Automi per il riconoscimento di linguaggi.

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1 Automi per il riconoscimento di linguaggi. Un altro modo di caratterizzare un linguaggio formale e' quello di identificare l'automa di riconoscimento corrispondente. Un automa e', in generale, una macchina teorica che compie determinate operazioni, facendo uso di una configurazione di stati interni e di una qualche struttura di memoria. A seconda di tale struttura di memoria si possono defnire diversi tipi di automa, cui sono, poi, associati diversi tipi di linguaggi formali. La macchina di Turing Il primo automa, quello dotato della struttura di memoria piu' semplice, e' la macchina di Turing. Essa si compone solo di un organo di controllo a stati finiti e di un nastro di lunghezza infinita, suddiviso in caselle, ognuna delle quali contiene un simbolo. Il nastro costituisce la memoria in cui sono immagazzinati i simboli su cui l'automa opera. I simboli appartengono ad un insieme finito S={s 0, s 1,...s n }, detto alfabeto, in cui s 0 denota la casella vuota, cioe' il bianco. La macchina di Turing accede al nastro mediante una testina di lettura e scrittura. Ad ogni passo, la macchina di Turing si trova in un certo stato interno qi, legge sul nastro un simbolo s j, dopo di che esegue l'azione corrispondente, cioe' scrive nella casella corrente un simbolo s k, assume il nuovo stato q r e muove il nastro verso destra o verso sinistra. Della macchina di Turing si puo' dare un modello fisico, come mostra la figura come pure si puo' dare una descrizione funzionale, nei termini di una matrice, le cui righe rappresentano gli stati e le cui colonne rappresentano i simboli, e le cui caselle rappresentano ognuna un passo di computazione (vedi figura)

2 sj qi sk,qr,xt La capacita' della macchina di Turing di scrivere sul suo nastro, equivale alla possibilita' di accedere ad una memoria esterna, memoria che e' infinita, in quanto il nastro e' infinito. Automa a stati finiti Anche gli automi a stati finiti sono concepiti come macchine teoriche in tutto simili alla macchina di Turing. Essi sono dotati di un nastro di input e di una testa di lettura. Essi hanno, pero', in piu' alle macchine di Turing, la possibilita' di assumere uno stato interno. Essi si distinguono in deterministici o non deterministici, secondo la loro descrizione seguente. Automi a stati finiti deterministici L'automa a stati finiti deterministico (ASFD) e' un automa M definito dalla quintupla M = (Q, A, t, q0, F) dove - Q e' un insieme finito di stati che l'automa puo' assumere - A e' un insieme finito di caratteri che costituiscono l'alfabeto - t e' una funzione, detta di transizione, che associa ad ogni coppia <stato, carattere> un nuovo stato - q 0 e' uno stato iniziale da cui l'automa parte - F e' l'insieme degli stati finali (F Q) in cui l'automa puo' terminare la computazione. L'ASFD inizia il riconoscimento di una stringa scritta sul nastro di input trovandosi in q 0 e leggendo il primo simbolo. Questa coppia provoca la transizione allo stato successivo e lo spostamento a destra della testina di lettura. Il processo si ripete fino a che i caratteri sul nastro di input sono terminati e l'automa si trova in uno stato finale F. Si puo' dire, quindi, che la condizione di terminazione della computazione sia doppia, sia data cioe' dal termine della stringa e dal raggiungimento di uno stato finale, ma non da una sola di queste condizioni.

3 Le transizioni di un automa a stati finiti possono essere rappresentate da una tabella le cui colonne corrispondono ai simboli in input e le cui righe corrispondono agli stati possibili. Le intersezioni contengono l'indicazione dello stato verso cui avviene la transizione. La figura mostra la tabella che rappresenta l'automa che riconosce il linguaggio costituito dalla stringa vuota o dalle stringhe costituite da un numero pari di a e/o di b. Q A a b q0 q2 q1 q1 q3 q0 q2 a3 q0 q1 q3 q2 Lo stato iniziale e' contrassegnato dalla freccia, mentre lo stato finale e' inscritto in un cerchietto. Nel nostro caso stato iniziale e stato finale coincidono. Sia la stringa da riconoscere abab, si inizia dallo stato iniziale q 0 e si arriva al riconoscimento attraverso le seguenti transizioni, controllabili sulla tabella della figura: (q 0, a) --> q 2 (q 2, b) --> q 3 (q 3, a) --> q 1 (q 1, b) --> q 0 La stringa di input e' terminata e ci troviamo nello stato finale q 0, quindi il riconoscimento e' avvenuto. Qualora la stringa in input fosse stata ababb, il riconoscimento avrebbe dovuto proseguire con la transizione (q 0, b) --> q 1 In questo caso, la stringa a' terminata, ma l'automa non si trova in uno stato finale, per cui la stringa non risulta appartenere al linguaggio definito da questo particolare ASFD. Un ASFD puo' essere, quindi, utilizzato per il riconoscimento di un linguaggio L {V T, V N, S, P}, se sono date le corrispondenze seguenti V T corrisponde all'insieme di caratteri A

4 V N e' in corrispondenza biunivoca con l'insieme degli stati Q S corrisponde a q 0 P si definisce come segue: - se la transizione tra q i e q j e' prodotta da a h, la produzione corrispondente e' N i --> a h N j, con N i e N j corrispondenti a q i e q j - se q j F si aggiunge N i --> a h Cosi', per una parola x= a 1,..., an, se x = L (M) e, percio', esiste una sequenza di stati tali che t(q 0,a 1 ) = q 1, t(q 1,a 2 ) = q 2...t(q n, a n ) F allora x = L(G) per modo che A= {N 0 --> a 1 N 1, N 1 --> a 2 N 2...N n --> a n } Un automa che compie il riconoscimento di un linguaggio e' detto, talora, accettore. Un ASFD riconosce i linguaggi generati da una grammatica regolare (lineare a destra). Automi a stati finiti non deterministici Si definiscono, esattamente come quelli deterministici, come una quintupla M = {Q, A, t, q 0, F}. Tuttavia, nell'asfnd la funzione di transizione ammette il passaggio da una coppia <stato, simbolo> a piu' di un nuovo stato, cioe' ogni transizione puo' avvenire verso uno stato da scegliere tra un insieme di stati. Cosi', se rappresentiamo le transizioni di un ASFND in forma di tabella, come abbiamo fatto per gli ASFD, otterremo la seguente figura. a b q0 {q0,q1} {q2} q1 {q1} {q0} q2 {q0} {q2,q1} Si tratta di un ASFND che riconosce linguaggi della forma a n b n. Un modo per rappresentare il comportamento di un ASFND e' l'albero delle alternative, in cui si rappresentano tutte le transizioni ammesse dalla tabella. Per il nostro caso, se la stringa da riconoscere e' aabb, l'albero delle alternative sara' il seguente

5 Si puo' osservare che nel caso del nostro esempio, tre cammini attraverso l'albero portano ad uno stato finale, e quindi al riconoscimento, mentre un cammino porta ad uno stato non finale (q 1 ), e quindi al rigetto della stringa. Questo albero puo' essere espanso in due modi diversi. Il primo consiste nel seguire un solo ramo alla volta, fino in fondo. Se lo stato raggiunto con l'ultimo simbolo in input e' membro dell'insieme degli stati finali, allora il riconoscimento e' compiuto; se invece non si tratta di uno stato finale, allora si risale per l'albero e si prende un un ramo alternativo, fino a che o si compie il riconoscimento, o si esaurisce la serie delle alternative, rigettando cosi' la stringa. Questo metodo e' detto depth-first e il processo di tornare indietro e' detto backtrack. L'altro metodo, consiste nel seguire tutti i rami dell'albero contemporaneamente. Questo e' detto breadth-first. ASF e grafi di transizione Sia gli ASFD che gli ASFND possono essere rappresentati in forma di grafo di transizione. Un grafo di transizione viene costruito disegnando fisicamente tanti stati (circoletti), quanti sono gli stati dell'asf. Successivamente, per ogni transizione specificata dalla tabella delle transizioni si tira una freccia che va dallo stato di partenza (quello specificato fuori in corrispondenza delle righe, allo stato di arrivo (quello presente in ogni casella della tabella); la freccia (arco) reca come etichetta il simbolo di transizione (quello specificato fuori in corrispondenza delle colonne).

6 Cosi', l'asfd che abbiamo introdotto sara' rappresentato come segue mentre l'asfnd sara' raffigurato come segue Il modo in cui il riconoscimento di una stringa puo' essere seguito in un grafo di transizione e' evidente di per se'. Automi a pila Un ulteriore potenziamento della capacita' di riconoscimento di un automa si ha se si aggiunge una memoria aggiuntiva illimitata e si fa dipendere l'azione da compiere, non solo dal simbolo in input e dallo stato corrente, ma anche dalla informazione presente nella memoria. Questo tipo di automa si chiama automa a pila o push-down automaton. L'automa a pila, come appare nella figura

7 e' dotato di una testina che legge da una nastro di input e da una testina di lettura e scrittura, che accede ad un'altro nastro. Quest'ultimo viene detto, appunto, pila, perche' e' una memoria ausiliaria, cui si puo' accedere solo dalla testa. In presenza di un carattere in input, l'automa a pila puo' - leggerlo, leggere il simbolo in cima alla pila e, in base allo stato in cui si trova, passare ad un nuovo stato, sostituire il simbolo in testa alla pila (anche con λ) e avanzare il nastro di input a destra, oppure - compiere le stesse operazioni, senza leggere e manipolare il nastro di input, modificando solo il contenuto della pila. Un input e' accettato quando la stringa e' terminata e l'automa ha raggiunto uno stato finale, oppure la pila risulta vuota. Piu' formalmente definiremo un automa a pila come una sestupla AP= {V, R, Q, q 0, Z, F, t} dove V e' l'alfabeto del nastro R e' l'alfabeto della pila Q e' l'insieme degli stati q 0 e' lo stato iniziale Z e' il simbolo che si trova all'inizio della pila F t e' l'insieme degli stati finali. e' l'insime delle transizioni Cosi' possiamo definire il seguente automa V = {a, b, c} R = {Z, A, B} Q = {q 0, q 1 } e le seguenti transizioni, espresse sempre in forma di tabella

8 λ λ Questo automa riconosce i linguaggi di tipo x c xr, con x {a, b}* dove xr e' l'immagine speculare di x. Il riconoscimento della stringa abcba avviene dunque secondo i seguenti passi: nastro abcba bcba cba ba a - stato dell'automa q 0 q 0 q 0 q 1 q 1 q 1 pila Z ZA ZBA BA A - Caratterizzazione del linguaggio naturale Caratterizzare formalmente il linguaggio naturale significa trovargli un posto tra i linguaggi formali che abbiamo appena presentato. Significa cioè identificare una classe di grammatiche che risponda alle seguenti caratteristiche: - espressività, cioè che sia in grado di esprimere tutti i fenomeni propri del linguaggio naturale; - che rappresenti solo i costrutti propri (corretti) del linguaggio naturale. Il compito apparve già complicato a Chomsky stesso, che fu il primo a formulare una teoria formale del linguaggio naturale. Le intuizioni sulle quali si basa la teoria sintattica Chomskiana sono le seguenti: - nonostante una lingua sia composta di un numero infinito di frasi, un parlante nativo è sempre in grado di distinguere, per ogni nuova frase che sente, se essa faccia parte o no della sua lingua; questo implica che deve esistere, interiorizzato in ogni parlante, un mecchanismo finito capace di una serie illimitata di predizioni; - un bambino, nell'apprendere la propria lingua, procede per generalizzazione da una serie di costrutti; deve esistere, quindi; un meccanismo che costituisce una base per tale generalizzazione;

9 - esiste, in ogni parlante, la coscenza dell'equivalenza tra certi costrutti sintattici diversi come la coppia attivo/passivo di una frase. - nessuna delle classi di grammatiche formali introdotte in precedenza e' da sola adeguata a descrivere nella sua totalità i fenomeni del linguaggio naturale. Sulla base di queste osservazioni Chomsky costruì un modello i cui ingredienti sono: - un sistema grammaticale relativamente semplice e ristretto, capace di generare l'insieme delle frasi di una lingua nella loro forma più semplice; questo componente è detto "base" ed è costituito da una grammatica Context Free. - un insieme di regole che trasformano le frasi generate nella base in tutte le varianti che queste possono avere, queste regole sono dette, appunto, trasformazioni e producono, ad es., una frase passiva dalla corrispondente attiva (che è nella base). Il modello originale, presentato nel 1957 in Syntactic Structure si puo' sintetizzare nella figura BASE Context-free Deep Structure Surface Structure Il rapporto tra questi due componenti varia con l'evolvere della teoria chomskiana e, con il tempo, ne appare un terzo: - delle restrizioni sull'applicazione delle trasformazioni; queste esprimono limiti sulla ricorsività di alcune di esse, sull'ordine relativo e sull'estensione delle strutture su cui vengono applicate. Al giorno d'oggi la teoria chomskiana è totalmente rivoluzionata, ma la esigenze di base restano comunque le stesse qui espresse.