Politecnico di Torino II Facoltà di Architettura - 5 Luglio 2011 Esercizio 1. Sono date le matrici 2 1, B = 1 4

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1 A Politecnico di Torino II Facoltà di Architettura - 5 Luglio 20 Esercizio. Sono date le matrici A = ( ) 2, B = 4 ( ). 2 a) Calcolare la matrice A. b) Enunciare ed applicare la regola di Cramer per determinare la soluzione X del sistema AX = B. ( 4 ) ( R. a) A = 9 2 ) 9 2. b) X = Esercizio 2. Dati i vettori u = (α,, 2) e v = (3,, 2) a) determinare per quale valore di α il vettore u è perpendicolare a v; b) calcolare il vettore w = u v. R. a) α = 5 3. b) w = (0, 2α + 6, α + 3). Esercizio 3. Determinare il dominio della funzione f(x) = log(x + 2) R. dom(f) = ( 2, ) (, + ). Esercizio 4. a) Definire la retta tangente al grafico di una funzione f(x) nel punto di ascissa x 0. b) Determinare l equazione della retta tangente alla funzione nel punto x = 0. R. y = x. f(x) = log[x + + x 2 ] Esercizio 5. Determinare gli eventuali punti di massimo e/o minimo della funzione f(x) = e x2 4x. R. Punto di minimo: x = 2. Esercizio 6. Calcolare il seguente limite lim x 0 x 2 + sinx log( + x)

2 x 2 + sinx R. lim x 0 log( + x) = lim (2x + cosx)( + x) =. x 0 Esercizio 7. Determinare l area della figura geometrica delimitata dalla retta y = x + 2 e dalla curva y = x 2. R Esercizio 8. a) Definire il gradiente di una f(x, y) in (x 0, y 0 ); b) Determinare, nel punto di coordinate (,), il gradiente della funzione R. f = ( ). f(x, y) = x 2 y 5x y. Esercizio 9. Calcolare la soluzione generale dell equazione differenziale y = xy 2. R. y = 2 x2 + k. Esercizio 0. È data la seguente serie di 20 dati statistici, 2, 4, 2, 4,,, 2, 2, 2, 4, 3, 3,, 2, 2, 4,, 3, 4. Determinare la frequenza assoluta, la media, la moda e la mediana. R. (, 5), (2, 7), (3, 3), (4, 5), media x = 2, 4, medianda ˆx = 2, moda x = 2. B Politecnico di Torino II Facoltà di Architettura - 5 Luglio 20 Esercizio. Sono date le matrici A = ( ) 3, B = 2 4 ( ). 0 a) Calcolare la matrice A. b) Enunciare ed applicare la regola di Cramer per determinare la soluzione X del sistema AX ( = B. ) ( 4 2 ) R. a) A = 4. b) X =

3 Esercizio 2. Dati i vettori u = (3, α, ) e v = ( 6, 2, 2) a) calcolare il vettore w = u v; b) determinare per quale valore di α il vettore u è parallelo a v. R. a) w = ( 2α 2, 0, α). b) α =. Esercizio 3. Determinare il dominio della funzione R. dom(f) = (3, 4) (4, + ). f(x) = log(x 3) Esercizio 4. a) Definire la retta tangente al grafico di una funzione f(x) nel punto di ascissa x 0. b) Determinare l equazione della retta tangente alla funzione nel punto x = /2. R. b) y =. f(x) = sin(πx) 3

4 Esercizio 5. Determinare gli eventuali punti di massimo e/o minimo della funzione R. Punto di massimo: x = 5 2. Esercizio 6. Calcolare il seguente limite R. lim x log x e x e = lim x xe x = e. f(x) = e 5x x2. lim x log x e x e Esercizio 7. Determinare l area della figura geometrica delimitata dalla retta y = x + 2 e dalla curva y = x 2. R. Area: 9 2. Esercizio 8. a) Definire il gradiente di una f(x, y) in (x 0, y 0 ); b) Determinare, nel punto di coordinate (2,), il gradiente della funzione R. b) f = ( 2 ). f(x, y) = xlog y xy 2. Esercizio 9. Calcolare la soluzione generale dell equazione differenziale R. y = 3 3(e x + k). y = e x /y 2. Esercizio 0. È data la seguente serie di 20 dati statistici 2, 3, 2, 2,, 3, 2, 2,,, 2,,,, 2, 2, 3,, 3,. Determinare la frequenza assoluta, la media, la moda e la mediana. R. (, 8), (2, 8), (3, 4). Media x =, 8, mediana ˆx = 2. La sequenza considerata é bimodale e fanno moda sia che 2. A Politecnico di Torino II Facoltà di Architettura - 9 Luglio 20 4

5 Esercizio. Sono date le matrici A = 2, B = Dire se e quante soluzioni ammette il sistema AX = B. 2 0 R. Esiste un unica soluzione (Teorema di Rouché-Capelli). Esercizio 2. a) Definizione di prodotto vettoriale tra due vettori e relativa regola di calcolo; b) scrivere l equazione cartesiana del piano paralello ai vettori u = (3,, 2) e v = (5,, 2) e passante per A(, 0, ). R. b) 2y + z = 0. Esercizio 3. Determinare il dominio della funzione R. x > 2. f(x) = x 2 Esercizio 4. Determinare i limiti agli estremi del dominio della funzione dell esercizio precedente. R. lim f(x) = +, lim f(x) = 0. x 2 + x +. 5

6 Esercizio 5. Dire, giustificando la risposta, se le seguenti funzioni sono concave e/o convesse e se hanno punti di flesso: f (x) = (x + 2) 2, f 2 (x) = log(x), f 3 (x) = x 3. R. f é convessa. f 2 é convessa. f 3 é concava in (, 0), é convessa in (0, + ) e con un punto di flesso in x = 0. Esercizio 6. a) Definire la derivata di una funzione f(x) in un punto x 0 ; b) calcolare la derivata di: f(x) = sin 3 (e x 3) R. b) f (x) = 3 sin 2 (e x 3)cos(e x 3)e x. Esercizio 7. Calcolare l area della regione di piano delimitata dal grafico della funzione f (x) = sin 2x, dall asse y e dalla retta x = 3 4 π. R. Area: 3 2. Esercizio 8. Trovare i punti critici della funzione e e studiarne la natura. f(x, y) = xy y 2 + x R. Il punto ( 2, ) é un punto di sella. Esercizio 9. Calcolare la soluzione generale dell equazione differenziale R. y = C e x + C 2 e 4x 7 4. y + 3y 4y = 7. 6

7 Esercizio 0. Duecento torinesi vengono intervistati sul numero di Km percorsi annualmente dalla propria autovettura. Le risposte vengono raggruppate in classi come segue: classi: [0; 000), [000; 2000), [2000; 3000), [3000; 5000), [5000; 0000) frequenze assolute: 25, 35, 20, 70, 50. a) Rappresentare graficamente la distribuzione di frequenza dei dati tramite istogramma e tramite grafico della distribuzione assoluta cumulata. b) Fornire un valore approssimato di media e mediana dei dati. R. b) Mediana ˆx = 3500; media x = B Politecnico di Torino II Facoltà di Architettura - 9 Luglio 20 Esercizio. Sono date le matrici A = , B = 0 Dire se e quante soluzioni ammette il sistema AX = B. 2 0 R. Esiste un unica soluzione (Teorema di Rouché-Capelli). Esercizio 2. a) Definizione di prodotto vettoriale tra due vettori e relativa regola di calcolo; b) scrivere l equazione cartesiana del piano paralello ai vettori u = (3,, ) e v = (6,, 2) e passante per A(0,, ). R. b) x + 2y + 9z 2 = 0. Esercizio 3. Determinare il dominio della funzione R. x > 3. f(x) = x + 3 Esercizio 4. Determinare i limiti agli estremi del dominio della funzione dell esercizio precedente. R. lim = +, lim = 0. x 3 + x + 3 x + x + 3 Esercizio 5.. 7

8 Dire, giustificando la risposta, se le seguenti funzioni sono concave e/o convesse e se hanno punti di flesso: f (x) = (x ) 2, f 2 (x) = log(x), f 3 (x) = x 3. R. f é convessa. f 2 é concava. f 3 é convessa per x (, 0), é concava per x (0, + ) ed in x = 0 ha un punto di flesso. Esercizio 6. a) Definire la derivata di una funzione f(x) in un punto x 0 ; b) calcolare la derivata di: f(x) = cos 2 (e x + 5) R. b) f (x) = 2e x cos(e x + 5)sin(e x + 5). Esercizio 7. Calcolare l area della regione di piano delimitata dal grafico della funzione f (x) = cos2x, dall asse y e dalla retta x = 3 4 π. R. L area é 3/2. Esercizio 8. Trovare i punti critici della funzione e e studiarne la natura. R. In (, 2) ha un punto di sella. f(x, y) = xy x 2 + y 8

9 Esercizio 9. Calcolare la soluzione generale dell equazione differenziale R. y(x) = C e 3x + C 2 e 2x + 2. y 5y + 6y = 3. Esercizio 0. Duecento torinesi vengono intervistati sul numero di Km percorsi annualmente dalla propria autovettura. Le risposte vengono raggruppate in classi come segue: classi: [0; 000), [000; 2000), [2000; 3000), [3000; 5000), [5000; 0000) frequenze assolute: 35, 25, 20, 50, 70. a) Rappresentare graficamente la distribuzione di frequenza dei dati tramite istogramma e tramite grafico della distribuzione assoluta cumulata. b) Fornire un valore approssimato di media e mediana dei dati. R. b) Media x = 450, mediana ˆx = A Politecnico di Torino II Facoltà di Architettura - 20 Settembre 20 Esercizio. Data la matrice A = ( ) 2, 3 6 a) calcolare gli autovalori di A; b) dire se la matrice B = (A I) è invertibile e in caso affermativo calcolare l inversa B. R. a) λ = ( 0, λ 2 = 7. ) b) B 5 =

10 Esercizio 2. Dati i punti A = (2, 0, 0), B = (0,, ), C = (2, 3, ) e D = (3, 0, ) in R 3, scrivere l equazione del piano π passante per A, B, C e della retta r passante per A e D. x = 2 + t R. π : 4x + 2y 6z 8 = 0, r : y = 0 t R z = t Esercizio 3. a) Scrivere l enunciato del teorema di de l Hôpital; b) utilizzarlo per calcolare il seguente limite R. lim x 0 log( + x 2 ) e x x = 2. log( + x 2 ) lim x 0 e x x. Esercizio 4. Scrivere lo sviluppo di MacLaurin arrestato al secondo ordine della funzione R. P 2 (x) = x 2 x2. f(x) = 2x. Esercizio 5. Tracciare il grafico della funzione f(x) = (x + 2) 3, motivando i passaggi. R. Si tratta della funzione y = x 3 traslata a sinistra di 2 ed in basso di. Esercizio 6. Data la funzione f(x) = ex+ x 2, a) calcolarne il dominio; b) scrivere l equazione della retta tangente al suo grafico nel punto (, f( )). R. a) x 0. b) y = 3x + 4. Esercizio 7. Calcolare il seguente integrale indefinito log x dx, x mediante la sostituzione y = 2 + log x. R. 3 4 (2 + log x)4/3 + k. Esercizio 8. 0

11 Sia data la funzione f(x, y) = log(4 x 2 y 2 ) + x : a) trovare il dominio di f(x, y) e disegnarlo nel piano; b) calcolarne il gradiente. { ( ) x R. a) 2 + y 2 < 4 2x 4 x b) f = 2 y x x 0 2y. 4 x 2 y 2 Esercizio 9. Data l equazione differenziale y 2y + 5y = 0, trovarne l integrale generale. R. y(x) = e x (C cos(2x) + C 2 sin(2x)). Esercizio 0. Data la seguente serie di 30 dati: {3, 5, 6,, 3, 4, 5, 7,, 3,, 2, 3,, 5, 6, 7, 6, 3,4, 5,, 2, 6,5, 4, 3, 3, 5, 7}, a) si costruisca la tabella delle frequenze e si disegni il grafico a colonne; b) si indichino mediana, media e moda. R. Mediana ˆx = 4, media x = 7 30, moda x = 3. B Politecnico di Torino II Facoltà di Architettura - 20 Settembre 20 Esercizio. Data la matrice A = ( ) 2, 4 2 a) calcolare gli autovalori di A; b) dire se la matrice B = (A + I) è invertibile e in caso affermativo calcolare l inversa B. R. a) λ = 0, λ 2 = 4 b) B = ( ). Esercizio 2. Dati i punti A = (, 0, ), B = ( 3,, 0), C = (,, 2) e D = ( 2, 2, ) in R 3, scrivere l equazione del piano π passante per A, B, C e della retta r passante per A e D. x = t R. π : 2x 4z + 6 = 0, r : y = 2t t R z =

12 Esercizio 3. a) Scrivere l enunciato del teorema di de l Hôpital; b) utilizzarlo per calcolare il seguente limite R. lim x 0 + x e x log( + x 2 ) = 2. lim x 0 + x e x log( + x 2 ). Esercizio 4. Scrivere lo sviluppo di MacLaurin arrestato al secondo ordine della funzione R. P 2 (x) = + x 2 x2. f(x) = + 2x. Esercizio 5. Tracciare il grafico della funzione f(x) = (x ) 3 + 2, motivando i passaggi. R. Si tratta della funzione x 3 traslata a destra di ed in alto di 2. Esercizio 6. e x Data la funzione f(x) = (x ) 2, a) calcolarne il dominio; b) scrivere l equazione della retta tangente al suo grafico nel punto (0, f(0)). R. a) x. b) y = 3x +. Esercizio 7. Calcolare il seguente integrale indefinito 4 + log x dx, x mediante la sostituzione y = + log x. R. 4 5 ( + log x)5/4 + k. Esercizio 8. Sia data la funzione f(x, y) = log( x 2 y 2 ) y : a) trovare il dominio di f(x, y) e disegnarlo nel piano; b) calcolarne il gradiente. { ( ) x R. a) 2 + y 2 < 2x x. b) f = 2 y 2 y 0 2y. x 2 y 2 2 y 2

13 Esercizio 9. Data l equazione differenziale y 4y + 5y = 0, trovarne l integrale generale. R. y(x) = e 2x (C cosx + C 2 sinx). Esercizio 0. Data la seguente serie di 30 dati: {3, 4, 7, 2, 3, 4, 5, 7,, 3, 3, 2, 3,, 5, 6, 5, 6, 3, 4, 5, 2, 2, 6, 5,6, 3, 2, 5, 7} a) si costruisca la tabella delle frequenze e si disegni il grafico a colonne; b) si indichino mediana, media e moda. R. Mediana ˆx = 4, media x = 4, moda x = 3. A Politecnico di Torino II Facoltà di Architettura - 22 Febbraio 202 Istituzioni di Matematiche 03BJUPM Esercizio. Date le matrici A = 2 α 3 6 2, X = x y 0 3 z a) dire per quali valori di α il sistema AX = 0 ammette una ed una sola soluzione; b) interpretare geometricamente il risultato. R. a) α = 2 3. Esercizio 2. a) Dati i vettori u = (2, 0, 0),v = (0,, ) scrivere l equazione del piano π contenente u e v e passante per A( 2, 0, ); b) i due vettori sono paralleli? Sono ortogonali? Sono complanari? (Giustificare le risposte) R. a) 2y + 2z 2 = 0, b) u e v sono complanari ortogonali. Esercizio 3. a) Interpretazione geometrica del teorema di Lagrange; b) dire, giustificando la risposta, se la funzione f(x) = sin x, per x [0, 2π] ha almeno un punto critico. R. b) Per il Teorema di Lagrange, esiste almento un punto critico in (0, 2π). Esercizio 4. a) Dare la definizione di polinomio di Taylor di f(x) di ordine n relativo a x 0 ; 3

14 b) scrivere il polinomio di MacLaurin del secondo ordine della funzione R. P 2 (x) = x 2. Esercizio 5. Tracciare il grafico delle funzioni motivando i passaggi. f(x) = log ( x 2 ). f(x) = e x+, g(x) = e x 2, h(x) = e x + 3, R. f(x) é la funzione e x traslata a sinistra di, g(x) é la funzione e x traslata a destra di 2, h(x) é la funzione e x traslata in alto di 3. Esercizio 6. Data la funzione f(x) = e x+ x 2, a) determinarne il dominio; b) calcolare i limiti agli estremi del dominio. R. a) x 2. b) lim x ± f(x) = e, lim x 2 + f(x) = +, lim x 2 f(x) = Esercizio 7. Calcolare l area della parte di piano delimitata dai grafici delle funzioni f(x) = 9 x 2 e g(x) = 2x 2 8. R. 08. Esercizio 8. Data la funzione f(x, y) = 4 x 2 y 2 + log x, a) determinare il dominio di f(x, y) e disegnarlo nel piano; b) calcolarne il gradiente. { x R. a) 2 + y 2 4. b) f = x + 4 x2 y 2 x y. x > 0 4 x2 y 2 Esercizio 9. Data l equazione differenziale y 4y 5y = 0, trovarne l integrale generale. R. y(x) = C e x + C 2 e 5x. Esercizio 0. È data la seguente serie di 20 dati statistici, 2, 4, 2, 4,,, 2, 2, 2, 4, 3, 3,, 2, 2, 4,, 3, 4. Determinare la frequenza assoluta, la media, la moda e la mediana. R. Frequenza assoluta: (, 5), (2, 7), (3, 3), (4, 5). Media x = 2 5, moda x = 2, mediana ˆx = 2. 4