1. Introduzione al calcolo automatico delle antenne

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1 Corso di Progettazione di Antenne a Microonde 1. Introduzione al calcolo autoatico delle antenne Gaetano Marrocco

2 Calcolo Elettroagnetico La progettazione di coplessi sistei elettroagnetici può avvalersi della previsione del capo elettroagnetico traite l uso di tools di siulazione al calcolatore Metodi di calcolo L ax! 1 MoM oggetti conduttori doinio della frequenza incognite di superficie Bassa frequenza FDTD, FEM, TLM oggetti penetrabili con perdite incognite voluetriche doinio del tepo e della frequenza L ax! 1 6 Ray Tracer GO, GTD, UTD PO problei di grandi diensioni (propagazione) tracciaento dei raggi doinio della frequenza far field Alta frequenza Metodo Integrali e Differenziali Metodi Integrali: (MoM) 4 ipleentano un azione a distanza dei capi (Newton, teoria della gravitazione) 4 l incognita è la corrente (ogni eleento di corrente è accoppiato con tutti gli altri) 4 richiedono di calcolare i terini di interazione 4 atrici dense Metodi differenziali: (FDTD, FEM) 4 ipleentano una interazione diretta (Faraday) 4 le equazioni che governano il fenoeno sono capionate (discretizzate) in tutto il doinio di calcolo 4 le incognite sono i capioni di capo (ogni capione di capo è accoppiato solo con quelli vicini) 4 atrici sparse

3 Forulazione Integrale: scattering da strutture estese Problea: dato un oggetto perfettaente conduttore (PEC) illuinato da un capo incidente (E i,h i ), calcolare il capo scatterato (E s, H s ). Capo incidente: generato dalle sorgenti ipresse( J, M ) in assenza dello scatteratore (freespace) Capo scatterato: perturbazione introdotta dalla presenza dello scatteratore J M (E i,h i ) (E s, H s ) E s = H s = =! n nxe t = E t =E i +E s H t =H i +H s Capo totale: soa di capo incidente e scatterato scattering da strutture estese - cont. In linea teorica il capo totale è espriibile in funzione delle sorgenti ipresse traite seplici anipolazioni delle equazioni di Maxwell: t E ( J t H ( J, M, M ) = # ) = 1 µ 1 & "$ A # j' [ A+ "$ A# j' [ A % % ""! A] ""! A ] A( r) = µ! V A ( r) = " G( r, r' ) J! V ( r' ) dr' G( r, r' ) M ( r' ) dr' potenziale elettrico vettore potenzialeagnetico vettore G( r, r') funzionedi Green La funzione di Green ha espressione seplice solo nello spazio libero e quindi il problea non è in genere risolubile per via analitica => problea equivalente

4 Problea equivalente J M (E i,h i ) E s = H s = =! S n nxe t = Il problea di partenza è equivalente alla sovrapposizione delle due seguenti configurazioni di capo. E t =E i + E s H t =H i + H s (E s, H s ) S n S n J M (E i,h i ) E i H i + -E i -H i nxe t = J e (E s, H s ) Problea equivalente S n -E i -H i nxe t = J e (E s, H s ) La nuova configurazione è nello spazio libero e si può diostrare che è equivalente alla pria ai fini del calcolo del capo scatterato i s J = nˆ!( H + H ) Densità superficiale di corrente elettrica equivalente e Nota J e (grandezza incognita) il capo scatterato si calcola ricorrendo alla funzione di Green dello spazio libero s E ( J e,) = % j$ [ A + 1 " k "" # A] r" r' 2 e & con A( r) = µ! J e( r') dr' s 4# r " r' H ( J e,) = 1 S "! A µ G fs ( r, r' )

5 Equazioni integrali - strutture estese La corrente equivalente che irradia il capo scatterato è la grandezza incognita. E possibile legarla al capo incidente secondo le seguenti equazioni integrali Electric Field Integral Equation (EFIE) nˆ " i s [ E + E ( J e) ] = r! S incognita i n ˆ & 1 ) E ( r + S) = * nˆ ) j.µ + ''( # $%, (1 ) J fs S e( r' ) G ( r, r' ) dr' - 2!" Magnetic Field Integral Equation (EFIE) i s [ H + H ( J e) ] r S J e = nˆ "! Valgono le relazioni: " # ( gf) = " g # F + g( " # F) " # J ( r' ) = e " G( r, r' ) =!"' G( r, r' ) i nˆ # H ( r % S) = J e( r % S) $ nˆ #! J e( r') #" r' G fs( r, r') dr' S Problea Lineare Strutture estese 1 i + nˆ " ( j.µ (1 + ) ( ') (, ') ' ˆ 2 ))* J r G r r dr % n E ( r S) S e = "! &', - #$ i J ( ) ˆ ( ') (, ') ' ˆ e r! S $ n " % J r r' G r r dr n H ( r S) S e " # = "! Strutture filari l / 2 " I ( z' )! l / 2 # [( ) ] # 2 2 i 2 + & G ( z, z' ) dz' =! j% E ( $ a) z z z = l / 2 YV! I z( z' ) G ( z, z' ) dz' = " j sin( # z ) + Bcos( # z " l / 2 2 ) EFIE MFIE Pocklington (EFIE) Hallèn (EFIE) Le equazioni integrali hanno una struttura siile, che può essere scritta, in fora copatta coe: L I( r) = f ( r)! Problea lineare r! S L: operatore lineare (integrodifferenziale) I: funzione incognita (risposta del sistea) f: terine noto Questo problea può essere risolto con il Metodo dei Moenti (MoM)

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11 Metodo dei Moenti (MoM) 1. Discretizzazione Dato il problea lineare L! I = f (r), viene trovata una soluzione, per la grandezza incognita I (r) sotto fora di cobinazione lineare di funzioni vettoriali { i n( r) } n= 1.. N, olto spesso ortogonali (base), definite sul doinio della funzione incognita, tali da assicurarne una efficiente rappresentazione I ( r' ) "! Inin( r' ) n r! S { I n } Il problea lineare viene quindi discretizzato nella fora: N coefficienti incogniti " In L! in( r)! f ( r) N-incognite per 1-equazione n Per ottenere gli N coefficienti I n dello sviluppo della funzione incognita bisogna ricondursi ad N equazioni linearente indipendenti traite una procedura di Test 2. Test Metodo dei Moenti (MoM) - II Si considera un secondo insiee di funzioni linearente indipendenti, dette funzioni peso (weighting functions) definite su S: { w ( r) } = 1.. N r! S Si definisce un prodotto scalare tra le funzioni: < u ( r), v( r) >=! u( r') " v S * ( r') dr' Si calcola il prodotto scalare tra le funzioni peso ed abo i ebri del problea lineare discretizzato: " In w( r), L! in( r)! w( r), f ( r), = 1..N n L operazione di test ha il senso di una isura eseguita nel sistea E stato così costruito un sistea lineare di N equazioni ed N incognite [ Z] ( N! N ) ( N! 1) [ I] = [ V ] ( N! 1) Zn = w ( r), L! in ( r) Matrice di ipedenza generalizzata V = w ( r), f ( r) Vettore dei terini noti 3. Inversione atriciale! [ I] = [ Z] 1 [ V ] Se det([z])!

12 Scelta delle funzioni di base La scelta delle funzioni di base è un passo iportante per la risoluzione delle equazioni integrali. Si cerca in genere di perseguire un ragionevole coproesso tra la necessità di avere una accurata rappresentazione della funzione incognita e di seplificare il calcolo degli eleenti della atrice di ipedenza generalizzata. Non conviene fare uso di funzioni di base con variabilità (soothing) olto più accentuata della funzione incognita. In ragione del doini di definizione si parla di: Funzioni di base a sottodoinio (sub-doain basis functions) sono diverse da zero solo su una porzione del doinio di definizione della funzione incognita la geoetria viene discretizzata in sottoregioni sono di ipiego olto generale, anche in ancanza di inforazioni a- priori sull andaento della funzione incognita " n " n <!/1 Funzioni di base a doinio intero (entire doain basis functions) sono definite su tutto il doinio della funzione incognita non è richiesta alcuna segentazione della geoetria della struttura da studiare sono scelte in base ad inforazioni a priori sulla funzione incognita, in tal caso assicurano un alta efficienza (basso nuero di funzioni richieste rispetto alle funzioni a sottodoinio) applicabili solo a strutture seplici Scelta delle funzioni di base: subdoain basis functions - fili Piecewise constant Piecewise linear

13 Scelta delle funzioni di base: subdoain basis functions - fili Piecewise sinuosoids Truncated cosines ==> Estensione alla rappresentazione di superfici Scelta delle funzioni di base: entire doain basis functions sinusoidi polinoi di Herite polinoi di Legendre wavelets odi di oscillazione propri della struttura

14 Scelta delle funzioni di test 1. Metodo del Point Matching w ( r) = " ( r! r ) uˆ sono scelte pari a delta di Dirac: hanno il senso di una isura in un punto specifico della struttura seplificazione nel calcolo degli eleenti della atrice di ipedenza le condizioni al contorno risultano iposte soltanto in pochi punti della struttura ( r n ) sono usate in cobinazione a funzioni di base a sottodoinio sono centrate rispetto alla funzione di base Z V,! uˆ n = w L! in = L! in r= r = w, f = f ( r )! uˆ 2. Metodo di Galerkin w ( r) i ( r) = n sono scelte pari alle funzioni di base (quando queste sono ortogonali) l ortogonalità seplifica il calcolo degli integrali spesso usate nel caso di funzioni di base a doinio intero il problea può ricondursi alla iniizzazione di un funzionale Metodo dei Moenti coplessità coputazionale [ I] = [ Z] ( N! 1) " 1 [ V ] ( N! N ) ( N! 1) Z V n = w ( r), L! i = w ( r), f ( r) n ( r) Il calcolo della corrente incognita passa per i seguenti passi: 1. Riepiento della atrice di ipedenza: C 1 # N 2 integrali 2. Inversione della atrice: C 2 # N 3 operazioni (N logn con operazioni di precondizionaento) I siulatori MoM più raffinati perettono di scegliere tra diversi algoriti di inversione della atrice. Algoriti di tipo iterativo risultano olto veloci (attenzione ai problei di instabilità) Gli eleenti della atrice di ipedenza dipendono dalla frequenza, pertanto se e richiesta un analisi ultifrequenza (N f ) i passi 1 e 2 vengono ripetuti per ciascuna frequenza di interesse 2 3 Coplessità coputazionale C = N f ( N + N ) coplessiva

15 Metodo dei Moenti - codici di calcolo Sono disponibili alcuni struenti software per la soluzione di problei integrali elettroagnetici, che ipleentano il Metodo dei Moenti Nuerical Electroagnetic Code (NEC) sviluppato presso il Lawrence Liverore Laboratory (7-8 ) interazione con strutture di qualunque fora, rappresentabili coe fili e superfici considera distinte equazioni integrali per le superfici (MFIE) e per i fili (EFIE) odella conduttori perfetti e reali, eleenti circuitali a costanti concentrate (R,L,C), terreno perfetto e reale, oggetti sepolti l eccitazione può essere iposta coe generatore(i) di tensione, onda piana incidente o dipolo eleentare calcola correnti, ipedenze o aettenze, guadagno e e direttività, accoppiaento tra antenne è disponibile coe prodotto Public Doain (codice sorgente) nella versione NEC-2, entre la versione NEC-4 è concessa in licenza solo negli Stati Uniti Mini-Nuerical Electroagnetic Code (MININEC) sviluppata presso la Naval Ocean Syste center (NOSC) è una versione copatta del NEC pur conservandone le funzionalità più iportanti considera solo fili richiede risorse di calcolo odeste Metodo dei Moenti - codici di calcolo G. J. Burke, A. J. Poggio, Nuerical Electroagnetic Code (NEC)-ethod of oents, Technical Docuent 11, Naval Ocean Systes Center, San Diego, Calif., January 1981 A. J. Julian, J. M. Logan, and J. W. Rockway, MININEC: A Mini-Nuerical Electroagnetic Code, Technical Docuent 516, Naval Ocean Systes Center, San Diego, Calif., Septeber 1982 J. Rockway, J. Logan, D. Ta, and S. Li, The MININEC SYSTEM: Microcoputer analysis of wire antennas, Artech House, Unofficial NEC Archives Nuerical Electroagnetics Code software. Unofficial NEC Hoe Page Nuerical Electroagnetics Code docuentation and inforation Docuentazione Software Prograi di utilità

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19 Esepio 1: dipolo a /2 /2 + frequenza : 3 MHz, 2:5:1 MHz discretizzazione in 11 segenti ( z= /22) calcolare: 1. correnti 2. grandezze d ingresso 3. diagraa di radiazione 4. Bea Width a -3dB Esepio 2: array di dipoli costruito per traslazioni e duplicazioni del singolo dipolo in [!.25 ] + + /2 /2 calcolare: 1. diagraa di radiazione per alientazione in fase e controfase 2. Bea Width a -3dB 3. calcolo del near field a 3 MHz

20 il pannello è posto a l/4 dai dipoli in odo che il capo riflesso si cobini in fase con il capo diretto Esepio 3: pannello y /2 calcolare: 1. diagraa di radiazione 2. Bea Width a -3dB 3. calcolo del near field a 3 MHz per: x: [-1 1 2] y: [ 1] z: [-1 2 3] /2 + + /2 /4 /4 /2 /2 z x x /4 Esepio 4: pannello + terreno ideale e reale pannello a 1 dal terreno ottenuto dall esepio precedente traite: - rotazione [ 9, ] - traslazione [ 1 ] + + caso terreno ideale e reale verificare coe viene odificato il diagraa di radiazione 1