Le equazioni e i sistemi di primo grado

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1 Le equazioni e i sistemi di primo grado prof. Roberto Boggiani Isiss Marco Minghetti 1 settembre 009 Sommario In questo documento verrà trattato in modo semplice e facilmente comprensibile la teoria delle equazioni di primo grado e dei sistemi di primo grado. Il linguaggio è volutamente semplice in quanto si è cercato di privilegiare più l aspetto pratico, ossia della soluzione delle equazioni e dei sistemi, rispetto all aspetto teorico. 1 Definizione di equazione di primo grado Prende il nome di equazione di primo grado una uguaglianza algebrica che risulta essere verificata per un numero finito di valori attribuiti ad una variabile che prende il nome di incognita e che di solito si denota con la lettera x. Alcuni esempi di equazioni sono i seguenti: 3x + 1 = 1 + x = x Nota che nelle equazioni di primo grado l incognita x compare sempre con esponente pari ad uno. Si avrà anche che: l espressione che compare a sinistra dell uguale si chiama primo membro l espressione che compare a destra dell uguale si chiama secondo membro Tipologie di equazioni di primo grado Vi sono varie tipologie di equazioni di primo grado: equazioni intere: 3x 4 = 8 equazioni intere: equazioni frazionarie: 4 x + 6 = 3x 1 + x x = 4 + x x 1 Nota che una equazione si dice frazionaria se l incognita compare al denominatore della frazione e non perchè contiene delle frazioni. 1

2 6 Equazioni equivalenti 3 Soluzione di una equazione di primo grado Prende il nome di soluzione di una equazione di primo grado il valore numeico che sostituito alla incognita determina che il primo membro della equazione sia uguale al secondo membro. Ad esempio data l equazione: la sua soluzione sarà data da 3x + = 10 + x x = 4 in quanto se al posto della incognita x sostituiamo il numero quattro avremo: = = 14 Ricordati che in una equazione di primo grado se c è una soluzione questa è unica, ossia non può esistere una equazione di primo grado con due soluzioni diverse. 4 Le identità Prende il nome di identità una uguaglianza algebrica che risulta essere verificata per qualunque numero reale attribuito all incognita. Ad esempio l uguaglianza: x + = x + 1 è una identità in quanto qulunque nimero mettiamo al posto della incognita il primo membro sarà sempre uguale al secondo membro dellequazione considerata. Equazioni impossibili Una equazione è impossibile se non ammette soluzione. Ad esempio l equazione: 3x + 1 = 3x non ha soluzioni in quanto non esiste alcun valore che sostituito all incognita determina che il primo membro sia uguale al secondo membro. 6 Equazioni equivalenti Due equazioni sono tra di loro equivalenti se hanno la stessa soluzione. Ad esempio l equazione ha per soluzione x = 3, ma anche l equazione x 1 = x + x = x + 3 ha per soluzione x = 3. Si dirà allora che le equazioni: x 1 = x + x = x + 3 sono tra di loro equivalenti in quanto hanno la stessa soluzione.

3 8 Principi di equivalenza delle equazioni Soluzione di alcuni semplici equazioni di primo grado Ci sono alcune equazioni di primo grado che si possono risolvere in modo semplice ed intuitivo con un minimo di ragionamento numerico. Cerca di trovare le soluzioni delle seguente equazioni: x + = 3 soluzione x = x + 1 = soluzione x = x = 3 soluzione x = Il procedimento da seguire per trovare la soluzione è quello di cercare menatlmente quel numero che messo al posto della x determina che il primo membro sia uguale al secondo membro delal equazione considerata. 8 Principi di equivalenza delle equazioni In pratica le equazioni che si devono risolvere sono molto complesse e non permettono di poter applicare il procedimento visto nel paragrafo. Per risolvere una equazione, ossia trovarne la soluzione, il procedimento che dobbiamo seguire consiste nel trasformare una equazione scritta in modo complesso in un altra scritta in modo più semplice ma che abbia le stesse soluzioni di quella complicata ossia, come detto nel paragrafo 6 che sia ad essa equivalente. Ad esempio se volessimo risolvere l equazione: e sapessimo che essa è equivalente all equazione: x 3 = x + 18 x = 1 avremmo già trovato che la soluzione è x = Il passaggio da una equazione scritta in forma complessa ad una scritta in forma più semplice ma ad essa equivalente avviene tramite i seguenti due principi di equivalenza: 1. principio dell addizione e sottrazione: sommando o sottraendo ai due membri di una equazione uno stesso numero o una espressione algebrica che non perda mai di significato si ottiene una equazione equivalente a quella data. Ad esempio considera i seguenti passaggi: x 3 = x + 18 x 3 + x = x x x 3 = 18 x = x = 1 nel secondo abbiamo sommato ad entrambi i membri x mentre nel quarto abbiamo sommato ad entrmbi i membri 3. In ogni caso il risultato ottenuto è stato quello di portare da una parte all altra dell equazioni le espressioni e i numeri cambiando però di segno. L equazione così ottenuta si può risolvere semplicemente con un minimo di ragionamento. La soluzione è x =. principio della moltiplicazione e divisione: moltiplicando o dividendo i due membri di una equazione per uno stesso numero diverso da zero, si ottiene una equazione e quivalente a quella data. Ad esempio considera i seguenti passaggi: x = 1 x = 1 x = 3 3

4 10 Le equazioni frazionarie si vede come abbiamo semplicemente diviso entrmbi i membri dell equazione per il numero ottenendo in questo caso la soluzione già trovata per altra via. Come si vede allora applicando ripetutamente questi due principi come ti farà vedere il prof. in classe, da equazioni complesse si arriva a equazioni semplici delle quali possiamo calcolare il risultato facilmente ed essere sicuri che è anche esatto. 9 Alcuni esempi di soluzione di equazioni Vediamo alcuni esempi della ricerca delle soluzioni di una equazione: 1. (x + 4) (x 1) + (3 4x) = x + 1 x + 0 x x = x + 1 x x 8x x = x = 6 6x = 6 6x 6 = 6 6 x = 6 6 = 13. x + 1 = x + 3 (x + 1) 1 3(x + ) = 1 1 [ ] [ ] (x + 1) 1 3(x + ) 1 = (x + 1) = 1 3(x + ) x + = 10 3x 6 x + 3x = x = 9 10x 10 = 9 10 = Le equazioni frazionarie Come già detto prendono il nome di equazioni frazionarie, le equazioni in cui l incognita compare al denominatore della frazione. Un esempio è dato da: x + 1 = 3x + Le equazioni frazionarie si risolvono come gli altri tipi di equazioni utilizzando gli stessi principi di equivalenza. Ricordando però che in matematica un numero non può mai essere diviso per zero dobbiamo prima di tutto fare un piccolo ragionamento che si chiama discussione. Ricordando che la soluzione di una equazione + un numero che deve essere messo al posto della x e deve soddisfare l equazione cosa accadrebbe alla equazione appena scritta se la sua soluzione fosse x = 1?. Proviamo a sostituire: ottenendo: = 3( 1) + 4

5 1 I sistemi di primo grado in due incognite 0 = 1 Ma tu sai che non si può mai dividere un numero per zero e quindi la soluzione trovata x = 1 non potrà essere accettata e va esclusa. Prima di risolvere una equazione frazionaria dobbiamo allora trovare i valori che non possono essere assegnati all incognita. Se risolvendo l equazione risultano proprio questi valori l equazione si dice impossibile. Ad esempio se devi risolvere: i valori da escludere saranno dati da 1 e -1. Perchè? 3 (x 1) = 1 x Equazioni di primo grado a due incognite Prende il nome di equazione di primo grado a due incognite una equazione contenente due variabili con esponente pari a uno. Ad esempio è una equazione di primo grado in due incognite la seguente: x y = 10 La soluzione di una equazione di primo grado a due incognite è data da una coppia di valori che sostituiti alla x e alla y soddisfano l equazione stessa ossia determinano che il primo membro sia eguale al secondo membro dell equazione stessa. La soluzione si rappresenta con una coppia di numeri separati da un punto e virgola. Il primo elemento della coppia è il valore da attribuire alal lettera x mentre il secondo elemento è il valore da attribuire alla lettera y. Ad esempio nel nostro caso una soluzione è data da in quanto è immediato verificare che: (1; ) 1 = = 10 Una equazione di primo grado a due incognite se ammette una soluzione ne ammette infite. Ad esempio nel nostro caso altre soluzioni saranno: (13; 3) (8; ) (; 3) in quanto soddisfano tutte l equazione di partenza. 1 I sistemi di primo grado in due incognite Prende il nome di sistema di primo grado in due incognite un insieme di due equazioni di primo grado in due incognite che devono essere risolte simultaneamente. Un esempio di questo dipo di sistemi è dato da: { x + y = x y = 1 la soluzione di questo sistema sarà data da quella coppia di numeri che sostituiti alle due incognite soddisfano simultaneamente le due equazioni. Nel nostro caso la soluzione sarà data dalla coppia (0; 1)infatti nota che:

6 14 Metodo dei determinanti ossia: { = 0 1 = 1 { = 1 = 1 13 La ricerca delle soluzioni dei sistemi di primo grado Un sistema di primo grado in due incognite potrà avere: una sola soluzione nessuna soluzione e si dirà quindi impossibile infinite soluzioni e si dirà allora indeterminato Vedrai in classe con l insegnante alcuni esempi di sistemi per ognuno di questi casi. La ricerca delle soluzioni di un sistema di primo grado in due incognite può essere effettuata attraverso vari metodi, dopo aver però ridotto il sistema in forma normale ossia scritto nella forma: { a1 x + b 1 y = c 1 I metodi che studieremo sono i seguenti: a x + b y = c 1. metodo dei determinati. metodo di addizione e sottrazione 3. metodo di sostituzione 4. metodo del confronto Vedremo nei prossimi paragrafi un esempio di ricerca delle seluzioni per ogni metodo. 14 Metodo dei determinanti Prima di trovare la soluzione di un sistema lineare con il metodo dei determinanti vediamo come calcolare un determinante di ordine due. Un determinante non è altro che un numero ottenuto da altri 4 numeri scritti nel seguente modo: 4 3 il suo valore sarà sempre dato dal prodotto dei numeri della diagonale principale meno il prodotto dei numeri della diagonale secondaria, ossia nel nostro caso da: 4 ( ) 3 = = 3 Vediamo ora come trovare la soluzione. Il metodo dei derminanti è molto meccanico e quindi verrà spiegato utilizzando un esempio. Ricorda che tale procedimento sarà sempre lo stesso per ogni tipo di sistema da risolvere. cambieranno solamente i numeri. Risolvere il seguente sistema: { x y = 1 x + 3y = 6

7 1 Metodo di addizione e sottrazione Dobbiamo allora calcolare il determinante principale che si ottiene con i coefficienti delle x e delle y scritti esattamente come nel sistema principale: = = 3 ( 1) 1 = Calcoliamo ora il determinante della lettera x sostituendone i coefficienti con i termini noti: x = = 1 Lo stesso dobbiamo fare con il determinante della lettera y: y = 1 1 = da cui le soluzioni del sistema si ricaveranno da: e saranno quindi le seguenti: x = x = 1 y = y = S = ( ) 1, 1 Metodo di addizione e sottrazione Anche questo metodo verrà risolto con l utilizzo di un esempio. Si debba risolvere il seguente sistema: { 3x y = 6 x + y = Eliminiamo prima di tutto la lettera x ottenendo una equazione nella sola lettera y per fare questo applichiamo il principio dell addizione e della sottrazione alle due equazioni moltiplicando la prima per e la seconda per 3 ottenendo: { 6x 4y = 1 6x 1y = 6 Basterà ora sommare membro a membro le due equazioni ottenendo una equazione aduna variabile appunto la y nel seguente modo: Dobbiamo ora risolvere l equazione di primo grado: 6x 4y = 1 6x 1y = 6 19y = 6 19y = 6 19y = 6 19y = y = 6 19

8 16 Metodo di sostituzione Per eliminare la lettera x ed ottenere una equazione nella sola variabile x operaiamo nello stesso modo moltiplicando la prima equazione per e la seconda per due ottenendo: Dobbiamo ora risolvere l equazione di primo grado: 1x 10y = 30 4x + 10y = 4 19x = 34 La soluzione del sistema è allora ( ; 6 ) 19 19x = 34 19x = x = Metodo di sostituzione Tale metodo consiste nel trovare il valore di una incognita da una delle due equazioni e di sostituirne il valore nell altra. In questo modo si ottiene una equazione di primo grado in una incognita che sappiamo risolvere. Vediamo il seguente esempio: { x y = 6 Dalla prima equazione ricaviamo la x ottenendo: 3x + y = 1 che sostituita nella seconda da: x = 6 + y 3(6 + y) + y = 1 Abbiamo ottenuto una equazione in una variabile la y che possiamo risolvere nel seguente modo: Il valore della x sarà dato da: y + y = 1 y = 1 18 y = 1 y = 1 y = 1 x = 6 + y x = 6 + ( 1 ) x = 6 34 x = 8 8

9 1 Metodo del confronto La soluzione del sistema è quindi 1 Metodo del confronto ( ) 8 ; 1 Questo metodo consiste nel ricavare la stessa incognita dalle due equazioni e farne l uguaglianza. Si ottiene in questo modo una equazione di primo grado in una sola variabile che sappiamo risolvere. Si veda il seguente esempio. { x 3y = Ricaviamo la lettera x dalle due equazioni ottenendo: dalla prima x = + 3y dalla seconda x = 1 y Uguagliando le due equazioni si ottiene: x + y = 1 1 y + 3y = ( + 3y) 1 y = 4 + 6y = 1 y 6y + y = 1 4 y = 3 y = 3 y = 3 Basterà sostituire tale valore in una delle due equazioni trovate. Ad esempio sostituendo nella prima si avrà: x = + 3y ( x = ) Quindi la soluzione del sistema sarà data da x = ( ) ; 3 9

10 Indice Indice Indice 1 Definizione di equazione di primo grado 1 Tipologie di equazioni di primo grado 1 3 Soluzione di una equazione di primo grado 4 Le identità Equazioni impossibili 6 Equazioni equivalenti Soluzione di alcuni semplici equazioni di primo grado 3 8 Principi di equivalenza delle equazioni 3 9 Alcuni esempi di soluzione di equazioni 4 10 Le equazioni frazionarie 4 11 Equazioni di primo grado a due incognite 1 I sistemi di primo grado in due incognite 13 La ricerca delle soluzioni dei sistemi di primo grado 6 14 Metodo dei determinanti 6 1 Metodo di addizione e sottrazione 16 Metodo di sostituzione 8 1 Metodo del confronto 9 10

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