dovto a Jean-Baptste Le Rond d'alembert (77-783): la rsltante delle forze fldodnamche agent s d n corpo chso da na corrente elerana d fldo deale (flsso potenzale) è nlla. Sebbene rferto ad na condzone deale qesto paradosso trova applcazone nel mondo reale per qe cas n c le veloctà n goco sano molto basse (mot lamnar). Per esempo n rmorchatore resce a spostare a bassa veloctà na nave d massa molto maggore mnmzzando le resstenze fldodnamche. 6.4 FLUSSI POTENZIALI D: PRECISAZIONI SULLA FUNZIONE DI CORRENTE Come vsto nel paragrafo 6., accanto al potenzale scalare è possble defnre n potenzale vettore che nell potes d rrotazonaltà soddsferà l eqazone d Laplace. Nel caso bdmensonale qesto potenzale s rdce ad na fnzone scalare detta fnzone d corrente. Consderamo n n campo ncompressble sl pano (, ), na lnea chsa orentata l, e de pnt, ed, s d essa come rappresentato n fgra. Graze all potes d ncomprmbltà ed al teorema d Green, s pò scrvere ds n dl (35) S l (essendo n la normale a dl) e spezzando l ntegrale n de part l n dl,l n dl,l n dl l S l Fgra. Lnea orentata n flsso pano ncompressble. 9

93 La relazone precedente pò anche essere rscrtta come,l n dl,l n dl, che stablsce che l flsso attraverso na lnea l dpende solo dagl estrem e non dalla forma della lnea stessa. Qnd, essendo l ntegrale ndpendente dal percorso segto, l dfferenzale n dl è esatto. Fssato, possamo defnre la fnzone d corrente, ψ n dl (36) Per trovare l legame con la veloctà del fldo, essendo n dfferenzale esatto, è possble scrvere d n dl ndl ndl cos dl sen dl d d ma essendo anche d d d rslta (37) In coordnate polar sarà r r r (38) 93

94 Anche qesta fnzone, come l potenzale scalare, ha n sgnfcato fsco ben precso perché la condzone d lnea d corrente, d=, =cost., corrsponde ad avere n dl=, coè d d d d d coè le lnee d corrente sono tangent localmente al vettore veloctà. Se prendamo qnd de lnee d corrente l flsso non potrà attraversarle e qnd l flsso attraverso d esse sarà nllo. D consegenza, essendo l fldo ncompressble, dalle (36) e (37) la dfferenza tra valor della fnzone d corrente tra qeste de lnee rappresenterà propro l flsso (coè la portata d fldo) attraverso tal lnee, ddq. Confrontando le relazon (38) con qelle che legano l potenzale alla veloctà, s pò faclmente rcavare che = (relazon d Cachy-Remann, Georg Fredrch Bernhard Remann, ) d consegenza le lnee so-potenzale sono ortogonal alle lnee d corrente. 6.5 FLUSSI POTENZIALI D Flsso nforme Come nel caso 3D, consderamo n flsso nforme ed ndchamo con U la veloctà del fldo ndstrbato. Dato n sstema d ass cartesan orentato n modo che l asse concda con la drezone del flsso, l vettore sarà =(U, ) (moto rrotazonale) e l potenzale e la fnzone d corrente saranno dat da U U cost cost (39) che soddsfano l eqazone d Laplace. Le sperfc eqpotenzal saranno lnee con coordnata = cost., mentre le lnee d corrente saranno lnee = cost., concdent con la tangente al vettore veloctà (s veda la fgra 8). Dall eqazone d Bernoll nella forma (8) senza forze esterne, la pressone rslta ovnqe gale alla pressone d rfermento p (C p ). 94

95 Sorgente o pozzo lneare Anche n qesto caso, come nel caso 3D, mmagnamo che da n pnto P del pano esca (sorgente) o entr (pozzo) na portata volmetrca d fldo par a m. Il pnto P sarà na dscontntà del campo. Possamo però calcolare l flsso attraverso na qalsas sperfce crcolare d raggo r ntorno a P avente normale scente n, che sarà propro m m n dl C s rcondce n qesto modo ad n problema a smmetra crcolare nel qale l nca grandezza geometrca defnta è la dstanza radale, r. Dovrà qnd rsltare che l potenzale, la fnzone d corrente e la veloctà saranno solo fnzone della coordnata r (n qanto non v sono mot tangenzal) e l nca componente dfferente da zero sarà la r (r). S potrà qnd scrvere r n dl r r m r dalla qale s rcava mmedatamente l espressone della componente radale della veloctà r m r che decresce nversamente alla dstanza. Il campo rsltante s pò verfcare che è rrotazonale (tranne n P). Integrando la precedente s ottengono l potenzale e la fnzone d corrente m lnr cost (4) m cost che sono anche solzone dell eqazone d Laplace n coordnate clndrche (34). Dpendendo l potenzale solo da r, le sperfc eqpotenzal sono crconferenze concentrche centrate n P, mentre le lnee d corrente sono lnee radal (=cost.) dal pnto P (fgra 9). Anche n qesto caso l segno d m determna se l flsso è scente (sorgente) o entrante (pozzo). Dall eqazone d Bernoll, la pressone rslta na fnzone crescente allontanandos dalla sorgente o dal pozzo (la veloctà dmnsce) e C p per r. 95

96 ortce S consder n domno bdmensonale rrotazonale con n pnto centrale P ntorno al qale la crcolazone sa dfferente da zero. Ovvamente l pnto P sarà na dscontntà del campo perché n tale pnto nel non vale l teorema d Stokes (la vortctà nel solo pnto P sarà dfferente da zero). Possamo calcolare la crcolazone, (per la regola della mano destra, la crcolazone è postva n senso antoraro), ntorno a P lngo na crconferenza d raggo r, mponendo che l campo d veloctà tangenzale sa dpendente solo da r (essendo l problema a smmetra clndrca) dl r r da c, r r (4) noltre, per costrzone, dovendo l flsso d massa essere nllo attorno a P r (r)=. Il potenzale e la fnzone d corrente s ottengono per ntegrazone delle (3) e (39) cost lnr cos t (4) che sono entrambe solzon dell eqazone d Laplace n coordnate clndrche e sono esattamente nvertt rspetto alle espresson (4) trovate nel caso d na sorgente (o pozzo) bdmensonale. Le lnee potenzal sono qnd lnee radal (=cost.), mentre le lnee d corrente sono crconferenze centrate nell orgne ( = cost. ln(r) = cost, r = cost.) ed l modlo della veloctà cresce ndefntamente man mano che c s avvcna ad essa come rappresentato n fgra 3 a snstra. Il segno d determna l verso d rotazone del vortce. Dall eqazone d Bernoll, la pressone rslta na fnzone crescente allontanandos dal centro del vortce (la veloctà dmnsce) e C p per r. In n vortce reale la veloctà avrebbe l andamento dato dalla (4) nella parte esterna mentre nella parte nterna avrebbe n andamento lneare (rotazone rgda per effetto della vscostà) come rappresentato n fgra 3 a destra. Infatt, l nca componente della vortctà del campo potenzale (4), 3, n coordnate polar, sarà data da 96

97 (r) potenzale (non vscoso) reale (vscoso) R r Fgra 3. Solzone vortce n flsso potenzale D (a snstra) e sovrapposzone delle solzon potenzale e reale per la componente d veloctà tangenzale (a destra). r r r r r r 3 coè come detto esste na crcolazone dfferente da zero anche se la vortctà è nlla e l teorema d Stokes non è valdo perché c è na lacna al centro del vortce che lo crea (n altre parole c deve essere n qalche meccansmo vscoso al centro del vortce che ha messo n rotazone l campo d moto). Qesta lacna corrsponde ad n ncleo rgdo, d raggo R, dove gl effett della vscostà sono mportant. In tale zona la veloctà avrà n andamento del tpo e la vortctà sarà r cos t. r R r 3 r r R r R coè è na costante. Il teorema d Stokes, valtato s na crconferenza d raggo R, fornsce per qesto campo d vortctà nella lacna propro l valore d e rslta qnd verfcato. 97

98 Doppetta Sano dat na sorgente ed n pozzo d par ntenstà, m, post, rspettvamente, nell orgne e ad na dstanza dall orgne lngo l asse. Il potenzale del campo d veloctà n n generco pnto P pò essere ottento graze al prncpo d sovrapposzone degl effett come la somma de de contrbt (4) s p m m lnr ln r dove r e r sono le dstanze del pnto P dalla poszone della sorgente e del pozzo. Se defnamo la m fnzone F lnr, possamo scrvere de potenzal d sorgente e pozzo come s = F() e p = -F(), nfatt e r r y r y. Defnamo noltre momento della coppa sorgente-pozzo l prodotto M = m. La doppetta è defnta come l lmte per della coppa sorgente-pozzo, con la condzone che l so momento, M, venga mantento costante lm s p M cos t.. Per calcolare qesto lmte, esprmamo l potenzale del pozzo per mezzo d no svlppo n sere d Taylor al prm ordne p F F r r m F... lnr m r r m... ln m r r r... e sosttamo lm F F M r M cos t., ottenendo nfne (essendo r cos=) la solzone dell eqazone d Laplace n coordnate clndrche detta doppetta M M cos cost (43) r r 98

99 (essendo l angolo che defnsce la poszone d P nseme alla coordnata radale r). Da qest ltma s rcava l espressone della veloctà r M cos r r M sen r r (44) ed nfne dalle (38) s rcava l espressone della fnzone d corrente (ovvamente anch essa solzone dell eqazone d Laplace) M sen cos t r (45) Le lnee d corrente s ottengono ponendo = k (n k è compresa anche la costante addtva) M sen k r e moltplcando per r e dvdendo per la costante s ha r M k rsen ovvero y M k y (46) la qale rappresenta n fasco d crconferenze che passano per l orgne e con l centro sll asse delle y, come rappresentato n fgra 4. Le lnee eqpotenzal saranno ortogonal a qeste e qnd n fasco d crconferenze con centro sll asse delle (rotato d 9 rspetto alle precedent). La confgrazone rota ttta d 9 se la doppetta è separata lngo l asse y nvece che lngo. Dall eqazone d Bernoll, la pressone rslta na fnzone crescente allontanandos dal centro della doppetta (la veloctà dmnsce) e C p per r. 99

100 y Fgra 4. Solzone doppetta n flsso potenzale D: lnee d corrente per separazone lngo l asse. Clndro nvestto da na corrente nforme Il flsso attorno ad n clndro, d raggo R, nvestto da na corrente nforme, U, s ottene sommando na doppetta ed na corrente nforme. Per dmostrare qesto fatto dobbamo verfcare che l eqazone d Laplace sa soddsfatta e che lo sano anche le condzon al contorno che saranno d mpermeabltà sl clndro e d corrente ndstrbata all nfnto. Il prmo reqsto è soddsfatto n modo banale essendo l eqazone d Laplace lneare, qnd la somma d de fnzon che soddsfano l eqazone d Laplace soddsfa a sa volta qesta eqazone. Per verfcare le condzon al contorno sl clndro esamnamo la fnzone d corrente d qesto problema ottenta sommando la (4) e (46) d U M y sen cost U r r M U sen cos t r che, se defnamo R M U, dventa R R U r sen cos t U y cos t r r (47) È facle osservare che per r=r la fnzone d corrente è costante (d=), qnd la crconferenza d raggo R è na lnea d corrente. Il campo d veloctà così generato soddsfa qnd la condzone d mpermeabltà s d n clndro d raggo R. Calcolamo l potenzale ed l campo d veloctà

101 d U M cos cost U r R r r cos cost U R r cost r U r U r R r R r cos sen (48) dalle qal s verfca che effettvamente slla sperfce del clndro (r=r) la veloctà radale s annlla (ma non qella tangenzale). Nel lmte d r l contrbto della doppetta tende a zero e la veloctà tende a qella del flsso ndstrbata, come rchede la condzone al contorno all nfnto (le lnee d corrente saranno parallele all asse ). In conclsone, sa l eqazone dfferenzale che le condzon al contorno sono soddsfatte, qnd la sovrapposzone d n flsso nforme e d na doppetta rappresenta effettvamente n clndro d raggo R nvestto da na corrente nforme. In fgra 5 vene mostrata la confgrazone delle lnee d corrente rsltant. È nteressante stdare le condzon slla sperfce del clndro, la veloctà è R R r U sen Qnd de pnt d rstagno (paragrafo 5.3) s trovano entramb sll asse delle ne pnt posterore e anterore ndvdat da =,. La veloctà assme nvece l so valore massmo n corrspondenza d = / e = 3/, dove ha n valore doppo d qello del flsso ndstrbato. r P.R. P.R. Fgra 5. Lnee d corrente per n clndro n corrente nforme n flsso potenzale D.

102 La dstrbzone delle presson nel campo pò essere rcavata dall eqazone d Bernoll. Sl clndro la pressone sarà massma ne pnt d rstagno (par alla pressone totale), mentre assmerà l so valore mnmo n corrspondenza de pnt ne qal la veloctà è massma. Sempre essendo valda l eqazone d Bernoll nella sa forma pù semplce (8) senza forze d massa, l coeffcente d pressone potrà essere scrtto semplcemente attraverso la veloctà p p C p (49) U U Sosttendo l espressone per l modlo della veloctà ottenta nella (49) s ottene l andamento n ttto l campo. Se n partcolare calcolamo qesto coeffcente slla sperfce del clndro, s ottene l andamento rappresentato n fgra 6 C p 4sen (5) da c s rtrova che ne pnt d rstagno C p =, che nel pnto d massma veloctà e mnmo d pressone C p =-3 e che c sono qattro pnt slla sperfce dove l coeffcente s annlla ( = /6 e = 5/6). Nella parte destra della fgra 6 è anche rappresentato l confronto tra l andamento nel fldo deale e qello del caso d flsso reale vscoso (lamnare), dove l attrto mpedsce d alla veloctà d amentare fno a U e alla pressone d decrescere fno a C p =-3; manca noltre l completo recpero d pressone nella sca. C p () Cp< potenzale (non vscoso) Cp> Cp> / reale (vscoso) Cp< -3 Fgra 6. Andamento del coeffcente d pressone ntorno ad n clndro n corrente nforme n flsso potenzale D.

103 Nelle potes adottate per lo stdo de flss potenzal, essendo trascrabl gl effett della vscostà, le nche tenson n goco sono qelle normal, descrtte dal campo d pressone. Come mostrato nel paragrafo., ntegrando tale andamento moltplcato per la normale scente al clndro s ttta la sperfce del clndro s ottene la forza rsltante sl clndro stesso F S pn ds S S p cos ds p sen ds (5) Nel caso caso deale, dalle (5) non rslterà alcna forza (n effett la stazone è smmetrca), rsltando qnd verfcato per qesto corpo partcolare l paradosso d d Alembert, mentre nel caso reale c sarà na rsltante dversa da zero lngo detta resstenza d pressone o d forma. Clndro n rotazone nvestto da na corrente nforme Aggngamo al campo stdato nel paragrafo precedente n vortce con crcolazone (crcolazone antorara) centrato nell orgne. Come vsto nel paragrafo sl vortce, possamo mmagnare che qesta crcolazone sa generata, attraverso la vscostà, dalla rotazone del clndro ntorno al so asse. In qesta schematzzazone natralmente la vscostà non pò essere ntrodotta, possamo però mmagnare d rappresentarne globalmente gl effett, ntrodcendo n vortce elementare. Il potenzale e la fnzone d corrente saranno qnd la somma delle (4), (43) e (46) R d v U cost r (5) R U d v y lnr cost r e l campo d veloctà r U r U r R r R r cos sen r (53) Rspetto al caso precedente del clndro non rotante, s not che la presenza del vortce ha cambato la componente tangenzale d veloctà ma ha lascato nalterata qella radale. La crconferenza data 3

104 da r = R è ancora na lnea d corrente, e l effetto del vortce tende a zero qando r, dnqe le condzon al contorno sono ancora soddsfatte. Slla sperfce del clndro la veloctà è data da r R R U sen R (54) I pnt d rstagno s ottengono mponendo che la componente d veloctà tangenzale s annll, sen 4RU La solzone d qesta eqazone non è nca. Esstono solzon se < (4R U ) (con negatvo coè n verso oraro qest angol sono compres tra π e π, come rappresentato n fgra 7), ne ha na sola se = (4R U ) (le de solzon d fgra 7 tendono ad n nca con =-/), mentre non ne ha nessna se > (4R U ) (l pnto d rstagno è for dal clndro). In assenza d crcolazone (clndro non rotante, ) de pnt d rstagno s troverebbero s lat oppost come gà trovato per l caso non rotante. L aver ntrodotto na crcolazone dfferente da zero ha portato n potenzale a pù valor con pù solzon possbl (s veda l paragrafo 6.). Ovvamente non è valdo l teorema d Stokes come nel caso del vortce solato (qesto sgnfca che le solzon dell eqazone d Laplace n regon non semplcemente connesse nel caso D non sono nvoche, mentre lo sono n 3D). S not che la crcolazone non compare nelle condzon al contorno. Cp< v P.R. R P.R. Cp> Cp> Cp< Fgra 7. Andamento delle lnee d corrente (a snstra) e del coeffcente d pressone (a destra) ntorno ad n clndro rotante n corrente nforme n flsso potenzale D. 4

105 Come per l clndro non rotante, attraverso l campo d veloctà è possble determnare l campo d pressone attraverso l teorema d Bernoll e la consegente relazone (5). In partcolare, slla sperfce del clndro, la pressone e l coeffcente d pressone rslteranno par a pr p U 4sen 4 R U RU C p R sen U 4 4 R U RU sen sen che contene de termn aggntv rspetto al caso non rotante. La dstrbzone del coeffcente d pressone rsltante è mostrata nella fgra 7 a destra, nella qale s nota na larga zona d depressone nella parte sperore e na pccola zona d sovrapressone nella parte nferore. Qesta asmmetra della dstrbzone lngo l asse vertcale darà presmblmente orgne ad na forza. S not che nel caso d flsso reale, la dstrbzon d presson lngo la vertcale non vene molto alterata (mentre lo è lngo l orzzontale come vsto per l clndro non rotante) e qnd l rsltato trovato resta penamente valdo. La rsltante delle azon che l fldo esercta s d n corpo dalla (5) sarà ottenta sosttendo l espressone della pressone slla sperfce del clndro appena trovata p U U F U sen sen n Rd. 8 R R L ntegrale del prmo e terzo termne tra parentes è nllo perché s tratta d n termne costante con l angolo (e dalla normale vengono for le fnzon snsodal ad ntegrale nllo perché fnzon dspar), mentre l ntegrale del secondo termne rslta nllo perché l prodotto per la fnzone seno al qadrato ancora fornsce na fnzone dspar (la stessa che s sarebbe ottenta per n clndro senza crcolazone). Solo l ltmo termne fornsce n contrbto dfferente da zero e n esso c è sa l contrbto della corrente nforme che della rotazone. Proettando lngo gl ass s ottene F F U U sen cosd send sen U sen d (55) 5

106 Come gà detto, la prma costtsce la cosddetta resstenza d forma, mentre la seconda, n drezone vertcale, costtsce la portanza. Tale forza pò essere calcolata notando che d sen d cos d ma, dando de ntegral gale contrbto, cascno d ess vale. Qnd, l nca componente della forza che l fldo esercta sl clndro, qella ortogonale alla corrente ndstrbata, rslta data dalla portanza F U (56) ettoralmente la relazone precedente pò essere anche scrtta come F (57) U che fornsce anche l verso della forza (dato qello della corrente nforme e della crcolazone). Qesto rsltato, appena dmostrato per n clndro rotante nvestto da n flsso nforme, pò essere generalzzato al caso d n qalsas corpo generato da pozz, sorgent, vortc e doppette, nvestto da n flsso nforme e, n qesto caso, prende l nome d teorema d Ktta-Jokowsky (Martn Wlhelm Ktta, ; Nkola Yegorovch Zhkovsky, 847-9). In partcolare l teorema s applca a ttte le condzon nelle qal ntorno ad n corpo n moto nforme vene generata na crcolazone. Esemp pratc d tal condzon vanno da profl alar (e qnd n ttte le applcazon collegate comprese le pale eolche), a boomerang e alle sfere n rotazone n movmento n ambto sportvo e non (effetto Magns, Henrch Gstav Magns, 8-87). Qnd, anche n n flsso deale potenzale s n corpo, prché n rotazone, nasce na forza perpendcolare all asse d spostamento del corpo e, come detto, qesto rsltato trova bona conferma anche nel caso d flsso reale al qale pò qnd essere esteso. Come vedremo nel prossmo captolo, nfatt, gl effett della vscostà sono generalmente confnat n n pccolo strato n prossmtà del corpo (strato lmte) e non vene fortemente alterata la dstrbzone delle presson ntorno al corpo stesso rspetto al caso d flsso deale. 6

107 Captolo 7 STRATO LIMITE O SOLUZIONI INTERNE 7. IPOTESI DI PRANDTL Nell affrontare molt problem fldodnamc, bsogna consderare che gà per n flsso con veloctà caratterstca d m/s e dmensone caratterstca d m, l nmero d Reynolds (ntrodotto nel paragrafo 4.8) è dell ordne d 5 (n ara) o pù. D consegenza, nelle eqazon d Naver- Stokes nella forma admensonale (4), sembrerebbe possble trascrare termn contenent gl effett della vscostà vsto che qest sono precedt da n fattore nmerco /Re. Cò comporterebbe la possbltà d rdrre l sstema d eqazon a qelle descrtte alla fne del captolo 5 e valde per flss potenzal per ttt qeste stazon. In effett, però, termn contenent gl effett della vscostà contengono dervate seconde delle component d veloctà e potrebbero esserc regon del campo dove qeste sano partcolarmente elevate compensando così valor molto bass d /Re. Qesto accade propro n prossmtà d sperfc non permeabl (sperfc de condott degl mpant, sperfc de modell) dove la condzone al contorno d veloctà nlla alla parete mpone che c sa n gradente d veloctà dfferente da zero: tale zona è detta strato lmte. A partre da osservazon spermental, Ldwg Prandtl ( ) formlò la cosddetta potes d Prandtl secondo la qale gl effett vscos sono sgnfcatv e comparabl come ordne d grandezza con termn nerzal n qesto strato lmte, n prossmtà d sperfc, l c spessore tende a zero al tendere del nmero d Reynolds all nfnto, mentre tal effett sono trascrabl all esterno. Cò sgnfca che all esterno dello strato lmte l comportamento del flsso sarà pù o meno potenzale, mentre all nterno andrebbero rsolte le eqazon d Naver-Stokes n forma completa (n realtà vedremo che l potes d Prandtl d strato sottle semplfcherà le cose). Qesta potes permette anche d conclare le de approssmazon d poter trascrare gl effett vscos per elevat nmer d Reynolds e d soddsfare la condzone al contorno d veloctà nlla alla parete. Come esempo specfco d qanto detto consderamo l caso della lastra pana nvestta da n flsso nforme con veloctà U d n fldo ncomprmble e spponamo noltre che l flsso ndstrbato sa orentato secondo l asse e che tale sa anche la drezone della lastra (fgra 8). 7

108 y y strato lmte L Fgra 8. Flsso nforme s lastra pana nel caso potenzale (n alto) e reale (n basso). Essendo la lastra d spessore nfntesmo, come mostrato nella fgra 8, dalla trattazone de flss potenzal del captolo precedente, qesto problema ha la solzone banale U. Qnd, secondo qesta solzone, la presenza della lastra non modfca l flsso nforme. Tale solzone soddsfa le condzon al contorno all nfnto e qella d mpermeabltà ma non la condzone d aderenza sl corpo, poché la veloctà slla lastra è sì tangente, ma non nlla. Affnché sa possble soddsfare qesta condzone d aderenza e contemporaneamente qella d veloctà par alla veloctà esterna U, sarà presente n prossmtà della lastra na zona nella qale termn vscos saranno dello stesso ordne d grandezza de termn nerzal, nella eqazone d Naver-Stokes. Qesta zona è qella che è stata defnta come strato lmte dove gl effett della vscostà permettono l raccordo tra cò che sccede alla parete e cò che sccede all esterno. 8

109 9 7. EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE Senza perdere d generaltà, l problema pò essere mpostato nell potes d flsso bdmensonale, vsto che è possble rcondrre n generco problema trdmensonale d strato lmte a qello s pan separat. Consderamo n corpo generco affsolato (coè con bassa crvatra, ovvero con rapporto tra lo spessore dello strato lmte ed l raggo d crvatra molto mnore d ), n assenza d forze esterne (forze esterne d tpo conservatvo possono n realtà essere sempre nclse nseme al gradente d pressone come vsto nel captolo 5), nvestto da n flsso ncompressble avente nmero d Reynolds molto elevato (al lmte (Re) come rappresentato n fgra 9. Le eqazon che regolano l moto saranno le segent (da qelle rportate n 4.) p t p t (58) coè le eqazon d contntà e d Naver-Stokes, nelle tre ncognte, e p. Le condzon al contorno saranno ( = dentfca la sperfce del corpo con pccolo spessore e crvatra) per p p,,,t U per, e Fgra 9. Schematzzazone d strato lmte sottle ntorno a n corpo. strato lmte L U e

110 Dove U e rappresenta la solzone esterna, che pò essere varable n dpendenza della geometra del corpo e del tempo e che nel caso della lastra pana è propro la U. Le tre eqazon precedent eqvalgono ad n eqazone dfferenzale del qarto ordne. Qesto s pò dmostrare dervando la prma rspetto a e la seconda rspetto a e sottraendole (o anche facendo l rotore dell eqazone vettorale). Introdcendo la fnzone d corrente (caso ncompressble D), l eqazone d contntà sarà atomatcamente soddsfatta e s otterrà t 4 (59) che è propro n eqazone non lneare del qarto ordne nell nca ncognta, con le qattro condzon al contorno per le component normale e tangenzale d veloctà slla sperfce del corpo n n e molto lontano da esso U e,t Ponendo = nella (6), l eqazone s rdce al terzo ordne e bsognerà rnncare ad na condzone al contorno per rsolvere l problema. Se l corpo è mpermeable, s rnncerà a qella slla veloctà tangenzale poché le altre sono necessare alla rsolzone nvoca corretta del problema. La veloctà d scorrmento sl corpo rslterà qnd non nlla come gà detto nel paragrafo precedente. Per cercare qnd d semplfcare l problema costtto dalle eqazon (59) o (6) bsognerà sfrttare l potes aggntva d Prandtl. Effettamo percò n anals degl ordn d grandezza de var termn delle eqazon sceglendo come scala delle lnghezze la lnghezza del corpo, L, come scala d veloctà la veloctà d rfermento della corrente ndstrbata, U, e come

111 denstà qella del fldo (trattato come ncompressble) (fgra 9). L potes d Prandtl s tradce percò nel dre che lo strato lmte sarà caratterzzato da no spessore,, molto pccolo rspetto a L L (6) (tpcamente almeno n ordne d grandezza). Senza rpetere l dscorso gà fatto nel paragrafo 4.8, ntrodcendo grandezze admensonal, le (59) s modfcano nelle eqazon Re p t Re p t (6) dove ttte le qanttà sono admensonal e Re=LU /. S not che, rspetto al paragrafo 4.8, s sono scelte grandezze d rfermento per l tempo e per la pressone rspettvamente par a L/U e U, coscché nmer d Strohal e Rark sano entramb par a. Le condzon al contorno sono le stesse d qanto vsto n precedenza ma per le qanttà admensonal. Possamo allora cercare d capre l ordne d grandezza de var termn tlzzando l approssmazone (6). Infatt, ndcando con l apce le grandezze dmensonal o() e essendo / ) o( ' essendo / ' o() ' essendo / ' o() ' essendo / ' L L L U U e qnd la prma delle (6), l eqazone d contntà, pò essere valtata?. e qnd per verfcare l eqazone dovrà essere come ordne d grandezza

112 Δ o (6) coè <<U. Allora s pò consderare la prma eqazone d Naver-Stokes nelle (6) per valtare Δ Δ?? Δ Δ Re p t dove tra de termn n parentes a secondo membro s rconosce, per la (6), che l secondo è molto maggore del prmo, che qnd pò essere trascrato. D consegenza, ndpendentemente dall ordne d grandezza del gradente d pressone assale (che pò anche essere nllo come nel caso della lastra pana), affnché termn vscos a secondo membro possano blancare qell nerzal a prmo membro, deve essere Δ o Re (63) n caso contraro rcadremmo nella categora de flss d Stokes (termn vscos preponderant) o d Elero (termn vscos trascrabl). La (64) c conferma, come era stato potzzato che se lo strato lmte è sottle allora l nmero d Reynolds è molto elevato e vceversa. Se ora consderamo la seconda eqazone d Naver-Stokes (6) Δ Δ Δ Δ Δ? Δ Δ Δ Δ Δ Re p t dove d novo l secondo termne tra parentes a secondo membro è molto maggore del prmo che qnd pò essere trascrato. In qesta eqazone ttt termn sono d ordne e qnd c s aspetta cha anche l gradente d pressone vertcale sa non sperore a qest ordne Δ o p (64)

113 coè la varazone d pressone perpendcolarmente alla sperfce del corpo è pccola. Cò permette d assmere che la pressone n drezone normale al corpo, e qnd allo strato lmte che s d esso s svlppa, sa costante e gale al valore che assme all esterno dello strato lmte. Qest ltma è nota dalla solzone del campo esterno che, essendo non vscoso, con ottma approssmazone è ottenble dalla solzone potenzale (qale qelle ottente nel captolo precedente). D consegenza s pò scrvere che la pressone dpende solo dalla coordnata assale p dp d e qnd p p,t (65) Qesta forte semplfcazone, come detto, permette d ottenere la pressone dalla solzone del campo esterno, che, dall eqazone d Elero (), consderando le approssmazon (63), (65) e (66), pò essere scrtta per la sola componente assale admensonale come U t e U e U f dp e d (66) dove, come gà rlevato, le forze esterne, se conservatve, possono essere nglobate nel termne d pressone. La relazone precedente permette d sosttre l gradente d pressone con la solzone del campo d veloctà esterno. Nel caso stazonaro, senza forze esterne, la relazone dventa semplcemente d U d e dp (67) d che pò anche essere ottenta semplcemente dall eqazone d Bernoll (valda per l flsso esterno) nella forma pù semplce (8). In base a qanto detto, l sstema d eqazon (6) s semplfca n t dp d Re p (68) 3

114 nelle ncognte le de component d veloctà (come detto, la pressone è assegnata dalla condzone esterna) con le condzon al contorno, per U e,t U per e l eventale condzone nzale sl campo d veloctà per l caso non stazonaro (che vene sosttta da na condzone sl proflo d veloctà nella sezone nzale, =, per l caso stazonaro). Le eqazon precedent sono dette eqazon d Prandtl. La semplfcazone ottenta con le eqazon d Prandtl è notevole perché la seconda eqazone d Naver-Stokes s è rdotta alla (65), ma sopratttto nella prma c è stato n cambo nella natra dell eqazone elmnando no de de termn nel laplacano (l eqazone è dventata parabolca da ellttca che era). Qesto fatto permette d ottenere delle solzon del campo che non nflenzno qello che sccede a monte della corrente ma solamente qello che sccede a valle e qnd permette n ntegrazone del sstema per valor dell ascssa assale crescent. Inoltre le ncognte s sono rdotte da tre a de. In effett, n alcne condzon, è possble dmostrare, come verrà fatto nel paragrafo 7.5, che tale eqazone è eqvalente ad n eqazone del terzo ordne per na fnzone scalare con tre condzon al contorno. 7.3 SPESSORE DELLO STRATO LIMITE L Se consderamo novamente la relazone (64), possamo scrvere che Re, e qnd coè L (69) Re L (7) U o, se al posto d L samo la dstanza dal pnto n c nza a svlppars lo strato lmte, ' ' (7) U 4

115 (l apce ndvda grandezze dmensonal). Le relazon (7) e (7) c dcono che lo spessore dello strato lmte (anche se per ora genercamente defnto) dmnsce al crescere del nmero d Reynolds (come la radce qadrata) e cresce al crescere della dstanza dal pnto n c nza a svlppars (sempre con la radce). Inoltre tale spessore dmnsce con la radce della vscostà del flsso. Qest rsltat confermano la valdtà delle potes fatte qando l nmero d Reynolds è elevato e permettono anche n prmo calcolo degl effett dello strato lmte sl flsso ndstrbato. Dalla (7) se calcolamo lo sforzo vscoso alla parete, come nel paragrafo 5., s ottene 3 / / e U U ' ed l coeffcente d resstenza d attrto (la forza admensonale) sarà dato da C D 3 / / S S U / U S U S U ds / ' ' U Re coè l coeffcente d attrto dmnsce all amentare del nmero d Reynolds, ma dfferentemente da qello all nterno d n condotto dato dalla (5) (dpendenza dall nverso del nmero d Reynolds). In effett però n qella relazone comparva l nmero d Reynolds costrto con la dmensone del condotto e non con la dmensone longtdnale. Se q analogamente costramo l nmero d Reynolds con na grandezza ortogonale alla drezone della corrente meda, qale ad esempo lo spessore dello strato lmte, ottenamo propro na dpendenza smle a qella del condotto, C D /Re (da verfcare per eserczo). In altre parole la relazone tra nmer d Reynolds è del tpo Re Re / (e così anche per l valore del nmero d Reynolds per la transzone lamnare-trbolento). Dalla (7) scrtta n fnzone della coordnata, s pò anche trovare C D ' ' (7) coè l coeffcente d attrto dmnsce movendos lngo l corpo (perché amenta lo spessore dello strato lmte e dmnscono gradent d veloctà). Inoltre la resstenza d attrto è drettamente proporzonale allo spessore locale dello strato lmte. 5

116 7.4 SEPARAZIONE DELLO STRATO LIMITE La trattazone svolta nel paragrafo 7. è valda fnché la sperfce del corpo è pana o con bassa crvatra. Qando nvece la crvatra dventa eccessva, lo spessore dello strato lmte tende a crescere e non sarà pù possble formlare l potes d Prandtl ma solo trattare le eqazon nella loro forma generale. La cosddetta separazone del fldo avvene qando le lnee d corrente che lambscono la parete s allontanano da qesta a casa d gradent d pressone avvers, provocat dalla creazone, a valle della separazone stessa, d na zona vortcosa nella qale l moto non contrbsce al flsso medo del fldo ma ha la sola consegenza d determnare elevat tass d dsspazone d energa. Qesto fenomeno pò avvenre sl dorso d n proflo nvestto da n flsso, qando esso sa posto ad n angolo d ncdenza sffcentemente grande rspetto al flsso ndstrbato, oppre nella parte anterore e nella sca d oggett tozz o n corrspondenza d brsche varazon della geometra della sperfce o de condott (per esempo l allargamento d n tbo) come rappresentato n fgra 3. (a ) Z o n a d s epara zo n e (b ) S S S 3 Fgra 3. Modaltà d separazone della corrente flda n corrspondenza d corp tozz (a), d corp ad elevato angolo d ncdenza (b) e d allargament n n condotto o varazon brsche della geometra della sperfce (c). (c ) 6

117 Il gradente d pressone avverso è partcolarmente sentto propro n prossmtà della parete dove l fldo perde energa cnetca e non resce a penetrare nella zona a pressone crescente. La consegenza è qella che l fldo s arresta e s allontana dalla parete d fronte al flsso retrogrado provenente dalla zona a valle della separazone. Il pnto d separazone (o dstacco) rappresenta propro l confne tra la zona d flsso dretto e qella d flsso nverso. Dall anals de profl vertcal d veloctà assale a monte, n prossmtà e a valle del pnto d separazone, mostrat nella fgra 3, s dedce che la veloctà dmnsce sempre d pù all nterno dello strato (sezone S), con dervata alla parete maggore d zero, fno a qando, nel pnto d separazone, l proflo ha tangente vertcale, dervata alla parete nlla, (sezone S) (73) mentre, a valle d qesto pnto, s ha na zona d rcrcolo, nella qale la veloctà s nverte (sezone S3) e la dervata d veloctà alla parete sarà negatva. Come detto, a valle d tale pnto d separazone, non è pù valda l potes d rrotazonaltà del flsso e non s potranno tlzzare le semplfcazon d Prandtl. Però fno a tale pnto, le eqazon (69) sono valde e se le calcolamo propro slla parete ottenamo (essendo = = ) nel caso stazonaro dp d Re. (74) y y y e e e S S S3 Fgra 3. Profl vertcal d veloctà assale nelle tre sezon a monte (S), n corrspondenza (S) e a valle (S3) del pnto d separazone mostrate n fgra 3. 7

118 (per la (65) l gradente d pressone è lo stesso n prossmtà e lontano dal corpo), coè l segno della dervata seconda del proflo d veloctà alla parete è determnato dal gradente d pressone assale. Con rfermento alla fgra 3, notamo qanto sege: - lontano dalla parete, n ttte le condzon, la veloctà tende asntotcamente alla veloctà esterna e qnd la dervata prma sarà postva decrescente e qella seconda negatva e tendente a zero; - nel caso n c l gradente d pressone assale rslt nllo (lastra pana), la dervata seconda alla parete sarà anch essa nlla dalla (75); cò vol dre che alla parete la dervata prma sarà costante e che qnd l proflo d veloctà tenderà a zero pù o meno lnearmente; - nel caso n c l gradente d pressone assale sa negatvo (dalla (68) qesto sgnfca che l flsso esterno accelera coè che samo n presenza d na sezone che s restrnge), allora sempre dalla (75) s avrà dervata seconda negatva alla parete e qnd dervata prma crescente verso la parete e proflo d veloctà monotoncamente crescente; - nfne, nel caso n c l gradente d pressone assale sa postvo (dalla (68) sgnfca flsso esterno che decelera coè che samo n presenza d na sezone che s allarga), dalla (75) s avrà dervata seconda postva alla parete che qnd camba segno rspetto al campo esterno così come la dervata prma e l proflo stesso d veloctà che presenta qnd n nversone. La separazone avvene propro nel passaggo tra gradente d pressone negatva a postvo come rassnto nella fgra 3. In partcolare s avrà l pnto d separazone propro dove la dervata prma s annlla come nella (74). Qesta è na stazone ntermeda tra qella del secondo e terzo caso della fgra 3 dove la dervata prma passa da postva a negatva. S pò concldere qnd che la separazone dello strato lmte pò avvenre solo n corrspondenza d na zona nella qale l gradente d pressone (o pù n generale d carco pezometrco qalora v sa la forza gravtazonale come forza esterna) sa postvo, cò corrsponde ad na zona d flsso rallentato. Se consderamo, ad esempo, l flsso all nterno d n condotto nel qale sa ntrodotta na varazone locale della sezone, l eventale dstacco dello strato lmte avvene generalmente n corrspondenza della zona d espansone pù che n qella d contrazone. 8

119 dp/d = nessn dstacco p p e p d /d d /d U e 4 dp/d < nessn dstacco p p e <p d /d d /d U e dp/d > dstacco p d /d d /d U e Fgra 3. Profl vertcal n no strato lmte d veloctà assale e della dervata prma e seconda nelle tre condzon d gradente d pressone nllo (n alto), negatvo (al centro) e postvo (n basso). 9

120 7.5 SOLUZIONI DI STRATO LIMITE Nelle eqazon (69) pr essendov grand semplfcazon rspetto alle eqazon complete d Naver-Stokes, c sono ancora delle non lneartà a prmo membro e delle dervate seconde a secondo. Qeste eqazon possono essere rsolte abbastanza faclmente attraverso metod nmerc n de cas partcolar: - solzon sml alla Falkner-Skan, d c n caso partcolare è la solzone per lastra pana d Blass, (Pal Rchard Henrch Blass (883-97); - solzon ntegral alla on Karman (Theodore on Karman, ). Solzon sml. Nel paragrafo 7. le eqazon d Prandtl sono state scrtte n forma admensonale tlzzando la stessa ntà d lnghezza lngo de ass, rsltando così ordn d grandezza dfferent per le coordnate assale (n drezone del moto medo) e vertcale (n drezone ortogonale allo strato lmte). Se nvece vene sata la nova coordnata dmensonale *= / (con dato dalla (6)), allora è possble elmnare la dpendenza dal nmero d Reynolds nelle eqazon (almeno fnché sono valde le condzon d lamnartà del flsso). Infatt, per soddsfare l eqazone d contntà, deve essere ntrodotta la nova varable *= / e le eqazon d Prandtl (69) n forma admensonale dventano t * * * * p * dp d * (75) nelle ncognte le de component d veloctà, con le condzon al contorno * *, per * U e,t U per

121 Una solzone delle eqazon precedent pò essere ottenta ntrodcendo la varable = /( ), (grandezze dmensonal) coè scalando la coordnata vertcale con lo spessore locale dello strato lmte. Il domno d ntegrazone vene qnd modfcato con che vara da a mentre vara da a. Qesta poszone vene scelta per ndagare se esstano solzon sml per l proflo vertcale d veloctà assale, ( ), che possano essere scalate a dfferent ascsse solo tramte lo spessore locale dello strato lmte. Dal pnto d vsta matematco, qesto s tradce nel rchedere che la solzone sa fattorzzable n na fnzone della sola ed n na della sola. Dalla (7) modfcata consderando che genercamente la solzone esterna s pò esprmere come U e ( ), s ottene ' ' U ' e per c è possble scrvere la nova varable come U ' U L U ' L U ' ' ' e e * e * L ReL ' L ' U L ' U U g che defnsce la fnzone g( ). Come gà detto nel paragrafo (7.), è possble ntrodrre la fnzone d corrente tale che, * *, e nserrla nelle eqazon (69) con l eqazone d contntà atomatcamente soddsfatta. Come detto, l potes d ato-smlartà delle solzon s tradce matematcamente nel rchedere che *,, h f Esamnamo termn present nell nca eqazone rmasta dalla (69), per l caso stazonaro f h * f * f g

122 h f g f h h h f f * * hg hg f g f hg hg f hg f f hg * f hg f hg * * f hg f hg * * 3 avendo ndcato con l pnto la dervata prma, con de pnt la seconda e così va. Qeste relazon permettono d ottenere l eqazone alle dervate ordnare d terzo grado 3 hg f d du U hhg f f hg hg hg f e e (76) con le condzon al contorno / coè coè U U g f h f h f g f h f g f h e * * * * Dall ltma condzone, s pò sceglere f, così che U U g h e /, e qnd le de component d veloctà saranno date da f f g, U U f, * e / (77) essendo g d U U d g h g d U U d h g U U h U U g e e / e / e / / / /

123 e avendo posto l gradente relatvo normalzzato U / U e d U e/ U d Inserendo qeste fnzon e le dervate nell eqazone (77) s ottene l eqazone f f f f (78) detta eqazone d Falkner-Skan che è n eqazone alle dervate ordnare, non lneare, del terzo ordne con l parametro che dpende dal campo esterno. L eqazone va rsolta con le tre condzon al contorno f, f, f e pò essere rsolta nmercamente per la fnzone f, na volta assegnato l campo esterno U e ( ), scrvendola come n sstema d tre eqazon del prmo ordne. Dalla fnzone f s trova la fnzone d corrente, essendo la fnzone h dpendente anch essa dal campo esterno, e qnd le de component d veloctà. Però, se coeffcent dell eqazone non sono costant ma dpendono da, =( ), allora non s resce ad ottenere na solzone dalla (79). Cò sgnfca che non è lecta la fattorzzazone slla fnzone d corrente ntrodotta n precedenza, a meno che U / U e d U e U d / cos t coè, a meno d costant moltplcatve, che U e U Per > trovamo che la veloctà esterna deve amentare con la coordnata assale coè che samo nella parte anterore d n corpo (come nella parte anterore d n cneo). Per < la veloctà esterna deve dmnre con la coordnata assale coè che samo nella parte posterore d n corpo (come n na zona n c l fldo s allarga). Infne se = la veloctà esterna resta sempre par alla veloctà lontano dal corpo (come nella lastra pana) (s not che per = la (79) descrve l flsso verso n pnto d rstagno). Nel caso della lastra pana, la (79) s semplfca nell eqazone d Blass 3

124 f f f (79) formalmente analoga a qella e con le stesse condzon al contorno. La solzone nmerca d qesta eqazone mostra che gà per 5 la fnzone f rslta tale che =U e U a meno d /, coè che lo spessore dello strato lmte slla lastra pana, cosddetto al 99%, rspetto all ordne d grandezza trovato nella (7) è ' ' 99' 5 5 (8) U Re Nella fgra 33 sono rportat gl andament della fnzone f () e delle se dervate prma e seconda. Da qest s possono faclmente dedrre gl andament delle de component d veloctà ottente dalle (78) (admensonalzzate con la U ). In partcolare la componente assale concde propro con la dervata prma d f (essendo U e U ) e qnd cresce qas lnearmente, mentre la componente vertcale tende al valore. 85 (8) Re f f' f'' Fgra 33. Andamento della fnzone f e delle se dervate prma e seconda per la solzone lastra pana. 4

125 5 Coè, pr essendo n presenza d na lastra pana, la veloctà vertcale ha n valore dfferente da zero a casa dello spessore crescente dello strato lmte. E anche possble trovare lo sforzo tangenzale alla parete, dato da: / / / * ' U. f ' U f hg * (8) coè gale a qanto ottento nel paragrafo 7.3, ma con n coeffcente nmerco par a crca /3 d qello ottento solo con n ragonamento pramente dmensonale (allo stesso modo saranno moltplcat l coeffcente d attrto locale, la resstenza complessva e l C D, cha avrà n coeffcente moltplcatvo par a.664). Solzon ntegral. La seconda possbltà per rsolvere le eqazon dello strato lmte è qella n c s effetta n ntegrazone delle eqazon d Prandtl e s consdera qnd l eqazone medata s ttto lo strato. Integrando la seconda delle eqazon (69), nel caso stazonaro, dalla parete ( =) fno all esterno dello strato lmte ( =h), s ottene n forma dmensonale h h e e d d d du U (83) avendo sosttto al gradente d pressone qello della veloctà esterna. Il termne a secondo membro è par a d h h Invece a prmo membro, l secondo termne dventa (ndcando ( =h)= h ) h h e h h h d U d d Ma dall eqazone d contntà, coè la prma delle (69) rslta

126 6 d e qnd l secondo termne della (84) dventa h h e d d U e la (84) pò essere rscrtta come d d du U U h e e e coè d d du d du d du U U h e e e e e d U d du U h e e e h e e h e d U d du d U Introdcamo ora le de qanttà d U U e e s, d U U e e (84) dette rspettvamente spessore d spostamento e d qanttà d moto. Il prmo rappresenta la dstanza della qale vene spostato l campo potenzale esterno a casa della rdzone d veloctà nello strato lmte (nfatt, come rportato n fgra 34, U e s rappresenta la portata d fldo deale, non vscoso, attraverso lo spessore dello strato lmte che è propro gale alla portata del dfetto d veloctà rportata sotto l segno d ntegrale).

127 y e Fgra 34. Sgnfcato fsco dello spessore d spostamento. Per calcol pratc l ntegrale vene d solto lmtato ad na dstanza dalla parete tale che sa completamente rtrovato l flsso esterno. Per la lastra pana vale ' ' s'.7.7 U Re coè crca /3 dello spessore 99. Lo spessore d qanttà d moto rappresenta nvece la dstanza della qale vene spostato l campo potenzale esterno a casa della rdzone d qanttà d moto dovta allo strato lmte (nfatt U e rappresenta la portata d qanttà d moto d fldo deale, non vscoso, attraverso lo spessore dello strato lmte che è propro gale alla portata del dfetto d qanttà d moto rportata sotto l segno d ntegrale). Anche n qesto caso l ntegrale vene n pratca lmtato al flsso esterno. Per la lastra pana vale ' ' ' U Re coè qas dec volte nferore a 99. Come s pò notare, non esste qnd na defnzone nvoca d spessore d strato lmte, ma pttosto vare forme che vanno tlzzate a seconda del problema specfco. Con qest de spessor è possble scrvere la relazone ntegrale precedente facendo tendere h all nfnto (coscché gl spessor non dpendano pù da ) 7

128 o anche d d du Ue s e U e d (85) d due U e Ue s (86) d d che rappresentano de possbl forme dell eqazone d on Karman. S tratta d n eqazone del prmo ordne (mentre qella d partenza era del secondo, ma c è stata l ntegrazone) alle dervate ordnare che consente d mettere n relazone gl spessor con lo sforzo d taglo alla parete na volta assegnato l andamento del campo d veloctà esterno (ttte le grandezze sono fnzone d ). S ottene na solzone per qanttà ntegral per esempo fssando l proflo d veloctà nel pnto nzale dello strato lmte (anche per va polnomale) e valtando da qesto gl spessor e lo sforzo d taglo nzal e con la (86) (o 87) rcavare come vara lngo la drezone del moto. Nel caso della lastra pana la (87) s rdce a U e d d che permette d rcavare l evolzone assale dello spessore d qanttà d moto, noto qello dello sforzo d taglo e vceversa. Per esempo se lo sforzo d taglo è proporzonale a -/ (come nella (83)), rslta che lo spessore d qanttà d moto andrà come -/ (come n effett gà trovato). Eserczo. Data na dstrbzone lneare d veloctà del tpo =U e ( /) calcolare gl spessor d spostamento e d qanttà d moto. Solzone: applcando le (85) s ottene s =/, =/6. Rpetere l calcolo per n proflo d tpo parabolco, =U e [( /)-( /) ]. 7.6 CENNI AL CASO TURBOLENTO S tenga presente che qanto trovato vale nel caso lamnare. Qalora nvece c s trov nelle condzon d flsso trbolento, coè per nmer d Reynolds basat slla dmensone dello strato lmte par a crca 3 (come gà detto, l nmero d Reynolds basato slla dmensone longtdnale, sarà par a crca ( 3 ) coè 6 ), le eqazon della fldodnamca conterranno de termn 8

129 addzonal dovt alle flttazon trbolente. Dal pnto d vsta delle conclson ottente per lo strato lmte l dscorso fatto n precedenza resta sostanzalmente nvarato e la pressone sarà sempre ndvdata dalla solzone esterna. Per qello che rgarda la lastra pana, n sosttzone della (8) del caso lamnare, lo spessore dello strato lmte vara n fnzone del nmero d Reynolds con la legge / 5 4 ' ' 99 ' / 5 U (87) Re coè nel caso trbolento lo spessore, a partà d nmero d Reynolds, è maggore rspetto al caso lamnare. Inoltre, a partà d dstanza dal pnto n c comnca a svlppars lo strato lmte, è anch esso maggore rspetto al caso lamnare. In altre parole sono mnor gradent d veloctà tra la parete e l esterno; qesto accade perché nel caso trbolento c è na dffsone d qanttà d moto maggore che nel caso lamnare (dffsone vscosa pù dffsone trbolenta). Lo sforzo vscoso alla parete avrà l contrbto della parte vscosa e d qella trbolenta e vale crca. 3U / 5 Re coè con dpendenza nferore dalla veloctà rspetto al caso lamnare (83) (qas costante rspetto al nmero d Reynolds). Il coeffcente d attrto per ntà d apertra trasversale sarà qnd C D S. 6 / 5 U S Re lamnare trbolento lamnare trbolento lamnare trbolento C D Re Fgra 35. Andament dello spessore d strato lmte, dello sforzo tangenzale alla parete e del coeffcente d resstenza d attrto nelle condzon lamnare e trbolenta. 9

130 coè l coeffcente d attrto dmnsce all amentare del nmero d Reynolds, ma molto pù lentamente rspetto al caso lamnare (attenzone c s rfersce alla sola resstenza d attrto). La stazone è rassnta nella fgra 35 sa per lo spessore, per lo sforzo alla parete e per l coeffcente d resstenza d attrto. Per qanto rgarda la separazone nel caso trbolento, tenendo conto d qesta dffsone trbolenta espressa dalle component flttant della veloctà, al posto della (75) s ottene la relazone dp d Re ' '. (88) In qesta relazone anche se l gradente d pressone rslta postvo, non è detto che l proflo d veloctà medo mostr n dstacco (coè che l prmo termne sa postvo) perché l secondo termne pò rdrlo novamente ad essere negatvo. In pratca qesto sgnfca che rspetto al caso lamnare è necessaro n gradente d pressone maggore affnché v sa la separazone dello strato lmte (o che a partà d gradente d pressone la separazone è rtardata, coè è spostata pù a valle). Anche n qesto caso la ragone d qesto comportamento è legata alla rdstrbzone d qanttà d moto all nterno dello strato lmte per l caso trbolento che lo rende maggormente energetco rspetto al caso lamnare. 3

131 Captolo 8 FORZE AERODINAMICHE SU CORPI IN MOTO 8. FORZE NORMALI E TANGENZIALI Le forze agent slla sperfce d n corpo sono ovvamente determnate dal campo fldodnamco che s nstara ntorno al corpo stesso (le forze d volme non verranno consderate perché n generale non dpendent dal campo). Qeste possono qnd essere determnate faclmente solo nel caso d solzon analtche, che però sono n nmero molto lmtato, mentre presentano molta maggore dffcoltà se sono da determnars attraverso solzon nmerche. E però spesso possble msrare qeste forze con apparat spermental dedcat e con dat così ottent costrre de modell emprc che possano essere d ato sopratttto n fase progettale. Appare percò tle rassmere esplctamente qal sono le forze che agscono s d n corpo mmerso n na corrente flda n moto. Come rappresentato n fgra 36, mmagnamo na corrente flda che nveste n corpo con n sstema d rfermento defnto. A partre dal tensore degl sforz, ntrodotto ne captol e 4, è possble scrvere le forze d sperfce come F n ds essendo S la sperfce che contorna l corpo consderato e n la normale scente da esso. S U n 3 Fgra 36. Schematzzazone d n corpo nvestto da corrente flda. 3

132 A partre dall espressone per l tensore degl sforz n n fldo newtonano (95), è possble scomporre qesta forza n de contrbt prncpal F n j n j jn j ds p j n jds p nds 3 S S n j 3 S n S j n ds j dove l prmo ntegrale rappresenta le forze lngo la drezone normale al corpo (nfatt le component della forza n drezone sono ndvdate dalle component della normale alla sperfce del corpo nella stessa drezone), mentre l secondo ntegrale rappresenta le forze lngo la drezone tangenzale al corpo (e nfatt le component della forza sono ndvdate dalle component della normale alla sperfce del corpo n drezone j dfferente da, coè dalle tangent). Consderamo separatamente cascno d qest termn. Il prmo termne delle forze normal è dato da F S pn ds e rappresenta le forze normal dovte al campo d pressone che possono essere proettate s tre ass assale, vertcale e trasversale (s not che la drezone della forza è determnata dalla drezone della normale e che qnd le component sono date dalla proezone della normale sgl ass coordnat) per dare sl pano (, ) D L S S p cos ds resstenza d forma psen ds portanza (teorema d Ktta-Jokowsk, L=- ) e sl pano (, 3 ) (dove la normale è ndvdata dall angolo ) Y D S S p cos ' ds forza laterale psen ' ds resstenza ndotta ( D =- ) d c le prme de sono present ne flss bdmensonal, mentre la terza e la qarta nel caso trdmensonale. La resstenza ndotta è qnd casata dalla dstrbzone delle presson lngo la drezone trasversale. S not che sl pano (, 3 ) s ottengono novamente la forza laterale e la 3

133 portanza dovte alla dstrbzone trasversale delle presson. Nelle relazon precedent U I è la veloctà ndotta dal campo d pressone lngo la drezone trasversale e la crcolazone che genera la portanza (con drezone d applcazone e verso dat dalla regola della mano destra). Ttte sembrano d orgne non vscosa anche se n realtà la resstenza d forma esste solo n presenza d vscostà senza la qale non s forma la sca e qnd c è la completa chsra del dagramma d presson. Il secondo termne delle forze normal è presente nel caso d flss compressbl ed è dato da W 3 S n n n ds che rappresenta le forze normal dovte alla compressbltà del fldo che possono essere proettate lngo gl ass (anche n qesto caso le component concdono con qelle della normale) e che nella drezone del moto danno orgne alla cosddetta resstenza d onda. Per qanto rgarda la forze tangenzal agent slla sperfce del corpo, s pò scrvere F S j j S n ds j In qesto caso la drezone della forza concde con qella che vene for tra l prodotto scalare delle component tangenzal del tensore degl sforz e l versore normale alla sperfce, che concde con la drezone tangente alla sperfce. Tra gradent d veloctà slla sperfce del corpo pù elevat sono qell relatv alla componente assale n drezone ortogonale alla sperfce,, che permettono d scomporre l espressone precedente n D L f f sn ds resstenza d attrto S cos ds componente aggntva d portanza S dove la seconda componente è n genere molto pccola (essendo n generale l angolo prossmo a 9 tranne per corp tozz). Oltre alle forze, la dstrbzone d sforz normal e tangenzal slla sperfce d n corpo provoca anche la generazone d moment. 33

134 D solto s prefersce ntrodrre, come gà vsto, coeffcent admensonal d forza defnt come la forza dvsa per la pressone dnamca per la sperfce F C F Re,Ma U S essendo la forza fnzone sa del nmero d Reynolds che del nmero d Mach, lo saranno anche coeffcent. In defntva, spponendo che contrbt sano effettvamente separabl e gl effett possano essere sommat, s pò scrvere l coeffcente d resstenza totale come la somma d qello d resstenza d forma, d onda, ndotta e d attrto C D T C C C C (89) D D w D D f Nel caso non vscoso trdmensonale sarà dfferente da zero l solo terzo termne, mentre nel caso non vscoso bdmensonale non v sarà resstenza (ma v pò comnqe essere portanza). Alcne tpche stazon sono rassnte nella fgra 37. =cost., =,, D U C Df C D C L = C Dw = C D = cost., =,, D U C Df C D C L = C Dw C D = U =cost.,, =, 3D C Df = C D = - C L C Dw = C D Fgra 37. Alcn esemp d corp nvestt da corrent flde e coeffcent d resstenza rsltant. 34

135 8. COMPORTAMENTO IN REGIME LAMINARE E TURBOLENTO In presenza d n flsso trbolento, le forze defnte n precedenza non cambano. Qello che camba è l campo d veloctà e pressone ntorno ad n corpo così che valor de coeffcent sono soggett a varazon ne var regm (n esempo è qello rportato alla fne del captolo precedente per qanto rgarda la resstenza d attrto). In generale l andamento del coeffcente d resstenza totale nel caso ncompressble D (assenza d resstenza d onda e ndotta come nel caso n alto a snstra nella fgra 37) per n corpo cosddetto tozzo, qale n clndro sando l dametro come dmensone caratterstca, e per n corpo cosddetto affsolato, qale na lastra pana d lnghezza L, sono rassnt nella fgra 38 (n scala blogartmca). Nel caso del clndro s osserva l andamento come /Re nel regme lamnare, gà ottento nella (5) del paragrafo 5. (sebbene con n coeffcente nmerco che dpende dallo specfco campo d moto). Qesto sgnfca che la forza cresce lnearmente con la veloctà del fldo. Nel regme d transzone l coeffcente d resstenza dventa crca costante e la forza qnd amenta con l qadrato della veloctà. C DT lamnare transzone trbolento Re - Re -/ - Re -/ Fgra 38. Andament del coeffcente d resstenza per n clndro (lnea contna) e per la lastra pana (lnea tratteggata) ne regm lamnare, d transzone e trbolento. I pnt sono rfert a transzone antcpata. Re \ 35

136 Un lterore amento della veloctà della corrente porta alla transzone al regme trbolento nel qale l coeffcente d resstenza sbsce na brsca dmnzone che vene po recperata lentamente. Il valore del nmero d Reynolds al qale avvene qesta transzone dpende anche dalla scabrezza sperfcale della sperfce che, amentando, permette na transzone antcpata (come nel tratto pnteggato n fgra 38). Qesta dea d amentare la scabrezza sperfcale per antcpare la transzone e dmnre la resstenza vene applcata nelle pallne da golf, da tenns e da baseball per ottenere veloctà maggor. Per n corpo tozzo, qale l clndro, nel caso lamnare, la resstenza è sostanzalmente domnata (crca 8%) dalla resstenza d forma rspetto a qella d attrto (n trbolenza tale rapporto scende al 6%). La resstenza d forma dpende dalla forma del corpo attraverso la poszone del pnto n c avvene la separazone della corrente, coè dove s nza a formare la sca. Notamo che, dalle espresson delle forze del paragrafo precedente, rslta che la resstenza d forma è proporzonale alla pressone locale e al coseno dell angolo che la normale forma con la drezone assale, mentre qella d attrto allo sforzo alla parete e al seno dell angolo. Poché per n corpo tozzo qesto angolo pò essere par a o π, l contrbto d forma dventa sgnfcatvo (ovvamente con qello d pressone), mentre qello d attrto rslta pù basso. Per n corpo affsolato, qale la lastra pana, nvece, tale angolo è prossmo a π/ qas ovnqe sl corpo e qnd l contrbto d resstenza d forma dventa basso e contemporaneamente amenta qello d attrto. Qnd la resstenza d forma rspetto a qella d attrto ha peso nferore al 5% ed è pù mportante del caso precedente la condzone d flsso lamnare o trbolento. In partcolare, dal captolo 7, paragrafo 7.3, rslta na dpendenza come Re -/ nel regme lamnare (s not che l nmero d Reynolds è costrto con la dmensone L della lastra) e na dpendenza come Re -/5 nel regme trbolento (relazone (88) del paragrafo 7.6 e fgra 35). Qesto sgnfca che nel regme lamnare la forza d attrto è proporzonale alla veloctà elevata alla.5, mentre nel regme trbolento rslta proporzonale alla veloctà alla.8. Per tal corp non è vantaggoso favorre la transzone da lamnare a trbolento perché qesto amenta brscamente la resstenza. Nella fgra 39 sono rassnt rsltat per corp d vara forma ma stessa dmensone caratterstca ( prm tre corp), n c l C D vara da a. con n sgnfcatvo ncremento della resstenza d attrto rspetto a qella d forma (dal % al 65%). Lo stesso valore del coeffcente d resstenza del terzo corpo (affsolato) s ottene con n corpo tozzo anche se d dmensone caratterstca ben volte mnore (qarto corpo). Cò gstfca la necesstà d avere n corpo affsolato per mnmzzare la resstenza. Infne per l ltmo corpo vene mostrato l vantaggo d stmolare la transzone al regme trbolento e dmnre l ampezza della sca, con lo spostamento de pnt d separazone e la consegente dmnzone del coeffcente d resstenza. 36

137 Fgra 39. alor del coeffcente d resstenza per corp d vara forma e peso relatvo d resstenza d forma (pressre drag) e d attrto (skn fcton drag). Tratto da T.A. Talay, NASA Report SP-367, 975). Bsogna nfne consderare che, come detto nel paragrafo precedente, la resstenza è anche fnzone del nmero d Mach. Ovvamente nel caso ncompressble tale dpendenza non esste perché la resstenza è costante fno a crca Ma= Però per veloctà maggor la resstenza amenta molto velocemente con l nmero d Mach fno a raggngere n massmo a Ma-.5 (dpendente dalla forma del corpo, ma comnqe par anche a.5 volte l valore del regme sbsonco). Tale amento è gstfcato dall mportanza crescente della resstenza d onda dovta alla formazone d tren d onde d rto nella parte anterore e lngo l corpo stesso e che s movono con esso. Per nmer d Mach speror a l coeffcente d resstenza dmnsce d novo fno ad n valore costante par a crca.5 qello del regme sbsonco. 37

138 8.3 COME DIMINUIRE LA RESISTENZA DI UN CORPO Da qanto vsto n precedenza, per dmnre l coeffcente d resstenza bsognerà dmnre cascno de termn che compaono nella (9). In partcolare per dmnre la resstenza d forma bsognerà agre slla forma del corpo conferendogl - na forma arrotondata nella parte anterore; - na forma allngata e rastremata nella parte posterore per evtare separazone del flsso. Esemp d tal corp che mnmzzano la resstenza d forma sono profl alar, le atovettre sportve e n generale ttt corp affsolat. In alternatva, qalora per altr motv non sa possble na forma allngata, ma sa necessaro troncare l corpo o comnqe n ttt cas n c s provoca na separazone, s pò ntervenre attraverso - dspostv che amentno localmente l campo d pressone; - dspostv che evtno completamente o rtardno la separazone; - dspostv che favorscono la transzone al regme trbolento. Esemp de prm sono l soffaggo o l asprazone d fldo mmedatamente a valle del pnto d separazone n modo da amentare localmente la veloctà, dmnre la pressone ed evtare l gradente d pressone avverso che provoca la separazone. Anche appendc aerodnamche, cosddett persostentator ( flap e slat ), sono tlzzate n mpegh aeronatc e atomoblstc per ndrzzare flsso veloce slla sperfce alare e rtardare lo stallo (sebbene con n amento della resstenza d attrto dovto alla maggore sperfce esposta alla corrente). Esemp de second sono nvece gl element crv che s nserscono slla parte anterore d atocarr e gl aletton posteror d atovettre tpo monovolme. Esemp del terzo tpo d dspostv sono aspertà sperfcal che favorscano la transzone dal regme lamnare a qello trbolento, che, attraverso l maggore mescolamento, provocano lo spostamento verso valle de pnt d separazone e qnd na mnore ampezza della sca. S è gà fatto l esempo delle pallne da golf, tenns e baseball così come anche accade slla sperfce mmersa d mbarcazon a vela da competzone che vene resa scabra mtando cò che avvene sll epdermde d molt anmal marn veloc (sqal, delfn). Per dmnre la resstenza d attrto, sarà necessaro nvece dmnre qanto possble la sperfce del corpo e qesto reqsto è n contrasto con qello precedente d avere corp allngat 38

139 nella parte posterore. Bsognerà qnd d volta n volta consderare fno a qale lnghezza rslt convenente allngare l corpo per rdrre la resstenza d forma e non ncrementare troppo qella d attrto. Sarà anche necessaro dmnre qanto pù possble l gradente d veloctà alla parete, mantenendo, per qanto possble, condzon d regme lamnare, vsto che tale gradente rslta maggore nel regme trbolento. D novo qesto reqsto rslta n contrasto con qanto necessaro per dmnre la resstenza d forma e bsognerà adottare de compromess relatv al caso specfco. Per dmnre la resstenza ndotta, bsognerà cercare d dmnre la crcolazone d fldo e le veloctà ndotte dovte alla forma trdmensonale del corpo (vortc d estremtà s sperfc alar). Poché la semplce dmnzone d ttta la crcolazone caserebbe la perdta d portanza (s veda dopo), sarà necessaro adottare dspostv che la lmtno nella zona d estremtà. Tal dspostv, tlzzat nell ndstra aeronatca, atomoblstca sportva ed energetca, consstono n element ncrvat nella drezone vertcale d vara forma e dmenson dette alette d estremtà o wnglets che hanno lo stesso effetto d n elevato allngamento alare ma senza gl eccessv svantagg strttral (nfatt n elevato allngamento alare, come nel caso degl alant, mnmzza la resstenza ndotta). Lo svantaggo nell tlzzo d tal dspostv è che vene comnqe amentata la sperfce esposta alla corrente con consegente amento della resstenza d attrto. Alcn esemp d applcazon ndstral d tal dspostv sono fornt nella fgra 4. Anche la forma n panta dell ala pò mnmzzare la resstenza ndotta e n partcolare la forma ottmale è la panta ellttca (s facca per esempo rfermento agl aere da cacca ngles Sptfre drante la seconda gerra mondale). Fgra 4. Esemp d wnglets s aere, atovettre e generator eolc (Enerkon E8). Tratt da Wkpeda. 39

140 Per qanto rgarda la rdzone d resstenza d onda n regme compressble, sarà necessaro modfcare l pù possble la forma anterore del corpo per evtare l pù possble la formazone d n onda d rto anterore. Da qesto pnto d vsta n onda d rto meno ntensa s ottene con n corpo d forma anterore appntta pttosto che arrotondata, ma n tale condzone l onda d rto è pù prossma alla sperfce del corpo stesso. 8.4 COME AUMENTARE LA PORTANZA DI UN CORPO Per amentare la portanza (o la deportanza) d n corpo, dal teorema d Ktta-Jkowsk del captolo 6, dobbamo o amentare la veloctà della corrente flda (ma cò non è sempre possble e comnqe comporta n amento anche d ttte le forme d resstenza) oppre amentare la crcolazone ntorno al corpo stesso o la sperfce del corpo. S not che tale amento d crcolazone amenta anche la crcolazone e le veloctà ndotte nella sca amentando così la resstenza ndotta. Poché la crcolazone ntorno al corpo dpende da qanto s resce a rendere dfferente la veloctà slla parte sperore (dorso) e nferore (ventre) del corpo, sono possbl qeste solzon: - agre slla forma posterore del corpo per renderla molto affsolata; - agre slla forma complessva del corpo; - agre sl cosddetto angolo d ncdenza della corrente ndstrbata rspetto al corpo; - mettere n rotazone l corpo stesso; - amentare la sperfce portante tlzzando dspostv qal persostentator. I dspostv che tlzzano qeste solzon sono sopratttto profl e al d dervazone aeronatca mpegat al gorno d ogg nelle pù svarate applcazon (carrozzere, aletton e spoler atomoblstc, appendc, derve, tmon e vele n campo navale, trbne e pale per applcazon energetche e persno alette d valvole cardache artfcal n applcazon bomedche). Il prmo reqsto è fondamentale n qanto permette l nstarars d na crcolazone dfferente da zero anche n n corpo non rotante, cosa che non è possble n n corpo senza la parte termnale posterore (bordo d scta) affsolata. Infatt è propro qesto pnto d dscontntà che evta l aggramento del bordo d scta da parte della corrente flda e permette l nstarars d na 4

141 crcolazone dfferente da zero. Anche se la portanza d n corpo pò essere rcavata da na teora pramente potenzale, gl effett della vscostà ntervengono ndrettamente nella teora attraverso la cosddetta condzone d Ktta che vene mposta al bordo d scta: l pnto d rstagno posterore deve trovars n corrspondenza del bordo d scta stesso. In altre parole, n corpo non e portante se non ha n bordo d scta affsolato. Così mpostato l bordo d scta, la crcolazone pò essere lterormente amentata (o dmnta) amentando (o dmnendo) la crvatra del corpo stesso. A partà d condzon della corrente ncdente (veloctà e angolo d ncdenza), n corpo con lnea meda ncrvata pò presentare n sgnfcatvo amento della portanza (dal % al 4%) n confronto ad n corpo smmetrco rspetto alla drezone d provenenza della corrente flda. Come terza possbltà, se consderamo n corpo portante, è possble amentarne n modo sgnfcatvo la portanza amentando l angolo d ncdenza della corrente flda coè ponendolo ad n angolo d nclnazone rspetto alla corrente dfferente da zero. In pratca, per evtare la separazone del flsso e qnd n drammatco amento della resstenza, è necessaro lmtare tal angol entro -5. Ovvamente l dscorso rslta speclare nel caso n c s vogla amentare la deportanza del corpo. La messa n rotazone del corpo stesso fornsce drettamente la crcolazone necessara a generare la portanza tramte l effetto Magns. Come vsto nel captolo 6, qesta pò essere tlzzata anche per corp tozz qale l clndro anche se la crcolazone e qnd la portanza ottenta saranno sempre nferor a qelle d n corpo portante (tranne per angol d ncdenza d qest ltmo nferor a qalche grado). Qesta stazone è qella che s ncontra n molte dscplne sportve che prevedono n pallone (sferco o meno) nelle qal vene dato l effetto per prodrre na devazone dalla traettora rettlnea del corpo. Il dscorso rslta pù o meno smle nel goco del frsbee e con qalche complcazone n pù nel caso del boomerang. In qest de ltm cas l corpo n qestone non è tozzo ma anz portante generandos così n nterazone tra drezone d rotazone del corpo e drezone d avanzamento. La possbltà d sfrttare la rotazone d n corpo portante per convertre l moto rotatoro n moto d avanzamento (o comnqe n spnta) vene sfrttata negl elcotter, ne sstem proplsv rotant assal (ventlator, trbne e compressor) e nelle trbne eolche. Infne è possble amentare la portanza rcorrendo a dspostv aggntv qal gl persostentator. Come gà vsto qest permettono d evtare l fenomeno dello stallo attraverso la nterazone della corrente flda con qella provenente dall nterstzo tra dspostvo e sperfce del corpo anche se con qalche svantaggo dal pnto d vsta della resstenza d attrto. Conferendo 4

142 a qest dspostv delle forme portant, è possble amentare la sperfce portante complessva e realzzare n amento complessvo della portanza (sebbene a scapto della resstenza) n qelle condzon n c la veloctà tende a dmnre fno a provocare lo stallo (fas d decollo e atterraggo d n aeromoble). In qesto modo s rescono ad ottenere ncrement della portanza anche molto sgnfcatv (dal 5% al %). Alcne delle condzon rportate n precedenza sono rassnte nel dagramma della fgra 4 dove s rporta l coeffcente d portanza n fnzone dell angolo d ncdenza per corp d vaa forma.. C L proflo asmmetrco ad ncdenza con persostentator.5. proflo asmmetrco ad ncdenza.5 proflo smmetrco ad ncdenza clndro rotante ( >D/U) 5 5 Fgra 4. Andament del coeffcente d portanza per n clndro rotante (lnea tratteggata) e profl d vara forma al varare dell angolo d ncdenza. 4

143 Captolo 9 FLUSSI COMPRESSIBILI 9. FORMULAZIONE DEL PROBLEMA Come vsto nel secondo e qarto captolo, sono dett compressbl qe flss ne qal le varazon d pressone dovte al campo d moto generano delle varazon d denstà non trascrabl rspetto al valore della denstà ndstrbata. In generale lqd sono poco compressbl (coè la denstà non dpende dal campo d pressone) e per loro mot è penamente valda l potes d ncompressbltà. Ne gas nvece la condzone d compressbltà o meno dpende dallo stato d moto, coè dalla veloctà della corrente flda. In partcolare l rfermento mportante per defnre qando la veloctà sa alta o bassa è rappresentato dalla veloctà del sono defnta nel captolo, relazone (3) q rportata, come la radce della varazone d pressone rspetto alla denstà p c E mmedato notare che nel caso n c l campo d denstà sa ndpendente da qello d pressone (/p) allora la veloctà del sono tende a dventare nfntamente alta, c. Qesta condzone corrsponde al caso ncompressble come s pò faclmente verfcare scrvendo esplctamente la dervata sostanzale della denstà n termn della veloctà del sono, come gà fatto nel rcavare l eqazone dell energa nel captolo 4, D Dt p t c t c p che tende a zero per c, confermando che la denstà non vara né nel tempo né nello spazo (e lascando l solo termne nella dvergenza della veloctà gale a zero nell eqazone d 43

144 conservazone della massa). Qesto fatto non esclde che dal pnto d vsta termodnamco la denstà non possa comnqe varare localmente come fnzone della temperatra del fldo. Ne cas n c nvece la denstà sa fnzone del campo d pressone (veloctà del sono fnta), non è pù possble trascrarne le varazon e l eqazone d conservazone della massa conterrà anche l termne n dervata sostanzale della denstà scrtto n precedenza. Allo stesso modo saranno modfcate le eqazon d Naver-Stokes con l nsermento del termne contenente la dvergenza della veloctà (captolo 4). Inoltre, sarà necessaro aggngere n lterore eqazone per la denstà (o temperatra) coè l eqazone dell energa nseme all eqazone d stato. 9. PRECISAZIONI SULLA ELOCITA DEL SUONO La relazone (3) del captolo pò essere faclmente ottenta a partre da prncp d conservazone e blanco applcat ad n regme d moto compressble. Consderamo n onda pana d dstrbo nfntesmo del campo d pressone, dp, n moto nella drezone postva dell asse con veloctà c; qesta genererà varazon nfntesme d denstà, d, e d veloctà del fldo, d, come rappresentato n fgra 4. Tale onda è detta onda d compressone, ma l dscorso rslta eqvalente se rferto ad n onda che comport na dmnzone d pressone (che convenzonalmente s moverà qnd nel verso negatvo dell asse), coè ad n onda d espansone. In n sstema d rfermento fermo con l fldo mentre l onda s move l fenomeno appare non stazonaro con le qanttà ncrementate a monte (detro l onda) e qelle ndstrbate a valle (d fronte all onda). Invece n n sstema d rfermento n moto con l onda l fenomeno appare stazonaro con la pertrbazone d veloctà che rsale verso monte. c p+dp p p+dp p +d d +d c - d c fermo con l fldo n moto con l onda Fgra 4. Onda d compressone e grandezze fldodnamche a cavallo dell onda n n sstema d rfermento fermo con l fldo (a snstra) e n moto con l onda stessa (a destra). 44

145 In qest ltmo sstema d rfermento la conservazone della massa tra la parte a monte e a valle dell onda permette d ottenere a meno d nfntesm del secondo ordne c d c d c d cd coè d cd Sempre nello stesso sstema d rfermento l blanco della qanttà d moto rspetto al campo d pressone permette d ottenere p dp cc d p c coè dp cd e qnd mettendo nseme le de relazon ottente s ottene propro la relazone (3) del captolo. Nello stesso captolo s è anche vsto che nel caso d gas sentropco (n realtà gà potzzato n per l precedente procedmento n qanto s è assnto n dstrbo nfntesmo che s mantene tale) la veloctà del sono è legata alla sola temperatra del fldo tramte la relazone (36). 9.3 CLASSIFICAZIONE DEI MOTI COMPRESSIBILI Come gà vsto nell admensonalzzazone delle eqazon del captolo 4 e del paragrafo 5.4, l parametro che governa l mportanza de termn contenent gl effett d compressbltà è propro l nmero d Mach, Ma=/c, che permette d dstngere tra var regm d moto. Poché la veloctà che compare a nmeratore n tale parametro è fnzone del pnto e dell stante consderato, così come la veloctà del sono (dpendendo da pressone e denstà), è charo che la classfcazone che sege è da rferrs ad ogn sngolo pnto anche se generalmente, come per gl altr nmer caratterstc s sa rferrs alla corrente ndstrbata a monte, Ma =U /c. 45

146 Flss sbsonc ncompressbl, Ma <.3 Sono qell per qal gl effett della compressbltà sono del ttto trascrabl e s possono consderare le eqazon del caso ncompressble trascrando completamente le varazon d denstà (che a qesto pnto dventa na costante a meno d varazon termodnamche). I mot d gas n qeste condzon sono del ttto analogh a qell de lqd e sono rscontrabl n molte applcazon ngegnerstche aeronatche, atomoblstche, energetche, bomeccanche e naval. Flss sbsonc compressbl,.3<ma < Sono qell per qal gl effett della compressbltà non sono trascrabl, pr non dventando preponderant. Nelle eqazon s dovranno consderare anche le varazon d denstà come per esempo s è gà vsto nel caso del pnto d rstagno anterore valtato attraverso l eqazone d Bernoll con gl effett d compressbltà nel captolo 6. Per nmero d Mach della corrente ndstrbata maggore d.7, è gà possble la formazone d onde d rto nelle zone n c l nmero d Mach locale rslt maggore dell ntà. E comnqe possble ottenere delle forme semplfcate delle eqazon sotto potes d pccole pertrbazon. Qest regm d moto s presentano negl aere n volo d crocera, nella proplsone e n sstem tlzzat nelle applcazon energetche qal le trbne e le trbomacchne. Flss transonc, Ma Sono qell n c, pr essendo l nmero d Mach della corrente ndstrbata par a, vedono l permanere locale d zone n c l flsso pò ancora essere sbsonco e d zone n c è nvece gà spersonco (Ma>). La dstrbzone d tal zone è dpendente dalla forma geometrca del corpo nvestto dalla corrente flda e dalle condzon d contorno. Scramente nelle zone n c l nmero d Mach è maggore dell ntà v sarà la formazone d onde d rto n corrspondenza d condzon d compressone. Le eqazon non possono essere rsolte con semplfcazon, ma solo nella loro forma completa. Qeste condzon, come qelle relatve al pnto segente, s ncontrano n aere mltar, mssl e sstem proplsv. Flss transonc, 4>Ma > Qest flss sono teorcamente ttt qell ne qal gl effett d compressbltà e varazone d denstà dventano preponderant, avent nmero d Mach sperore all ntà. In pratca però c s rfersce a qesta condzone come a qella n c l nmero d Mach non è eccessvo e possono essere adottate semplfcazon nella forma d flsso rrotazonale e pccole pertrbazon che 46

147 permettono d ottenere solzon n forma esplcta. Sono scramente present onde d rto n ttte le zone del campo dove l campo d moto provoca l realzzars d condzon d compressone. Flss personc, Ma 5 Qest flss rchedono na trattazone dfferente rspetto a qell spersonc e sono percò classfcabl n manera atonoma. In qeste condzon l campo d temperatra n prossmtà della sperfce d corp rslta così elevato da provocare fenomen d onzzazone delle molecole del gas che non pò pù essere consderato né perfetto, né rrotazonale. Qeste condzon sono qelle che tpcamente s ncontrano nelle condzon d lanco o rentro n atmosfera d velvol spazal. 9.4 ONDE D URTO Nel paragrafo 9. s è consderata n onda pana e s è esamnata l evolzone d n dstrbo del campo d denstà e pressone che s propaga con la veloctà del sono (tale dstrbo pò essere generato per esempo da n corpo n moto). In generale però n tale tpo d dstrbo vene generato a partre da na sorgente pntforme P e l onda rsltante assme le sembanze d n onda sferca che s propaga n ttte le drezon (nel caso bdmensonale qest onda s rdrrà ad n onda clndrca). Drante la propagazone, l ntenstà dell onda (energa per ntà d sperfce) andrà dmnendo a casa del maggore volme (la maggore sperfce nel caso clndrco) convolto, cò che non accade nel caso d onda pana. Se consderamo la casa del dstrbo n qete, l onda s allargherà nel tempo, alla veloctà del sono, secondo cerch concentrc (per semplctà mettamoc nel caso pano, ma l dscorso rslterà eqvalente anche n n domno trdmensonale) centrat nel pnto stesso come evdenzato nella fgra 43 a snstra. P = P <c P =c P >c P P P P Fgra 43. Propagazone d n onda sferca ne regm sbsonco, transonco e spersonco. 47

148 Se la sorgente del dstrbo è n moto ad na veloctà nferore a qella del sono nel mezzo (nmero d Mach mnore dell ntà) front d onda che trasportano dstrb tenderanno a accmlars nella drezone e verso del moto senza però sovrappors. S rcord che le onde d compressone, qal qelle delle fgre 4 e 43, trasportano ament d denstà e pressone (seppr nfntesm), che s propagano da monte verso valle. In qesto caso d veloctà sbsonca, l dstrbo, che s propaga a veloctà del sono, s rsente a valle prma che sopraggnga l pnto P n moto. Nel caso n c la veloctà del pnto che provoca la pertrbazone dvent paragonable alla veloctà del sono nel mezzo (nmero d Mach par a ), dstrb coalesceranno d fronte al pnto n moto e n qel pnto le sovrappresson e sovradenstà s potranno sommare dando orgne ad n dstrbo macroscopco. Nella regone a monte d qesto pnto (coè detro alla sorgente del dstrbo n moto) s propagheranno dstrb, mentre nella regone a valle (davant alla sorgente) l fldo rslta ndstrbato. Qnd, n qesto moto sonco, dstrb s rsentranno a valle contemporaneamente al sopraggngere del pnto P che orgna l dstrbo stesso. Infne, qalora la veloctà del pnto n moto sa maggore della veloctà del sono (nmero d Mach maggore dell ntà) l dstrbo s propagherà n avant e le onde emesse nel tempo saranno tangent a de pan che ad ogn stante s orgnano dal pnto n moto verso la sa sca. Qest pan sono dett onde d Mach e delmtano la zona nella qale sono confnat dstrb che, qnd, per n flsso spersonco segono sempre l pnto P che l orgna. Il semangolo che tal pan formano (angolo d Mach) sarà dato da ct sn t Ma ed è qnd tanto mnore qanto maggore l nmero d Mach (s not anche che dalla relazone precedente se Ma l angolo tende a / e che tale angolo non esste per Ma<). Sebbene dstrb d c s è trattato fnora sano stat consderat nfntesm, è charo che n pratca qest saranno generat da corp fnt e avranno qnd carattere fnto e daranno orgne nel caso spersonco a vere e propre dscontntà de camp d pressone, denstà e veloctà. Tal dscontntà, n moto alla veloctà del sono sono dette onde d rto e hanno spessor effettvamente qas nfntesm (nferore al mcrometro). Le onde d rto s ncontrano n ttt flss transonc e spersonc sa estern (aere spersonc) che ntern (prese d ara, gell e compressor). Qeste condzon sono caratterzzate da alt valor della veloctà e qnd da elevat nmer d Reynolds (oltre che d Mach) che permettono ragonevolmente d tlzzare 48

149 l approssmazone d flsso deale fatta nel captolo 6 (l onda d rto avrà n qesto caso no spessore deale nllo). Qesto però non sarà possble n corrspondenza delle onde d rto stesse che rappresenteranno qnd delle dscontntà localzzate (spessore nllo) che, come detto nel captolo 4, rchedono l tlzzo delle eqazon nella forma ntegrale. 9.5 GRANDEZZE DI RISTAGNO E CRITICHE Come appena detto, per tenere conto delle dscontntà de camp d pressone, denstà e veloctà present nel campo, le eqazon della fldodnamca, ne cas n c gl effett d compressbltà sano mportant o addrttra preponderant, devono essere consderate nella loro forma ntegrale anzché dfferenzale. Andremo a consderare de flss compressbl, non vscos (l potes è valda vsto l elevato valore del nmero d Reynolds), senza scamb d calore, senza forze esterne e n condzon stazonare. Sotto qeste potes le eqazon d conservazone della massa, blanco d qanttà d moto e conservazone dell energa (captol 4 e 5, eqazon (6), (84) e ()) possono essere rscrtte come d d p d (9) p k coè 5 eqazon nelle 5 ncognte denstà, veloctà e pressone (la temperatra pò essere rcavata dall ltma eqazone tlzzando l eqazone d stato e l espressone per l energa nterna). Notamo che dalla terza relazone precedente possamo ottenere le qanttà nel pnto d rstagno n manera analoga a qanto fatto nel paragrafo 5.3 (relazone (4)) per la pressone, assmendo l potes d flsso sentropco p t ps Ma s D altra parte, essendo nel caso sentropco p k, s pò anche scrvere 49

150 5 s s t Ma che permette d trovare la denstà d rstagno. Per qanto rgarda la temperatra, drettamente dall eqazone d Bernoll nella forma (9), applcata n n pnto statco e n n pnto d rstagno (totale) s trova t t s s s s p p Ma c (9) coè, tlzzando le relazon c s =γ p s /ρ s =γ RT s e p t /ρ t =RT t t s s s RT RT Ma RT s s t Ma T T che esprme la temperatra d rstagno (dentcamente vene espressa la veloctà del sono d rstagno al qadrato che è lnearmente proporzonale alla temperatra). La temperatra totale rappresenta la somma d na parte termca e d na parte meccanca, proporzonale alla veloctà del flsso. Se calcolamo la terza delle (9) per l caso partcolare d nmero d Mach ntaro, ottenamo cosddett valor crtc (ndcat con pedce c). Per la temperatra, dalla (9) c c c s s s s p c p Ma c coè c c s s s RT RT RT RT Ma t s s c T Ma T T e così per pressone e denstà

151 5 t s s c p Ma p p t s s c Ma 9.6 FLUSSI QUASI UNIDIMENSIONALI STAZIONARI Un caso partcolarmente semplce è qello de flss qas ndmensonal (drezone ), ne qal c è n nca componente d veloctà e le eqazon precedent s rdcono a dad d d dad d dp dad d d (9) k p dove d=dad con da che rappresenta la generca sezone nfntesma perpendcolare alla drezone. Consderamo l caso specfco del flsso n n condotto con sezone varable lngo l asse, A=A( ) come ndcato nella fgra 44. Qesto flsso è detto qas-ndmensonale perché s consdera n prma approssmazone solo la componente d veloctà lngo l asse del condotto pr essendoc na varazone della sezone del condotto che darebbe orgne ad na componente perpendcolare. L approssmazone rslta valda fnché la sezone non resta costante ma vara lentamente lngo l asse. Qesto tpo d confgrazone trova applcazone nelle prese d ara, negl gell e dffsor n regme transonco e spersonco. Sotto l potes d qas-ndmensonaltà, è possble defnre delle qanttà medate nell ntera sezone, per esempo per la denstà A A d d,, A da,, A Essendo la scelta d de lmt d ntegrazone lngo arbtrara, la prma delle (93) assmerà qnd la forma

152 A( ) A ( ) d d Fgra 44. Schematzzazone d n flsso qas-ndmensonale n n condotto. A d d dad dad Ad d A d d A d d e analogamente per la seconda A d dp dad da d A d d d A d d d A d dp Le (93) s rdcono qnd a (evtando d rportare segn d meda) d dpda A d dp A d d dp (93) p k (la seconda è propro l eqazone d Elero). Dalla prma delle relazon precedent vedamo sbto che la conservazone della massa per n flsso compressble convolge sa la sezone del condotto e la veloctà (come nel caso ncompressble) ma anche n pù la denstà. D consegenza non è pù detto che ad n restrngmento d sezone corrsponda sempre n amento d veloctà perché qesto potrebbe essere compensato da n amento d denstà. Per rendere pù esplcto e qanttatvo qesto dscorso, esplctamo la prma delle (94) da d d coè A da Ad Ad 5

153 Se tlzzamo la seconda delle (94) per esprmere d e ntrodcamo la veloctà del sono, s ottene da A dp d dp Ma (94) La relazone appena trovata mostra n rsltato fondamentale de flss compressbl. In n condotto convergente (da/a<), se l flsso è sbsonco (Ma<) deve rsltare na pressone che dmnsce lngo l condotto (dp<) e contemporaneamente (dalla seconda delle (94)) la veloctà deve amentare. Qesto è qello che s è gà verfcato accadere ne flss ncompressbl dove la varazone d veloctà predomna s qella d pressone. ceversa se l flsso è spersonco (Ma>) deve rsltare na pressone che amenta (dp>) e contemporaneamente la veloctà deve dmnre. Qesto comportamento è propro dovto al fatto che n regme spersonco smltaneamente amenta la denstà (dρ>) che predomna slla varazone d veloctà. Accade l opposto se samo n presenza d n condotto dvergente (da/a>): se l flsso è sbsonco (Ma<) rslta na pressone che amenta (dp>) e veloctà che dmnsce, mentre se l flsso è spersonco (Ma>) la pressone dmnsce (dp<) e la veloctà amenta. La stazone è rassnta nella fgra 45 che rchama alla mente l esempo del traffco atomoblstco. Sbsonco (Ma<) Spersonco (Ma>) convergente < p > p > p < p dvergente > p < p < p > p Fgra 45. Comportamento d flss sbsonc e spersonc n convergent e dffsor. 53

154 Come detto, nella relazone (94) è da notare che la defnzone d portata comprende anche la denstà varable da sezone a sezone. Rcordamo che nel caso ncompressble, l amento d pressone nella sca d n corpo e la consegente dmnzone d veloctà casano l ravvcnamento delle lnee d corrente, per la conservazone della portata. Invece, nel caso compressble, nella sca d n corpo (dvergente) la pressone dmnsce e la veloctà amenta e poché la denstà vara con la pressone (eqazone d stato), anch essa andrà dmnendo. D consegenza, per avere la stessa portata, essendo la denstà dmnta rspetto al caso ncompressble, sarà necessaro n allargamento delle lnee d corrente. Una consegenza d qanto ottento è che per realzzare l passaggo da flsso sbsonco a flsso spersonco non sarà sffcente n semplce convergente per amentare la veloctà. Infatt dalla (95) nella sezone n c s raggngesse Ma= (condzon sonche) c sarebbe na dfferenza d pressone che tenderebbe all nfnto, a meno che n tale sezone non c fosse na cosddetta gola, coè n mnmo della sezone. In tale caso da=, la pressone s manterrebbe fnta e con n sccessvo tratto dvergente s porterebbe la corrente a nmer d Mach spersonc. E qnd necessaro n tratto convergente-dvergente per portare na corrente sbsonca ad essere spersonca. Uno stesso tratto sarà necessaro per rportare la corrente spersonca ad essere sbsonca; qesto è propro qello che avvene nelle gallere del vento o ne condott n c sano realzzate condzon spersonche. Ovvamente se s realzzasse nvece n tratto dvergenteconvergente non sarebbe ma possble accelerare n condzon sonche na corrente sbsonca o decelerare a tal condzon na corrente spersonca. S osserv che nella sezone d gola, dove Ma= sa nel passaggo sbsonco-spersonco che vceversa, valor d temperatra, pressone e denstà saranno qell crtc defnt nel paragrafo 9.5. Utlzzando la relazone (94), n manera eqvalente a qanto fatto per valor d rstagno nel paragrafo 9.5, è possble scrvere l legame tra valor d temperatra, pressone, denstà tra de qalsas sezon del condotto (ndvdate da pedc e ). Introdcendo la qanttà H Ma Ma, è possble ottenere 54

155 T H T p p H H Se sa Ma che Ma sono molto mnor d, coè n condzon sbsonche, s ha H e T T (l rapporto tra le presson è nvece proporzonale a H 3.5 e qello tra le denstà a H.5 ). Altrment le relazon precedent permettono l calcolo del rapporto. Se consderamo le relazon precedent applcate alla (95) trovamo anche l rapporto tra le aree delle sezon n fnzone del rapporto tra nmer d Mach nelle sezon o ancora meglo qal è l rapporto tra nmer d Mach dato qello tra le sezon (legge delle aree), data coè la geometra del condotto A A H Ma Ma, Ma Ma H A A ovvamente l lmte n c no de nmer d Mach sa par a zero fornsce valor d rstagno, mentre nel lmte d nmero d Mach par all ntà s rtroveranno valor crtc. E mportante specfcare che qanto trovato vale fnché non sano present nel condotto onde d rto, nel qal caso l potes d sentropctà non sarebbe pù valda (fenomen d dsspazone vscosa e d calore). 9.7 RELAZIONI PER ONDA D URTO NORMALE Come gà vsto nel paragrafo 9.4, n n flsso compressble possono generars onde vaggant alla veloctà del sono che trasportano ncrement (o decrement) del campo d pressone e denstà. Nel prmo caso, tal onde (dette d compressone) possono dare orgne a dscontntà effettve d spessore fnto (sebbene molto pccolo) de camp fldodnamc e sono dette onde d rto. In effett, per n flsso spersonco, ttte le volte che s realzza na brsca dmnzone locale d pressone (dal paragrafo precedente qesto accade n n flsso spersonco qando c è n tratto dvergente o comnqe n espansone) o n mprovvso cambo d drezone s vene a formare n onda d rto come consegenza della propagazone del dstrbo fnto. Rslta allora 55

156 56 mportante capre n che modo varano le qanttà fldodnamche attraverso l onda d rto rspetto a qanto ottento nel paragrafo precedente per n flsso compressble ma n assenza d onde d rto. Come n precedenza, s farà l potes d flsso ndmensonale, che corrsponde a consderare n onda d rto normale. Assmamo che l onda sa dretta lngo l asse con l nca componente d veloctà ndcata con e tlzzamo pedc e per le qanttà a monte e a valle dell onda. Le relazon (94) possono essere scrtte rcordando che la sezone A attraverso n rto resta costante (e che qnd dall eqazone d conservazone della massa l prodotto rslta costante) e tlzzando la veloctà del sono d p d d k c coè p p (95) c c ma dall ltma relazone, per la defnzone d valore d rstagno e d valore crtco, sege che c c t c Ma c Ma c (96) Dvdendo la seconda delle (96) membro a membro con la prma e tlzzando la relazone p/=c /, s ottene c c e sosttendov valor trovat nella (97) per le de veloctà del sono

157 c c che oltre alla solzone banale = ammette la solzone nella forma della cosddetta relazone d Prandtl (avendo ntrodotto l nmero d Mach crtco Ma c =/c c ) Ma cma c che c mostra come attraverso n onda d rto normale, dovendo essere l prodotto ntaro sgnfca che se l nmero d Mach a monte è spersonco qello a valle deve essere sbsonco, coè l flsso a valle dell rto è sbsonco. A qesto pnto, tlzzando l espressone completa per le qanttà crtche nella relazone precedente, è possble ottenere l rapporto tra le qanttà a valle e qelle a monte n fnzone del nmero d Mach a monte dell rto (relazon d Rankne-Hgonot, Wllam John Macqorn Rankne, 8-87, Perre Henr Hgonot, ) T T Ma Ma Ma Ma Ma p p Ma Ma Ma La prma d qeste c conferma qanto gà trovato con la relazone d Prandtl e che coè l nmero d Mach a valle dell onda rslta nferore all ntà se qello a monte è maggore con n valore massmo per Ma dato da [(-)/ ] /.4 (se l nmero d Mach a monte tende a lo fa anche qello a valle, verfcare per eserczo la crva rsltante). La seconda relazone mostra che la denstà a valle dell onda d rto è maggore d qella a monte (nfatt è n onda d compressone), con n valore massmo dato dal rapporto (+)/(-)=6, ed entrambe tendono allo stesso valore per nmero d Mach tendente all ntà (le veloctà sono n rapporto nverso). La terza relazone per la pressone c dce che anche la pressone a valle dell rto è maggore d qella a monte con l gaglanza nel caso d nmero d Mach ntaro (n qesto caso non esste n valore lmte). 57

158 Infne la qarta relazone per la temperatra mostra l amento d temperatra a valle dell onda d rto (responsable d forte nnalzamento d temperatra e onzzazone d ara d fronte d velvol spazal n rentro atmosferco). Anche n qesto caso non esste n valore lmte e le temperatre tendono ad essere gal qando l nmero d Mach tende al valore ntaro. Notamo che dalla prma delle (96), possamo calcolare l coeffcente d pressone C p che nel pnto d rstagno ( =) varrà propro, come gà mostrato nel paragrafo 5.3. Dalla relazone precedente possamo nfne calcolare l contrbto alla resstenza d onda nel caso d onda d rto normale tramte le relazon d Rankne-Hgonot, coè ntegrare l coeffcente d pressone lngo la sperfce dell onda (assmendolo costante) e rdvdendolo per la sperfce stessa C w 4 Ma Ma che fornsce valor trascrabl per nmero d Mach prossmo all ntà e cresce n mportanza fno ad n valore lmte par a.67 (qesto valore pò anche essere ottento dalla relazone per la resstenza d onda ottenta nel captolo 8). Il valore trovato per l caso d onda d rto normale vene a dmnre consderevolmente nel caso d onda d rto oblqa ( salt d denstà e pressone sono attenat d fattor legat al seno al qadrato dell angolo formato dall onda con la drezone del flsso ndstrbato). Qest ltma è la condzone che s verfca pù spesso nelle stazon real specalmente con oggett n moto avent bordo d attacco affsolato pttosto che arrotondato. 58

159 Captolo AERODINAMICA DELLE TURBINE EOLICHE. INTRODUZIONE L energa eolca, prodotto della conversone dell energa cnetca del vento n energa meccanca ed elettrca è na forma d energa solare. Infatt, vent sono generat dal rscaldamento non nforme dell atmosfera da parte del sole, dalle rregolartà della sperfce della terra e dalla sa rotazone. Essendo na forma d energa presente qas ovnqe, negl ltm ann l generale rsveglo d nteresse verso le forme d energa rnnovabl ha convolto anche l ambto eolco. I dspostv che sfrttano qesta forma d energa sono caratterzzabl n de grosse famgle: generator eolc e mln a vento. Con l termne generatore eolco, o meglo trbna eolca, s ntende n dspostvo n grado d convertre l energa contenta nel vento n elettrctà, mentre mln a vento convertono l energa del vento n potenza meccanca. Nelle trbne attal l processo d conversone tlzza la portanza generata dall nterazone tra vento e pale della trbna per prodrre na coppa s n albero rotante, cò comporta la prodzone d potenza meccanca e sccessvamente la trasformazone n energa elettrca.. CENNI STORICI L energa eolca è stata ampamente tlzzata fn dall antchtà e prm esemp d macchne eolche s possono trovare n raffgrazon d area egzo-mesopotamca attorno al 9 a.c., come rappresentato n fgra 46 (a snstra). Per vedere prm tlzz n Eropa s deve attendere l medoevo e prm mln a vento, l c scopo prncpale era la prodzone d energa meccanca per attvare franto e pompe d acqa (fgra 46 a destra). Come rappresentato n fgra 47, l meccansmo d conversone dell energa eolca n meccanca era ngegnoso, mentre la geometra delle pale era pttosto prmtva (essenzalmente della tela s n telao). Il loro tlzzo era lmtato dal fatto che l energa prodotta non poteva essere trasportata ma doveva essere tlzzata n loco. S comncarono ad sare le prme vere trbne eolche attorno al 88 negl Stat Unt, qando vennero collegat a comn mln a vento de generator elettrc d pccole dmenson. 59

160 Fgra 46. Schema d n dspostvo sonoro con pale rotant azonate a vento (I secolo a.c.)(a snstra) e mlno a vento olandese (a destra). Fgra 47. Mlno a vento olandese: sezone della torre con meccansmo d trasmssone (a snstra) e dettaglo della pala (a destra). 6

161 Fgra 48. Esemp d mln a vento amercan tlzzat per l pompaggo dell acqa ( a snstra) e esempo prmtvo d trbna eolca degl ann 3 del 9 (a destra). Fgra 49. Esempo d trbna eolca moderna (a snstra) e d mpanto mlt-trbna ( wnd farm ) (a destra). 3 ft. ft. Fgra 5. Dmenson massme d na trbna eolca (a snstra) rspetto al Jmbo 747 (a destra). 6

162 La loro espansone però ncontrò gross ostacol, n qanto l energa prodotta era ancora poca e la capactà strttrale delle pale era ancora bassa per poter permettere n tlzzo masscco d tale forma d generazone d corrente (fgra 48 a snstra). Ne prm ann del 9 s affnarono le tecnche d conversone dell energa e s comncò ad applcare qalche nozone d aerodnamca per qanto rgarda la forma delle pale della trbna (fgra 48 a destra). A partre del 945 fno a prm 6 molt progett frono abbandonat, fn qando non s ebbero le conoscenze tecnche ed aerodnamche per progettare e costrre delle macchne effcent e potent. I generator eolc attal sono macchne complcate, dall aerodnamca complessa. I pù grand attalmente n prodzone sono de rotor d 5 m d dametro, n altezza complessva d 98 m (pù dell apertra alare del Jmbo 747), con capactà prodttva d 5-6 MW anche n schere d centnaa d sstem (fgre 49 e 5), ma esstono anche dspostv mcroeolc da meno d kw..3 TIPOLOGIE DI TURBINE Le trbne eolche sono classfcabl n grosse famgle n fnzone della confgrazone e dsposzone delle pale, del modo d fnzonamento e del sstema tlzzato per regolare l scta d potenza. Una prma classfcazone pò essere fatta rspetto al tpo d forza che esse tlzzano per generare la rotazone dell albero: macchne a resstenza (drag type), macchne a portanza (lft type) e macchne mste (drag-lft type). Le pù sate attalmente per la generazone d grosse potenze sono le lft type, n c n rotore con pale, sfrtta la portanza generata da qeste ltme per prodrre na coppa. Un lterore sddvsone è qella tra trbne ad asse vertcale (AWT ertcal As Wnd Trbne) e ad asse orzzontale (HAWT Horzontal As Wnd Trbne), come rappresentato n fgra 5. Qelle appartenent al prmo grppo s dstngono n Darres ( lft type ) e Savons ( drag type ), le seconde s dvdono nelle confgrazon Upwnd e Downwnd, a seconda che l rotore s trov a monte o valle del generatore elettrco. Soffermando l anals sl tpo HAWT, s pò fare n lterore classfcazone, dstngendo tra macchne a veloctà costante e macchne a veloctà varable. Mentre l prmo tpo fnzona mantenendo sempre la stessa veloctà rotazonale al varare dell ntenstà del vento, nel secondo tpo nvece la veloctà rotazonale è proporzonale alla veloctà del vento (d solto n condzon d avvamento e a bassa veloctà del vento rspetto al d progetto). In entramb grpp v sono trbne regolate medante lo stallo progressvo delle pale ( stall-reglated ) e medante la regolazone del passo della pala ( ptch reglated ). S pò agre slla potenza attraverso l controllo delle pale e delle caratterstche elettrche del generatore. 6

163 Fgra 5. Esempo d trbna eolca ad asse orzzontale (HAWT, a snstra) e vertcale (AWT, al centro d tpo Darres, lft type, e a destra d tpo Savons, drag type)..4 PROFILI ALARI UTILIZZATI I profl delle pale delle trbne eolche sono essenzalmente profl aeronatc. La termnologa tlzzata per descrvere n proflo alare è qnd qella d dervazone aeronatca. Come mostrato n fgra 5, l pnto pù avanzato d n proflo alare è detto bordo d attacco o leadng edge, mentre l pnto pù arretrato è detto bordo d scta o tralng edge. La parte sperore e nferore d n proflo sono generalmente ndcat come dorso e ventre. La lnea orzzontale che corre dal bordo d scta al bordo d attacco e s trova a metà strada tra pnt del dorso e del ventre del proflo vene generalmente ndcata come lnea meda. Il segmento che s trova tra bordo d attacco e bordo d scta è detto generalmente corda del proflo. La massma dstanza tra la lnea meda e la corda ndca n percentale la crvatra del proflo rferta alla corda meda. S defnsce angolo d attacco o d ncdenza,, l angolo formato tra la corda del proflo e la drezone del flsso ncdente, mentre s ndca con angolo d portanza nlla l angolo d attacco al qale l proflo non genera portanza (per n proflo smmetrco tale angolo è par a zero). Come gà vsto per n corpo generco, possono essere ntrodotte le forze agent s profl, anche n termn d coeffcent d forza, essenzalmente portanza e resstenza, così come moment, n partcolare l momento pcchante, defnto come l momento prodotto dalle forze attorno ad n asse perpendcolare al pano del proflo, e l coeffcente d momento. 63

164 Fgra 5. Geometra d n proflo alare. Come rportato nel captolo 8 (fgra 4), la crva che mette n relazone l coeffcente d portanza d n proflo con l angolo d attacco, è na fnzone lneare per angol d attacco fno a crca (tale valore dpende dal proflo specfco e dal nmero d Reynolds, che per generator eolc assme anche valor pttosto elevat, da 5 5 a 7, mentre fenomen d compressbltà possono essere trascrat essendo Ma.3 alle estremtà palar). Per angol d ncdenza maggor, avvene la separazone e stallo che fanno brscamente dmnre l coeffcente d portanza. Anche la crva che descrve l coeffcente d resstenza è esprmble n fnzone dell angolo d attacco. Consderando qnd che per n generco proflo è possble sempre determnare valor d C L e C D, s pò pensare d costrre l rapporto tra de coeffcent detto effcenza del proflo, E C E C L D L effcenza pò essere tlzzata per valtare la capactà d n proflo d generare forza tle (portanza) n relazone alla qanttà d forza da spendere (resstenza). Essendo po l entramb coeffcent dpendent dal nmero d Reynolds, anche l effcenza è fnzone d tale parametro. Per ogn proflo s pò dentfcare n pnto della polare relatvamente al qale l rapporto E assme l valore massmo, qesta condzone è qella che vene d solto ndcata come effcenza massma (d solto per pale eolche par a crca ). Ogn proflo alare s pò dre essere n grado d operare n tre dvers regm d fnzonamento: qello d fldo attaccato, qello d alta portanza/stallo e qello d lastra pana/stallo completo. Nel regme d fldo attaccato, fno a 8, l flsso rmane attaccato alla sperfce del proflo e l coeffcente d portanza amenta lnearmente con l angolo d ncdenza. Nel regme d alta portanza, da 8 a crca, l coeffcente d resstenza amenta molto pù d qanto non lo facca qello d portanza. In qesta condzone l flsso comnca a separars dalla 64

165 sperfce del proflo e cò casa l nzo del fenomeno d stallo. Tale condzone vene tlzzata per l controllo d potenza ne generator del tpo stall reglated. L angolo d stallo e la tpologa dello stesso (stallo d bordo d attacco o d bordo d scta) dpendono dal nmero d Reynolds e dal tpo d proflo n esame. Il terzo regme è qello d stallo completo, coè na condzone d flsso completamente separato dalla sperfce del proflo. In qesta confgrazone de coeffcent assmono pressoché lo stesso valore. Qesta caratterstca de profl permette lo stdo delle pale n na condzone post-stallo, approssmandole come lastre pane. I profl per generator eolc sono d solto dsegnat per lavorare a bass-med angol d attacco e percò nel regme d flsso attaccato, con valor d coeffcente d portanza abbastanza elevat e d coeffcente d resstenza relatvamente bass..5 AERODINAMICA DEI ROTORI Per rcavare le prestazon prevste per na data trbna eolca, è necessaro schematzzarne l fnzonamento aerodnamco. L aerodnamca del rotore d na trbna eolca pò essere vsta come na sntes d tre teore: qella del dsco attatore, del dsco rotorco e dell elemento d pala. L none delle tre formlazon ndcate sopra consente d descrvere nteramente l campo fldodnamco attorno ad n rotore e consente noltre d determnare le caratterstche aerodnamche delle pale a partre da coeffcent aerodnamc de profl. L nseme d qeste teore vene ndcata con l acronmo BEM, Blade Element Momentm Theory. Teora del dsco attatore. Una trbna eolca è na macchna che fnzona sottraendo energa cnetca alla corrente flda, tale sottrazone d energa casa n rallentamento del fldo attraverso l dsco. S sppone noltre che drante l processo d estrazone d energa le masse d ara passant attraverso l rotore e all esterno d esso non s mscelno ma così separando dealmente qeste de masse d ara medante n tbo d flsso d sezone crcolare, come ndcato n fgra 53. Spponamo che la portata n massa nel tbo d flsso, Q=A, rslt essere costante n ogn poszone assale d sezone A. Indcando con pedc, d, w le condzon relatve al fldo a monte, n corrspondenza del dsco e a valle, s pò percò scrvere (essendo la denstà costante n dpendenza de bass valor del nmero d Mach) A A d d A w w 65

166 Fgra 53. Schematzzazone del tbo d flsso nella teora del dsco attatore. Se qnd è presente n rallentamento della corrente flda, dovto alla cessone d energa cnetca e momento da qesta al rotore, sarà w e qnd dovrà anche essere A Aw.Dnqe la dmnzone d veloctà casata dall estrazone d energa prodce n ncremento dell area del tbo d flsso a valle del rotore. La dmnzone d veloctà nelle vare poszon assal lngo l tbo d flsso deve avvenre n manera gradale e senza varazon brsche, l rallentamento del fldo comncerà percò gà a monte del rotore e prosegrà a valle. Come consegenza d qesto, per l teorema d Bernoll tra na sezone a monte del dsco rotore la sezone del dsco stessa, la pressone statca amenterà per assorbre la dmnzone d pressone dnamca. Attraversando l rotore l fldo verrà ora prvato d na parte dell energa e cò caserà na dmnzone della pressone statca. Tra monte e valle della trbna s nstarerà così na dfferenza d pressone; la sperfce d dscontntà della pressone tra monte e valle vene assmlata ad n dsco permeable che vene ndcato come dsco attatore. La varazone d veloctà e pressone è rportata nella fgra 54. S consdera che l dsco attatore ndca sl fldo na varazone d veloctà ndstrbata, tale varazone è esprmble come che è sovrapponble alla veloctà della corrente a che vene defnta d solto veloctà ndotta. Il parametro a vene generalmente ndcato come fattore d nflenza assale e rappresenta la frazone della veloctà della corrente ndstrbata assorbta dal dsco attatore. Tale coeffcente consente d scrvere la veloctà d della corrente n corrspondenza del dsco 66

167 67 Fgra 54. arazone d sezone, veloctà e pressone attraverso l dsco del rotore. ) ( a a d e qnd a d La dfferenza d pressone tra le de facce del dsco attatore prodce s d esso na spnta, T d d d A ) P P ( T Qesta provoca la varazone della qanttà d moto assale del fldo, Q m ) ( A A A Q w d d w w m Sosttendo l valore d ed gaglando le de precedent eqazon s ottene a ) ( ) ( ) P P ( w d d Per calcolare la dfferenza d pressone s tlzza l teorema d Bernoll. Non potendolo applcare attraverso l dsco (a casa delle perdte d energa), dvdamo dealmente l tbo d flsso n de regon, na a monte ed na a valle separate dealmente dal dsco stesso

168 68 d d w d d P P P P Sottraendo le precedent relazon s ottene d d w P P e qnd a w w ) ( a w Qnd a monte del dsco la veloctà assale dmnsce nel tbo d flsso d n fattore ( - d )/ =a e a valle d n dentco fattore ( d - w )/ =a, coè ha logo metà a monte e metà a valle. Avendo determnato w, s pò esprmere la spnta prodotta dal fldo sl dsco rotorco ) a a( A A a A )A P P ( T d d w d w w d d d La potenza assocata alla corrente flda, W, è data dal prodotto della spnta e della veloctà della corrente n corrspondenza del dsco rotorco e sarà qnd 3 ) a a( A T W d d E anche possble defnre n coeffcente admensonale d potenza, che ndca la qanttà d energa contenta nella corrente estratta dalla trbna eolca e convertta n energa elettrca 3 4 a a A W C d W Da qesta formla s nota che l valore del coeffcente d potenza, attraverso la sola teora del dsco attatore, è dpendente esclsvamente dal fattore d nflenza assale a. E ovvo che nel progetto d n generatore s cercherà d massmzzare la potenza estratta dalla corrente flda, percò annllando la dervata parzale d C W rspetto ad a s ottene

169 dc W da a 8a a 4( a )( 3a 4 ) che s annlla per a= (che però è n pnto d mnmo dato che la dervata seconda è postva) e n a (che rappresenta effettvamente n massmo essendo la dervata seconda negatva). In qeste 3 condzon attraverso l dsco vene assorbta na veloctà della corrente a=/3 e la veloctà a valle del dsco del rotore dventa par a /3 (qella n corrspondenza del dsco vale /3). Smltaneamente la sezone del tbo d flsso passa da /3 A d a monte a A d a valle del dsco. Sosttendo l valore d massmo nel C W s ottene 6 7 C. 593 W ma defnto come lmte d Betz. Nessna trbna eolca è n grado d eccedere tale valore massmo del coeffcente d potenza, coè la percentale massma d potenza estrable da na corrente flda è qas l 6%. Qesto è n valore deale, mentre l valore massmo effettvamente raggngble è po lmtato da fattor che convolgono gl effett dsspatv. La forza agente sl dsco, la spnta T ntrodotta precedentemente, pò essere resa admensonale tramte l ntrodzone d n coeffcente, ndcato come coeffcente d spnta, tale che se l rotore fosse n dsco peno ne esprmerebbe la resstenza. Qnd per convenzone, la resstenza che na trbna eolca offre al vento e che s trasmette drettamente sl plone d sostegno è dentfcata da C T T A d da c, rcordando l espressone trovata per la spnta n fnzone del fattore a, s ottene C T 4a( a) Qesta qanttà è massma qando (C T =) qando a e n qeste condzon l dsco sottrae ttta la spnta dal fldo e qnd rallenta completamente la corrente flda fno all arresto. 69

170 Fgra 55. Andamento de coeffcent d potenza (C P ) e spnta (C T ) e del rapporto tra veloctà nella sca e ndstrbata (U 4 /U) n fnzone del fattore d nflenza assale, a. Qando nvece l coeffcente d potenza è massmo (a=/3) C T =8/9. La teora del dsco attatore non è pù applcable per valor d a : n qeste condzon nfatt, la veloctà della sca w dvene o addrttra negatva, e s renderà percò necessaro ntrodrre delle correzon teorche per approssmare qello che è l reale fnzonamento del rotore. Nella fgra 55 sono rassnt gl andament teorc de coeffcent d potenza e spnta n fnzone del fattore d nflenza assale con l andamento del rapporto tra la veloctà nella sca e qella della corrente ndstrbata a monte. Il lmte d Betz non vene nella realtà ma raggnto perché rspetto a qanto esposto bsognerebbe consderare anche la rotazone della sca detro al rotore, l nmero fnto delle pale della trbna e le perdte a qeste assocate e nfne le forze aerodnamche slle pale stesse. D qeste cose se ne pò tenere conto attraverso n coeffcente η< nell espressone del coeffcente d potenza. Dal pnto d vsta teorco s pò consderare che l dsco non sa pù mmoble ma rot attraverso la teora del dsco rotorco. Teora del dsco rotorco. Il rotore s mantene n rotazone poché s d esso agsce na coppa motrce tra l pnto d applcazone della spnta e l asse d rotazone. A casa del prncpo d azone e reazone, tale coppa dovrà essere presente anche nel fldo a valle del rotore ndcendo na rotazone del fldo nella sca opposta a qella del rotore con veloctà tangenzale n aggnta a qella assale. L energa cnetca rotazonale della sca s aggngerà a qella assale a valle del rotore e la maggore energa cnetca totale nella sca dmnrà allora la qanttà d energa effettvamente estrable. Essendo 7

171 l energa cnetca rotazonale legata alla coppa d reazone e dnqe alla coppa presente sl rotore s avrà che le trbne lente e con elevata coppa presenteranno na maggore rotazone della sca rspetto alle trbne veloc con bassa coppa. A monte del rotore l energa cnetca sarà solamente d tpo traslazonale, a valle del rotore l energa cnetca totale sarà data dalla somma dell energa cnetca traslazonale e d qella rotazonale: la varazone sarà ttta n corrspondenza del rotore. Senza entrare ne dettagl, alla veloctà assale s sommerà vettoralmente na componente dovta alla rotazone della sca par a r ( rappresenta la veloctà d rotazone della sca n rad/s, mentre rappresenta la veloctà d rotazone del rotore e r la dstanza dall asse) come rappresentato n fgra 56. In manera smle a qanto vsto per la componente assale, s rcava che la componente tangenzale è par a a monte del rotore, a ra sl dsco rotorco e a ra a valle (n verso opposto a qello del rotore). La qanttà a è detto fattore d nflenza tangenzale a S ntrodce anche l fattore r ndcato come rapporto tra le veloctà tangenzale e assale ( tp speed rato ) r r, r R r R Come noto, la coppa motrce d n rotore, C, e la potenza sono legate tra loro dalla veloctà angolare del rotore, W=C. D consegenza, è possble anche esprmere la coppa rotorca attraverso l coeffcente d coppa, C C, legato a qello d potenza tramte l fattore, C C =C W /. Dalla teora del dsco rotorco s rcava la relazone (ntrodcendo =r/r) per la massma potenza a( a) a( a) a( a) a r r R r R a( a) Come rcavato dalla teora del dsco attatore, l valore d a deve essere costante (e s trova par a /3), mentre a è dpendente da a, dalla poszone radale r e dal parametro come sopra rportato. olendo calcolare l C W ottenble per l ntero rotore s ottene che l valore teorco massmo è par a.593 coè lo stesso valore che s ottene come lmte nel Betz nel caso d assenza d rotazone della sca. L assnzone della rotazone della sca non va qnd a modfcare rsltat ottent nel caso del dsco attatore per qanto rgarda l coeffcente d potenza ottenble. 7

172 La teora del dsco rotorco consente qnd d qantfcare la varazone della componente tangenzale della veloctà da consderare nel dsegno della pala. La teora che non consdera la rotazone della sca (dsco attatore), è valda con bona approssmazone per valor d speror a.5. Invece, a bass, come nel caso d generator che attvano macchne dove è necessara n elevata coppa nzale e n elevata soldtà (come nel caso d sstem che attvano pompe per acqa tpo mln a vento), l errore nel trascrare la rotazone pò essere alto. Nelle moderne trbne eolche dove l vale tra 5 e, la semplce teora del dsco attatore è applcable senza n apprezzable errore. Notamo che nella categora trbne eolche con rotazone rentrano anche qelle n c qest ltma è generata per spnta dretta (che nel paragrafo.3 ndcate come AWT drag type, tra c rentra la trbna Savons). Per qeste ltme, è possble calcolare l coeffcente d potenza, come C W W 3 A d R R 3 Ad C D A d C D essendo r = -R, la veloctà relatva tra la corrente flda e la veloctà d rotazone della trbna (coè la veloctà n base alla qale s calcola l coeffcente d resstenza della trbna C D ): L espressone precedente è analoga a qella trovata nella teora del dsco attatore con la qanttà al posto d a e l fattore C D al posto d 4. Anche n qesto caso l valore massmo del coeffcente d potenza s trova massmzzando la varazone del coeffcente C W rspetto a, ottenendo CW CD ma.48 CD ma ma 4 per =/3 7 Poché d solto l coeffcente d resstenza d n semclndro ha n valore compreso tra e, s ottene che l coeffcente d potenza massmo ottenble da na trbna d tpo Savons è molto nferore a qello d na trbna HAWT, per la qale vale penamente la teora del dsco attatore, pr avendo le trbne ad asse vertcale l vantaggo dell ndpendenza delle prestazon dalla drezone d provenenza del vento. Charamente l fnzonamento d na trbna Savons è legato al fatto che l coeffcente d resstenza slla facca concava è molto maggore d qello slla facca convessa (crca.4 per la prma e crca.3 per la seconda). Qesto effetto va consderato nella valtazone delle prestazon a partre dalla formla precedente. 7

173 Fgra 56. Composzone vettorale delle veloctà d traslazone e d rotazone slle pale (a snstra) e schema della rotazone a valle del rotore per na generca dstanza r dal centro (a destra). Fgra 57. ortc d estremtà e radce s pale eolche. Teora dell elemento d pala Nelle teore del dsco attatore e rotorco l rotore è composto da na sperfce permeable attraverso la qale al fldo passante vengono mpartte varazon d veloctà assale e tangenzale e qanttà d moto assal e tangenzal. Però dobbamo consderare che l rotore è formato da pale composte d profl alar e qnd esse operano n analoga alle al. Per tale motvo possamo mmagnare che a bord delle stesse, n corrspondenza dell estremtà e della radce, sano present de vortc del ttto analogh a qell comnemente osservat s n aereo (fgra 57). Inoltre sono propro le sperfc palar, e le forze aerodnamche che s esse s svlppano, gl element 73

174 essenzal che permettono d estrarre l energa dalla corrente flda. S assme che l elemento d pala n na generca poszone radale sa l solo responsable della varazone della qanttà d moto del fldo che lo attraversa e che n generale non c sa nterazone tra anell adacent. S assmerà che le forze d portanza e resstenza s n elemento d pala possano essere descrtte da coeffcent d portanza C L e resstenza C D del generco proflo che compone l elemento stesso (fnzon dell angolo d ncdenza come rportato nel captolo 8). L angolo d attacco n ogn poszone radale e qnd per ogn elemento che compone la pala verrà determnato sfrttando la veloctà della corrente flda e la sa drezone, n aggnta a qell che sono fattor d nflenza assale e tangenzale e la veloctà rotazonale della pala. Conoscendo la varazone de coeffcent d portanza e resstenza con l angolo d attacco, sarà possble rcavare le forze rsltant sll elemento d pala per n determnato valore d a ed a. In qesto caso parlamo qnd d trbne eolche con generazone d portanza e qnd HAWT oppre AWT lft type. A tale scopo, consderamo allora n rotore d raggo R composto da N pale; ogn elemento radale sarà descrtto da na generca corda c, come rappresentato nella fgra 58. Spponamo che le pale rotno ad na veloctà angolare e consderamo n generco elemento posto a dstanza radale r dall asse del rotore. La veloctà tangenzale dell elemento d pala d ampezza radale dr dovta alla rotazone sarà espressa da r (-r per l fldo) e a qesta s sommerà la veloctà tangenzale della sca (legata al fattore a ), rcavata tramte la teora del dsco rotorco, che n corrspondenza del pano del rotore e par a ra. Fgra 58. Schematzzazone d n rotore con la teora dell elemento d pala. 74

175 La veloctà tangenzale complessva del fldo sarà qnd ( a) r. La veloctà della corrente n corrspondenza del dsco, rcavata con la teora del dsco attatore è par a ( a) e qnd componendo vettoralmente la veloctà complessva sl generco elemento sarà d tot ( a ) r ( a ) (97) Da c s nota che essa, per na fssata veloctà del vento e veloctà angolare del rotore, è varable n fnzone della poszone radale dell elemento e de fattor d nflenza assale e tangenzale. Consderamo ora che l elemento d pala sa composto da n proflo alare e che l angolo che la rsltante della veloctà forma con l pano d rotazone sa (fgra 59 a snstra). Introdcamo ora l angolo d svergolamento dell elemento come qello compreso tra l pano del dsco e la corda del proflo dell elemento (n pratca l angolo d ncdenza della corrente n assenza d rotazone). Entramb gl angol possono essere fnzone della dstanza dall asse. S rcava sn ( tot a ), r( a ) cos tot, ( a ) a tg r a' a' (98) L angolo d attacco effettvo eff del proflo sarà. Dat coeffcent d portanza e resstenza del proflo (fnzone dell angolo d ncdenza effettvo e della sezone consderata) rspetto alla drezone della veloctà totale s potranno scrvere le forze come (essendo c la corda del proflo alla data sezone) eff dl totccldr dd tot cc D dr tot eff Fgra 59. Angol e veloctà assale e tangenzale sl rotore (a snstra) e forze agent (a destra). 75

176 Come rappresentato n fgra 59 a destra, la forza aerodnamca n drezone assale sarà data dalla combnazone della portanza, dretta ortogonalmente alla tot e della resstenza dretta parallelamente. Tale forza sarà qnd generata prncpalmente dalla portanza essendo l angolo abbastanza pccolo e corrsponde alla spnta slla corrente flda T N R r R tot L D sen dr (99) r cos dl sendd N rcr C rcos C r avendo ntegrato sll apertra della pala (dal mozzo d raggo r all estremtà ad r=r) e avendo moltplcato per l nmero delle pale (spposte ttte gal e non nteragent). Qesta eqvale alla varazone della qanttà d moto assale gà ottenta dalla teora del dsco attatore, sosttendo al posto dell area A d la qanttà rdr e ntegrando R R r Q 4 a( a )rdr 4 a () r a Dall gaglanza tra T e Q è possble ottenere l collegamento tra fattor d nflenza assale e tangenzale con parametr d progetto del rotore e de profl che ne compongono le pale e qnd ottmzzare la spnta e valor de fattor per no specfco rotore. In effett è stato trascrato n termne d forza addzonale dovta alla varazone della componente dnamca della pressone che R r R r s ottene consderando la rotazone della sca 4 r a' 4 a'. In drezone tangenzale nvece forza aerodnamca sarà data dalla combnazone ndcata n fgra 59 a destra (sen e cosen scambat rspetto a prma) coè generata da resstenza e portanza. Qesta forza moltplcata per l bracco r corrsponde alla coppa aerodnamca prodotta dalla pala C N R r r R tot L D cos dr () r sendl cos dd N r rcr C rsen C r e sarà eqvalente alla varazone della qanttà d moto angolare par al prodotto della portata n massa del fldo ( r dr d = r dr (-a)), della varazone d veloctà tangenzale tra monte e valle del dsco (che dalla teora del dsco rotorco è par a ra ) e del bracco r, ovvamente ntegrata s ttto l dsco rotore 76

177 Q a R R r 4 a' ( a) r dr 4 a' () 4 r a Anche n qesto caso, dall gaglanza tra C e Q a è possble ottenere l collegamento tra fattor d nflenza assale e tangenzale con parametr de profl delle pale rotorche e qnd ottmzzare la coppa. Il sstema T Q C Q a (3) dat coeffcent d portanza e resstenza del proflo qantfca le prestazon d n rotore medante n procedmento teratvo. La procedra consste nell mporre a ed a par a e calcolare po coeffcent d portanza e resstenza e l angolo. Dat qest calcolare nov valor d a ed a e procedere così teratvamente fno a raggngere la convergenza del rsltato. Come detto, la teora BEM è valda solamente nel caso n c la crcolazone sa costante lngo ttta la pala e s pò dmostrare che cò avvene qando a è costante. In caso contraro non s potrebbe affermare l ndpendenza d ogn dsco nfntesmo del rotore; n pratca s nota però che l errore che s ha nel caso n c a non sa costante è solo apprezzable per valor del nferor a 3. Rsolvendo l sstema BEM d c sopra, per n rotore con determnate caratterstche aerodnamche e geometrche, s pò determnare valor de fattor d nflenza, a e a (fnzon d ) e da qest l valore del coeffcente d spnta, C W, e del coeffcente d coppa, C C, n fnzone d. Un esempo del rsltato ottento per l prmo è mostrato n fgra 6 per na trbna moderna. Fgra 6. Coeffcente d spnta n fnzone del parametro. 77

178 78 Provamo a fare n calcolo semplfcato approssmatvo, spponendo che l fattore d nflenza assale sa par al valore ottmale, a=/3. D consegenza, l fattore d nflenza tangenzale sarà gale a a 4/9 (avendo approssmato r con R), con +a gà per =, e sarà possble scrvere la veloctà totale (97) come r tot Le qanttà n (98) saranno qnd 3 sn tot, cos R r tot Immagnando noltre che né coeffcent d resstenza e portanza né la corda dpendano dall apertra alare, è possble calcolare la spnta (99) all apertra meda R/ come D L D L C C R c N R C C c N T E l relatvo coeffcente d spnta come D L T C C R c N C avendo sato l area R per l admensonalzzazone. In manera smlare è possble scrvere la coppa () e l relatvo coeffcente, che rappresenta la potenza ottenble D L D L C C R c N R C C c R N C 3 D L W C C R c N C Dalle espresson precedent per coeffcent d spnta e potenza s nota l mportanza relatva de termn d portanza e resstenza al varare del valore d. In partcolare, calcolando l massmo d potenza n fnzone del tp speed rato (dervando ed egaglando a zero l espressone precedente), s ottene D L C C 3, 3 ma 7 4 D L W C C R c N C, ma 3 9 D L D L T C C C C R c N C

179 Essendo per n tpco proflo palare tlzzato n ambto eolco, C L, C D. e n rapporto geometrco apertra-corda par almeno a, rslta n valore massmo della potenza per 67 con C Wma.N (con 3 pale rslta crca.6) e C Tma.7N. Dalla fgra 6, s nota n effett che l massmo coeffcente d potenza s ha solo per n determnato valore d, crca gale a 7 nel caso specfco, n qesto caso s pò trovare (s veda l paragrafo.6) che l fattore d nflenza assale approssma l valore d /3 fornto dal lmte d Betz. Qando l valore d è basso, allora gl angol d attacco sono elevat e l proflo pò essere n condzon d stallo, se al contraro qesto valore è elevato allora gl angol d attacco sono bass. E ovvo percò pensare che l rotore dovrà essere progettato per fnzonare per la maggor parte del tempo n condzon per le qal l C W è massmo. Nelle condzon d elevato valore d, l rotore s comporta come n dsco con permeabltà varable e per tende alla condzone (che s verfca anche per a ) n c l rotore dvene na pastra crcolare solda attraverso la qale l fldo non pò passare. Il fldo che raggnge l bordo del dsco tenderà ad aggrarlo creando na grossa zona d separazone nella qale l energa cnetca n eccesso del fldo verrà assorbta dalla vscostà dell ara; noltre a casa d cò, nella la zona a valle del rotore, sarà presente ara qas stagnante e la dfferenza d pressone sl dsco rotorco prodrrà na resstenza d pressone. Tale fenomeno è del ttto analogo a qello che s rscontra nelle elche proplsve n regme frenante. Per rendere rsltat spermental applcabl a trbne eolche n condzon d elevat, Hermann Glaert, (89-934) ha trovato na relazone emprca che mette n relazone l coeffcente d spnta con l fattore d nflenza assale (fgra 6) valda per a (. 889 C a.4, qando s raggnge la condzone C T T ) Fgra 6. Andamento del coeffcente d spnta (C T ) n fnzone del fattore d nflenza assale, a con correzone emprca d Glaert. 79

180 Nella fgra 6 sono rappresentate alcne trbne eolche ad asse orzzontale e vertcale e relatv dagramm d coeffcente d potenza n fnzone del fattore, rspetto all andamento deale. S trova q conferma del fatto che le trbne AWT hanno n generale prestazon nferor a qelle HAWT, come ottento anche da modell semplfcat. Nella fgra 63 a snstra è nvece rportato l andamento della soldtà del rotore, =Area occpata dalle pale/area totale del cercho, n fnzone del fattore per trbne HAWT. Maggore è l nmero delle pale (e qnd la soldtà) e mnore sarà l valore d (coè mnore sarà la veloctà d rotazone rspetto alla veloctà del vento) per ottenere n fnzonamento qas deale. Anche da q s nota che per n rotore con tre pale l fnzonamento deale s colloca per valor d compres tra 4 e 6. Qesto trova conferma nell andamento de coeffcent d potenza n fnzone del nmero d pale come rportato a destra. La dstnzone a partà d potenza tra rotor veloc (bassa σ) e rotor lent (elevata σ) non è na semplce classfcazone delle macchne ma comporta mportant consegenze dal pnto d vsta del momento delle forze aerodnamche d avvo (veloctà del vento d partenza) e dell mpatto ambentale delle macchne (mpatto vsvo ed acstco). I modern generator eolc ad asse orzzontale sono bpala o trpala. Confrontando l coeffcente d potenza d tal rotor dalla fgra 63, a partà d potenza, s nota che n basso valore della soldtà prodce n andamento della crva pù patto che vara poco attorno al massmo, che però è pttosto basso. D altra parte, n alto valore d soldtà prodce na crva pù rstretta, qnd sensble alle varazon d λ e con n elevato valore del fattore d potenza. D consegenza l rotore trpala rappresenta la solzone ottmale n termn d soldtà, anche se nel caso d rotor con pù d tre pale l valore del massmo non s dscosta molto da qello del trpala ma con veloctà del vento notevolmente pù bassa. Cò sgnfca che, nonostante la maggore dffsone de generator trpala, esste la possbltà d tlzzare rotor a 4-5 pale per applcazon d potenza nel caso d dstrbzon d veloctà del sto avent n basso valore. 8

181 Fgra 6. Esemp d trbne eolche HAWT e AWT (sopra) e andamento del coeffcente d spnta (C P ) n fnzone del tp speed rato per dfferent tp d trbne (sotto). Fgra 63. Andamento del rapporto d soldtà n fnzone del tp speed rato per trbne HAWT (sopra) e andamento del coeffcente d spnta per dfferente nmero d pale (sotto). 8

182 .6 ESEMPIO APPLICATIO Spponamo che l fattore sa fssato da progetto, e che s vogla far fnzonare l rotore n modo da prodrre l massmo coeffcente d spnta. Rcordando che qesto è legato al coeffcente d coppa, s pò massmzzare l espressone (3) rspetto ad a e a (trascrando l raggo del mozzo rspetto a qello del rotore) per ottenere ( a ( a 3 R a ( a )) 3 R a ( a )) a a a a 3 R ( a ) R 3 a' (4) Rprendamo le relazon () e () gaglate come nella prma delle (4) e calcolate per na corona crcolare nfntesma del rotore (avendo omesso la dpendenza esplcta da r delle qanttà) N tot c C cos C sendr 4 a( a ) a' L D rdr e così per le () e (3), come nella seconda delle (4) N tot c 3 C sen C cos rdr 4 a' ar dr L D Le eqazon precedent possono anche essere scrtte come N N tot tot c R c R C cos C sen 8 a( a ) a' L D C sen C cos 8 a' a L D Dvdamo ora la seconda per la prma delle eqazon precedent n modo da rcavare na relazone tra fattor d nflenza assale e tangenzale 8

183 C C C C L D L D tg tg a ( a ) a( a ) ( a ) Utlzzando la (99) per la tangente dell angolo, s ottene o anche C C L D C C C C L D L D a a' a' a a ( a ) a( a ) ( a ) CL a( a ) ( a ) ( a ) ( a ) a ( a ) ( a ) ( a ) CD Il procedmento pò essere semplfcato trascrando l coeffcente d resstenza che normalmente è molto pù pccolo d qello d portanza (almeno prma dello stallo). Cò sgnfca che termn contenent l fattore C L /C D sono pù grand degl altr nelle parentes e l eqazone s semplfca n a( a) a (5) Dfferenzando rspetto ad a a ( a ) a' e sosttendo la (5) s ottene a a' ( a ) che nseme alla (4) permette d ottenere la segente solzone d fnzonamento ottmzzato a (6) 3 a( a) a 83

184 coè propro qelle rcavate dalle teore del dsco attatore e rotorco. Cò e possble n qanto non sono state consderate perdte aerodnamche (resstenza ed effett trdmensonal) e l nmero d pale è consderato essere talmente elevato che ogn partcella d fldo passante attraverso l rotore sa n grado d nteragre con na d esse. Per mettere n relazone qanto ottento con l progetto delle pale, è necessaro prendere na delle eqazon del sstema nzale. Sempre trascrando l contrbto della resstenza (e qnd consderando che l angolo tende a 9 ), dalla (3) s ottene la relazone a' ( a )r dr 4 a( a ) rdr (7) Q a che va egaglata alla () semplfcata 3 4 a( a ) rdr C NtotcCLsenrdr (8) Introdcendo l teorema d Ktta-Jokowsk per la veloctà totale e per ntà d apertra alare L, tot C L r c tot (dove (r) ndca la crcolazone presente s ogn pala a dstanza r dall asse), s rcava n lterore condzone d fnzonamento ottmzzato (sando la (99)) N r 4 a( a ) e coè l fnzonamento è ottmzzato qando la crcolazone s ogn pala è costante lngo l apertra (essendo a na costante). Tale dstrbzone vene approssmatvamente rappresentata nella fgra 64. In partcolare per a=/3 s ottene la dpendenza solo dalla veloctà ndstrbata e dalla veloctà d rotazone del rotore 8 Nr 9 84

185 Fgra 64. Andamento della crcolazone lngo l apertra della pala per la condzone d fnzonamento ottmzzato. S passerà ora a determnare qelle che sono le caratterstche geometrche della pala per qello che rgarda l angolo e la dmensone della corda c corrspondente n fnzone della dstanza dal centro d rotazone. Dalla (8) e (9) possamo scrvere tot c N C R L sen 8 a( a) sosttendo l espressone del seno dell angolo s trova C L Nc 4 a 4 a' R tot a a ' dove nell ltma gaglanza s è sosttto l valore della veloctà totale dato dalla (98). Al prmo membro sono rnt termn ncognt dovt alla geometra della pala per cascna sezone a dstanza r dal centro d rotazone (coeffcente d portanza del proflo, nmero delle pale, valore della corda del proflo), mentre a secondo membro sono rportat valor de fattor d ndzone e del prodotto (detto rapporto d veloctà locale, gale al rapporto tra le veloctà tangenzale e assale all estremtà palare e fnzone lneare della dstanza r). Introdcendo la cosddetta soldtà della corda =Nc/πR, coè l rapporto tra la lnghezza della corda d ttte le pale e la lnghezza della crconferenza del rotore, l parametro geometrco della pala ( GP =C L ) e le relazon d fnzonamento ottmzzato (7), è possble scrvere la relazone d fnzonamento ottmale 85

186 GP C L dove ttto vene espresso n fnzone del rapporto d veloctà locale,. Se l coeffcente d portanza vene ottmzzato per altra va, per esempo massmzzando l effcenza del proflo (così che la resstenza possa essere effettvamente trascrata), allora la relazone precedente permette d trovare valor della corda alle vare dstanze radl, coè la dstrbzone n panta c(r). Infatt per qanto rgarda le altre grandezze n GP, l valore d è assegnato dalla veloctà (del vento locale) e dalla veloctà d rotazone (da condzon strttral e d veloctà alle estremtà palar), così come è assegnato l raggo del rotore R (da consderazon strttral ed ambental) e l nmero delle pale N. L andamento della corda n panta è rappresentato n fgra 65 n alto. Fgra 65. Andamento della corda locale (n alto) con approssmazone lneare (lnea tratteggata) e dell angolo d svergolamento (n basso) n fnzone del rapporto d veloctà locale. 86

187 Da qesta fgra è possble dedrre che per veloctà d rotazone della pala basse rspetto a qella del vento (coè per le sezon vcno alla radce, <, o anche per pale con basso allngamento, c/r), la corda locale è na frazone sgnfcatva del raggo complessvo (pala corta). Invece per veloctà d rotazone della pala alte rspetto a qella del vento (coè per le sezon lontano dalla radce, >, o anche per pale con elevato allngamento, c/r<<), la corda locale andrà dmnendo sempre pù fno a valor par a /5/8 del caso precedente (pala allngata). Dall espressone (99) è anche possble trovare la tangente dell angolo d ncdenza effettva, nella condzone d fnzonamento ottmale, rappresentato n fgra 63 n basso tan 3 3 che qnd è elevato n corrspondenza della radce della pala (cosa che pò provocare stallo n qesta regone e qnd rendere qesta parte della pala d poca effcaca) e decresce verso l estremtà. Se l coeffcente d portanza vene ottmzzato, d solto l angolo d ncdenza effettvo eff sarà costante e qnd la rappresentazone dell angolo concde con qella dell angolo d svergolamento ( ), come ndcato n fgra 65 n basso. Se nvece l andamento eff dell angolo d ncdenza effettvo è dfferente allora sarà dfferente anche la rappresentazone dell angolo rspetto a. S not che la realzzazone pratca d n ala che abba na corda n panta come rappresentato n fgra 65 pò essere problematca. S prefersce allora tlzzare n andamento lneare che approssm tale andamento e che rslta d pù facle realzzazone pratca (l andamento lneare è rappresentato nella fgra 65 n alto con lnea tratteggata). Qesto corrsponde ad tlzzare na pala con panta d tpo b della fgra 66 rspetto a qella d tpo a, mentre qella d tpo c è con corda costante. E bene mettere ancora n evdenza che nelle condzon d fnzonamento ottmale s ottene la massma estrazone d potenza dalla corrente flda. S è potzzato nella dervazone della teora che l effetto della resstenza vene trascrato rspetto a qello della portanza. Qesto ha portato al rsltato precedente che l fattore d nflenza assale a rslta costante per ogn poszone radale, mentre l fattore d nflenza tangenzale vara radalmente n fnzone d a. 87

188 Fgra 66. Esemp d panta d pale eolche: vcno ottmale (a), con approssmazone lneare (b) e a corda costante (c). In presenza de termn contenent la resstenza nelle relazon (4), l fattore d nflenza assale non rslta essere pù costante; esso è n realtà varable radalmente rspetto alla condzone ottmale con resstenza nlla, così come d consegenza a. La dfferenza tra valor d a ed a con e senza resstenza è comnqe lmtato e s mantene tale anche n condzon d bassa effcenza, pertanto tale effetto vene trascrato nel dsegno delle pale. La presenza della resstenza va anche a modfcare parametr geometrc d corda e svergolamento della pala, ma d novo rslta essere trascrable a fn della determnazone della dstrbzone radale anche nel caso d effcenze molto basse e cò gstfca l fatto d trascrarla nel progetto delle pale. Da qanto vsto n precedenza la parte delle pale n prossmtà della radce rslta d bassa effcenza n qanto gl angol d ncdenza effettv possono provocare lo stallo. Inoltre n corrspondenza della radce sono present de vortc che lmtano d fatto l fnzonamento (na cosa smle accade alle estremtà palar dove pre v sono vortc d estremtà che lmtano l effcenza, ma solo per c/r>.9). La zona d radce d na pala eolca vene qnd rportata ad n proflo clndrco tlzzato solo per ragon strttral. Per qanto rgarda l nmero delle pale, alla base della scelta c sono consderazon d carattere ambentale ed economco, che hanno na grande mportanza nel caso d trbne real. Sceglendo n nmero d pale basso s hanno 88

189 - vantagg economc n termn d materale tlzzato; - rmore aerodnamco pù elevato (proporzonale alla qnta potenza del ) poché per amentare l C p s deve rcorrere a pù elevat; - mpatto vsvo maggore dovto alle dmenson della coppa rotore/torre; - mnore coppa a basse veloctà del vento; - mglor compromesso tra peso e dmenson, mentre n nmero d pale elevato presenta nvece motvazon completamente opposte - cost maggor; - mglore mpatto ambentale n qanto l rotore rslta pù compatto; - maggore coppa. D consegenza a qanto appena detto e a qanto vsto nella fgra 65, n rotore per la prodzone d energa elettrca, sarà n rotore effcente e veloce e fnzonante dnqe qnd ad elevat valor del, le corde rsltant saranno pccole e le pale avranno na bassa soldtà ed n elevato allngamento, la coppa sarà però lmtata (fgra 67 a snstra). Tra qeste n nmero d pale medo (fno a 3) è tlzzato per rotor d grosse dmenson mentre rotor pù pccol per basse energe possono venr costrt con n nmero d pale rdotto ( o ). Invece n rotore dsegnato per prodrre coppa elevata (ad esempo n mlno a vento o na pompa per l acqa) fnzonerà a valor d bass dnqe avrà pale corte e tozze con elevata soldtà (fgra 67 a destra). Fgra 67. Rotore eolco per prodzone d energa elettrca (a snstra) e per estrazone d acqa (a destra). 89