3. Equazioni biquadratiche. Il polinomio al primo membro contiene un termine con l incognita elevata al quadrato, un termine con

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1 UNITÀ EQUAZIONI E SISTEMI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO.. Generalità sulle equazioni di grado superiore al secondo.. Equazioni inomie.. Equazioni iquadratiche.. Equazioni trinomie.. Equazioni che si risolvono per scomposizione.. Sistemi con un equazione di primo grado e una di grado superiore al secondo. 7. Sistemi con due equazioni di secondo grado.. Generalità sulle equazioni di grado superiore al secondo. Generalmente le equazioni di grado superiore al secondo si risolvono portando tutti i termini al primo memro, riducendo l equazione nella forma normale P= e scomponendo il polinomio al primo memro in più fattori di primo grado o di secondo grado. Si applica poi la legge di annullamento del prodotto e si risolvono le singole equazioni ottenute. Il numero delle soluzioni reali ottenute è, al massimo, uguale al grado del polinomio. Tuttavia, per alcune equazioni particolari inomie, iquadratiche, trinomie si possono utilizzare metodi alternativi più semplici, come ora vedremo.. Equazioni inomie. In queste equazioni il polinomio al primo memro è un semplice inomio di grado uguale al grado dell equazione. Si risolvono portando il termine noto al secondo memro ed effettuando semplici calcoli. Esempi: 7. Equazioni iquadratiche. Il polinomio al primo memro contiene un termine con l incognita elevata al quadrato, un termine con l incognita elevata alla quarta e un termine noto. Si risolvono effettuando il camiamento di variaile t e trasformandole in equazioni di secondo grado. Una volta ricavata l incognita t si sostituiscono i valori trovati e si ricava l incognita. Esempio Si pone t e di conseguenza t L equazione diventa: t t t e t t Si ottengono perciò le quattro soluzioni: Esempio e Esempio e

2 . Equazioni trinomie. Il polinomio al primo memro contiene un termine con l incognita elevata ad un certo esponente n, un termine con l incognita elevata ad un esponente doppio n e un termine noto. Si risolvono effettuando un camiamento di variaile ponendo n t e trasformandole in equazioni di secondo grado. Una volta ricavata l incognita t si sostituiscono i valori trovati e si ricava l incognita. Esempio Si pone t e di conseguenza t L equazione diventa: t t 7 t - e - t t Si ottengono perciò le due soluzioni: Esempio e. Equazioni che si risolvono per scomposizione. Se l equazione di grado superiore al secondo non è inomia, né iquadratica, né trinomia, per risolverla isogna scomporre il polinomio al primo memro in più fattori di primo grado o di secondo grado, utilizzando uno dei seguenti metodi: - raccoglimento a fattore comune totale - raccoglimento a fattore comune parziale - le formule dei prodotti notevoli, per es. - il teorema di Ruffini se un polinomio si annulla per =a, allora esso è divisiile per -a. Esempi: [ - ] [ - / ] [ - - ] [ - ],, [ -, -, 7]

3 . Sistemi con un equazione di primo grado e una di grado superiore al secondo. Questi sistemi contengono un equazione di primo grado con due incognite e un equazione di grado superiore al secondo con due incognite. Si risolvono col metodo di sostituzione partendo dall equazione di primo grado. Per esempio risolvere il sistema: Conviene ricavare la dalla prima equazione: Si risolve l equazione di secondo grado mediante raccoglimento a fattore comune parziale: Si ottengono allora due soluzioni distinte: e Tornando al sistema aiamo: Le soluzioni del sistema sono le seguenti coppie di valori: e

4 . Sistemi con due equazioni di secondo grado. Questi sistemi contengono due equazioni di secondo grado con due incognite. Si possono risolvere con una sostituzione opportuna che va scelta di volta in volta, oppure con una scomposizione opportuna in qualche equazione per poi applicare la legge di annullamento del prodotto. Per esempio risolvere il seguente sistema con una sostituzione opportuna: Si può osservare che, ricavando l espressione dalla prima equazione e sostituendola nella seconda, si ottiene un equazione di primo grado che si risolve facilmente rispetto ad una incognita. Si risolve l equazione di secondo grado: ac = a Tornando al sistema aiamo: = Le soluzioni del sistema sono le seguenti coppie di valori: e

5 Risolvere il seguente sistema con una sostituzione opportuna: Si può ricavare la dalla seconda equazione e sostituire la sua espressione nella prima equazione. Nella prima equazione si pone t e di conseguenza t L equazione diventa: t t t e t t Si ottengono perciò le quattro soluzioni: Il sistema diventa: Sostituendo tutti i valori di si possono ricavare tutti i valori di. Le soluzioni del sistema sono perciò:

6 Risolvere il seguente sistema mediante scomposizione di un equazione: Per la legge di annullamento del prodotto la prima equazione è verificata quando oppure quando. Perciò il sistema è equivalente all unione di due sistemi: ac non ha soluzioni Tornando ai sistemi aiamo: Le soluzioni del primo sistema sono: e Il secondo sistema non ha soluzioni.

7 Risolvere il seguente sistema mediante scomposizione di un equazione: Per la legge di annullamento del prodotto la prima equazione è verificata quando oppure quando. Perciò il sistema è equivalente all unione di due sistemi: / / / ac 7 Tornando ai sistemi aiamo: / / / Le soluzioni del sistema sono: -