Studio del segno di un prodotto

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1 Studio del segno di un prodotto Consideriamo una disequazione costituita dal prodotto di più binomi, ad esempio: ( x 1 )( 4 x)( x + 3) > 0 Per risolverla possiamo studiare il segno del prodotto al variare di x. Studiamo il segno di ogni fattore e rappresentiamo i risultati in uno schema grafico. Per ogni fattore segniamo sulla retta orientata uno 0 in corrispondenza dei valori per cui si annulla, dei segni + dove è positivo e dei segni dove è negativo. Aggiungiamo poi una riga per il prodotto, mettendo 0 dove si annulla almeno uno dei fattori e i segni ricavati facendo il prodotto dei segni in verticale. Gli intervalli contenenti i segni del prodotto corrispondenti alla richiesta della disequazione sono la soluzione della disequazione Il fattore x 1 si annulla quando x 1 = 0 cioè x = 1 è positivo quando x 1 > 0 cioè x > 1 è negativo quando x 1 < 0 cioè x < 1 Il fattore 4 x si annulla quando 4 x = 0 cioè x = è positivo quando 4 x > 0 cioè x < è negativo quando 4 x < 0 cioè x > Il fattore x + 3 si annulla quando x = 3 è positivo quando x > 3 è negativo quando x < 3 x 1 4 x x Segni del prodotto (x 1)(x 1)(x 1) Segni richiesti dalla disuguaglianza Soluzione della disequazione > 0 S = x < 3 1 < x < ( ; 3) U ( 1; )

2 Disequazioni di grado intere La forma normale di una disequazione di grado intera è del tipo: ax + bx + c > 0 dove il segno di disuguaglianza può essere qualsiasi. Il procedimento di risoluzione algebrica può essere effettuato scomponendo in fattori il polinomio e studiando il segno del prodotto ottenuto. Ricorda che ax + bx + c = a ( x x1 )( x x ) dove e x sono le soluzioni dell equazione ax + bx + c = 0. Per evitare la fattorizzazione, che tra l altro non è sempre possibile o comoda, si può procedere come segue: Se il coefficiente a dell incognita x è negativo, renderlo positivo cambiando segno a tutta la disequazione e girando il verso della disuguaglianza. Risolvere l equazione associata ax + bx + c = 0. Se l equazione associata ha due soluzioni distinte e x, allora la disequazione ax + bx + c > 0 è verificata per x < x > x cioè per valori esterni all intervallo, x ; ax + bx + c 0 è verificata per x x x ; ax + bx + c < 0 è verificata per < x < x cioè per valori interni all intervallo, x ; ax + bx + c 0 è verificata per x x. una sola soluzione, ovvero due coincidenti = x, allora la disequazione ax + bx + c > 0 è verificata per ogni x ; ax + bx + c 0 è verificata per ogni x; ax + bx + c < 0 non è mai verificata; ax + bx + c 0 è verificata solo per x =. nessuna soluzione, allora la disequazione ax + bx + c > 0 è verificata per ogni x; ax + bx + c 0 è verificata per ogni x; ax + bx + c < 0 non è mai verificata; ax + bx + c 0 non è mai verificata. In sintesi: se a > 0 > 0 = 0 < 0 ax + bx + c > 0 ax + bx + c 0 x x ax + bx + c < 0 nessuna soluzione nessuna soluzione x ax + bx + c 0 x nessuna soluzione Attenzione: quanto detto vale solo se il coefficiente a di x è positivo. Però a questo caso ci si può sempre ricondurre, come detto, cambiando segno a tutta la disequazione e girando il verso della disuguaglianza. Diversamente occorre ricordare ulteriori regole valide nel caso in cui il coefficiente di x sia negativo. Spesso ricordare tutti i casi e le relative soluzioni non è agevole, può essere invece più comodo il procedimento grafico che risulta più semplice da ricordare

3 Il procedimento di risoluzione grafica fa ricorso alla parabola, infatti nel piano cartesiano, l equazione y = ax + bx + c rappresenta una parabola con asse di simmetria parallelo all asse y. La risoluzione della disequazione si traduce pertanto nel determinare per quali valori di x il grafico della parabola si trova sopra l asse x (y positiva) o sotto l asse x (y negativa). Ricorda che le intersezioni della parabola con l asse x sono le soluzioni dell equazione ax + bx + c = 0; se a > 0 la parabola volge la concavità verso l alto, se a < 0 la parabola volge la concavità verso il basso. Sfruttando queste due caratteristiche e tracciando un grafico approssimato della parabola si riescono a determinare le soluzioni della disequazione. Vediamo i casi che si possono presentare. a > 0 e > 0 ax + bx + c > 0 per x < x > x ax + bx + c 0 per x x x x ax + bx + c < 0 per < x < x ax + bx + c 0 per x x a > 0 e = 0 ax + bx + c > 0 per x ax + bx + c 0 per ogni x ax + bx + c < 0 non ha soluzioni ax + bx + c 0 per x = a > 0 e < 0 ax + bx + c > 0 per ogni x ax + bx + c 0 per ogni x ax + bx + c < 0 non ha soluzioni ax + bx + c 0 non ha soluzioni Anche per il procedimento grafico ci si può sempre ricondurre al caso in cui a > 0, ma non è difficile ricordare anche i casi in cui a <

4 a < 0 e > 0 ax + bx + c > 0 per < x < x x ax + bx + c 0 per x x ax + bx + c < 0 per x < x > x ax + bx + c 0 per x x x a < 0 e = 0 ax + bx + c > 0 non ha soluzioni ax + bx + c 0 per x = ax + bx + c < 0 per x ax + bx + c 0 per ogni x 0 a < 0 e < 0 ax + bx + c > 0 non ha soluzioni ax + bx + c 0 non ha soluzioni ax + bx + c < 0 per ogni x ax + bx + c 0 per ogni x Regola pratica Dai grafici dei segni risulta evidente una proprietà del trinomio di grado: sia nell intervallo più a destra che nell intervallo più a sinistra il segno è sempre uguale a quello del coefficiente a di x, nell eventuale intervallo intermedio il segno è sempre opposto (non importa il segno degli altri termini). Possiamo pertanto risolvere la disequazione studiando il segno del polinomio ax + bx + c: Risolvere l equazione associata ax + bx + c = 0 per trovare gli eventuali zeri del polinomio. Segnare sulla retta orientata uno 0 in ognuno dei punti eventualmente trovati. Scrivere sia nell intervallo più a destra che nell intervallo più a sinistra il segno uguale a quello del coefficiente a di x Scrivere nell eventuale intervallo intermedio il segno opposto. Valutare la richiesta della disequazione e scegliere i valori che la soddisfano

5 Esempi: 3x + x + 1 > 0 Calcoliamo = 4ac = ( ) 4( 3)( 1) = b = 16 Risolviamo l equazione associata 3x + x + 1 = 0 per determinare i valori di e x : + 4 x1 = = b ± ( ) ± 16 ± x 1, = = = a ( 3) 6 4 x = = 1 6 Disegniamo approssimativamente la parabola: a < 0 quindi la parabola ha concavità verso il basso > 0 quindi ci sono due intersezioni con l asse x x La disequazione richiede i valori positivi (> 0), cioè dove il grafico sta al di sopra dell asse x, allora le soluzioni sono i valori di x compresi tra le intersezioni: < x < x Costruiamo il grafico dei segni del polinomio: Mettiamo uno 0 in corrispondenza di e uno in corrispondenza di x. Mettiamo nell intervallo a destra di x e nell intervallo a sinistra di i segni (uguali al segno di a che è negativo) Mettiamo nell intervallo al centro i segni contrari cioè x La disequazione richiede i valori positivi (> 0), quindi le soluzioni sono i valori di x compresi tra gli zeri del polinomio: < x < x In entrambi i casi si giunge alla conclusone < x < 1 ovvero S = ;

6 x 3x + 5 < 0 Calcoliamo = b 4ac = ( 3) 4( 1)( 5) = 9 0 L equazione associata non ha soluzioni. = 11 < 0 non ci sono intersezioni con l asse x La disequazione richiede i valori negativi (< 0), cioè dove il grafico sta al di sotto dell asse x, quindi non ci sono soluzioni. Il polinomio ha sempre il segno di a (non ci sono punti in cui si annulla) quindi è sempre positivo La disequazione richiede i valori negativi (< 0) quindi non ci sono soluzioni. x 4x = b 4ac = = 16 = 0 Calcoliamo ( ) ( )( ) 16 = 0 c è una sola (doppia) intersezione con l asse x La disequazione richiede i valori positivi o nulli ( 0), quindi tutti i valori di x sono soluzioni. Mettiamo uno 0 in corrispondenza di. a > 0 quindi mettiamo sia a destra che a sinistra di i segni + non c è intervallo intermedio quindi non ci sono segni contrari La disequazione richiede i valori positivi o nulli ( 0), quindi tutti i valori di x sono soluzioni. In entrambi i casi si giunge alla soluzione S = ( ; + )

7 x + 3x 4 0 Calcoliamo = b 4ac = ( 3) 4( 1)( 4) = = 5 Risolviamo l equazione associata x + 3x 4 = 0 per determinare i valori di e x : 3 5 x1 = = 4 b ± ( 3) ± 5 3 ± 5 x 1, = = = a (1) x = = 1 > 0 ci sono due intersezioni con l asse x x La disequazione richiede i valori positivi o nulli ( 0), quindi le soluzioni sono i valori di x esterni alle intersezioni con l asse x, comprese le intersezioni: x x x Segniamo uno 0 in corrispondenza di e uno in corrispondenza di x. a > 0 quindi mettiamo a destra di x e a sinistra di i segni + e nell intervallo al centro i segni La disequazione richiede i valori positivi o nulli ( 0), quindi le soluzioni sono i valori di x esterni, compresi gli zeri: x x x In entrambi i casi si giunge alla conclusone 4 < < 1 x + x + 6 > 0 Calcoliamo = b 4ac = ( ) 4( 1)( 6) = 4 4 L equazione associata non ha soluzioni x x ovvero S = ( ; 4] U [ 1; + ) = 0 < 0 non ci sono intersezioni con l asse x La disequazione richiede i valori positivi (> 0), cioè dove il grafico sta al di sopra dell asse x, quindi tutti i valori di x sono soluzioni. Il polinomio ha sempre il segno di a (non ci sono punti in cui si annulla) quindi è sempre positivo La disequazione richiede i valori positivi (> 0) quindi tutti i valori di x sono soluzioni. In entrambi i casi S = ( ; + )