Condizioni, operatori di relazione e operatori logici (bozze, v. 1.0)

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1 Capitolo 2 Condizioni, operatori di relazione e operatori logici (bozze, v. 1.0) Nel capitolo 1 abbiamo osservato come negli algoritmi siano presenti passi decisionali e come tali passi contengano affermazioni la cui verità o falsità determina il successivo passo da eseguire. Nel seguito, indicheremo tali affermazioni con il termine condizioni (per indicarle sono spesso usati nella letteratura anche i termini proposizione e predicato). Nei casi più semplici tali condizioni sono atomiche (cioè non divisibili in condizioni più semplici), ma in generale le condizioni sono composte, cioè costituite da condizioni più semplici collegate da opportuni operatori logici. In questo capitolo introdurremo le principali modalità per esprimere condizioni sia atomiche che composte. In particolare introdurremo gli operatori logici e le loro proprieta. Inoltre esamineremo il problema, di interesse pratico nella programmazione, di confrontare condizioni apparentemente diverse per verificare se esse risultano equivalenti. 2.1 Condizioni atomiche Cominciamo col definire con precisione il concetto di condizione. Definizione 2.1 Una condizione è una qualsiasi affermazione che può essere vera o falsa. Un esempio di condizione può essere la frase (cfr. l esempio 1.3): la lista non è terminata Si noti che la condizione è atomica perchè non può essere divisa in parti che siano ancora delle condizioni. Ad esempio le parole la lista non esprimono alcuna affermazione. Osservazione 2.1 Dal contesto dell esempio 1.3 la condizione considerata risultarà vera se vi sono ancora numeri della lista che non sono ancora stati sommati, falsa altrimenti. Durante l esecuzione dell algoritmo, la condizione viene presa in considerazione un certo numero di volte, a seconda dell lunghezza della lista di numeri da sommare. In momenti diversi della stessa esecuzione dell algoritmo, la condizione può assumere valori di verità diversi. Ad esempio, se la lista comprende tre numeri, la condizione viene considerata quattro volte; le prime tre volte la condizione risulta vera e la quarta falsa, determinando così la terminazione dell algoritmo. Queste osservazioni, relative alla condizione atomica considerata, sono valide in generale per qualsiasi condizione, atomica o composta, impiegata nella formulazione di un algoritmo. 17

2 CAPITOLO 2. CONDIZIONI, OPERATORI DI RELAZIONE E OPERATORI LOGICI (BOZZE, V. 1.0) Operatori di relazione Un altro esempio di condizione (cfr. l esempio 1.2) è la seguente: vi sono altre cifre a sinistra delle ultime considerate Anche in questo caso si tratta evidentemente di una condizione (vera se vi sono ancora cifre da considerare, falsa altrimenti) e tale condizione è atomica perché le sue parti non sono condizioni. Tuttavia, in questo caso è possibile evitare di formulare la condizione in linuaggio naturale esprimendola in modo sintetico nel modo seguente: (numero di cifre a sinistra) > 0 Il simbolo > è un operatore che, confrontando due operandi numerici, permette di esprimere una condizione. Ad esempio, nel caso precedente, se il numero di cifre da considerare è maggiore di zero, allora la condizione risulta vera, altrimenti risulta falsa. Esistono altri operatori simili a > che permettono il confronto di entità la cui natura può essere molto varia. Essi si dicono per questo motivo operatori di relazione. Gli operatori di relazione più noti sono i seguenti: uguale (simbolo =) diverso (simbolo ) maggiore (simbolo >) minore (simbolo <) maggiore o uguale (simbolo ) minore o uguale (simbolo ) e vengono solitamente utilizzati per confrontare valori numerici. In realtà gli operatori uguale e diverso si possono applicare a valori di qualunque natura (per esempio per confrontare il modello di due automobili, il colore dei capelli di due persone, ecc.), mentre gli altri operatori si possono applicare a valori su cui sia definita una relazione d ordine (per esempio le lettere dell alfabeto, i giorni della settimana, ecc.). Gli operatori di relazione pur non essendo operatori logici, consentono di costruire espressioni che possono essere usati come argomenti di operatori logici (vedi paragrafo successivo). Essi permettono pertanto di esprimere condizioni. Le condizioni espresse attraverso gli operartori di relazione sono atomiche in quanto non possono essere scomposte in parti che siano ancora delle condizioni. Esercizi proposti 1. Calcolare il valore logico delle seguenti condizione atomiche: 5 < 7, 7 < 5, 7=5, 7 > 0, 5=5 2. Assumendo che il simbolo x valga 10, calcolare il valore logico delle seguenti condizione atomiche: x<7, x < 7, x =7, x =0, x = x 3. Ricalcolare il valore logico delle condizione atomiche dell esercizio 2, assumendo che il simbolo x valga 10, : 4. Calcolare per quali valori di x ciascuna condizione atomica dell esercizio 2 assume il valore logico vero. 5. Calcolare per quali valori di x ciascuna condizione atomica dell esercizio 2 assume il valore logico falso.

3 CAPITOLO 2. CONDIZIONI, OPERATORI DI RELAZIONE E OPERATORI LOGICI (BOZZE, V. 1.0) 19 NOT Operando Risultato falso vero vero falso AND Operando 1 Operando 2 Risultato falso falso falso falso vero falso vero falso falso vero vero vero OR Operando 1 Operando 2 Risultato falso falso falso falso vero vero vero falso vero vero vero vero Figura 2.1: Tabelle di verità degli operatori logici 2.3 Gli operatori logici e le loro proprietà Fino ad ora in tutti gli esempi abbiamo considerato condizioni atomiche. In generale però le condizioni sono composte da condizioni più semplici, unite da operatori (o connettivi) logici. Ad esempio, l algoritmo seguito dall impiegato di un ufficio postale nell accettare conti corrente da parte degli utenti in coda potrebbe contenere un passo del tipo: accetta un altro conto corrente se l utente ha già consegnato meno di 5 conti corrente o non ci sono altri utenti in coda altrimenti passa al successivo utente in coda Questa passo contiene una condizione (testo in corsivo). Tale condizione è composta perché le sue parti: l utente ha già consegnato meno di 5 conti corrente e: non ci sono altri utenti in coda sono ancora delle condizioni. Si noti poi che la seconda frase è a sua volta composta perché anche la sottofrase: ci sono altri utenti in coda è una condizione (questa volta atomica). Analizzando la condizione composta si osserva facilmente che essa è stata costruita usando le parole e e non, che corrispondono ai due operatori logici AND e NOT secondo l espressione: (l utente ha già consegnato meno di 5 conti corrente) AND (NOT (ci sono altri utenti in coda)) Gli operatori AND e NOT hanno come argomenti delle condizioni, cioè espressioni che possono assumere i valori di verità vero o falso, e hanno come risultato ancora il valore vero o falso. La corrispondenza tra i valori degli argomenti e il risultato è descritta dalle tabelle riportate in figura 2.1, dove compare anche un terzo operatore, l operatore OR, che corrisponde alla disgiunzione o nella costruzione di condizioni composte mediante il linguaggio naturale. Si noti che l operatore NOT è unario, cioè ha un solo operando, mentre gli operatori logici AND e OR sono binari, cioè hanno due operandi. Tabelle come quello usate nella figura 2.1 per definire gli operatori logici vengono dette tabelle di verit à. Esse possono essere usate per definire qualunque funzione logica, intendendo con questo termine una funzione che abbia valori logici sia come argomenti che come risultato. Le tabelle di verità prevedono un numero di colonne pari al numero di argomenti dell operatore più una (corrispondente al risultato), e un numero di righe pari a tutte le possibili combinazioni di valori di verità per gli n argomenti della funzione. Se gli argomenti sono n, dal calcolo combinatorio sappiamo che il numero di righe della tabella (cioè di combinazioni) è 2 n. Si può facilmente verificare che una condizione equivale a una funzione logica i cui argomenti sono le condizioni atomiche in essa contenute. Si può anche dimostrare che gli operatri logici NOT, AND e OR consentono di costruire qualsiasi condizione a partire da opportune condizioni atomiche. A partire dagli operatori logici impiegati per costruire la condizione e dalle loro tabelle di verità è dunque possibile costruire la tabella di verità della condizione. Tale tabella indica il suo valore logico della condizione in funzione del valore logico delle sue condizioni componenti.

4 CAPITOLO 2. CONDIZIONI, OPERATORI DI RELAZIONE E OPERATORI LOGICI (BOZZE, V. 1.0) 20 Esempio 2.1 Si consideri la condizione composta: devo lavorare, e ho riposato o ho bevuto del caffè. Indicando con a la condizione atomica devo lavorare, con b la condizione atomica ho riposato, e con c la condizione atomica ho bevuto del caffè, la condizione composta corrisponde alla funzione logica di tre argomenti: a AND (b OR c) La tabella di verità della condizione ha pertanto 2 3 =8righe e quattro colonne. Nelle prime tre colonne vengono riportate tutte le combinazioni di valori logici delle tre condizioni atomiche componenti. Nella quarta colonna è riportato, per ogni combinazione, il risultato calcolato sulla base delle tabelle di figura 2.1. Ad esempio, se a = vero, b = vero e c = falso, dalla tabella dell OR si ha b OR c = vero e da quella dell AND abbiamo a AND (b OR c) = vero. Ripetendo il procedimento per tutte le 8 combinazioni si ottiene la tabella di verità: Osservazione 2.2 devo lavorare ho riposato ho bevuto del caffè condizione composta (a) (b) (c) (a AND (b OR c)) falso falso falso falso falso falso vero falso falso vero falso falso falso vero vero falso vero falso falso falso vero falso vero vero vero vero falso vero vero vero vero vero Vale la pena osservare la disposizione delle 8 combinazioni di valori di verità corrispondenti ai tre argomenti. Nella terza colonna i valori falso e vero sono alternati, nella colonna immediatamente a sinistra sono alternati a coppie e nella prima sono alternati a gruppi di quattro. Seguendo questa regola si è sicuri di elencare tutte le combinazioni diverse sempre nello stesso ordine, cosa che risulta utile quando bisogna confrontare tra loro più tabelle di verità. Un altro vantaggio di questo modo di procedere è che se si sostituiscono i valori di verità falso e vero con le cifre binarie 0 e 1, le combinazioni risultano elencate in ordine crescente rispetto al valore numerico associato dalla rappresentazione posizionale binaria a ciascuna combinazione (vedi capitolo 3). È infine ovvio come quanto detto si possa immediatamente estendere ad un numero di argomento qualsiasi, cominciando pero sempre dalla colonna più a destra. Osservazione 2.3 Nella pratica è frequente il caso che si debba formulare una condizione c, composta da due condizioni più semplici a e b tale che verifichi la seguente tabella di verità: a b c falso falso falso falso vero vero vero falso vero vero vero falso La condizione composta deve cioè essere vera solo quando una delle due condizioni componenti è vera. Tale situazione corrisponde a una frase del tipo: o la giacca è grigia o la camicia è bianca

5 CAPITOLO 2. CONDIZIONI, OPERATORI DI RELAZIONE E OPERATORI LOGICI (BOZZE, V. 1.0) 21 che è evidentemente vera se la giacca è grigia, oppure se la camicia è bianca, ma non se la giacca è grigia e la camicia è bianca allo stesso tempo! La funzione logica di due argomenti che corrisponde alla tabella di verità riportata sopra prende il nome di OR esclusivo, per distinguerlo dall operatore OR introdotto in precedenza che viene detto inclusivo perchédà un risultato vero anche quando sono veri entrambi i suoi operandi. L OR esclusivo viene anche indicato comunemente con il simbolo XOR (acronimo dell inglese exclusive OR). Volendo esprimere la condizione: (la giacca è grigia) XOR (la camicia è bianca) usando gli operatori NOT, AND e OR, si può usare la seguente identità: e riscrivere pertanto la condizione nel modo seguente: a XOR b (a AND (NOT b)) OR (NOT a) AND b) (la giacca è grigia) AND (NOT (la camicia è bianca)) OR (NOT (la giacca è grigia)) AND (la camicia è bianca) Esercizi proposti 1. Scrivere la tabella di verità corrispondente alla seguente funzione logica di tre variabili: ((NOT a) AND b) OR((a AND b) AND c) 2. Scrivere la tabella di verità corrispondente alla seguente funzione logica di quattro variabili: ((NOT (a OR b)) OR ((NOT c) AND d)) OR a 3. Scrivere la tabella di verità corrispondente a una funzione logica a tre variabili che dia come risultato vero se e solo se due qualsiasi dei suoi argomenti sono uguali a vero. 2.4 Proprietà degli operatori logici Gli operatori logici NOT, AND e OR godono di una serie di proprietà che è utile mettere in evidenza perchè consentono di trasformare se necessario le condizioni in forme alternative, equivalenti dal punto di vista logico, ma più convenienti al fine di una chiara ed efficace formulazione degli algoritmi. Le proprietà di maggiore interesse pratico degli operatori AND e OR sono (a e b rappresentano due valori logici qualsiasi): associativa: commutativa: idempotenza: a OR (b OR c) =(a OR b)orc a AND (b AND c) =(a AND b) AND c a OR b = b OR a a AND b = b AND a a OR a = a a AND a = a

6 CAPITOLO 2. CONDIZIONI, OPERATORI DI RELAZIONE E OPERATORI LOGICI (BOZZE, V. 1.0) 22 I due operatori godono poi della proprietà distributiva dell uno rispetto all altro. uguaglianze: a OR (b AND c) =(a OR c) AND (a OR c) a AND (c OR c) =(a AND c) OR(aAND c) Sono infine molto utili le seguenti proprietà che coinvolgono anche l operatore NOT: Valgono cioè le seguenti del minimo e del massimo del complemento a OR falso = a a OR vero = vero a AND vero = a a AND falso = falso a OR (NOT a) =vero a AND (NOT a) =falso Si osservi che in tutti i casi elencati, a ogni uguaglianza ne corrisponde sempre una duale ottenuta sostituendo l operatore AND con OR, l operatore OR con AND, il valore di verità falso con vero, e il valore di verità vero con falso. Questo corrisponde ad una legge generale, detta legge di dualit à, che vale per tutte le uguaglianze tra espressioni contenenti valori di verità e operatori logici. Ad esempio, è possibile dimostrare (lo si può fare tra l altro usando le tabelle di verità come mostrato nel paragrafo 2.5) che per ogni possibile combinazione dei valori di verità di a e b vale l identità: a OR b NOT ((NOT a) AND (NOT b)) Per la legge di dualità vale pertanto senza bisogno di dimostrarlo: a AND b NOT ((NOT a)or(notb)) Le due identità, che permettono di sostituire un operatore con il suo duale, sono note come Teoremi di De Morgan. Si noti che nei passaggi da una proprietà alla sua duale l operatore NOT non subisce modifiche. In tutte le espressioni contenenti operatori logici abbiamo fino ad ora usato le parentesi per indicare l ordine con cui gli operatori vanno applicati per calcolare il risultato. Tale pratica è del tutto analoga a quella usata abitualmente nelle espressioni contenenti operatori matematici. Per evitare però un uso eccessivo di parentesi, anche tra gli operatori logici sono stabilte delle regole convenzionali di precedenza che permettono di omettere le parentesi quando l ordine di applicazione degli operatori segue tali regole. Le regole di precedenza tra gli operatori logici stabiliscono la precedenza massima per l operatore NOT, seguito dall operatore AND, a sua volta seguito dall operatore OR, che ha la precedenza minima. Pertanto le espressioni: a OR NOT b AND NOT c a OR NOT b OR NOT c NOT a AND b OR c OR a sono rispettivamente equivalenti alle espressioni: a OR ((NOT b) AND (NOT c)) (a OR (NOT b)) OR (NOT c) (((NOT a) AND b)orc)ora dove sono state esplicitamente indicate tutte le parentesi. Si noti che nel secondo esempio, dopo l applicazione dei due operatori NOT, per la proprietà associativa dell OR è del tutto inutile indicare un ordine di applicazione tra i due operatori OR. Analoga considerazione si potrebbe fare nel caso fossero presenti più operatori AND allo stesso livello di precedenza.

7 CAPITOLO 2. CONDIZIONI, OPERATORI DI RELAZIONE E OPERATORI LOGICI (BOZZE, V. 1.0) 23 Parlando delle regole di precedenza è opportuno osservare che gli operatori di relazione hanno sempre precedenza su tutti gli operatori logici. Pertanto, l espressione: 1 x AND x 1 è equivalente all espressione: ( 1 x) AND (x 1) come peraltro è naturale, non avendo senso pensare di applicare prima l operatore AND ad x, se tale simbolo rappresenta una quantità numerica. Infine, a conclusione del paragrafo, è opportuno notare che, dal punto di vista matematico, l insieme dei valori di verità {falso, vero} unitamente agli operatori NOT, AND e OR verificano tutte le proprietà che carattertizzano una struttura algebrica detta Algebra di Boole. Per questo motivo i valori di verità e gli operatori logici vengono spesso indicati con il termine booleano. Esercizi proposti 1. Si riscrivano le seguenti espressioni indicando tutte le precedenze: 2. Scrivere la proprietà duale della seguente: NOT a OR NOT b AND NOT c AND b AND NOT a OR b a AND b OR c OR NOT a AND c a OR NOT a AND b a OR b 3. Usando operatori di relazione e operatori logici si scriva la condizione che esprime che il valore della variabile x appartiene all insieme: [ 5, 3] [8, 15] 4. Esprimere la condizione opposta a quella dell esercizio Nel caso si sia usato l operatore NOT nel risolvere l esercizio 4, formulare una soluzione alternativa senza usare l operatore NOT. 2.5 Equivalenza di condizioni composte In generale, nella formulazione di un algoritmo occorre esprimere correttamente le condizioni che controllano i passi di tipo decisionale. Spesso però non esiste un solo modo per esprimere tali condizioni e si pone pertanto il problema di stabilire se condizioni apparentemente diverse (cioè formulate in modo diverso) siano o meno equivalenti, e cioè se assumono lo stesso valore di verità in tutte le situazioni. Per spiegare la cosa con un esempio, torniamo all algoritmo seguito dall impiegato di un ufficio postale nell accettare conti corrente da parte degli utenti in coda. Abbiamo già visto che tale algoritmo potrebbe contenere la condizione: l utente ha già consegnato meno di 5 conti corrente o non ci sono altri utenti in coda Tuttavia, nella formulazione dell algoritmo, potrebbe anche venire in mente di esprimere la stessa condizione nel modo seguente: non accade che l utente ha già consegnato almeno 5 conti corrente e ci sono altri utenti in coda Confrontando le due condizioni che determinano il comportamento prescritto all impiegato, non è immediato stabilire se esse siano equivalenti. Si noti che le condizioni atomiche che le compongono sono le stesse o sono in stretta relazione (entrambe contengono condizioni atomiche identiche, come ad esempio ci sono altri utenti in coda, o condizioni opposte come ad esempio l utente ha gi à consegnato meno di 5 conti corrente e l utente ha gi à consegnato almeno 5 conti corrente), ma tali condizioni sono composte con operatori diversi. Per risolvere il problema di stabilire l equivalenza tra le due condizioni, occorre procedere nel seguente modo:

8 CAPITOLO 2. CONDIZIONI, OPERATORI DI RELAZIONE E OPERATORI LOGICI (BOZZE, V. 1.0) Si esprimono le due condizioni attraverso le stesse condizioni atomiche, opportunamente composte con gli operatori logici. Ad esempio, la prima condizione contiene i predicati elementari: A: l utente ha già consegnato meno di 5 conti corrente B: ci sono altri utenti in coda e da un analisi della condizione si ricava che in essa le condizioni A e B sono unite dagli operatori logici OR e NOT in modo da formare l espressione: A OR (NOT B) (2.1) dove le parentesi non sono necessarie. Analogamente, la seconda condizione contiene le condizioni atomiche: A : l utente ha già consegnato almeno 5 conti corrente B: ci sono altri utenti in coda e tali condizioni sono unite dall operatore logico NOT e AND in modo da formare l espressione: NOT (A AND B) dove, questa volta, le parentesi sono necessarie. Infine, ricordando l ossercazione già fatta che il predicato elementare A è il contrario del predicato elementare A, la seconda condizione si può scrivere: NOT ((NOT A) AND B) (2.2) 2. Si costruiscono le tabelle di verità delle due formulazioni (2.1) e (2.2). Per far questo, analogamente a quanto fatto nell esempio 2.1, si costruiscono le tabelle di verità delle sotto espressioni seguendo l ordine di applicazione degli operatori. Ad esempio, nel caso della (2.2) si costruisce la tabella: A B NOT A (NOT A) AND B NOT ((NOT A) AND B) falso falso vero falso vero falso vero vero vero falso vero falso falso falso vero vero vero falso falso vero dove la terza colonna si è ottenuta applicando la tabella dell operatore NOT ad A (prima colonna), la quarta colonna si è ottenuta applicando la tabella dell operatore AND alla terza colonna e a B (seconda colonna), e l ultma colonna si è ottenuta applicando nuovamente la tabella dell operatore NOT alla quarta colonna. Ripetendo il procedimeto per la (2.1) si ricava la tabella: A B NOT B A OR (NOT B) falso falso vero vero falso vero falso falso vero falso vero vero vero vero falso vero 3. Si conforntano le due tabelle di verità: se esse coincidono le due formulazioni risultano equivalenti, altrimenti esse esprimono condizioni diverse. Nel nostro caso risulta che: che: Esercizi proposti 1. Verificare se le due condizioni: A OR (NOT B) = NOT ((NOT A) AND B) (a) sono stati superati almeno 10 esami e la media è almeno del 27 oppure sono stati superati almeno 10 esami e il reddito non supera i euro oppure la media è almeno del 27 e il reddito non supera i euro

9 CAPITOLO 2. CONDIZIONI, OPERATORI DI RELAZIONE E OPERATORI LOGICI (BOZZE, V. 1.0) 25 (b) sono stati superati almeno 10 esami, la media è almeno del 27 e il reddito non supera i euro sono equivalenti e, in caso negativo, indicare per quali valori delle condizioni atomiche componenti le due condizioni risultano diverse. 2. Verificare se le due condizioni: (a) NOT ((a b) > 2OR(b a) > 2) (b) NOT ((a b) 2 AND (b a) 2) sono equivalenti. 3. Dato il passo decisionale: domani andiamo in gita se abbiamo terminato il lavoro o è una bella giornata esprimere un passo equivalente senza usare la parola o nella condizione (suggerimento: usare i teoremi di De Morgan). 4. Riscrivendo in linguaggio naturale le condizioni atomiche contenute nella risposta all esercizio 3, esprimere la condizione senza usare la parola non. 2.6 Impiego di condizioni nei passi decisionali Gli operatori di relazione e gli operatori logici ci consentono di esprime un ampia gamma di condizioni. Per approfondire l impiego delle condizioni nei passi decisionali di un algoritmo consideramo il seguente esempio. Esempio 2.2 Assumendo che a, b e c siano le misure dei tre lati di un triangolo, vogliamo scrivere le condizioni che identificano se il triangolo è equilatero, isoscele o scaleno. Il triangolo è equilatero se 1 : a = b AND b = c AND a = c Il triangolo è isoscele se 2 : (a = b AND a c) OR(b = c AND b a) OR(a = c AND a b) Infine, il triangolo è scaleno se: a b AND a c AND b c Un algoritmo per un esecutore che scriva il risultato della verifica potrebe dunque essere il seguente: 1. se a = b AND b = c AND a = c, scrivi equilatero 2. se (a = b AND a c) OR(b = c AND a c) OR(a = b AND b c), scrivi isoscele 3. se a b AND a c AND b c, scrivi scaleno dove l esecutore esegue sempre tutti e tre i passi (cioè la sequenza dinamica coincide sempre con la sequenza statica), ma stampa sempre una sola tra le tre possibili scritte, a causa della natura mutuamente esclusiva delle condizioni impiegate. Una formulazione alternativa dell algoritmo potrebbe essere la seguente: 1. se a = b AND b = c AND a = c, scrivi equilatero altrimenti 2. se a = b OR b = c OR a = c, scrivi isoscele altrimenti 1 In realtà per la proprietà transitiva dell uguaglianza per per le proprietà dell algebra di Boole l ultima clausola è inutile. 2 In realtà per le regole di precedenza le parentesi non sono necessarie, ma è conveniente metterle per facilitare la lettura dell espressione.

10 CAPITOLO 2. CONDIZIONI, OPERATORI DI RELAZIONE E OPERATORI LOGICI (BOZZE, V. 1.0) scrivi scaleno dove la parola altrimenti significa che, se la condizione è vera, l esecutore, dopo aver scritto il risultato, deve terminare l esecuzione dell algoritmo senza considerare i passi successivi. Questa nuova formulazione risulta più sintetica e, una volta che ne sia stato compreso il significato, più semplice. Essa, infatti, sfrutta il fatto di avere escluso al passo 1 che il triangolo sia equilatero per semplificare, al passo 2, la condizione che determina se il triangolo e isoscele; e sfrutta il fatto di aver escluso al passo 2 che il triangolo sia isoscele per concludere, al passo 3, senza ulteriori controlli che è scaleno. Al contrario, la prima formulazione dell algoritmo, imponendo sempre l esecuzione di tutti e tre i passi deve usare condizioni mutuamente esclusive. Osservazione 2.4 Se invece di determinare prima se il triangolo è equilatero poi se è isoscele e infine se è scaleno, si scegliesse di procedere al contrario, anche usando la clausola altrimenti, l algoritmo sarebbe: 1. se a b AND a c AND b c, scrivi scaleno altrimenti 2. se (a = b AND a c) OR(b = c AND a c) OR(a = b AND b c), scrivi isoscele altrimenti 3. scrivi equilatero Si noti che in questo caso la condizione al passo 2 non si è semplificata, in quanto l aver escluso che il triangolo sia scaleno non dà alcuna informazione utile a semplificare le condizioni successive. Si noti che questa osservazione mette in risalto che l uso della clausola altrimenti, se da un lato rende più sintetica e naturale la formulazione, dall altro richiede una maggiore attenzione sulla scelta dell ordine con cui vengono prese le decisioni. Esercizi proposti 1. Se x e y corrispondo rispettivamente al prezzo di un bene in vendita e all importo offerto da un acquirente, formulare un algoritmo per un esecutore che scriva se il bene può effettivamente essere comprato e se occorre dare un resto all acquirente. Non usare la parola altrimenti nel formulare l algoritmo. 2. Risolvere l esercizio 1 usando la parola altrimenti nel formulare l algoritmo.