Lezione 1. Operazioni tra ideali. Radicale di un ideale.

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1 Lezoe Opeazo ta deal Radcale d u deale Rcodamo la seguete defzoe: Defzoe S dce aello u seme o vuoto A dotato d due opeazo, ua somma + ed u podotto, tal che: - (A, +) sa u guppo abelao (detto guppo addtvo d A) - l podotto goda della popetà assocatva; - valga la popetà dstbutva del podotto spetto alla somma +, ossa: a, b, c A, a ( b + c) = ab + ac e ( b + c) a = ba + ca L aello s dce commutatvo se l podotto gode della popetà commutatva; s dce utao se esste l elemeto euto del podotto, che, soltamete, vee deotato co, (o, pe maggoe pecsoe, A ) e chamato utà S dce sottoaello dell aello A og sottoseme B che è sottoguppo del guppo addtvo d A ed è chuso spetto al podotto d A: tal caso B è u aello Esemp Soo aell: - l seme Z de ume te (aello commutatvo utao) - l seme Z de multpl del umeo atuale > (aello commutatvo, o utao) - l seme K[ x] de polom ell detemata x a coeffcet el campo K (aello commutatvo utao) - l seme M ( K) delle matc quadate d ode a coeffcet u campo K (aello utao, o commutatvo se >) Tutt gl aell del coso saao aell commutatv uta Damo oa ua ozoe che, come vedemo, svolge, ella teoa degl aell, u uolo aalogo a quello del sottoguppo omale ella teoa de gupp Defzoe 3 Dato u aello A, s dce deale d A og sottoseme A tale che: - è u sottoguppo del guppo addtvo d A - a A, x, ax Ossevazo 4 - Og aello è deale d se stesso U deale cocde co tutto l aello se e solo se v appatee og aello l sottoseme { 0 } è u deale

2 - Og deale è ache u sottoaello, ma o è veo l vcevesa: Z è u sottoaello d Q, ma o è u deale fatt, Z Esempo 5 a) Pe og N, l seme Z è u deale d Z Poché sottogupp d Z soo tutt e sol sottogupp cclc Z, segue che quest soo ache tutt sottoaell d Z e, qud, tutt e sol gl deal d Z b) L seme { } ( a) = ax x A è u deale d A Lo s chama deale pcpale geeato da a ( A), ed è l pù pccolo deale d A coteete a La possma poposzoe llusta la pofoda aaloga ta sottogupp omal ed deal Poposzoe 6 Sa u deale dell aello A Alloa sul guppo (addtvo) quozete olte alla somma ( a + ) + ( b + ) = ( a + b) + A / è defto, u podotto ( a + )( b + ) = ab +, e spetto a tal opeazo A è u aello commutatvo utao, detto aello quozete (dell aello A spetto all deale ) L utà moltplcatva è + Esempo 7 Pe og teo, l aello Z degl te modulo cocde co l aello quozete Z / Z È possble defe opeazo ta deal La dmostazoe del seguete eucato è u facle eseczo Poposzoe 8 Sao, J deal d u aello A Alloa a) J è u deale d A; + J = x + y x, y J è u deale d A coteete e J; b) { } c) J = x y x, y J, N è u deale d A coteuto e J Eseczo 9* Sao, J, K deal dell aello A a) Povae che ( J + K) = J + K b) De se, geeale, ( J + K) = J + K caso egatvo, aggugee oppotue potes c) Povae che se = (a) e J = (b), alloa J = (ab) Ossevazoe 0 Le opeazo defte ella Poposzoe 8, atualmete, s possoo estedee ad u qualuque seme fto o vuoto d deal, e godoo della popetà assocatva patcolae: a) Dat a,, a A, s dce deale geeato da a,, a l deale somma

3 ( a ) + + ( a ), che, pe semplctà, vee ache dcato co ( a,, a ) No è dffcle dmostae che è l pù pccolo deale d A coteete a,, a, e s ha ( a,, a ) = a x x A pe og =,, L seme de geeato, atualmete, o è uvocamete detemato Ad esempo, è possble sosttue og elemeto co la somma dello stesso elemeto e d ua combazoe leae degl alt geeato a coeffcet A Ad esempo, ell aello A = K[ x, y] (dove K è u campo), s ha ( x, = ( x + y, = ( x + xy + y, che è l deale d A fomato da polom del tpo f ( x, = xg( x, + yh( x,, ossa, da polom che hao l teme oto ullo b) Og deale dell aello A può essee sommato a se stesso, oppue moltplcato co se stesso, u umeo d volte, pe og teo postvo Mete, peò, + + = volte e qud l multplo d u deale è u cocetto poco sgfcatvo, dvesa è la stuazoe della poteza S ha, fatt, = volte, e, geeale, l clusoe è stetta Pù pecsamete, s ha la seguete catea dscedete d deal: 3 4 U esempo d catea stettamete dscedete è la seguete catea d deal d Z: ( ) (4) (8) (6) Esempo Sa A u PD, e sao a,, a A o ull Alloa, come oto,

4 patcolae, s ha vefca se ( a ) = (MCD( a,, a ( a ) = a )) ( a ) = (mcm( a,, a )) ( a ) = ( a ) se e solo se gl elemet a,, a ) + ( a j ) = A soo a due a due copm Cò s ( a pe og coppa d dc dstt, j La possma poposzoe c mosta che cò o è veo solo u PD, besì u qualuque aello Poposzoe Sao,, deal dell aello A Alloa, e vale = se + j = A, pe og coppa d dc dstt e j ( tal caso gl deal s dcoo a due a due copm) Dmostazoe: L clusoe segue dalla Poposzoe 8 c) pe duzoe Pe povae la secoda pate dell eucato, pocedamo pe duzoe su Pe la base dell duzoe, suppoamo che + = A Alloa esstoo a, a tal che s abba a + a = Sa a Alloa a = a( a + a ) = aa + aa + =, pe cu, come volevas Sa oa > e suppoamo la tes vea pe Alloa pe og coppa d dc, j {,, } s ha che + A, e, olte, vtù dell Eseczo 9 a) e della Poposzoe 8 c), j = A ( + )( + ) = =, pe cu A = + Duque l potes duttva s applca agl deal della base dell duzoe, applcata a -,,,,,, e petato, teedo ache coto = = Ossevazoe 3 L mplcazoe coteuta ella Poposzoe o può essee ovescata, ossa s può avee l uguaglaza ta l podotto e l tesezoe d deal seza che gl deal sao a due a due copm Ad esempo, ell aello de polom A = K[ x, y], ove K è u campo, s ha che ( x)( = ( x) (, mete ( x) + ( A geeale, se A è u UFD, e a,, a A soo elemet a due a due copm, alloa s ha sempe che ( a ) = ( a ) (fatt, u elemeto d A è multplo d tutt gl a se e solo se è multplo del podotto d quest ultm) Pma d eucae l possmo sultato, codamo che agl aell (come a gupp) s applcao ozo come gl omomofsm, costuzo come l podotto detto e la somma detta, e popetà

5 come teoem d somofsmo e d cospodeza Nel seguto le utlzzeemo seza chamale pelmamete Poposzoe 4 Sao,, deal dell aello A Alloa l applcazoe ϕ : A A A a ( a +,, a + ) = ( a + ) = A,, è u omomofsmo d aell tale che due a due copm Keϕ = olte ϕ è suettvo se e solo se,, soo a Dmostazoe: La pma affemazoe è ovva Povamo la secoda Se ϕ è suettvo, alloa, patcolae, esste a A tale che ϕ a ) = ( a +, a +,, a + ) = ( +,,, ) Qud ( a e a pe og =,, Segue che, pe og =,,, s ha = ( a ) + a +, e qud A = +, ossa e soo copm Aalogamete s pova che, pe og coppa d dc dstt e j, gl deal e j soo copm Vcevesa, suppoamo che sa vea quest ultma affemazoe Alloa, pe og =,,, + = A Qud pe og =,, esstoo a e b tal che a + b = Sa b = Alloa [( ) ] e b + = b b j + = b + = a + = + j pe og =,, b Qud ϕ b ) = ( +,,, ) ( Aalogamete s pova che che ϕ è sugettvo (,,,,, ) mϕ pe og =,, Cò basta pe cocludee + Dalle Poposzo e 4 segue, vtù del teoema fodametale d omomofsmo pe aell: Coollao 5 Sao,, deal dell aello A, a due a due copm Alloa A = A A Ossevazoe 6 l Teoema Cese del Resto, oto dal coso d Algeba, è ua cosegueza del Coollao 5 l possmo eseczo utlzza la ozoe d A-modulo, che veà todotta ella Lezoe 3

6 Eseczo 7 Sao, J deal dell aello A Alloa s ha ua sequeza esatta cota d omomofsm d A-modul: f g 0 A J A A J A + J 0, ossa esstoo omomofsm d A-modul A J A A J, ettvo e g A A J A + J, suettvo, tal che m f = Ke g f Svolgmeto: Co la otazoe della Poposzoe 4, l omomofsmo A A A vtù del teoema fodametale d omomofsmo pe aell, u omomofsmo ettvo ϕ J duce, Defamo l applcazoe f = ϕ* A J A A J, a + J ( a +, a + J ) A A J A + J ( a +, b + J ) g ( a b) + + J Questo è u omomofsmo d A-modul be defto, ed è evdetemete suettvo olte s ha che, pe og a A, g (( a +, a + J )) = + J, pe cu m f Ke g Pe povae l alta clusoe, suppoamo che g (( a +, b + J )) = + J, coè che a b + J Esstoo alloa x e y J tal che a b = x + y Petato, a + = a x +, e b + J = a x y + J = a x + J Qud ( a +, b + J ) = ( a x +, a x + J ) = f ( a x + J ) Cò pova che Ke g m f Ossevazoe 8 Quado e J soo copm, l Eseczo 7 fosce ua sequeza esatta cota f 0 A J A A J 0, e qud u somofsmo A A J A J, accodo co l Coollao 5 Ossevamo, olte, che lo stesso eseczo o s estede baalmete al caso cu gl deal soo pù d due Cosdeamo, ad esempo, gl deal = 6Z, = 0Z, 3 = 5Z dell aello A = Z Alloa A Z / 30Z, A A/ A/ = Z / 6Z Z /0Z Z / 5Z, / 3 = / 3 A / = Z / 6Z + 0Z + 5Z = Z/Z = { 0} Ma o esste ua sequeza esatta 0 Z / 30Z Z / 6Z Z /0Z Z /5Z 0, peché due aell, avedo od ft dstt (30 e 900 spettvamete), o possoo essee somof Abbamo defto sopa l podotto e la poteza d deal È possble, eto cet lmt, defe le cospodet opeazo vese, ossa l quozete ed l adcale Defzoe 9 Sao, J deal d u aello A S dce quozete d spetto a J l seme f

7 Se è l deale ullo, l seme è : J 0 : J = = { a Aax pe og x J } { a Aax = 0 pe og x J } e lo s dce aullatoe d J, deotato ache co A( J ) Se, olte J = (x), l seme è { a A 0} 0 : x = ax =, e s chama aullatoe d x, dcato dal smbolo A( x ) È mmedato vefcae la seguete Poposzoe 0 Dat gl deal, J dell aello A, : J è u deale d A coteete Pe alte popetà del quozete d deal s mada a [AM], Eseczo Esemp a) Sa A u UFD, e sao a, b A o ull Alloa s ha: a ( a ) : ( b) = MCD( a, b) b) L uoe D = A( x) è l seme de dvso dello zeo dell aello A (ossa degl elemet o x A x 0 ull d A che volao la legge d aullameto del podotto) Defzoe Sa u deale dell aello A S dce adcale d l seme = { a Aa qualche N* } pe Se è l deale ullo, l seme è { a Aa = 0 pe qualche *} 0 = N e vee detto ladcale d A: è l seme degl elemet lpotet d A, e vee spesso dcato ache co l( A ) Se =, l deale s dce deale adcale o ache deale dotto Poposzoe 3 Sa u deale dell aello A Alloa è u deale d A coteete

8 Dmostazoe: La elazoe d clusoe è ovva Qud è o vuoto Sao a, b, co a m, b pe oppotu, m N * Alloa, atualmete, a, b pe og, s m Povamo che a b Sa N = + m S ha: N N N N N ( a b) = ( ) a b, 0 s dove, pe og = 0,, N, se <, alloa N > m, e qud b se, alloa a N Qud, og caso, a b N Segue che ( a b) N, pe cu, come volevas, a b pova che è u sottoguppo addtvo d A olte, pe og a A, x, se x, alloa Cò ( ax) = a x, e petato ax Esempo 4 Sa A u UFD, e sa a A u elemeto o ullo e o vetble d fattozzazoe a = s p α, ove p soo pm a due a due o assocat (demo: dstt) e gl espoet postv Alloa α soo tutt te s p ( a ) = ( ) dcheemo, el seguto, co otazoe, s ha duque d a l podotto de dvso pm (dstt) d a Rspetto a questa d ( a ) = ( a ) Abbamo così stablto l Coollao 5 Se A è u UFD, e a A è l podotto d pm a due a due dstt, alloa (a) è u deale adcale Cò vale, patcolae, se a è ducble Esempo 6 Nell aello d polom K [ x, y, z], l adcale dell deale = ( x y z ) è = (xyz) 3 5

9 Studamo oa l compotameto del adcale spetto alle opeazo d tesezoe, podotto e somma d deal: Eseczo 7 Sao, J deal d u aello A Povae che: a) se J, alloa J ; b) J = J = J ; c) + J = + J Svolgmeto: a) Questa affemazoe è mmedata cosegueza della Defzoe b) Le cluso J J J soo d mmedata vefca: la pma segue da a) alla luce della Poposzoe 8 c), la secoda è detta cosegueza della Defzoe Resta da povae m che J J Sa a J, co a, a J Alloa a + m J, e qud a J c) L clusoe + J + J s deduce faclmete da a) Povamo l'alta Sa a + J, co a + J, dcamo a = x + y, ove x, y J Sa x, y J Alloa è facle vedee, come ella dmostazoe della Poposzoe 3, che s + s ( a ) + J Segue che a + J, come volevas Ossevazoe 8 L uguaglaza b) dell Eseczo 7 s veleà fodametale a f delle applcazo dell algeba commutatva alla geometa tato vale la pea d appofode l uguaglaza c) C potemmo chedee peché, geeale, o valga + J = + J () Escludedo cas baal, c lmteemo a cosdeae gl deal dves da (0) e A Povamo, aztutto, che la () è sempe vea u PD fatt, se A è u PD, alloa, pe tutt gl a, b A o ull e o vetbl s ha, base a quato stablto egl Esemp e 4, ( MCD( a, b) ) d (*) ( a ) + ( b) = = (MCD( a, b) ) = (MCD( a, b )) = ( a ) + ( b ) = ( a) + d d d d ( b) S ot che l uguaglaza (*) deva da u semplce fatto atmetco: gl deal a desta e a ssta soo etamb geeat dal podotto de fatto pm dstt comu ad a e b d b d patcolae abbamo stablto che ( a, b) = ( a, ) Co u facle agoameto duttvo s dmosta che, se A è u PD, dat a,, a A, s ha: ( a,, a ) = ( a,, a ) ( = (MCD( a,, a ))) d d d d

10 Questa popetà può sembae u po dodate u aello cu tutt gl deal soo pcpal effett, la sua mpotaza s avvete o appea c vee assegato, u PD, u deale tamte u seme d pù geeato Dal puto d vsta patco, è pù semplce pma due geeato, e po calcolae l massmo comue dvsoe degl elemet dott, puttosto che calcolae pma l massmo comue dvsoe de geeato d pateza, e po dulo La () o è peò sempe vea u aello che o è u PD, ad esempo K [ x, y], dove K è u campo fatt, s ha ( x + + ( = ( x + y, = ( x, = ( x,, dove l ultma uguaglaza s pova faclmete: l clusoe ( x, ( x, è ovva, peché x, y ( x, Pe povae l alta, suppoamo che f ( x, ( x,, dcamo f ( x, ( x,, f ( x, = x g( x, + yh( x, Alloa l teme oto d f ( x, è 0, qud f ( x, ( x,, pe cu ( x, ( x, vece, vtù del Coollao 5, ( x + + ( = ( x + + ( = ( x, ( x, Eseczo 9* Povae che, ell aello K [ x, y, z], ( xy, yz + xz) = ( xy, yz, xz) L Eseczo 9 può essee svolto co calcol dett, che devoo essee svluppat ad hoc, e soo pù compless d quell vst sopa Notamo, patcolae, che l dettà c) dell Eseczo 7 o c è affatto utle: applcata al pmo membo, c esttusce la stessa espessoe d pateza Pù avat coosceemo metod molto pù apd basat sulla cotopate geometca degl aell d polom, ossa le cosddette vaetà algebche, che soo sottosem dello spazo -dmesoale K costtut da put le cu coodate soo soluzo d u sstema d equazo polomal l passaggo fodametale ella uova tecca solutva pe l Eseczo 9 saà, fatt, cosdeae valo cu s aullao detemat polom Ossevazoe 30 Occoe o cadee ella facle suggestoe del smbolo : esso o s compota, fomalmete, come ua adce quadata: l abbamo vsto, ell Eseczo 7 c), pe quato guada la somma La pate b) dello stesso eseczo potebbe, vece, fa cedee che sao spettate le egole pe la adce del podotto La smetta vee dalla cosdeazoe della poteza -esma d u deale fatt s ha, pe og deale d u aello A, ed og teo postvo, = =

11 La facle vefca d queste dettà è lascata al lettoe Eseczo 3* Sao, J deal dell aello A Povae che + J = J se e solo se J Eseczo 3* Sao, J deal copm dell aello A Povae che alloa, pe tutt gl te postv e m, s ha m + J = A Eseczo 33 Povae, che, se è u deale d A l cu adcale è ftamete geeato, alloa esste u teo postvo tale che ( ) Svolgmeto: L deale ammette u sstema d geeato fto a,, a Pe og dce =,, esste u teo postvo m tale che a Sa = podott fomat da elemet d podott che a u u u m m L deale ( ) è geeato da, e cascuo d ess è combazoe leae a coeffcet A d a a, ove u = Pe oguo d quest esste u dce tale che u m, d modo a u Cò pova che ( ) Ossevazoe 34 La stessa coclusoe o vale se l deale Nell aello A = K x, x,, x,], s cosde l seguete deale: [ o è ftamete geeato Alloa x, x,, x,) ( ) ( 3 3 = ( x, x, x,,,) x = Ma, pe og teo postvo, ( ) x +, mete x+ e qud Eseczo 35* Sa u deale d A Povae che l( A ) = Dedue che l aello A è dotto (ossa pvo d elemet lpotet o ull) se e solo se l deale è adcale Eseczo 36* Povae che u polomo d A[ X ] è lpotete se e solo se tal soo tutt suo coeffcet Dedue che l aello A[ X ] è dotto se e solo se lo è l aello A

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