Variabili Aleatorie vettoriali

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Lucia Tucci
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1 Vrbl letore vettorl Vrbl letore vettorl Vrbl letore vettorl: Itroduzoe Vrbl letore dpedet Idc d poszoe per V vettorl rsorzo d V vettorl Idc d dspersoe: Moet Mtrce d Covrz Propzoe dell Covrz V.. VORILI Spesso elle espereze letore s osservo pù quttà coteporeete. evdete che è possble eerlzzre l cocetto d vrble letor troducedo d l V vettorle:,...,, N U V vettorle d N copoet è rppresetble uo spzo d N deso. Se N N l evet soo sottose del po. Vrbl letore Vettorl

2 V.. VORILI Se u espereto letoro osservo quttà dobbo ssocre ll espereto due vrbl letore: ed. O esecuzoe dell espereto orsce u copp d uer ( ed ) b Se s coosce l probbltà: b { <, < } P b b 3 P V.. VORILI L dstrbuzoe d probbltà dell V vettorle è: F L destà d probbltà è: (, ) P( ), [ < b, < b ] F ( b, b ) F (, b ) F ( b, ) F ( ), P F ( u, v), du dv b b [ < < ] b, b, ( ) d d, 0 d d 4 Vrbl letore Vettorl

3 V.. VORILI Dstrbuzo Mrl d o dstrbuzoe bdesole posso ssocre dstrbuzo rl oodesol che soo dette dstrbuzo rl: F ( ) { } P, < < w, v dwdv loete, s può osservre: ( ) ( w, v) dv ( ) (, ) w v dw Le dstrbuzo rl e rppreseto le probbltà che s vercho, rspettvete l evet e, dpedeteete dll esto dell ltr copoete 5 V.. VORILI Dstrbuzo rl L F dell V vettorle s dce cout. Nel cso eerco N- desole s h u F cout ed N rl. Iportte: Dll uzoe destà d probbltà (dstrbuzoe) cout è sepre possble rslre lle uzo destà d probbltà (dstrbuzo) rl, etre o è eere vero l cotrro Dstrbuzoe cout Dstrbuzo rl 6 Vrbl letore Vettorl 3

4 V.. VORILI Dezoe V dpedet sepo D Due V ed d cout F(, ) s dcoo dpedet se: I tl cso: (, ) (, ) F F F Dstrbuzoe cout Dstrbuzo rl 7 Idc d poszoe per V vettorl L ed dell V rle è dt d: [ ] ( ) cso cotuo [ ] ( ) cso dscreto d L ed dell V cout è u vettore le cu copoet - ese soo le ede delle corrspodet rl:... N [ ] 8 Vrbl letore Vettorl 4

5 rsorzo d Vrbl letore Vettorl I cocett espost per le trsorzo d vrbl sclr possoo essere estes l cso vettorle. S cosder l eerc trsorzoe: (,,..., ) (,,..., ), R, (,,..., ) R o, equvleteete 9 rsorzo d Vrbl letore Vettorl eore dell ed per vrbl letore vettorl: S può dostrre che: [ ] [ ], Ne coseue che, per trsorzo ler: ( ) ( ) ( ) ( ) Nel cso d trsorzo o ler è possble eere rcorrere ll espressoe pprosst: ( ) B B 0 Vrbl letore Vettorl 5

6 Idc d poszoe e dspersoe per le V vettorl - Moet Moet cetrl st del secodo orde. k [( )] k k k Propretà: Per k, lo sclre k è det covrz delle copoet - es e k-es Ovvete k k Per k s h vece l vrz dell copoete -es [( ) ] Idc d poszoe e dspersoe per le V vettorl - Moet I eere. oet cetrl del secodo orde soo rppresett or trcle ell cosddett trce d covrz: V 3 M M 3 [( ) ( ) ] L M M 3 L L O L 3 Vrze delle copoet dell V vettorle Vrbl letore Vettorl 6

7 Idc d poszoe e dspersoe per le V vettorl - Moet Propretà trce d covrz V è u trce qudrt, setrc e sepre det postv, ovvero V ( ) ( ) ( ) ( ) 0 R Nel cso d strett postvtà s può dervre l ulterore propretà: det ( V) 0 L trce è reolre e qud vertble 3 rsorzo d V vettorl Propzoe dell covrz S cosder l eerc trsorzoe (). So ot R R, Il vettore delle ede L trce d covrz V S tede deterre l trce d covrz V dell uov V vettorle. 4 Vrbl letore Vettorl 7

8 Vrbl letore Vettorl 8 rsorzo d V vettorl Propzoe dell covrz Cso d trsorzoe lere B S può clete dostrre che: [ ] [ ] B B B B V 5 [ ] [ ] [ ] V rsorzo d V vettorl Propzoe dell covrz S cosder l trsorzoe (). pprossdo l dpedez co lo svluppo sere d lor l pp p pp pro orde: dove è lo jcobo: L k 6 L M O M M L l k l k kl,...,...,

9 Vrbl letore Vettorl 9 rsorzo d V vettorl Propzoe dell covrz D cu, sruttdo le espresso à rcvte per le trsorzo ler: V V 7 rsorzo d V Propzoe dell Covrz sepo, R R D u vrble letor vettorle rcvo u V sclre N l s d t s l : R R,, Nel cso d u trsorzoe lere : 8

10 Vrbl letore Vettorl Fuzoe destà d probbltà codzot Nel cso d V ultdesole è possble trodurre l cocetto d uzoe destà d probbltà codzot. S œ R u vettore d vrbl letore tle che: R, R p p È possble trodurre l probbltà d codzot dlle copoet : ( ) ( ) l uzoe destà d probbltà d codzot dlle copoet : ( ) 9 Vrbl letore Vettorl Fuzoe destà d probbltà codzot Cso prtcolre: V vettorl bdesol ( ) ( ), R ( ), ( ) ; (, ) ( ) ( ) (, ) d 0 ; ( ) (, ) d 0 0 Vrbl letore Vettorl 0

11 Vrbl letore Vettorl Fuzoe destà d probbltà codzot D otre che el cso d vrbl letore e dpedet: (, ) ( ) ( ) s h: ( ) ( ) ( ) ( ) Vrbl letore Vettorl

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