Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1 Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 2011/2012. Prof. M.

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1 Es. 5 6 Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 0/0. Prof. M. ramanti Tema n Cognome e nome (in stampatello) n di matricola n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/00 (Legge sulla privacy), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (arrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Funzione inversa. Scrivere esplicitamente la funzione inversa della seguente funzione, precisando il dominio della funzione inversa. #/ 0ab œ Þ /. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica e dicendo esplicitamente quante sono: D Œ D % œ 'Þ

2 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Tema n. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici di passaggio utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il grafico di 0ab. Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.) 0ab œ loga#kkb

3 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Tema n. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e corretto: lim / # % %È Ä_ % # 5. Stime asintotiche e grafici locali. Dare una stima asintotica della funzione 0ab per Ä!, e tracciare, di conseguenza, il grafico qualitativo di 0ab in un intorno di œ!. Classificare questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di flesso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminabile, asintoto verticale á ). Nota: l'esercizio chiede di tracciare il grafico locale e classificare il punto in base alla sola stima asintotica. ˆ ˆ È cos arctan 0ab œ à œ!þ!

4 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Tema n 6. Studio di funzione. Tracciare rapidamente il grafico qualitativo della seguente funzione, in base alla conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando opportunamente limiti e stime asintotiche, (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta la stima asintotica nei punti in cui 0 si annulla e alla frontiera dell'insieme di definizione. Evidenziare nel grafico eventuali punti notevoli (a tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l'andamento all'infinito. Segnalare anche dove, in base alle informazioni raccolte, si devono trovare punti di massimo o minimo. 0ab œ È log #.

5 Es. 5 6 Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 0/0. Prof. M. ramanti Tema n Cognome e nome (in stampatello) n di matricola n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/00 (Legge sulla privacy), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (arrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Funzione inversa. Scrivere esplicitamente la funzione inversa della seguente funzione, precisando il dominio della funzione inversa. &# È 0ab œ Þ È. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica o trigonometrica, e dicendo esplicitamente quante sono: % # D œ D Þ

6 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Tema n. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici di passaggio utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il grafico di 0ab. Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.) 0ab œ ¹ arctana b ¹ %

7 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Tema n. Limiti di successioni. Stabilire se la seguente successione è convergente, divergente o irregolare (nei primi due casi, precisandone il limite). Giustificare i passaggi citando i teoremi utilizzati. lim 8Ä_ loga# b 8x 5. Stima all'infinito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica di 0ab per Ä _ ; stabilire quindi se 0 possiede un asintoto obliquo, in caso affermativo determinandolo. #! % 0ab œ È # log Þ &

8 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Tema n 6. Studio di funzione. Tracciare rapidamente il grafico qualitativo della seguente funzione, in base alla conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando opportunamente limiti e stime asintotiche, (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta la stima asintotica nei punti in cui 0 si annulla e alla frontiera dell'insieme di definizione. Evidenziare nel grafico eventuali punti notevoli (a tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l'andamento all'infinito. Segnalare anche dove, in base alle informazioni raccolte, si devono trovare punti di massimo o minimo. 0ab œ È È& /.

9 Es. 5 6 Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 0/0. Prof. M. ramanti Tema n Cognome e nome (in stampatello) n di matricola n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/00 (Legge sulla privacy), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (arrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Funzione inversa. Scrivere esplicitamente la funzione inversa della seguente funzione, precisando il dominio della funzione inversa. 0ab œ # carccosa bd &Þ. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica o trigonometrica, e dicendo esplicitamente quante sono: # D ReD œ!þ )

10 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Tema n. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici di passaggio utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il grafico di 0ab. Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.) 0ab œ / k k

11 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Tema n. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e corretto: lim sin Œ # log Œ % Ä_ 5. Stime asintotiche e grafici locali. Dare una stima asintotica della funzione 0ab per Ä!, e tracciare, di conseguenza, il grafico qualitativo di 0ab in un intorno di œ!. Classificare questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di flesso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminabile, asintoto verticale á ). Nota: l'esercizio chiede di tracciare il grafico locale e classificare il punto in base alla sola stima asintotica. ach b 0ab œ à! œ!þ # aarcsinbésinèkk

12 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Tema n 6. Studio di funzione. Tracciare rapidamente il grafico qualitativo della seguente funzione, in base alla conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando opportunamente limiti e stime asintotiche, (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta la stima asintotica nei punti in cui 0 si annulla e alla frontiera dell'insieme di definizione. Evidenziare nel grafico eventuali punti notevoli (a tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l'andamento all'infinito. Segnalare anche dove, in base alle informazioni raccolte, si devono trovare punti di massimo o minimo. 0 œ / k a b k. logk# k

13 Es. 5 6 Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 0/0. Prof. M. ramanti Tema n Cognome e nome (in stampatello) n di matricola n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/00 (Legge sulla privacy), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (arrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Funzione inversa. Scrivere esplicitamente la funzione inversa della seguente funzione, precisando il dominio della funzione inversa. 0ab œ logab# logþ. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica, e dicendo esplicitamente quante sono: # D #D # È œ!þ

14 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Tema n. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici di passaggio utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il grafico di 0ab. Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.) #Î 0ab œ ¹ a b ¹

15 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Tema n. Limiti di successioni. Stabilire se la seguente successione è convergente, divergente o irregolare (nei primi due casi, precisandone il limite). Giustificare i passaggi citando i teoremi utilizzati. lim 8Ä_ cosˆ sin 8#Î 8 È% È% Stima all'infinito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica di 0ab per Ä _ ; stabilire quindi se 0 possiede un asintoto obliquo, in caso affermativo determinandolo. 0ab œ / # Î# & # Š

16 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Tema n 6. Studio di funzione. Tracciare rapidamente il grafico qualitativo della seguente funzione, in base alla conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando opportunamente limiti e stime asintotiche, (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta la stima asintotica nei punti in cui 0 si annulla e alla frontiera dell'insieme di definizione. Evidenziare nel grafico eventuali punti notevoli (a tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l'andamento all'infinito. Segnalare anche dove, in base alle informazioni raccolte, si devono trovare punti di massimo o minimo. #Î 0ab œ a b ˆ # arctan È.

17 Es. 5 6 Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 0/0. Prof. M. ramanti Svolgimento Tema n. Scrivere esplicitamente la funzione inversa della seguente funzione, precisando il dominio della funzione inversa. #/ 0ab œ Þ / C œ #/ / à CC/ œ #/ à definita per C# C / ac# b œ Cà / œ à C# C C C# œ logœ à œ logœ œ logœ ß C# C# C C ā! # C, cioè.. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica e dicendo esplicitamente quante sono: D D D Œ D % œ 'Þ % Sia A œ. A œ ' Ê A œ È% ' œ e#ß#ß#ß#fþ Le soluzioni sono : D A A œ Ê D œ Þ D A # A œ # Ê D œ œ # # A# œ # Ê D# œ œ # # a# ba#b % A œ # Ê D œ œ œ # & & &

18 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n # a# ba# b % A% œ # Ê D% œ œ œ # & & &. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici di passaggio utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il grafico di 0ab. Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.) 0ab œ loga#kkb log loga#b loga# b loga#kkb -. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e corretto: Il limite cercato è %Î. lim / # % %È Ä_ % # 0ab µ # % µ œ % Þ % Š É # ˆ % # # 5. Stime asintotiche e grafici locali. Dare una stima asintotica della funzione 0ab per Ä!, e tracciare, di conseguenza, il grafico qualitativo di 0ab in un intorno di œ!. Classificare questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di flesso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminabile, asintoto

19 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n verticale á ). Nota: l'esercizio chiede di tracciare il grafico locale e classificare il punto in base alla sola stima asintotica. ˆ ˆ È cos arctan 0ab œ à œ!þ! ˆ 0ab µ #Î # #Î œ Þ log # log Punto di cuspide, verso il basso, e punto di minimo relativo. Grafico locale: Tracciare rapidamente il grafico qualitativo della seguente funzione, in base alla conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando opportunamente limiti e stime asintotiche, (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta la stima asintotica nei punti in cui 0 si annulla e alla frontiera dell'insieme di definizione. Evidenziare nel grafico eventuali punti notevoli (a tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l'andamento all'infinito. Segnalare anche dove, in base alle informazioni raccolte, si devono trovare punti di massimo o minimo. 0ab œ È log #. 0 è definita per Á Þ Per Ä _ß0a b µ # È logkk Ä _ con crescita sottolineare (quindi senza asintoto obliquo). Per Ä ß0a b µ È # alogk k log# b µ È # logk k Ä _Þ Quindi œ asintoto verticale. Per Ä ß0a b µ È logk k Ä!, con tangente verticale. Quindi œ è punto di flesso a tangente verticale, discendente. Notiamo anche che: 0ab œ! per œ!ß œ È # #. Per Ä!ß0a b µ, quindi œ! è punto di massimo relativo. Per Ä È#ß0a b µ ÉÈ # # a # b µ ŒÉÈ# # È# Š È#, quindi il grafico attraversa linearmente l'asse. Analogamente: per Ä È#ß0a b µ É È # # a # b µ ŒÉÈ# # È# Š È#, quindi il grafico attraversa linearmente l'asse. Grafico qualitativo:

20 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n In particolare, 0 avrà concavità sottolineare all'infinito, 0 avrà un punto di minimo relativo in! aß! b e un punto di massimo relativo in Š È#ß Þ

21 Es. 5 6 Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 0/0. Prof. M. ramanti Svolgimento Tema n. Scrivere esplicitamente la funzione inversa della seguente funzione, precisando il dominio della funzione inversa. &# È 0ab œ Þ È C œ &# È à CCÈ œ &# È à È C& È a#cb œ C&à È œ à #C œ C& Œ #C per C Á #Þ. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica o trigonometrica, e dicendo esplicitamente quante sono: Sia D œ acos* sin* b Le soluzioni sono: % # D œ D Þ D % œ % Š cosš %* sinš %* # # % # œ œ %* œ # * #5 # D œ # a cosa# * bsina# * b b # # œ!ß œ È œ * œ 5 ß5 œ!ßß#ßß%ß&þ D œ!àd œ È Š cosš 5 sinš 5 ß5 œ!ßß#ßß%ß& # # e sono 7 in tutto.. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici di passaggio utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il

22 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n grafico di 0ab. Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.) 0ab œ ¹ arctana b ¹ % arctan arctana b arctan % % arctana b a b. Limiti di successioni. Stabilire se la seguente successione è convergente, divergente o irregolare (nei primi due casi, precisandone il limite). Giustificare i passaggi citando i teoremi utilizzati. lim 8Ä_ loga# b 8x # 8 8 # 8 loga b ˆ È œ µ µ, 8. 8x 8x # 88x La successione + 8 ha termini positivi, quindi per il criterio del confronto asintotico ha lo stesso limite della successione,. Studiamo il comportamento di, col criterio del rapporto. 8 8, 8 a8 b # 8x a8 b / œ œ œ, # 8 a8 bx 88 # 88 Œ Ä ā ß # 8 # 8 perciò, 8 Ä _, e di conseguenza + 8 Ä _Þ Dare una stima asintotica di 0ab per Ä _ ; stabilire quindi se 0 possiede un asintoto obliquo, in caso affermativo determinandolo. #! % 0ab œ È # log Þ &

23 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n Poiché per Ä _ È # #! % & % µ œ %ß 0ab µ log%þ Quindi 0 ha crescita lineare all'infinito, potrebbe avere un asintoto C œ log%;þ Calcoliamo: lim c0ab log % dþ Ä_ #!È# % #!È# % 0ab log% œ log % œ & log log %#! e poiché l'argomento del logaritmo tende a, #!È# % È# % 0ab log% µ œ µ %#! %#! Quindi c'è asintoto obliquo C œ log %. # % Š É ˆ % # µ µ œ Þ % % # # 6. Tracciare rapidamente il grafico qualitativo della seguente funzione, in base alla conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando opportunamente limiti e stime asintotiche, (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta la stima asintotica nei punti in cui 0 si annulla e alla frontiera dell'insieme di definizione. Evidenziare nel grafico eventuali punti notevoli (a tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l'andamento all'infinito. Segnalare anche dove, in base alle informazioni raccolte, si devono trovare punti di massimo o minimo. 0 è definita per Á!Þ Per Ä _ß0a b µ obliquo). Per Ä! ß ) & & 0ab œ È È& /. œ Ä _ con crescita sottolineare (quindi senza asintoto 0a b µ È Ä œ _ /! con tangente orizzontale. Quindi œ! asintoto verticale da destra, punto a tangente orizzontale da sinistra. 0a b œ!à per Ä ß 0a b µ È &, / quindi œ punto di flesso a tangente verticale, discendente.

24 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n Grafico qualitativo: In particolare, 0 deve avere un punto di minimo relativo in! ā! e un punto di minimo relativo in aß! b.

25 Es. 5 6 Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 0/0. Prof. M. ramanti Svolgimento Tema n. Scrivere esplicitamente la funzione inversa della seguente funzione, precisando il dominio della funzione inversa. 0ab œ # carccosa bd &Þ C& C œ # carccosa bd &à œ carccosa bd à # Î C& C& Œ œ arccosa b à œ cos Œ # # à Î Î C& œ cos Œ # Î # # poiché ˆ C& a b dev'essere ˆ C& œ arccos! Ÿ Ÿ, quindi Î! Ÿ C& Ÿ # à& Ÿ C Ÿ &# Þ La funzione inversa è definita per & Ÿ C Ÿ &#.. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica o trigonometrica, e dicendo esplicitamente quante sono: Sia D œ Cß l'equazione diventa # # # D ReD œ!þ ) # # C #C œ! ) C œ! œ a b #C œ ) #C œ! Ê œ! C œ! o # œ! Ê C œ à C œ # Ê œ ß œ Þ # È# # ) # È#

26 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n Le soluzioni sono: D œ à D œ # È# # È# # e sono.. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici di passaggio utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il grafico di 0ab. Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.) 0ab œ / k k / / kk / / k k k k / k k -0. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e corretto: lim sin Œ # log Œ % Ä_

27 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n # % Poiché per Ä _ Ä! e Ä, si ha # # #% ) 0a b µ Œ œ # µ œ )Þ Œ % % 5. Stime asintotiche e grafici locali. Dare una stima asintotica della funzione 0ab per Ä!, e tracciare, di conseguenza, il grafico qualitativo di 0ab in un intorno di œ!. Classificare questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di flesso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminabile, asintoto verticale á ). Nota: l'esercizio chiede di tracciare il grafico locale e classificare il punto in base alla sola stima asintotica. ach b 0ab œ à! œ!þ # aarcsinbésinèkk # # Î% 0ab µ œ œ kk sgn ab. Î% Î% k k # kk # Punto di flesso a tangente verticale, ascendente. Grafico locale: Studio di funzione. Tracciare rapidamente il grafico qualitativo della seguente funzione, in base alla conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando opportunamente limiti e stime asintotiche, (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta la stima asintotica nei punti in cui 0 si annulla e alla frontiera dell'insieme di definizione. Evidenziare nel grafico eventuali punti notevoli (a tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l'andamento all'infinito. Segnalare anche dove, in base alle informazioni raccolte, si devono trovare punti di massimo o minimo. 0 œ / k a b k. logk# k 0 è definita per Á #ßk# k Á, quindi Á ß Á Þ / / Per Ä ß0a b µ µ Ä _ß œ asintoto verticale. loga# b k/ k loga# b / # logk# k / Per Ä ß0a b µ µ Ä _ß œ asintoto verticale. Per Ä #ß0a b µ Ä!, quindi œ # è punto di discontinuità eliminabile e di massimo relativo. Volendoci chiedere con quale pendenza il grafico di 0 comportamento sarà lo stesso che ha tende a zero, osserviamo che il

28 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n per Ä!Þ logkk Poiché logkk Ä _ per Ä!, œ # sarà punto di cuspide rivolta verso l'alto. / Per Ä _ß0a b µ log Ä _ con crescita sopralineare (in particlolare, senza asintoto obliquo). Per Ä _ß0a b µ Ä! quindi C œ! è asintoto orizzontale per Ä _Þ logkk kk 0ab œ! per œ!þ Per Ä!ß 0a b µ log#, quindi œ! è punto angoloso e punto di minimo relativo. Grafico qualitativo:

29 Es. 5 6 Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 0/0. Prof. M. ramanti Svolgimento Tema n. Funzione inversa. Scrivere esplicitamente la funzione inversa della seguente funzione, precisando il dominio della funzione inversa. 0ab œ logab# logþ La funzione è definita per ā! e sotto tale ipotesi si può riscrivere come C C œ logœ à / œ à # # # C / œ!à œ È#/ #/ C. C Dobbiamo scartare la soluzione col segno perché ā!. Quindi si ha: definita per ogni C. È#/ C œ ß #/ C. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica, e dicendo esplicitamente quante sono: # D #D # È œ!þ Equazione algebrica di grado, ha due soluzioni D œ Ê Š # È œ É## ÈÞ È # # Dobbiamo ora calcolare É È È ##. Sia A œ ## œ % Š Þ Poiché kak œ % e arg aab œ %, si avrà É È È # # ## œ % Œ cos Œ 5 sin Œ 5 œ

30 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n # # È œ # ŒcosŒ sinœ œ # œ # # Š È Ú Š È e D œ Š È œ Û Ü Š È Þ. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici di passaggio utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il grafico di 0ab. Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.) #Î 0ab œ ¹ a b ¹ #Î #Î a b #Î a b ¹ a b ¹ #Î. Limiti di successioni. Stabilire se la seguente successione è convergente, divergente o irregolare (nei primi due casi, precisandone il limite). Giustificare i passaggi citando i teoremi utilizzati. lim 8Ä_ cosˆ sin 8#Î 8 È% È% 8 8

31 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n cosœ 8 µ #Î #8%Î à È% È% È% % Ê È % 8 8 œ 8 µ 8 œ à 8 %8 %8 Î% ksin8k Ÿ, perciò ˆ k + k Ÿ cos Î% 8 #Î #8%Î # 8 È8È8 œ # 8 µ % % œ Ä!. 8%Î 8(Î# Î% Per il criterio del confronto, anche + 8 Ä!Þ %8 5. Stima all'infinito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica di 0ab per Ä _ ; stabilire quindi se 0 possiede un asintoto obliquo, in caso affermativo determinandolo. quindi 0ab œ / # Î# & # Š 0ab µ /, 0 ha crescita lineare e potrebbe avere asintoto obliquo C œ / ;. Calcoliamo lim 0ab/ Ä_ # Î# & # Î# & Š Š 0ab/ œ / # / œ / / # µ # Î# Î# Î# & # µ / œ / µ / œ / Ä _ß # # # È quindi la funzione non ha asintoto obliquo. 6. Tracciare rapidamente il grafico qualitativo della seguente funzione, in base alla conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando opportunamente limiti e stime asintotiche, (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta la stima asintotica nei punti in cui 0 si annulla e alla frontiera dell'insieme di definizione. Evidenziare nel grafico eventuali punti notevoli (a tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l'andamento all'infinito. Segnalare anche dove, in base alle informazioni raccolte, si devono trovare punti di massimo o minimo. 0 è definita per Á!Þ #Î 0ab œ a b ˆ # arctan È.

32 prova in itinere di Analisi Matematica. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n Per Ä! ß0a b µ arctan µ # Ä! Þ Quindi œ! (è un punto di discontinuità eliminabile, ed eliminandolo) è un punto angoloso e di massimo relativo. #Î # (Î Per Ä _ß0a b µ œ Ä _ con crescita sopralineare (in È È particolare senza asintoto obliquo). 0ab œ! per œ ß œ!ß œ Þ Per Ä ß0a b µ a b #Î # ˆ #Î % œ # a b. œ punto di cuspide verso l'alto, punto di massimo relativo. È È% Per Ä ß0a b µ % a b % œ % a b, attraversa linearmente l'asse (non è un punto particolare). Grafico qualitativo: In particolare, 0 deve avere un punto di minimo relativo in! aß! b e un punto di minimo relativo in a!ß bþ