Aniello Murano NP- Completezza (seconda parte)

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Alfonsina Ferrante
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it A.A. 2008-2009 Definizione di NP- COMPLETEZZA Si ricordi che un linguggio B è

1 Aniello Murno NP- Completezz (second prte) 15 Lezione n. Prole chive: Np-completezz Corso di Lure: Informtic Codice: Emil Docente: n.infn.it A.A Definizione di NP- COMPLETEZZA Si ricordi che un linguggio B è NP-complete se soddisf le seguenti due condizioni: 1. B è in NP, 2. Ogni linguggio in NP è riduciile in tempo polinomile B. (hrdness)

2 Teorem di Cook- Levin inizio Teorem: SAT è in NP-complete. Dimostrzione: [Apprtenenz NP]: Che SAT NP è ovvio (esercizio per gli studenti). [Hrdness]: Dimostrimo desso che ogni linguggio A in NP è riduciile in tempo polinomile SAT. Si A un ritrrio linguggio tle che A NP. Si N l mcchin di Turing non deterministic che decide A. Se A NP, llor il tempo di esecuzione di N è dell ordine di n k, dove n è l dimensione dell input. Mostrimo come trsformre un string w in un formul oolen che "simul" N su input w, nel senso che è soddisfciile se e solo se N ccett w. Teorem di Cook- Levin : Tleux Un tleu per N su w è un tell n k n k le cui righe sono le configurzioni di un rmo di clcolo di N su input w =.... L prim e ultim colonn contengono solo. q 0 w I configurzione (strt) II configurzione III configurzione n k finestr n k -cononfigurzione Un tleu è ccettnte se un delle sue righe è un configurzione ccettzione. Ogni tleu ccettnte per N su w corrisponde d un rmo ccettnte di N su input W. Quindi, determinre se N ccett w equivle determinre se c è un tleu ccettnte per N su w.

3 Teorem di Cook- Levin : q 0 w 2 w q 7 w 2 w $ q 5 w 3 Si C l'insieme Q {}, dove Q è l'insieme degli stti di N e è l lfeto del nstro. C è dunque l'insieme di tutti i possiili contenuti delle celle del tleu. L cell nell rig i e colonn j è chimt cell[i,j].. Per ogni cell e per ogni s C, si cre un vriile oolen x i,j,s. Il suo significto è l cell[i,j] contiene il simolo s". L formul si costruisce con queste vriili nel modo seguente: cell strt = cell strt move ccept sserisce che ciscun cell contiene esttmente un simolo sserisce che l prim rig è l configurzione inizile su input w move sserisce che le righe sono crete legte l funzione di trnsizione. ccept sserisce che un cell contiene uno stto di ccettzione. le une dlle ltre in conformità con quindi sserisce che il tleu è un rmo di ccettzione dell computzione, ovvero che w A. Teorem di Cook- Levin : cell cell ci grntisce che ciscun cell contiene esttmente un simolo cell[i,j] contiene il simolo s = x i,j,s cell[i,j] contiene lmeno un simolo = cell[i,j] non contiene si s e t = cell[i,j] contiene l più un simolo = ( x i,j,s ) s C (x i,j,s x i,j,t ) s t Ciscun cell[i,j] contiene esttmente un simolo 1 i,j n k [ ( x i,j,s ) ( (x i,j,s x i,j,t )) s,t C s C ( (x i,j,s x i,j,t ) )] cell s,t C s t

4 Teorem di Cook- Levin : strt strt sserisce che l prim rig è l configurzione inizile su input w q 0 w I configurzione (strt) cell[1,1] contiene = x 1,1, cell[1,2] contiene q 0 = x 1,2,q0 strt = x1,1, x1,2,q0 x 1,3,w1 x 1,4,w2 x 1,n+2,wn x 1,n+3, - x 1,n k -1,- x 1,n k, Teorem di Cook- Levin : ccept ccept sserisce che un delle celle contiene lo stto di ccept cell[i,j] contiene q ccept = x i,j,qccept ccept = 1 i,j n k x i,j,q ccept Not: Il controllo che ogni rig del tleu contiene esttmente un solo stto è grntit dll formul move definit nelle prossime dipositive

5 Teorem di Cook- Levin : finestre (windws) i j l finestr (i,j). Si noti che cell[i,j]= 2 Il contenuto di un finestr è legle se il suo contenuto può pprire in un tleu possiile per N. Teorem di Cook- Levin : esempi di finestre legli e non Si l funzione di trnsizione di N, ssumimo di vere (,) = {(,,R)} e (,) = {(q 2,c,L),(q 2,,R)}. Le seguenti finestre sono legli o illegli? q 2 c q 2 q 2 c q 2 q 2

6 Il teorem di Cook- Levin: Domnd sulle Windows Clim: Se l rig superiore del tleu è l configurzione inizile e tutte le finestre nel tleu sono legli, llor ogni rig del tleu è un configurzione che leglmente segue quell precedente. Dimostrzione: Si prendno in esme ogni due righe dicenti (configurzioni). Nell configurzione superiore, ogni cell che non è dicente l simolo di uno stto e non contiene il simolo di limite è il simolo di un cell in un finestr di tre celle l cui prte centrle non è interesst d trnsizioni di N. Pertnto quel simolo centrle, in un finestr legle, non deve cmire nell prte inferiore dell finestr. x y?? L finestr superiore che invece contiene nell prte centrle uno stto, sicurmente srà interessto d un trnsizione. Le corrispondenti tre posizioni nell prte inferiore srnno ggiornte in se ll funzione di trnsizione. Pertnto, se l configurzione superiore è un configurzione legle, llor è un configurzione legle nche quell inferiore Teorem di Cook- Levin : move move fferm che le righe sono legte le une lle ltre in ccordo ll funzione di trnsizione. Un 6-tupl ( 1, 2, 3, 4, 5, 6 ) di simoli d C è un finestr legle se rispett le proprietà descritte precedentemente. Si noti che il numero di 6-tuple legli è fisso e non dipende d w. Il numero mssimo di 6-tuple legli è C il contenuto dell finestr l cui prim rig è centrt su cell[i,j] è ( 1,, 6 ) ( 1,, 6 ) is legl (x i,j-1,1 x i,j,2 x i,j+1,3 x i+1,j-1,4 x i+1,j,5 x i+1,j+1,6 ) l finestr ( i,j) è legle move = 1 i nk -1 2 j n k (l finestr (i,j) è legle)

7 L nostr riduzione costruisce e l su complessità di tempo è sintoticmente l stess dell dimensione di. E importnte verificre che quest dimensione è polinomile nell dimensione n mcchin di Turing N. Per l costruzione dt, è sufficiente verificre l polinomilità (in n) dei quttro congiunzioni di. Qul è l tgli di strt? Qul è l tgli di ccept? Qul è l tgli di cell? Qul è l tgli di move? L complessità dell riduzione risult essere O(n 2k ), dunque l riduzione è polinomile. Not: Se invece delle finestre vessimo preso in considerzione due intere configurzioni, llor l complessità di move sree stt di C nk, dunque esponenzile

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