LA VALUTAZIONE DI PORTAFOGLIO. Giuseppe G. Santorsola 1

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1 LA VALUTAZIONE DI PORTAFOGLIO Giuseppe G. Santorsola 1

2 Rendimento e rischio Rendimento e rischio di un singolo titolo Rendimento e rischio di un portafoglio Rendimento ex post Media aritmetica dei rendimenti periodali Rendimento ex ante Media dei rendimenti futuri ponderati per la probabilità di manifestazione Giuseppe G. Santorsola 2

3 Il rischio Il rischio è una misura dell incertezza delle previsioni formulate sui rendimenti attesi ed è quantificato dalla deviazione standard. La deviazione standard dei rendimenti storici segnala l entità media degli scostamenti dei singoli rendimenti periodali (solitamente mensili) rispetto al rendimento medio dell intero periodo considerato. Per calcolare il rischio di uno strumenti finanziario occorre: 1.Calcolare il rendimento medio dello strumento; 2.Calcolare gli scostamenti dei singoli rendimenti mensili rispetto al rendimento medio ed elevarli al quadrato; 3.Sommare i 12 dati così ottenuti e calcolare la radice quadrata da riportare poi su base annua. ( R ) Giuseppe G. Santorsola 3 σ 12 i R = 1 = i 12 2

4 Il rischio Il termine rischio tende ad assumere una valenza esclusivamente negativa; nella realtà, poiché il rischio fa riferimento all incertezza dei risultati, un maggior livello di rischio sta ad indicare una: maggiore probabilità di riportare delle perdite; maggiore probabilità di riportare dei guadagni più elevati. Il rischio è, dunque, al tempo stesso un elemento negativo ed una opportunità. Giuseppe G. Santorsola 4

5 La relazione rendimento-rischio Ipotesi fondamentale della Modern Portfolio Theory è che gli investitori sono Risk Adverse: si ipotizza pertanto una relazione positiva tra rendimento atteso e rischio dell investimento, quindi è possibile realizzare maggiori rendimenti soltanto accettando livelli di rischio crescenti. 50,00% 40,00% Rendimento 30,00% 20,00% 10,00% 0,00% 0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00% 30,00% Rischio Giuseppe G. Santorsola 5

6 La relazione rendimento-rischio Sulla base di questi assunti è possibile selezionare singole attività o classi di attività: Rendimento (Media aritmetica dei tassi annui di rendimento) 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% C 0% 5% 10% 15% 20% Rischio (Dev.standard dei tassi di rendimento) A B Giuseppe G. Santorsola 6

7 La relazione rendimento-rischio A parità di rendimento, viene scelta l attività finanziaria con il rischio più basso C è preferibile a B A parità di rischio, viene scelta l attività finanziaria con il rendimento più alto A è preferibile a B Non sempre la scelta è possibile: come ci si comporta quando in un confronto binario non è possibile scegliere sulla base di una delle due dimensioni considerate a parità dell altra? Tra A e C, cosa si sceglie? Giuseppe G. Santorsola 7

8 Il rendimento e il rischio di portafoglio Il rendimento di un portafoglio è dato dalla media ponderata dei rendimenti delle attività considerate. Il rischio di portafoglio è minore o uguale al rischio medio ponderato delle attività considerate. Il portafoglio ha, quindi, un effetto positivo in termini non di maggiore rendimento bensì di minore rischio in conseguenza della diversificazione. Giuseppe G. Santorsola 8

9 Il rendimento e il rischio di portafoglio In una logica di portafoglio, i criteri di selezione delle classi cambiano: il portafoglio migliore non è quello costituito dai titoli singolarmente meno rischiosi. Si deve tenere conto della relazione tra i loro rendimenti ossia della correlazione. Giuseppe G. Santorsola 9

10 Il rendimento e il rischio di portafoglio Si considerino tre titoli che si contraddistinguono per il seguente rendimento: Titolo Anno 1 Anno 2 Anno 3 A B C Qual è il titolo migliore? Giuseppe G. Santorsola 10

11 Il rendimento e il rischio di portafoglio Qual è il portafoglio migliore? (coppie di 2 titoli con il medesimo peso: 50%) Rendimento Titolo Anno 1 Anno 2 Anno 3 Rendimento medio AB 2,5 10,0 17,5 10,0 BC 15,0 7,5 7,5 10,0 AC 17,5 7,5 5,0 10,0 Rischio Titoli Rendimento massimo e minimo AB 2,5 17,5 BC 7,5 15,0 AC 5,0 17,5 Giuseppe G. Santorsola 11

12 Il rendimento e il rischio di portafoglio Considerando rischio e rendimento dei tre portafogli: Titolo Rendimento medio Rischio AB 10,0 15,0 BC 10,0 7,5 AC 10,0 12,5 1) Il portafoglio BC domina tutti gli altri, nonostante il titolo A, il migliore tra i tre, non venga selezionato. 2) L investitore ha convenienza a selezionare il portafoglio BC rispetto all acquisto del solo titolo, nonostante il titolo A domini entrambi gli altri titoli. Giuseppe G. Santorsola 12

13 Il rendimento e il rischio di portafoglio L esempio dimostra che il rendimento di un portafoglio è sempre uguale alla media ponderata dei rendimenti delle attività che lo compongono, mentre il rischio si riduce al diminuire della correlazione esistente tra le attività stesse. La correlazione misura la tendenza di due attività finanziarie a muoversi nella stessa direzione e con la stessa intensità. Giuseppe G. Santorsola 13

14 Il rendimento e il rischio di portafoglio 20% Rend. Attività A 10% Attività B20% Rischio 10% 20% Attività B Rendimento atteso 15% Correlazione = +1 Correlazione = 0 Correlazione - = 1 10% Attività A 50% Attività A, 50% Attività B 10% 15% 20% Rischio Giuseppe G. Santorsola 14

15 Il rendimento e il rischio di portafoglio Correlazione perfettamente positiva (= +1): le attività si muovono nella stessa direzione e con la stessa intensità; Correlazione positiva (> 0): le attività si muovono in genere nella stessa direzione; Correlazione nulla (= 0): le attività si muovono in modo indipendente l una dall altra; Correlazione negativa (< 0): le attività si muovono in genere in direzione opposta; Correlazione perfettamente negativa (= -1): le attività si muovono in direzione opposta con la stessa intensità. Giuseppe G. Santorsola 15

16 La diversificazione del portafoglio Il rischio è governabile. Anche inserendo a caso nel portafoglio un numero crescente di titoli si riesce a ridurne il rischio. Un opportuna composizione del portafoglio - che tenga conto della relazione tra i rendimenti dei titoli - consente di ridurre ulteriormente il rischio inutile. Il portafoglio migliore non è quello costituito dai titoli singolarmente meno rischiosi. Tale diversificazione consente di migliorare il rapporto tra rendimento e rischio. Giuseppe G. Santorsola 16

17 La diversificazione del portafoglio Rischio = R sistematico +R specifico Rischio sistematico (market risk) Componente di rischio spiegata dalla sensibilità del prezzo del titolo alle oscillazioni di mercato (β) Rischio specifico (non-market risk) Componente di rischio spiegata da fattori specifici dell azienda emittente (investimenti, dividendi, vicende aziendali, tassi di impiego) L effetto diversificazione produce una riduzione del solo rischio specifico Giuseppe G. Santorsola 17

18 La diversificazione del portafoglio Rischio di portafoglio Portafoglio equi-ripartito con selezione casuale dei titoli Rischio specifico (eliminabile) Rischio totale Rischio sistematico non eliminabile 0 Numerosità titoli Giuseppe G. Santorsola 18

19 Il portafoglio con due titoli Il rendimento complessivo di portafoglio sarà dato da: E(RP) = X E(RA) + (1-X) E(RB) Il rischio espresso in termini di varianza di portafoglio σ²p sarà dato da: σ²p = X² σ²a+(1-x)² σ²b+2 X (1-X) σa σb ρab. Giuseppe G. Santorsola 19

20 Rendimento µ* P* Ro 0 σ²* Il portafoglio con N titoli Rischio (σ²) Al variare del mix di portafoglio si ottiene una serie di punti P(µ, σ²) sul piano µ, σ² (mediavarianza), che definiscono la regione delle opportunità di mercato. Il contorno superiore di tale insieme definisce la frontiera efficiente. Il procedimento è complesso perché vanno calcolate le correlazioni tra tutte le coppie di titoli che formano il portafoglio. Giuseppe G. Santorsola 20

21 Il Capital Asset Pricing Model La MPT di Markowitz ha mostrato l esistenza della Frontiera Efficiente Ma quale portafoglio è preferibile? Dipende dall avversione/propensione al rischio dell investitore E(R) M U 2 U 2 D C Capital Market Line Frontiera Efficiente Curve di indifferenza rischio rendimento U 1 U 1 B A F F Portafogli inefficienti Giuseppe G. Santorsola 21

22 Il Capital Asset Pricing Model 1. Gli investitori sono razionali (Markowitz efficient). 2. L investitore può indebitarsi e concedere prestiti al tasso di interesse di un attività priva di rischio (RFR). 3. Tutti gli investitori hanno attese omogenee: stimano nel medesimo modo la distribuzione di probabilità dei tassi di rendimento futuri. 4. Gli investitori hanno lo stesso orizzonte temporale per la valutazione. 5. Gli investimenti sono infinitamente divisibili. 6. Non esistono costi di negoziazione. 7. Non vi è inflazione e qualsiasi variazione dei tassi di interesse o di inflazione è anticipata. 8. I mercati dei capitali sono in equilibrio. Giuseppe G. Santorsola 22

23 Il Capital Asset Pricing Model Se l investitore può indebitarsi e concedere finanziamenti al Risk Free Rate, tra i portafogli sulla frontiera efficiente è possibile identificare un portafoglio (M) che è preferito in assoluto dagli investitori Il portafoglio M, detto Portafoglio di Mercato, è l unico a cui gli investitori sono interessati e la linea retta che congiunge il RFR e il portafoglio di mercato è detta Capital Market Line (CML). Giuseppe G. Santorsola 23

24 La Security Market Line E possibile ora determinare il prezzo di mercato del rischio P PR = R M RFR σ M RFR = Risk Free Rate R M = rendimento atteso del portafoglio di mercato σ M = deviazione standard del portafoglio di mercato Esso esprime il premio per il rischio (per unità di rischio) di un titolo rischioso: esso misura quindi l aumento di rendimento richiesto da un investitore per assumersi un unità di rischio addizionale. In termini geometrici, rappresenta l inclinazione della CML. Giuseppe G. Santorsola 24

25 La Security Market Line Se gli investitori hanno attese omogenee, ogni investitore ritiene che: il prezzo di mercato del rischio è dato dal rapporto tra la differenza tra il rendimento del portafoglio di mercato ed il RFR, con la deviazione standard del portafoglio di mercato il prezzo di mercato del rischio esprime il tasso marginale di sostituzione rendimento-rischio il valore di un portafoglio efficiente sarà determinato secondo l equazione della CML Il tasso di rendimento richiesto è R p = RM RFR RFR σ σ + M P RFR = Risk Free Rate R M = rendimento atteso del portafoglio di mercato σ M = deviazione standard del portafoglio di mercato R p = rendimento atteso di un portafoglio sulla CML σ p = deviazione standard di un portafoglio sulla CML Giuseppe G. Santorsola 25

26 La Security Market Line La relazione tra tasso di rendimento richiesto per un asset e il suo rischio è dato dalla Security Market Line (SML) L equazione della SML è: RM RFR E( Ri ) = RFR + ( Covi, σ m 2 M ) Cov E( Ri ) = RFR + 2 σ i, M m ( R M RFR) E( R ) = RFR + β ( R RFR) i i M β i Il tasso di rendimento di un attività finanziaria è quindi determinato da: - il suo rischio sistematico (Beta) - il premio per il rischio del mercato nel suo insieme - il tasso di rendimento privo di rischio (RFR) Giuseppe G. Santorsola 26

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