Elementi di Modellistica

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1 Elementi di Modellistica Obiettivo: Sviluppare un modello matematico di un sistema fisico per il progetto di controllori. Un modello fisico per il controllo deve essere: descrittivo: in grado di catturare le principali caratteristiche del modello; semplice: più semplice è il modello più semplice è il controllore sintetizzato. Si ricordi comunque: Make everything as simple as possible, but not simpler (A. Einstein) Introduzione

2 Sistemi Meccanici - Traslazione massa attrito viscoso accoppiamento elastico s i, v i : posizione e velocità del corpo #i rispetto ad un sistema di riferimento fisso (inerziale) F i : forza agente sul corpo #i P=Fv: potenza meccanica Sistemi Meccanici - Rotazione inerzia attrito viscoso accoppiamento elastico θ i, ω i : posizione e velocità angolari del corpo #i rispetto ad un sistema di riferimento fisso T i : coppia agente sul corpo #i P=Tω: potenza meccanica

3 Sistemi Meccanici Esempio: 2 masse accoppiate da molla-smorzatore Ipotesi: superficie senza attrito Dinamica della massa m 1 Dinamica della massa m 2 Sistemi Elettrici capacità resistenza induttanza v: tensione ai capi del componente i: corrente attraverso il componente P=vi: potenza elettrica

4 Controllo in tensione di armatura Sistemi Elettrici-Motori DC e ω: velocità angolare T: coppia prodotta Controllo in corrente di campo L f : induttanza di campo R f : resistenza di campo i f : corrente di campo Strumenti di analisi: Leggi di Kirchhoff Sistemi Elettrici equilibrio delle tensioni alla maglia equilibrio delle correnti al nodo

5 Sistemi Elettrici Esempio: circuito elettrico Legge di Kirchhoff ai nodi: Legge di Kirchhoff alle maglie: Sistemi Termici θ Q P M c s R Temperatura Calore Potenza termica o flusso di calore Massa Calore specifico Resistenza termica fra due corpi Relazioni:

6 Sistemi Termici Analogo elettrico: Per ogni capacità termica C=c s M, associa un condensatore C collegato a massa (=temperatura di riferimento, e.g. 0 K). Per ogni coppia (i,j) di corpi che si scambiano calore, associa una resistenza elettrica R ij. Per ogni generatore di calore, associa un generatore di corrente. Tensione=temperatura, corrente=flusso di calore. Nota: non ci sono induttanze termiche ( no oscillazioni!) Esempio: Termometro Sistemi Termici θ 0 θ 1 θ 2 R 10 R 21 Temperatura liquido da misurare Temperatura vetro Temperatura mercurio Resistenza termica fra liquido e vetro Resistenza termica fra vetro e mercurio Equivalente elettrico:

7 Scelta variabili di stato Regola di massima num. variabili di stato necessarie = num. elementi immagazzinatori di energia Esempi: Sistemi meccanici massa molla attrito viscoso (en. cinetica) (en. elastica) Sistemi elettrici condensatore induttanza resistenza (en. potenziale elettrica) (en. potenziale magnetica) Sistemi Meccanici Esempio: 2 masse accoppiate da molla-smorzatore Ipotesi: superficie senza attrito Dinamica della massa m 1 Dinamica della massa m 2

8 Sistemi Meccanici Misura: v 2 = velocità della seconda massa Scelta variaribili: Misura: s 2 =posizione della seconda massa Scelta variabili: Sistemi Meccanici

9 Sistemi Elettrici Esempio: circuito elettrico Legge di Kirchhoff ai nodi: Legge di Kirchhoff alle maglie: Uscita del sistema: Sistemi Elettrici Scelta variabili:

10 Esempio: Stampante a cinghia (ink-jet) k r θ θ p costante della cinghia raggio puleggia rotazione angolare motore rotazione angolare puleggia dx Esercizio di modellistica m y F i v 2 massa della testina di stampa posizione testina di stampa tensioni interne alla cinghia tensione comando motore La posizione della testina è rilevata da un sensore. La tensione v 1 di uscita del sensore è utilizzata dal controllore per regolare la posizione della testina di scrittura. Dinamiche traslatorie del sistema Noto che si ha che Esercizio di modellistica La forza applicata sulla massa m è percui Scegliendo come variabili di stato

11 Esercizio di modellistica Dinamica rotatoria del motore Coppia del motore R f resistenza di campo L f si assume trascurabile J=J m +J p inerzia motore-puleggia f coefficiente d attrito puleggia da cui si ha: Esercizio di modellistica e ricordando che si ha perciò il sistema dinamico risulta:

12 Riferimenti bibliografici Control Systems Engineering, I.J. Nagrath, M. Gopal. cap.2, pagg Presente in biblioteca: 629/8/13 Fisica I e II, C. Mencuccini, V. Silvestrini. Presenti in biblioteca: 530/6-1, 530/6-2