Lezione 3 Lavoro ed energia

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1 Lezione 3 Lavoro ed energia 3.1 Energia cinetica VI.3 Teorema dell energia cinetica Una goccia di pioggia (di massa m = Kg) cade verticalmente sotto l azione della gravità e della resistenza dell aria, a velocità costante. Dopo 100m quale è il lavoro compiuto dalla gravità, e quale quello compiuto dalla reistenza dell aria? La gravità esercita sulla goccia una forza F g = mg diretta verso il basso; lo spostamento è verso il basso, quindi l angolo tra forza e spostamento è zero, e il lavoro fatto da questa forza è: W g = F g s = mgs = Kg 9.8ms 100m = Kgm s Per trovare il lavoro fatto dalla resistenza dell aria puoi sfruttare il teorema dell energia cinetica. Poiché la velocitá é costante, anche l energia cinetica mv / non cambia, quindi il lavoro totale fatto sulla goccia é nullo: ossia: W g + W r = 0 W r = W g = Kgm s (osserva che tale lavoro risulta negativo; il motivo è che la forza è diretta verso l alto, mentre lo spostamento verso il basso: c è un angolo di 180 tra i due) Un altro modo é osservare che la forza risultante deve essere nulla, affinché la velocitá sia costante, quindi la forza della resistenza dell aria é data da: F r = F g = Kg 9.8ms = N e il lavoro che compie si puó calcoare direttamente da: W r = F r s Nota sulle dimensioni: Kgm s = J 1

2 VI.1. Energia cinetica Una particella di massa m = 0.6Kg ha nel punto A una velocità v A =.0m/s e nel punto B una energia cinetica di K B = 7.50J. Quali sono la velocità in B e l energia cinetica nel punto A? Qual è il lavoro totale compiuto sulla particella tra A e B? Chiaramente l energia cinetica in A é data da: K A = m v A = 0.6Kg (.0) m s = 1.J e la velocitá in B si ottiene invertendo la definizione di energia cinetica K v = m cosicché ( ) 1/ 7.5 J v B = = 5ms Kg Il lavoro totale é dato dalla differenza di energia cinetica: VI.5 W = K B K A = (7.5 1.)J = 6.3J Un carrello carico di mattoni ha massa totale 18 kg ed e trainato a velocità costante da una fune. La fune è inclinata di 0 sull orizzontale e il carrello si muove ad una distanza di 0 m sulla superficie orizzontale. il coefficente di attrito dinamico tra carrello e superficie è 0.5; (a) qual è la tensione della fune? (b) qunato lavoro compie la fune sul carrello? (c) qual è l energia dissipata per attrito? Le forze che agiscono sul carrello sono: 1. La forza esercitata dalla fune. Tale forza è diretta obliquamente e può essere scomposta secondo la veticale e l orizzontale F = F cos θ. la gravità, diretta verso il basso, F = F sin θ P = mg = 18Kg 9.8ms = 176.4N 3. l attrito applica una forza diretta in verso opposto al moto del carrello, di intensità proporzionale alla forza verticale che schiaccia il carrello sul suolo. f = η D N (con η D = il coefficente di attrito dinamico); Tale forza verticale é data da P F, quindi: f = η D (P F )

3 4. la reazione del suolo che sostiene il carrello; La risultante totale di queste forze è nulla (poiché la velocità è costante, e dunque l accellerazione è nulla). Questo vuol dire, per quanto riguarda la componente orizzontale delle forze, che l attrito bilancia esattamente la forza F che la fune applica al carrello: F cos θ = η D (mg F sin θ) da questa relazione troviamo il modulo della forza F (ossia la tensione della fune): F = η D mg cos θ + η D sin θ = N cos sin 0 = 79.4N Il lavoro fatto da questa forza si puó trovare con la definizione: W F = F s = F s cos θ = 79.4N 0m cos0 = 149.J Il lavoro fatto dall attrito si puó traovare ancora con la definizione: per cui W f = fs = η D (P F )s W f = 0.5 ( sin0 )N ( 0m) = 149.J o con il teorema dell energia cinetica: VI. 7 Slitta W f = W F Una slitta di massa m che si trova su di un lago gelato riceve una spinta che le comunica una velocitá iniziale v 0 =.0ms 1. La slitta poi viene rallentata dall attrito con il lago; Il coefficente di attrito dinamico é µ D = 0.1 Trova la distanza che la slitta impiega a fermarsi. Il modo più semplice è sfruttare il teorema dell energia cinetica. L energia cinetica iniziale è: K 0 = m v mentre quella della slitta ferma è nulla. Il lavoro fatto dall attrito è quindi: W r = K 0 ma tale lavoro é il lavoro fatto da una forza F r = µ D mg nello spazio s, quindi: W r = µ D mgs(cos θ) = K 0 da cui s = v µ D g = (.0ms 1 ) =.04m ms 3

4 Altro metodo: Il problema si puó risolvere anche osservando che la forza d attrito imprime alla slitta una accelerazione (decellerazione) (data dalla legge di Newton, F = ma) e quindi la slitta é soggetta ad un moto uniformemete decellerato la cui cinematica é descritta da: v = v0 + at s = v 0 t + at e imponendo che v = v f = 0, v 0 =.0ms 1 e l accellerazione a = F r /m = µ D g = ms si puó risolvere il sistema nelle incognite s, t. 3. Potenza 3..1 VI.33 Un soldato del peso di 00N si arrampica lungo una fune verticale, per un tratto di s = 10m in t = 8sec. Determinare la potenza necessaria. Il lavoro che il soldato deve compiere per vincere il proprio peso é (osserva che la forza applicata dal soldato é diretta come lo spostamento, verso l alto, quindi cos θ = 1): W = F s = 00N 10m = 000J la potenza é semplicemente P = W t = 000J 8sec = 50W VI.37 Sciatore Uno sciatore (massa m = 70Kg) viene fatto risalire da una fune tramite una funivia a motore. 1. Quanto lavoro é necessario per tirarlo 60m lungo un pendio con una pendenza di 30 (supponiamo senza attrito) a velocitá costante di v = ms 1?. quale potenza é necessaria per il compito? In assenza di attrito lo sciatore é soggetto al proprio peso P, che possiamo pensare scomposto secondo le direzioni parallela al pendio e normale al pendio: P = P cos θ con P = P sin θ θ = = 60 alla trazione della fune, diretta parallelamente al pendio, verso monte e alla reazione del pendio stesso, diretta normalmente alla superficie del pendio. 4

5 poiché la velocitá é costante (e dunque l accellerazione nulla, e dunque nulla la forza risultante totale sullo sciatore) la fune bilancia esattamente la componente parallela del peso, e il pendio bilancia esattamente la componente normale. T = P = P cos θ R = P = P sin θ siamo ovviamente interessati alla componente parallela. svolge trascinando lo sciatore per il pendio è: Il lavoro che W = T s cos φ = T s e quindi W = mgcosθs = 70Kg 9.8ms cos60 ( 60m) = 0580J ove cos φ = 1 poiché la fune e lo spostamento sono nella stessa direzione. La potenza necessaria é data da e quindi P = W t = T s cos φ t = T v cos φ P = (mgcosθ)v = 70Kg 9.8ms cos60 ( ms 1 ) = 686W 5