Lezione 13. Anelli ed ideali.

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1 Lezoe 3 Prerequst: Aell e sottoaell. Sottogrupp. Rfermet a test: [FdG] Sezoe 5.2; [H] Sezoe 3.4; [PC] Sezoe 4.2 Aell ed deal. Rcordamo la seguete defzoe, data el corso d Algebra : Defzoe 3. S dce aello u seme o vuoto A dotato d due operazo, ua somma + ed u prodotto, tal che: - (A, +) sa u gruppo abelao (detto gruppo addtvo d A) - l prodotto goda della propretà assocatva; - valga la propretà dstrbutva del prodotto rspetto alla somma +, ossa: a, b, c A, a ( b + c) = ab + ac e ( b + c) a = ba + ca. L aello s dce commutatvo se l prodotto gode della propretà commutatva; s dce utaro se esste l elemeto eutro del prodotto, che, soltamete, vee deotato co, (o, per maggore precsoe, A ) e chamato utà. S dce sottoaello dell aello A og sottoseme B che è sottogruppo del gruppo addtvo d A ed è chuso rspetto al prodotto d A: tal caso B è u aello. Esemp 3.2 Soo aell: - l seme Z de umer ter (aello commutatvo utaro) - l seme Z de multpl del umero aturale > (aello commutatvo, o utaro) - l seme K[ x] de polom ell determata x a coeffcet el campo K (aello commutatvo utaro) - l seme M ( K) delle matrc quadrate d orde a coeffcet u campo K (aello utaro, o commutatvo se >.) Damo ora ua ozoe che, come vedremo, svolge, ella teora degl aell, u ruolo aalogo a quello del sottogruppo ormale ella teora de grupp. Defzoe 3.3 Dato u aello A, s dce deale destro d A og sottoseme I A tale che: - I è u sottogruppo del gruppo addtvo d A - a A, x I, xa I. S dce deale sstro d A og sottoseme I A tale che: - I è u sottogruppo del gruppo addtvo d A - a A, x I, ax I. S dce deale blatero d A og deale destro che è ache deale sstro.

2 Osservazoe Og aello è deale blatero d se stesso. I og aello l sottoseme { } 0 è u deale blatero. - I u aello commutatvo, le ozo d deale destro e d deale sstro cocdoo. S parla allora semplcemete d deale, seza aggettv. - Og deale è ache u sottoaello, ma o è vero l vceversa: Z è u sottoaello d Q, ma o è u deale. Ifatt,. 2 Z Eserczo 3.5 Provare che, per og N, l seme Z è u deale d Z. Svolgmeto: Dal corso d Algebra è oto che Z è u sottogruppo del gruppo addtvo d Z. Resta da verfcare l secodo assoma d deale: ( ) k Z, h Z h k = ( hk) Z. Osservazoe 3.6 Poché sottogrupp d Z soo tutt e sol sottogrupp cclc Z, dall Eserczo 3.5 segue che quest soo ache tutt gl deal d Z, e qud, tutt e sol sottoaell d Z. Eserczo 3.7 Provare che: a) se I, J soo deal (destr, sstr, blater) d u aello A, allora I J è u deale d A; b) se I è u deale dell aello A, e B è u sottoaello d A coteete I, allora I è u deale d B; c) se, m N soo tal che m, allora mz è u deale dell aello Z. Svolgmeto: Gl eucat a) e b) seguoo faclmete dalla Defzoe 3.. L eucato c) dscede mmedatamete da b): basta osservare che Z è u sottoaello d Z coteete mz, che, come provato ell Eserczo 3.5, è u deale d Z. Eserczo 3.8 Sa K u campo, e sa α K. Allora è u deale d K[ x ]. { ( ) [ ] ( ) 0} I = f x K x f α = Svolgmeto: I è o vuoto, perché v appartee l polomo ullo. Ioltre, per og f ( x), g( x) K[ x], s ha che f ( α) g( α) = 0, coè f ( x) g( x) K[ x]. Cò prova che I è u sottogruppo del gruppo addtvo d K[ x ]. Ife, per og f ( x) K[ x], ed og g( x) K[ x], s ha che f ( α) g( α) = 0 g( α) = 0, duque f ( x) g( x) I. Cò prova che I soddsfa l secodo assoma d deale. Eserczo 3.9 Sa K u campo. Dre se

3 a b a) I = a, b K 0 a b) J = a, b K 0 b è u deale (destro, sstro, blatero) dell aello M ( K ). 2 Svolgmeto: a) È facle vedere che I è u sottogruppo del gruppo addtvo d M ( ) 2 K. Ioltre s ha: a b x y ax + bz ay + bt a, b, x, y, z, t K, I = z t. Pertato I è u deale destro d M ( K ). Ivece: 2 I 0 =. Pertato I o è u deale sstro, partcolare o è u deale blatero. b) Procededo aalogamete, s prova che J è u deale sstro, ma o destro. Eserczo 3.0 Sa A u aello, e sa z A. Provare che I = x A xz = 0 { } (detto aullatore sstro d z) è u deale sstro d A. Svolgmeto: I o è vuoto, perché 0 I. Ioltre, per og x, y I, s ha che ( x y) z = xz yz = 0, per cu x y I. Abbamo così provato che I è u sottogruppo del gruppo addtvo d A. Ife, ( ) a A, x I, ax z = a( xz) = a0 = 0, per cu ax I. Nota Osservamo che l deale sstro I dell Eserczo 3.0 o è, ecessaramete, u deale destro. Ifatt, ell aello M ( K ), l aullatore sstro d 0 2 è l deale J dell Eserczo 3.9 b), che o è u deale destro. È mmedato verfcare la seguete: Proposzoe 3. Sa A u aello. L seme

4 { } ( a) = ax x A è u deale d A. Lo s chama deale prcpale geerato da a ( A). Esempo 3.2 Per og umero aturale, l deale prcpale geerato da Z è Z. Osservazoe 3.3 Se A è u aello commutatvo utaro, allora per og a A, s ha a = a ( a). è facle verfcare che (a) è l pù pccolo deale d A coteete a. Eserczo 3.4 Sao dat gl deal destr (sstr) I, J dell aello A. Provare che a) I + J = { x + y x I, y J} è u deale destro (sstro) d A coteete I e J. b) IJ = x y x I, y J, N è u deale destro (sstro) d A coteuto I ( J). = c) Provare che u aello commutatvo utaro, l prodotto d deal prcpal è u deale prcpale. Svolgmeto: a) Provamo l eucato per gl deal destr. Sappamo che I + J è u sottogruppo d A vrtù dell Eserczo 2.5, poché l gruppo addtvo d A è commutatvo. Ioltre, per og a A, x I, y J, ( x + y) a = xa + ya I + J, poché xa I, ya J. b) La propretà d sottogruppo è ovva. Sao I e J deal destr. Allora, per og a A, x I, y J, =,...,,( N ) s ha x y a = x ( ya) IJ, poché, per og = =,...,, y a J. = Cò prova che IJ è u deale destro d A. Ioltre, per og =,...,, x y I, per cu x y I. Qud IJ I =. Aalogamete s svolge l eserczo per gl deal sstr. c) Sao a, b A, allora ( a )( b) = ( ab). Ifatt ( a)( b) ( ab), poché, per og x A, abx = a bx, ove a ( a), bx ( b). Ioltre, per og x, y A, =,...,, ( N ), s ha ax (a), by (b), da cu ax by = ab x y ( ab). Cò prova che ( a)( b) ( ab) e coclude la dmostrazoe. = Eserczo 3.5 Determare I+J e seguet cas: =

5 ) I = 2 Z, J = 3Z ; ) I = 4 Z, J = 6Z. Svolgmeto: ) S ha 2Z + 3Z = Z, vrtù della Proposzoe 4.8, poché = Z + 3 Z. ) S ha 4Z + 6Z = 2Z : l clusoe è ovva, per l altra basta osservare che 2 = Z + 6Z. Eserczo 3.6 Determare IJ e I ) I = 2 Z, J = 3Z ; ) I = 4 Z, J = 6Z. Svolgmeto: I base all Eserczo 3.5 b), J e seguet cas: S ha 2Z 3 Z = (2)(3) = (6) = 6 Z. { a a a} { a a} 2Z 3Z = Z 2,3 = Z 6 = 6 Z. S ha, come sopra, 4Z 6Z = 24Z, metre 4Z 6Z = 2Z.

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