LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ

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1 CAPITL 7 [numerazione araa] [numerazione devanagari] [numerazione cinese] LE FUNZINI E LE LR PRPRIETÀ IL PREZZ GIUST gni volta che acquistiamo un prodotto o un servizio, paghiamo in camio una certa cifra di denaro. Chi stailisce qual è il prezzo giusto? La risposta a pag. 66

2 CAPITL 7. LE FUNZINI E LE LR PRPRIETÀ 1. LE FUNZINI DI VARIABILE REALE Che cosa sono le funzioni DEFINIZINE Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A associa uno e un solo elemento di B. A f B A "B Poiché una funzione fa corrispondere a ogni elemento di A un unico elemento di B, essa viene anche chiamata corrispondenza univoca. Per indicare una funzione si usa una lettera minuscola (spesso la lettera f ) nel seguente modo: f: A " B, oppure A f B, che si legge: «f è una funzione da A a B». L insieme B può coinci- dere con A. Si dice che A è l insieme di partenza della funzione e B l insieme di arrivo. Si può utilizzare una notazione simile anche per indicare che a un elemento di A corrisponde un elemento di B: f: 7 ; Analogamente, è detta è detta l immagine di mediante la funzione f. controimmagine di. Spesso il dominio di una A B f funzione viene indicato con la lettera D. C dominio L insieme di partenza A è detto dominio della funzione; il sottoinsieme di B formato dalle immagini degli elementi di A è detto codominio. Indichiamo il codominio con la lettera C. Vale la relazione C B. codominio Figura 1 Si legge: «uguale a f di». Per indicare una funzione si utilizza anche la scrittura: = f(). Le funzioni numeriche Quando i due insiemi A e B sono numerici, le funzioni vengono dette funzioni numeriche. In seguito, quando parleremo di funzioni numeriche, sarà sottinteso che esse sono definite per valori reali, cioè il loro dominio sarà R o un sottoinsieme di R e l insieme di arrivo sarà R stesso. Tali funzioni si chiamano funzioni di variaile 4

3 PARAGRAF 1. LE FUNZINI DI VARIABILE REALE reale. Inoltre esse saranno in genere descriviili mediante un espressione analitica, ossia mediante una formula matematica. Consideriamo la funzione f R " R descritta dalla legge matematica = + 5. A ogni valore di la legge fa corrispondere uno e un solo valore di. Per esempio, per = il valore di è = $ + 5 = 11. Possiamo anche dire che 11 è l immagine di, cioè f() = 11. Il valore che assume dipende da quello attriuito a. Per questo motivo prende il nome di variaile dipendente e di variaile indipendente. I valori della sono quindi gli elementi del dominio, mentre quelli assunti dalla sono gli elementi del codominio. Di una funzione numerica possiamo disegnare il grafico, ossia l insieme dei punti P(; ) del piano cartesiano tali che è un numero reale nel dominio di f e è l immagine di, ossia = f(). Il grafico viene anche detto diagramma cartesiano. Se la funzione f è definita da un equazione = f(), il suo grafico è una curva, luogo di tutti i punti del piano che soddisfano l equazione. Nella figura aiamo rappresentato il grafico della funzione = + 5. 䉳 Figura Il grafico della funzione = + 5 è una retta che interseca gli assi nei punti - 5 ; l e (; 5). 5 = Il grafico di una fun- zione del tipo = m + q è una retta. Per rappresentarla è sufficiente determinare due suoi punti, per esempio le intersezioni con gli assi e che si ottengono ponendo, rispettivamente, = e = nell equazione. Le funzioni definite per casi Esistono funzioni definite da espressioni analitiche diverse a seconda del valore attriuito alla variaile indipendente. Tali funzioni sono dette funzioni definite per casi se #- 1 se - 1 䉴 Figura Un esempio di grafico di una fun- Il grafico di una funzione = + 6 del tipo = a + + c è una funzione definita per casi. Il suo grafico è rappresentato nella figura. zione definita per casi. zioni definite a tratti. La funzione =( Si chiamano anche fun- = = (con a! ) è una paraola con asse parallelo all asse. + 6 se se > 1 5

4 CAPITL 7. LE FUNZINI E LE LR PRPRIETÀ c Figura 4 Il grafico della funzione = uu. = è la funzione rappresentata dalla isettrice del primo e terzo quadrante; = - è rappresentata dalla isettrice del secondo e quarto quadrante. Anche la funzione valore assoluto può essere definita per casi: = = =' - = = se $ se 1 Il suo grafico è rappresentato nella figura 4. se se < La classificazione delle funzioni L espressione analitica che descrive una funzione può avere due forme: forma esplicita, del tipo = f(); per esempio, = - 1; Il grafico di una funzione lineare è una retta, quello di una funzione quadratica è una paraola. forma implicita, del tipo F(; ) = ; per esempio, =. Se l espressione = f() contiene soltanto operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza o estrazione di radice, la funzione è algerica. Una funzione algerica può essere: razionale intera (o polinomiale) se è espressa mediante un polinomio; in particolare, se il polinomio è di primo grado rispetto alla variaile, la funzione si dice lineare, se il polinomio in è di secondo grado, la funzione è detta quadratica; razionale fratta se è espressa mediante quozienti di polinomi; irrazionale se la variaile indipendente compare sotto il segno di radice. 1. Le funzioni = 5-7 e = sono razionali intere. La prima è lineare, la seconda è quadratica. 5-1 è una funzione razionale fratta.. = 4. = - 9 è una funzione irrazionale. c Figura 5 La classificazione delle funzioni reali di variaile reale della forma = f() e alcuni esempi. FUNZINI goniometriche = cos ( + 1) algeriche trascendenti logaritmiche = log ( + ) razionali intere = 5 7 irrazionali = +1 esponenziali = 4 + fratte 1 = + Se una funzione non è algerica, si dice trascendente. Studieremo in seguito le funzioni esponenziali, logaritmiche e goniometriche, che sono funzioni trascendenti. 6

5 PARAGRAF. IL DMINI DI UNA FUNZINE. IL DMINI DI UNA FUNZINE DEFINIZINE Dominio naturale Il dominio naturale della funzione = f() è l insieme più ampio dei valori reali che si possono assegnare alla variaile indipendente affinché esista il corrispondente valore reale. Il dominio naturale viene anche chiamato campo di esistenza. Normalmente il dominio naturale non viene assegnato esplicitamente, perché può essere ricavato dall espressione analitica della funzione. Per esempio, consideriamo la funzione: = -. Se sostituiamo a un valore minore di, la radice perde significato. Il dominio naturale di tale funzione è l intervallo $, con! R. In forma areviata scriviamo: D: $. Perciò, quando viene assegnata una funzione senza dominio, si sottointende che esso sia il dominio naturale. La determinazione del dominio di una funzione è la condizione preliminare per tracciare il grafico della funzione stessa. Vediamo come si determina il dominio per i diversi tipi di funzioni algeriche. Per revità, chiamiamo il dominio naturale anche soltanto dominio e lo indichiamo con D. Dominio delle funzioni algeriche Per la funzione razionale intera, o funzione polinomiale, il dominio è R, che si può anche scrivere come D: ]-, + [. Nel caso della funzione razionale fratta il dominio è R privato dei valori che annullano il denominatore. Nel caso della funzione irrazionale intera è necessario distinguere il caso di radicale con indice pari e di radicale con indice dispari. Nel caso di indice pari il radicale negativo non ha significato, perciò il dominio è dato dall insieme dei valori che rendono non negativo il radicando. Nel caso di indice dispari è sempre definita per tutti i valori per i quali il radicando ha significato. Determiniamo il dominio delle seguenti funzioni algeriche. 1. = È una funzione razionale intera, perciò il suo dominio è R. 7

6 CAPITL 7. LE FUNZINI E LE LR PRPRIETÀ. = È una funzione razionale fratta, quindi è definita per i valori di R che non annullano il denominatore. Doiamo perciò porre il denominatore diverso da zero !. 5 Risolvendo si ottiene: 1!- ;! 1. 5 Il dominio della funzione è perciò: D = R -&- ; 1.. = + 7 La radice ha indice pari, perciò la funzione è definita solo se + 7 $. Risolvendo si ottiene: 7 1 = ; =-. 7 Il dominio della funzione perciò è D: # $ = La radice ha indice dispari, il radicando è un polinomio perciò è sempre definito, il dominio della funzione irrazionale è R = - La radice ha indice dispari, il radicando è frazionario, quindi si deve porre la condizione per cui il radicando sia definito, perciò il denominatore deve essere diverso da : -!. Risolvendo si ottiene:! 1/!- 1. Il dominio della funzione è perciò: D = R -{- 1; + 1}.. GLI ZERI DI UNA FUNZINE E IL SU SEGN La ricerca di eventuali punti di intersezione di una funzione con gli assi cartesiani e lo studio del segno che la funzione assume nel suo dominio sono informazioni utili per ricavare informazioni sul suo grafico. Un numero reale a è uno zero della funzione = f() se f(a) =. Gli zeri di una funzione sono le ascisse dei punti di intersezione del grafico della funzione con l asse, quindi si determinano risolvendo il sistema: = f ( ) ) " f ( ) =. = Gli eventuali punti di intersezione del grafico con l asse delle ordinate hanno ascissa nulla, ossia =. Esistono solo se la funzione è definita per = e si determinano calcolando = f(). 8

7 PARAGRAF. GLI ZERI DI UNA FUNZINE E IL SU SEGN Per determinare il segno della funzione si devono ricercare i valori di per cui la funzione risulta positiva, cioè f() si trova nel semipiano delle ordinate positive, e quelli per cui è negativa, cioè f() si trova nel semipiano delle ordinate negative. A questo scopo si risolve la disequazione f (). Consideriamo la funzione f () = e determiniamo: a) il dominio; ) gli eventuali punti di intersezione con gli assi cartesiani; c) il segno della funzione. a) La funzione è razionale intera, perciò è definita in R. ) Per trovare i punti di intersezione con l asse si deve porre f() =, ossia =. Scomponendo il polinomio con la regola di Ruffini, otteniamo: ( + ) ( + 1) ( - ) = da cui ricaviamo: =- ; =- 1; =. La funzione ha quindi tre punti di intersezione con l asse delle ascisse, di coordinate: (- ; ) ; (- 1; ) ; (; ). Per trovare i punti di intersezione con l asse poniamo = nell espressione Per = : + $ - 5 $ - 6 =- 6. La funzione ha quindi un punto di intersezione con l asse delle ordinate, di coordinate (; - 6 ). c) Per determinare il segno della funzione doiamo risolvere la disequazione: Scomponiamo il polinomio, otteniamo: ( + ) ( + 1) ( - ). + 1 Figura 6 +1 (+)(+1)( ) Compiliamo il quadro dei segni dal quale ricaviamo che: f () se ; f () = f () 1 se se =- =- 1 = ;

8 CAPITL 7. LE FUNZINI E LE LR PRPRIETÀ f() > 1 1 f() < m Figura 8 Il grafico della funzione f() = m Figura 7 Possiamo utilizzare le informazioni ricavate per determinare la regione del piano cartesiano in cui si trova il grafico della funzione (figura 7). I punti segnati con un pallino rosso indicano i punti di intersezione del grafico della funzione con gli assi. Se la funzione è positiva si trova sopra l asse delle ascisse, se è negativa si trova al di sotto dell asse delle ascisse. Le parti tratteggiate sono quelle dove non si può trovare il grafico della funzione. Possiamo verificare questi risultati, osservando il grafico in figura LE PRPRIETÀ DELLE FUNZINI Le funzioni iniettive, suriettive e iiettive Dicendo al più intendiamo che ci possono essere elementi di B che non sono immagini di elementi di A, ma non possono esserci elementi di B che sono immagini di più di un elemento di A. DEFINIZINE Funzione iniettiva Una funzione da A a B si dice iniettiva se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A. A B a ogni elemento di B arriva al più una freccia Se una funzione è iniettiva, non è detto che l insieme B di arrivo coincida con il codominio. Se una funzione è iniettiva, a due elementi distinti del dominio non corrisponde mai lo stesso elemento del codominio, cioè: 1! & f(1)! f(). c Figura 9 Il grafico della funzione = + 1 è una retta. La funzione è iniettiva: a ogni valore scelto sull asse corrisponde un solo valore sull asse. 1. La funzione = + 1 è iniettiva perché ogni valore assunto da è immagine di un solo valore di.. La funzione = - + non è iniettiva. 4 1 = + 1

9 PARAGRAF 4. LE PRPRIETÀ DELLE FUNZINI Scegliamo, per esempio, = 5. Sostituendo, otteniamo: - + = 5 " - - = " = -4 = = Il valore 5 della è immagine di due diversi valori della, = - 1 e =. 5 1 = + Figura 1 Il grafico della funzione Se una funzione non è = - + è una paraola. Se si esclude l ordinata del vertice, ogni valore diverso da 1 scelto nel codominio è il corrispondente di due valori sull asse, quindi la funzione non è iniettiva. iniettiva, esiste almeno una retta parallela all asse che interseca il grafico della funzione in più di un punto. DEFINIZINE Funzione suriettiva Una funzione da A a B si dice suriettiva quando ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A. A B Dicendo almeno inten- diamo che un elemento di B può essere l immagine di più elementi di A. a ogni elemento di B arriva almeno una freccia Il fatto che una funzione sia o non sia suriettiva dipende da come si sceglie l insieme di arrivo. Se lo si sceglie coincidente con il codominio, la funzione è certamente suriettiva. Se una funzione è suriet- tiva, l insieme di arrivo B coincide con il codominio. La funzione rappresentata nella figura 11 è suriettiva se l insieme d arrivo è costituito dagli tali che 1 # # 5. Figura 11 Se per la fun- = f() 5 zione = f() consideriamo come insieme di arrivo il suo codominio (l insieme dei reali tali che 1 # # 5), la funzione è suriettiva

10 CAPITL 7. LE FUNZINI E LE LR PRPRIETÀ DEFINIZINE Funzione iiettiva (o iunivoca) Una funzione da A a B è iiettiva quando è sia iniettiva sia suriettiva. A B a ogni elemento di B arriva una e una sola freccia Una funzione iiettiva viene anche chiamata iiezione o corrispondenza iunivoca fra A e B. In simoli: f A ) B. In una funzione iiettiva c è una corrispondenza «uno a uno» fra gli elementi di A e quelli di B. gni elemento di A è l immagine di uno e un solo elemento di B e viceversa. 1. La funzione f [a; ] " [c; d] rappresentata nella figura 1a è iiettiva. gni valore di è il corrispondente di uno e un solo valore di.. La funzione g [a; ] " [c; d] della figura 1 non è iiettiva. Ci sono valori di che sono corrispondenti di più valori di. 䉴 Figura 1 d = f() c = g() d c a a. La funzione = f() è iiettiva. a. La funzione = g() non è iiettiva perché non è iniettiva. Le funzioni crescenti, le funzioni decrescenti, le funzioni monotòne DEFINIZINE Funzione crescente in senso stretto Una funzione = f () di dominio D R si dice crescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se comunque scelti 1 e appartenenti a I, con 1 1, allora f ( 1) 1 f ( ). 4 f: D I D 1, I, D 1 < f(1) < f() f() f(1) 1 I D

11 PARAGRAF 4. LE PRPRIETÀ DELLE FUNZINI La funzione = - 4 è crescente nell intervallo I = [; + [. Se nella definizione precedente sostituiamo la relazione f ( 1 ) 1 f ( ) con f ( 1 ) # f ( ) otteniamo la definizione di funzione crescente in senso lato o anche non decrescente. 4 = 4 La funzione Z ] = f () = [1 ] \ - se # 1 se se $ =1 = 1 1 = I = ] ; + [ = R è crescente in senso lato in R (figura 1). Figura 1 Un esempio di funzione crescente in senso lato in R. DEFINIZINE Funzione decrescente in senso stretto Una funzione = f () di dominio D R si dice decrescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se comunque scelti 1 e appartenenti a I, con 1 1, allora f ( 1) f ( ). f:d R I D 1, I, D R 1 < f(1) > f() f(1) f() I 1 D = nell intervallo I = [; + [ è una funzione decrescente. Se nella definizione precedente sostituiamo la relazione f ( 1 ) f ( ) con f ( 1 ) $ f ( ) otteniamo la definizione di funzione decrescente in senso lato o anche non crescente. = + 8 La funzione = f () = ) + + se # - 1 se - 1 = + + è decrescente in senso lato in R (figura 14). In seguito, se diremo che una funzione è crescente (o decrescente), senza aggiungere altro, sarà sottinteso che lo è in senso stretto. = 1 m Figura 14 Un esempio di funzione decrescente in senso lato in R. 4

12 CAPITL 7. LE FUNZINI E LE LR PRPRIETÀ Analoga definizione può essere data per una funzione monotòna in senso lato. DEFINIZINE Funzione monotòna Una funzione di dominio D R si dice monotòna in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se in quell intervallo è sempre crescente o sempre decrescente in senso stretto. FUNZINE MNTÒNA FUNZINE CRESCENTE FUNZINE DECRESCENTE Le funzioni pari e le funzioni dispari Se non diamo indicazioni particolari, consideriamo come dominio l insieme R. DEFINIZINE Funzione pari Indichiamo con D un sottoinsieme di R tale che se! D allora -! D. Una funzione = f () si dice pari in D se f (- ) = f () per qualunque appartenente a D. f: D R, D D R f( ) = f() 1. La funzione = f ( ) = 4-1 è pari in R perché, sostituendo a il suo opposto -, si ottiene ancora f ( ): f (- ) = (- )4-1 = 4-1 = f ( ).. La funzione = f ( ) = 4 - non è pari perché sostituendo a il suo opposto - non si ottiene f ( ): f (- ) = (- )4 - (- ) = 4 +! f ( ). Il termine noto può essere considerato un monomio di grado zero. Se una funzione polinomiale ha espressione analitica contenente soltanto potenze della con esponente pari, allora è pari. = può essere scritta = La funzione contiene soltanto potenze pari di, quindi è una funzione pari. c Figura 15 Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all asse. Se una funzione è pari, il suo grafico è simmetrico rispetto all asse. Infatti, se il punto P (; ) appartiene al grafico, vi appartiene anche il punto P l(- ; ). = f() f( a) a f(a) a a D f(a) = f( a) 44

13 PARAGRAF 4. LE PRPRIETÀ DELLE FUNZINI DEFINIZINE Funzione dispari Consideriamo D un sottoinsieme di R tale che se! D anche -! D. Una funzione = f () si dice dispari in D se f (- ) = - f () per qualunque appartenente a D. f:d R, D D R f( ) = f() 1. La funzione = f ( ) = + è dispari perché sostituendo a il suo opposto - si ottiene - f ( ): f (- ) = (- ) + (- ) = - - = - ( + ) = - f ( ).. La funzione = f ( ) = + 1 non è dispari perché sostituendo a il suo opposto - non si ottiene - f ( ): f (- ) = (- ) + 1 = - + 1! - f ( ). Una funzione polinomiale con espressione analitica contenente solo potenze della con esponente dispari è una funzione dispari. Se una funzione è dispari, il suo grafico è simmetrico rispetto all origine degli assi. Infatti, se il punto P (; ) appartiene al grafico, vi appartiene anche il punto P l(- ; - ). Figura 16 Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all origine. f(a) a f( a) a a D f(a) = f( a) Una funzione che non è pari non è necessariamente dispari (e viceversa). Per esempio, la funzione = f ( ) = + non è né pari né dispari. Infatti: f (- ) = (- ) + (- ) = -! - f ( ) /! f ( ). Le funzioni periodiche DEFINIZINE Funzione periodica Una funzione = f () si dice periodica di periodo T, con T, se, per qualsiasi numero k intero, si ha: f () = f ( + kt). f() T f( + T) +T 45

14 CAPITL 7. LE FUNZINI E LE LR PRPRIETÀ In una funzione periodica il grafico si ripete di periodo in periodo.. Figura 17 Se una funzione è periodica di periodo T, essa lo è anche di periodo T, T, 4T Per esempio, la funzione della figura 17 ha periodo, ma anche 6, 9, 9 6 T a T c 9 6 T Il periodo più piccolo è anche detto periodo principale ed è quello che di solito è considerato come periodo della funzione. 5. PRIM STUDI DI UNA FUNZINE Per ottenere informazioni sul grafico di una funzione = f () utilizziamo le caratteristiche esaminate finora: 1. determiniamo il dominio della funzione ed eventualmente il codominio;. troviamo gli eventuali punti di intersezione del grafico con gli assi cartesiani;. determiniamo il segno della funzione; 4. stailiamo se la funzione è pari o dispari: se è pari è simmetrica; 5. verifichiamo se è periodica, nel qual caso ci si limita a studiarla in un solo intervallo. Dalle caratteristiche di una funzione al suo grafico Vediamo in che modo è possiile farsi un idea dell andamento del grafico di una funzione partendo dalle sue caratteristiche. Consideriamo una funzione f() che ha le seguenti caratteristiche: 1. il dominio è R - {- 1};. l intersezione con gli assi è in (; );. f() per 1-1, f() 1 per Esaminiamo quali indicazioni ci danno sul possiile andamento del grafico. 1. Tracciamo il riferimento cartesiano evidenziando il dominio. 1 Figura 18 46

15 PARAGRAF 5. PRIM STUDI DI UNA FUNZINE.. Segniamo l intersezione con gli assi e gli intervalli in cui la funzione è positiva o negativa. Tratteggiamo le zone del piano cartesiano in cui non ci sono punti del grafico della funzione. 1 Figura 19 Dal grafico di una funzione alle sue caratteristiche Vediamo in che modo è possiile, partendo dal grafico, ricavare le caratteristiche di una funzione. Sia f( ) la funzione rappresentata nel grafico. 4 = 1 1 Figura Dalla figura deduciamo: 1. il dominio;. le intersezioni con gli assi;. gli intervalli in cui la funzione è positiva e negativa; 4. gli intervalli in cui è crescente o decrescente. 1. Il dominio è R - {! 1}, perché f ( ) non è definita in =! 1.. L intersezione con gli assi si ha in (; ).. f ( ) per 1-1 (,! 1), f () 1 per La funzione è crescente per e La funzione è decrescente per 1 - e 1. 47

16 CAPITL 7. LE FUNZINI E LE LR PRPRIETÀ 6. LE FUNZINI ALGEBRICHE Le funzioni razionali intere La funzione razionale intera di primo grado Una funzione intera di primo grado è del tipo = a +. Il suo grafico è una retta. Se il grafico non è una retta parallela agli assi cartesiani, la funzione: ha dominio e codominio uguali a R; se a, è strettamente crescente; se a 1, è strettamente decrescente. Il grafico interseca: l asse nel punto (; ); l asse nel punto - ; a l. Il grafico è rappresentato in figura. a La funzione razionale intera di secondo grado Una funzione razionale intera di secondo grado è del tipo: = a + + c Figura 1 Il grafico di = a +. con queste caratteristiche: ha dominio e codominio uguali a R; se a, è strettamente crescente per - e strettamente decrescente per a 1- ; a se a 1, è strettamente decrescente per - e strettamente crescente per a 1-. a Il grafico: ha sempre un solo punto di intersezione con l asse delle ordinate di coordinate (; c); interseca l asse delle ascisse in: due punti distinti se l equazione a + + c = ammette due soluzioni reali e distinte; un solo punto se l equazione ammette due soluzioni reali coincidenti; nessun punto se l equazione non ammette soluzioni reali. 48

17 PARAGRAF 6. LE FUNZINI ALGEBRICHE a> Figura Grafici di a< = a + + c nei casi di a e a 1. c a a c a La funzione razionale intera polinomiale La funzione polinomiale è del tipo: = an n + an - 1 n f + a + a1 + a. Per questo tipo di funzioni in generale si può solo affermare che: il dominio è uguale a R; il grafico interseca l asse nel punto di coordinate (; a). Cerchiamo informazioni sul grafico della funzione: = Determiniamo il dominio della funzione. Poiché non esistono limitazioni per, si ha D: 6! R.. Controlliamo se il grafico della funzione presenta delle simmetrie. Essendo f (- ) = (- )4 - (- ) + = = f ( ), la funzione è pari e il suo grafico è simmetrico rispetto all asse.. Intersezioni con gli assi. Asse : ) = = "( " il punto di intersezione con l'asse A (; ). = = Asse : ) = = " =. L equazione ha per soluzioni: 1 =- 1, = 1, =-, 4 =+. I punti di intersezione con l asse sono: B (- 1; ), C (1; ), D (- ; ), E ( ; ). Tracciamo gli assi cartesiani per rappresentare le informazioni ottenute finora (figura ). 49

18 CAPITL 7. LE FUNZINI E LE LR PRPRIETÀ A D B 1 a C E 1 Figura 4. Studiamo il segno della funzione = ( - ) ( - 1). Primo fattore: - per 1 -. Secondo fattore: - 1 per Compiliamo il quadro dei segni (figura 4) Figura 4 f () per Rappresentiamo questi risultati nel riferimento cartesiano, tratteggiando le zone in cui non ci sono punti del grafico della funzione (figura 5). A D B 1 C E m Figura 6 Il grafico della funzione f() = Figura 5 Possiamo verificare questi risultati osservando il grafico in figura 6.

19 PARAGRAF 6. LE FUNZINI ALGEBRICHE Le funzioni razionali fratte Le funzioni razionali fratte sono del tipo: = an n + an - 1 n f + a A () =. B () m m + m - 1 m f + Hanno come dominio R con esclusione dei valori che annullano B ( ); intersecano l asse nei punti in cui A() =. Cerchiamo informazioni sul grafico della funzione: ( - ) =. ( - 4) 1. Determiniamo il dominio della funzione. Il suo denominatore deve essere non nullo. Quindi: D:! 4.. Cerchiamo eventuali simmetrie: f (- ) = [ - (- )] ( + ). = (- - 4) - ( + 4) Poiché f (- )! - f () e f (- )! f ( ), la funzione non è né dispari né pari.. Determiniamo le intersezioni con gli assi. Asse : ( - ) * ( - 4) = = " * 8-1 = = * " =- = Il punto di intersezione con l asse è A ; - l. Asse : ( - ) ( - 4) " * = = " * ( - ) ( - ) = = " * " * ( - 4) = = - = = " * = = Il punto di intersezione con l asse è B (; ). Nel piano cartesiano rappresentiamo le informazioni ottenute (figura 7). B C 4 A Ð Figura 7 51

20 CAPITL 7. LE FUNZINI E LE LR PRPRIETÀ 4. Studiamo il segno della funzione: ( - ) ( - 4) N per 1 ; D per 4. Compiliamo il quadro dei segni (figura 8). ( ) 4 ( 4) Figura 8 f () per Rappresentiamo questi risultati nel piano cartesiano (figura 9), tratteggiando le zone del piano in cui non ci sono punti del grafico della funzione. Figura 9 4 Ð m Figura Il grafico della funzione f () = ( - ). ( - 4) Possiamo verificare questi risultati osservando il grafico della funzione (figura ). Le funzioni irrazionali Le funzioni irrazionali intere Le funzioni razionali intere sono del tipo: = n A(). Hanno come dominio: R, se n è dispari; i valori di che rendono A() $, se n è pari. Studiamo il grafico della funzione irrazionale nella forma più semplice: = a con a $. 1. Il dominio della funzione si determina ponendo a $, da cui $. Il dominio della funzione è D: $.. Nel dominio in cui è definita la funzione la è sempre positiva, quindi non ha significato determinare f (- ).. La funzione interseca gli assi nel punto (; ). 5

21 PARAGRAF 6. LE FUNZINI ALGEBRICHE 4. Il segno della funzione è sempre positivo, in quanto un radicale è sempre positivo o nullo. Possiamo osservare queste caratteristiche nel grafico della funzione (figura 1). a Figura 1 Le funzioni irrazionali fratte Le funzioni irrazionali fratte sono del tipo: = n A(). B() Hanno come dominio: R esclusi i valori di che rendono B() =, se n è dispari; i valori di che rendono A ( ) $ e B ()!, se n è pari. B ( ) Cerchiamo informazioni sul grafico della funzione: = Determiniamo il dominio della funzione ponendo il radicando $ : +1 $ per # Il dominio della funzione è D: # Rappresentiamo i risultati ottenuti (figura ). 1 1 Figura 5

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