Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici

Transcript

1 Filtri selettivi 1. Butterworth: monotono nella banda passante e nella banda oscura 2. Chebyshev: oscillazione uniforme nella banda passante e monotona nella banda oscura 3. Ellittico: oscillazione uniforme nella banda passante e nella banda oscura Queste proprietà si mantengono se il filtro è realizzato con uno numerico tramite la trasformazione bilineare Nota: la distorsione dell asse frequenziale introdotta dalla trasf. bilineare si manifesta anche nel mapping di caratteristiche di ampiezza costanti a tratti - in termini di distorsione della caratteristica di fase associata al filtro (p.e.: filtro passa-basso numerico a fase lineare non ottenibile mediante trasf. bilineare da filtro passa-basso analogico a fase lineare). 265 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

2 Esempio di progetto con trasformazione analogico/numerica: fitro numerico di Butterworth Definizione per filtri di Butterworth: risposta in ampiezza massimamente piatta in banda passante per filtro di ordine N: le prime 2N 1 derivate di H a (jω) 2 sono nulle in Ω = 0 inoltre: approssimazione è monotona sia in banda passante che oscura H a (jω) 2 = 1 risposta del filtro 1 + (jω/jω c ) 2N di Butterworth 266 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

3 dalla fattorizzazione H a (s)h a ( s): poli di H a (s) 2 sono a coppie s p e s p per trovare H a (s) da H a (s) 2 si sceglie un polo da ogni coppia per stabilità e causalità si scelgono poli del semipiano sinistro nel filtro numerico ottenuto per trasf. bilineare: H(z) 2 ha 2N zeri in z = A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

4 268 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

5 Poli s p = ( 1) 1/2N jω c = Ω c {j( 1) }{{ 1/2N } } j 2N 1 { [ ( π 2π = exp j 2 + 2N k + π )]} 2N k = 0,..., 2N A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

6 ( ) re jϑ 1/n = [r(cos ϑ + j sin ϑ)] 1/n [ = r 1/n cos ϑ + 2kπ + j sin ϑ + 2kπ n n k = 0,..., n 1 Nel nostro caso: n = 2N, r = 1 e ϑ = π dunque: ( 1) 1/2N = cos π + 2kπ π + 2kπ + j sin 2N 2N k = 0,..., 2N 1 c.v.d. ] 270 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

7 Esempio N = 3 2N = 6 k = 0 : k = 1 : k = 2 : k = 2 : cos π 6 + j sin π 6 s p0 complesso cos 3 6 π + j sin 3 6 π = cos π 2 + j sin π 2 = j j j = 1 s p1 reale cos 5 6 π + j sin 5 6 π s p2 complesso cos 7 6 π + j sin 7 6 π s p3 complesso k = 4 : cos 9 6 π + j sin 9 6 π = cos 3 2 π + j sin 3 2 π = j j j = +1 s p4 reale k = 5 : cos π + j sin 6 6 π s p5 complesso 271 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

8 272 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

9 z = 1 + (T/2)s 1 (T/2)s per s = ±Ω c (cioè j( 1) 1/2N = ±1): 1 ± Ω ct/2 1 Ω c T/2 273 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

10 Nel progetto di filtro di Butterworth: 1. determinazione di poli nel piano s (e non direttamente nel piano z) 2. mapping nel piano z - con la trasf. bilineare - dei poli nel semipiano sinistro 274 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

11 Esempio: Specifiche: filtro numerico passa-basso di Butterworth con modulo della risposta in banda passante costante entro 1 db per frequenze inferiori a 0.2π e con attenuazione in banda oscura maggiore di 15 db per frequenze tra 0.3π e π (monotono) Normalizzando a 1 il modulo in banda passante per ω = 0: Specifiche: 20 log 10 H(e j0.2π ) 1 20 log 10 H(e j0.3π ) 15 da cui partire con il progetto secondo una delle tecniche viste, in particolare: a. invarianza all impulso b. trasformazione bilineare 275 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

12 Ipotesi di lavoro: effetto di aliasing trascurabile (a progetto concluso si verificano le prestazioni del filtro risultante) Per comodità: T = 1 1 o passo: trasformazione delle specifiche in termini di frequenza analogica 20 log 10 H a (j0.2π) 1 20 log 10 H a (j0.3π) 15 2 o passo: dal filtro di Butterworth: H a (jω) 2 = (Ω/Ω c ) 2N Il progetto consiste nell individuare: Ω c e N che soddisfano specifiche 276 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

13 In un primo momento: Ω c e N: 10 log 10 H a (j0.2π) 2 = 1 log 10 H a (j0.2π) 2 = 1 10 H a (j0.2π) 2 = = ( ) 2N 0.2π 1 + = Ω c Soluzione: N = e Ω c = log 10 H a (j0.3π) 2 15 log 10 H a (j0.3π) 2 = = 1.5 H a (j0.3π) 2 = = ( ) 2N 0.3π 1 + = Ω c N deve essere intero 277 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

14 N = 6 arrotondamento per eccesso non è più possibile soddisfare specifiche con segno = sia su BP che su BO, ma si ha un miglioramento delle prestazioni suddiviso tra BP e BO in relazione al valore di Ω c Sostituendo N = 6 in specifica su BP: 1 + ( ) 2N 0.2π = Ω c = Ω c (quindi specifica su BP è soddisfatta esattamente) specifica su BO è soddisfatta in eccesso (per filtro analogico) riduzione dell effetto di aliasing sul filtro numerico! 278 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

15 3 o passo: poli (di H a (s)) Nel piano s: 3 coppie di poli in semipiano σ < 0 (N = 6 N pari no poli su asse reale): s p1, s p1 : ± j s p2, s p2 : ± j s p3, s p3 : ± j A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

16 4 o passo: dalla identificazione dei poli si può scrivere: H a (s) = (s s ) 1 (s s ) 1 (s s ) con ciascun termine di 2 o ordine a denominatore: (s 2 + α k s + β k ) = (s s pk )(s s pk) k = 1, 2, 3 e ( ) 1 }{{} = coefficiente di s 6 che, dalla: H a (s)h a ( s) = (s/jω c ) 2N risulta essere (1/jΩ c ) N = (1/j0.7032) 6 ( ) = ( ): con di H a ( s) dà + si omette 280 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

17 A = = (8.2704) 1 espandendo H a (s) in fratti semplici risulta, per il filtro numerico con z k = e s kt = e s k : z z 1 H(z) = z z z z z z z 2 realizzazione immediata in forma parallela 281 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

18 Se si usano forme diretta o in cascata, i termini vanno opportunamente combinati. La H(z) trovata è: Risposta in frequenza del filtro Butterworth del sesto ordine trasformato secondo l invarianza all impulso. 282 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

19 Nell esempio: filtro era sufficientemente limitato in banda per non avere problemi di aliasing. Se non è così, si può ritentare il progetto con ordine N > N oppure, a parità di N, ritoccando i parametri del filtro. Disposizione dei poli nel piano s per un filtro Butterworth del sesto ordine 283 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

20 b. Trasformazione bilineare 1 o passo: specifiche su frequenze numeriche devono essere riportate nel caso analogico (corretto mapping di frequenze analogiche critiche, dal punto di vista della distorsione in frequenza, in frequenze numeriche critiche) assumendo T = 1 Ω = 2 T tan(ω/2) ( )) 0.2π 20 log 10 H a (j2 tan 1 ( 2 )) 0.3π 20 log 10 H a (j2 tan A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

21 1 + ( Ω Ω c ) 2N = 2 o passo: in un primo momento risoluzione esatta: { Ω ω = 0.2π Ω ω = 0.3π dunque: 1 + [ 2 tan(0.1π) Ω c ] 2N = [ 2 tan(0.15π) Ω c N = 1 log[( )/( )] 2 log[tan(0.15π)/ tan(0.1π)] = N intero N = 6 ] 2N = A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

22 Usando N = 6 in relazione sulla banda oscura: [ ] 2N 2 tan(0.15π) 1 + = Ω c = Ω c che soddisfa le specifiche sulla banda passante in eccesso e quelle sulla banda oscura esattamente (è ragionevole dal momento che con trasf. bilineare non ci si deve preoccupare dell aliasing - grazie a predistorsione introdotta) 3 o passo: poli Nel piano s: i 2N = 12 poli di H a ( ) 2 sono distribuiti su circonferenza di raggio Ω c = considerando i 6 poli dei 12 nel semipiano sinistro σ < A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

23 4 o passo: si scrive H a (s): H a (s) = (s s )(s s ) 1 (s s ) con: termini del 2 o ordine: 3 coppie di poli coniugati fattore = coefficiente di s 6 dato da: (Ω c ) 6 = ( ) A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

24 applicando la trasformazione bilineare a H a (s) con T = 1: (1 + z 1 ) 6 H(z) = ( z z 1 ) 1 ( z z 2 ) z z A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

25 Risposta in frequenza del filtro Butterworth del sesto ordine trasformato con la trasformazione bilineare. 289 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

26 I grafici di Modulo e Guadagno (db) vanno a zero più rapidamente del filtro a., perché la trasformazione bilineare fa corrispondere l asse jω intero a C in piano z filtro di Butterworth analogico ha s = come zero di 6 o ordine filtro numerico ha z = 1 come zero di sesto ordine. (cioè ω = π altissima attenuazione in BO) 290 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

27 Progetto di filtri numerici di Chebyshev Con filtri di Butterworth: se specifiche sono date in termini di massimo errore - p.e. - di approssimazione in BP possono essere soddisfatte con una precisione che eccede quella richiesta tanto più quanto più ci si avvicina a frequenza zero metodo più efficiente (filtri risultanti con ordine inferiore) distribuzione della precisione di approx. uniformemente in BP o in BO oppure in entrambe 291 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

28 approx. con caratteristica di oscillazione (ripple) uniforme (equiripple) invece di monotona. Filtri di Chebishev: oscillazione uniforme in BP e monotona in BO (o viceversa): H a (Ω) 2 1 = 1 + ε 2 VN 2(Ω/Ω c) con: V : N(x) = cos(n cos 1 x) polinomio di Chebyshev di ordine N (N = 0: V 0 (x) = 1; N = 1: V 1 (x) = cos(cos 1 x) = x; N = 2: V 2 (x) = cos(2 cos 1 x) = 2x ) 292 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

29 Parametri: ε ripple, Ω c taglio, N per banda oscura Approssimazione di Chebishev per un filtro passa-basso. 293 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

30 Poli: su ellisse (definita da C L di raggio aω c e C H di raggio bω c ) Con: a = 1 2 (α1/n α 1/N ), b = 1 2 (α1/n +α 1/N ), α = 1 ε ε 2 Posizione dei poli per un filtro di Chebishev del terzo ordine (2N = 6 poli). 294 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

31 Con metodo a. (inv. impulso): N = 4 (stesse specifiche di prima) Risposta in frequenza di un filtro passa-basso di Chebishev del quarto ordine trasformato usando l invarianza all impulso. (Ω c = 0.2π, ε = ) 295 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

32 Metodo b.: trasf. bilineare Ω c = 2 tan(0.2π/2), ε = ; N min = 4 Risposta in frequenza di un filtro passa-basso di Chebyshev del quarto ordine trasformato usando la trasformazione bilineare. 296 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

33 Approssimazione ad oscillazione uniforme sia in banda passante che in banda oscura. 297 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

34 Progetto di filtri ellittici Con filtri di Chebyshev: distribuendo l errore uniformemente nell intera BP si riduce l ordine del filtro necessario al soddisfacimento delle specifiche rispetto al caso di Butterworth ulteriore miglioramento: distribuendo l errore della BO uniformemente nella banda con: oscillazione uniforme sia in BP che BO: 298 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

35 Si può dim. che porta alla migliore approx per un dato ordine N del filtro, cioè per valori di Ω p, δ 1 e δ 2, la banda di transizione: Ω s Ω p è la più piccola possibile (pendenza alta) H a (jω) 2 = ε 2 U 2 N(Ω) }{{} ( ) ( ): U N (Ω) = funzione ellittica di Jacobi 299 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

36 Con specifiche precedenti: N = 3 Risposta in frequenza di un filtro ellittico del terzo ordine (N = 3) trasformato usando la trasformazione bilineare. 300 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi