Introduzione ai segnali determinati

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Geraldo Orlando
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1 Teoria dei segnali Unità 1 Introduzione ai segnali determinati Introduzione ai segnali determinati Sviluppo in serie di Fourier Trasformata di Fourier 005 Politecnico di Torino 1

2 Introduzione ai segnali determinati Introduzione ai segnali determinati Nuovo titolo lezione: Titolo unità Energia e potenza di segnali determinati Definizione di segnale Segnali ad energia e potenza media finita Esempi di segnali Politecnico di Torino

3 Definizione di segnale Titolo unità Il segnale Esempio: il segnale telefonico Politecnico di Torino 3

4 Il segnale Esempio: il segnale telefonico i(t) 7 Definizione di segnale Un segnale o forma d onda è una funzione reale o complessa del tempo t, definita in un intervallo finito o infinito x(t) t Politecnico di Torino 4

5 Segnale periodico Un segnale x(t) viene detto periodico di periodo T se xt () = xt ( + T) t (, + ) Un segnale periodico ha quindi un andamento ripetitivo nel tempo 9 Esempi di segnale periodico Coseno Costante x ( t ) = cos( πf t 0 ) x ( t) = k Politecnico di Torino 5

Formule di Eulero Richiamiamo le formule di Eulero, che esprimono i segnali periodici seno e coseno in termini di esponenziali complessi: e cos( π ft) = e sin( π ft) = 0 0 + e jπ ft jπ ft 0 0

6 Formule di Eulero Richiamiamo le formule di Eulero, che esprimono i segnali periodici seno e coseno in termini di esponenziali complessi: e cos( π ft) = e sin( π ft) = e jπ ft jπ ft 0 0 e j jπ ft jπ ft 0 0 Altre importanti formule trigonometriche: duplicazione, bisezione, prostaferesi, Werner 11 Segnali ad energia e potenza Titolo media unità finita 005 Politecnico di Torino 6

7 Energia Il primo concetto che introduciamo è quello di energia di un segnale + ε ( ) ( ) x = xt dt Questa definizione si può applicare anche a segnali complessi 13 Energia x( t) Politecnico di Torino 7

8 Energia x ( t) x( t) 15 Energia ε( x) x ( t) x ( t ) Politecnico di Torino 8

9 Energia + ε ( ) ( ) x = xt dt ε( x) x ( t) x ( t ) 17 Energia + ε ( ) ( ) x = xt dt ε( x) x ( t) x ( t ) Politecnico di Torino 9

10 Energia finita L integrale nella definizione può convergere o meno + ε ( x) = xt ( ) dt Si parlerà di segnale ad energia finita o infinita Molti dei segnali che si trovano in natura sono ad energia finita 19 Potenza media In alternativa a misurare l energia di un segnale su tutto l asse dei tempi, è possibile studiare l andamento medio del segnale su un intervallo Questo è utile quando l energia complessiva è infinita, oppure quando il segnale ha un andamento di tipo ciclico T / 1 P( x) = lim xt ( ) dt T T T / Politecnico di Torino 10

11 Potenza media x( t) 1 Potenza media x( t) 005 Politecnico di Torino 11

12 Potenza media x( t) ε T T / = T / ( ) xt dt 3 Potenza media x( t) ε T T / T / ( ) = xt dt area Politecnico di Torino 1

13 Potenza media x( t) ε T T / T / ( ) = xt dt area 5 Potenza media x( t) ε T T / T / ( ) = xt dt area Politecnico di Torino 13

14 Potenza media x( t) T / T / 1 P( x) = lim x( t) dt εt = xt ( ) dt area T T T / T / 7 Potenza media Interpretazione: la potenza media è l energia del segnale su un intervallo, normalizzata per la dimensione dell intervallo Ottengo P(x) quando la dimensione dell intervallo tende ad infinito Politecnico di Torino 14

15 Potenza media finita Come per l energia, anche per la potenza media esiste un problema di convergenza dell integrale nella definizione Se l integrale converge, il segnale viene detto a potenza media finita 9 Potenza ed energia Un segnale ad energia finita ha potenza media nulla Un segnale ad energia infinita può avere potenza media finita i segnali periodici hanno potenza media finita Esistono comunque anche segnali a potenza media infinita, che noi non consideriamo come segnali ai fini di questo corso Politecnico di Torino 15

16 Classificazione segnali ε( x) 31 Classificazione segnali ε( x) < Politecnico di Torino 16

17 Classificazione segnali ε( x) < segnale ad energia finita Px ( ) 33 Classificazione segnali ε( x) < segnale ad energia finita Px ( ) < Politecnico di Torino 17

18 Classificazione segnali ε( x) < segnale ad energia finita Px ( ) < segnale a potenza media finita non è un segnale 35 Esempi di segnali Titolo unità 005 Politecnico di Torino 18

19 Esempi di segnali - porta p T ( t ) 1 T T t 37 Esempi di segnali - coseno cos 1 ( π f 0 t ) T = 1 f 0 -T T - T T t Politecnico di Torino 19

20 Esempi di segnali funzione sinc sinc(t)=sin(πt)/(πt) sinc 1 ( t ) t 39 Delta di Dirac Prima di iniziare la nuova lezione, richiamiamo alcuni concetti su un segnale di tipo particolare: la delta di Dirac Questa delta non è in realta un segnale Essa non esiste come funzione, ma viene definita utilizzando la teoria delle distribuzioni È largamente impiegata nella teoria dei segnali perché le sue proprietà matematiche semplificano la descrizione di alcuni tipi di segnali e sistemi Politecnico di Torino 0

21 Delta di Dirac La funzione Delta di Dirac δ(t) è definita come operatore tale per cui + x(0) = xt () δ () tdt Essa è quindi l operatore che identifica il valore che una funziona assume nell origine (t=0) Al di fuori della definizione come operatore, la Delta di Dirac non è una funzione ordinaria 41 Delta di Dirac Considero una sequenza di funzioni ad area unitaria w(t)=(1/t)p T (t), con T sempre più piccolo: w( t) t Politecnico di Torino 1

22 Delta di Dirac Considero un segnale x(t) con primitiva y(t) 1 xtwtdt () () = xtdt () = yt ( /) y( T /) T / T 1 lim [ yt ( /) y( T /)] = y'(0) = x(0) T 0 T + + T / [ ] Quindi w(t) tende a δ(t) quando T tende a zero δ(t-t 0 ) t 43 Delta di Dirac La delta di Dirac estrae il valore del segnale nell istante in cui la delta è centrata Matematicamente la delta ha senso solo se compare sotto un operatore di integrale Possiamo dire che δ(t-t 0 )=0 per t t 0 Non possiamo dire nulla del valore in t=t 0 1 δ(t-t 0 ) t Politecnico di Torino

23 Proprietà della Delta di Dirac + xt () δ ( t t ) dt = xt ( ) 0 0 xt () δ( t t ) = xt ( ) δ( t t ) xt ()* δ ( t t ) = xt ( t ) j π f ( t t0 ) e dt = δ ( t t ) Politecnico di Torino 3

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