I fasci di circonferenze

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1 A I fasci di circonferenze Se combiniamo linearmente le equazioni di due circonferenze otteniamo un fascio di circonferenze. Per esemio, date le circonferenze di equazioni la loro combinazione lineare dà luogo all equazione che ossiamo riscrivere in questo modo x þ y þ 4x þ 6y ¼ 0 e x þ y y 16 ¼ 0 x þ y þ 4x þ 6y þ kx ð þ y y 16Þ ¼ 0 ðk þ 1Þx þðk þ 1Þy þ 4x yðk 3Þ16k ¼ 0 Essa, al variare di k, raresenta ancora una circonferenza ed è quindi l equazione di un fascio di circonferenze. Come nel caso dei fasci di arabole, le due circonferenze che abbiamo considerato sono le curve generatrici del fascio; la rima di esse si ottiene er k ¼ 0, non è ossibile invece ricavare l equazione della seconda in corrisondenza di un articolare valore di k e diciamo che si ottiene er k!1. Tutte le circonferenze di questo fascio assano er i unti di intersezione, se esistono, delle due circonferenze generatrici. Nel nostro caso, risolvendo il sistema formato dalle loro equazioni otteniamo i unti A 8 5, 14 5 e Bð4, 0Þ che costituiscono i unti base del fascio. Quando k ¼1, l equazione (A) non è iù quella di una circonferenza, bensì quella di una retta, nel nostro caso la retta di equazione Per risolvere il sistema x þ y þ 4x þ 6y ¼ 0 x þ y y 16 ¼ 0 (A) alica il metodo di riduzione sottraendo membro a membro le due equazioni: 4x þ 8y þ 16 ¼ 0 x þ y y 16 ¼ 0 Risolvi oi il sistema ottenuto. igura 1 4x þ 8y þ 16 ¼ 0 cioè semlificando x þ y þ 4 ¼ 0 che raresenta l asse radicale del fascio (la retta AB in figura 1). In generale, date due circonferenze di equazioni: x þ y þ ax þ by þ c ¼ 0 e x þ y þ a 0 x þ b 0 y þ c 0 ¼ 0 la loro combinazione lineare x þ y þ ax þ by þ c þ kðx þ y þ a 0 x þ b 0 y þ c 0 Þ¼0 raresenta l equazione di un fascio di circonferenze di cui esse sono le generatrici. Per k ¼1 si ottiene l equazione dell asse radicale. A seconda della osizione delle due circonferenze generatrici avremo vari tii di fasci:

2 n se le due circonferenze sono secanti, il fascio ha due unti base e l asse radicale è la retta che assa er questi due unti (figura a); n se le due circonferenze sono tangenti, il fascio ha due unti base coincidenti (in ratica un solo unto) e l asse radicale è la tangente comune a tutte le circonferenze (figura b); n se le due circonferenze non si intersecano, il fascio non ha unti base e l asse radicale non interseca le due circonferenze (figura c). igura a. b. c. Primo esemio Determina gli eventuali unti base del fascio di circonferenze di equazione: x þ y þ 4x y þ 4 þ k x þ y þ 3x y þ ¼ 0 I unti base del fascio, se esistono, si trovano intersecando due sue qualunque circonferenze; oiché nell equazione data si individuano facilmente quelle delle due generatrici, risolviamo il sistema delle loro equazioni: x þ y þ 4x y þ 4 ¼ 0 x þ y þ 3x y þ ¼ 0 Sottraendo membro a membro otteniamo x y þ ¼ 0 x þ y þ 3x y þ ¼ 0 e risolvendo individuiamo due unti base di coordinate (figura 3): Að, 0Þ e Bð1, 1Þ igura 3 Secondo esemio Doo aver individuato i unti base del fascio di equazione x þ y þðk 1Þx þðk þ Þy þ k ¼ 0 troviamo la circonferenza del fascio che è tangente alla retta r di equazione x þ y þ ¼ 0. Riscriviamo l equazione del fascio mettendo in evidenza il arametro k: x þ y x þ y þ kðx þ y þ 1Þ ¼0

3 Notiamo che il fascio è stato ottenuto combinando linearmente una circonferenza con una retta, che raresenta l asse radicale del fascio. Possiamo quindi intersecare le due curve generatrici risolvendo il sistema x þ y x þ y ¼ 0 x þ y þ 1 ¼ 0 Troviamo così i unti base Að1, 0Þ e B 3, 5. Per individuare la circonferenza tangente a r calcoliamo il centro e il raggio della generica circonferenza del fascio: C 1 k, k þ r ¼ 1 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðk 1Þ þðk þ Þ 4ðk Þ ¼ 1 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi k k þ 13 1 k k þ þ Calcoliamo la distanza di C dalla retta r: ffiffiffi ¼ jk þ 3j ffiffiffi Imoniamo che la distanza di C da r sia uguale al raggio; otteniamo così l equazione jk þ 3j ffiffiffi ¼ 1 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi k k þ 13 da cui ricaviamo che k ¼ 17 8 L equazione della circonferenza richiesta si ottiene da quella del fascio onendo 17 8 così 8x þ 8y 5x y 33 ¼ 0. al osto di k; otteniamo

4 ESERCIZI 1 Individua generatrici, unti base, asse radicale e retta dei centri dei fasci di circonferenze raresentati dalle seguenti equazioni. x þ y þ k x þ y 4x þ 4y ¼ 0 L equazione del fascio si resenta come la combinazione lineare delle due circonferenze di equazioni x þ y ¼ 0 e x þ y 4x þ 4y ¼ 0 Esse raresentano quindi le generatrici del fascio. Intersecando tali circonferenze trovi le coordinate dei unti base. L asse radicale si ottiene er k ¼ :::::::::::: ed ha equazione... Per determinare la retta dei centri uoi: scrivere l equazione della retta che assa er i centri delle circonferenze generatrici oure scrivere l equazione della erendicolare all asse radicale che assa er il unto medio del segmento individuato dai unti base. ½ð1, 1Þ; x y ¼ 0; x þ y ¼ 0Š x þ y 1 þ k x þ y x yþ ¼0 ½ð0, 1Þ; ð1, 0Þ; y ¼x þ 1; y ¼ xš 3 x þ y 4y 4 þ k x þ y þ 6x þ y þ 8 ¼ 0 ½ð, 0Þ; y ¼x ; y ¼ x þ Š 4 x þ y 4x þ 4y þ k x þ y 4x 6y ¼ 0 ½ð0, 0Þ; ð4, 0Þ; y ¼ 0; x ¼ Š 5 x þ y 1x 4y þ 30 þ k x þ y 10 ¼ 0 ½ð3, 1Þ; y ¼3x þ 10; x 3y ¼ 0Š 6 x þ y x 6y þ k x þ y x 6y þ 6 ¼ 0 [nessuno; non esiste; non esiste] 7 Del fascio di circonferenze di equazione ð1 þ k Þx þ ð1 þ kþy x 4ky þ k ¼ 0 uoi dire che: a. le generatrici hanno equazioni x þ y x ¼ 0 e x þ y 4y ¼ 0 b. ha due unti base c. i centri delle circonferenze si trovano tutti sulla retta x ¼ 1 d. ha er asse radicale la retta di equazione x y þ 1 ¼ 0. 8 Doo aver determinato gli elementi fondamentali (generatrici, unti base) del fascio di circonferenze di equazione x þ y þðk 6Þx þð6kþy þ 9 3k ¼ 0 trova er quali valori di k si ottiene: a. la circonferenza del fascio che assa er il unto Pð1, Þ ½5Š b. la circonferenza di raggio 3 ½0,6Š c. la circonferenza tangente alla retta x þ y 5 ¼ 0. ½1,7Š 9 Doo aver determinato gli elementi fondamentali del fascio di circonferenze di equazione x þ y þ 4x y þ kðx þ y xþ ¼0 determina er quale valore di k si ottengono: a. la circonferenza assante er il unto ð, 1Þ ½1Š b. la circonferenza di raggio 1 c. la circonferenza con centro sull asse y. ½Š 10 Doo aver determinato gli elementi fondamentali del fascio di circonferenze di equazione x þ y þðk 8Þx 4k þ 16 ¼ 0 determina er quali valori di k si ottengono: a. la circonferenza degenere ½0Š 13 4

5 b. la circonferenza assante er O ½4Š c. la circonferenza di centro ð6, 0Þ ½4Š d. le circonferenze tangenti alla retta y ¼ 4 ½8, 8Š e. le circonferenze secanti la retta y ¼ 4. ½k < 8 _ k > 8Š 11 Doo aver determinato gli elementi fondamentali del fascio di circonferenze di equazione x þ y þ ðk þ 1Þx þðk 1Þy k ¼ 0 determina er quali valori di k si ottengono: a. la circonferenza 1 avente centro sulla bisettrice del rimo e terzo quadrante ½3Š b. la circonferenza assante er il centro di 1 ½Š ffiffiffi c. le circonferenze di raggio 5 ½3; 1Š d. la circonferenza avente il centro nell origine. ½69kŠ 1 Doo aver determinato gli elementi fondamentali del fascio di circonferenze di equazione x þ y þ kx y ¼ 0, determina il valore di k in modo che la circonferenza corrisondente: a. abbia centro sull asse y ½0Š b. abbia centro sulla bisettrice del rimo e terzo quadrante ½Š ffiffiffi c. abbia raggio 5 ffiffiffi d. assi er il unto ð, Þ ½1Š e. sia tangente all asse x. ½6 9k Š 13 Doo aver determinato gli elementi fondamentali del fascio di circonferenze di equazione x þ y þðk 1Þx ðk þ 4Þy þ k þ 3 ¼ 0 determina k in modo che la circonferenza corrisondente: a. abbia centro sull asse x ½4Š b. abbia centro nel rimo quadrante 4 < k < 1 c. assi er l origine ½3Š d. assi er il unto ð1, 1Þ ½69kŠ e. sia tangente all asse y. ½Š