STATICA DEI CORPI RIGIDI

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1 STATICA DEI CRI RIGIDI La Statca è la parte della Meccanca che s occupa dello studo dell equlbro de corp, ovvero d quella condzone che consste nel permanere ndefnto de corp stess n uno stato d quete o d moto rettlneo unforme. Tale studo convolge le possbl cause che possono perturbare lo stato d quete d un corpo (forze esterne), nonché le azon esplcate da vncol (reazon vncolar). AZINI ESTERNE Le azon esterne sono quelle azon che vengono trasmesse al corpo o al sstema d corp attraverso la sua superfce esterna (s pens ad esempo alle azon da vento sugl edfc, oppure alla neve gravante su una copertura), nonché quelle azon proporzonal alla massa del corpo dovute ad esempo al campo gravtazonale, a camp elettromagnetc, etc. Inoltre, nell ambto delle azon esterne vengono comprese anche le dstorson, cedment vncolar e le azon termche che vengono appunto modellate come azon esterne consderando l loro effetto deformatvo e valutandone qund la rsposta strutturale. er tenere conto d tal azon nella trattazone della statca de corp rgd, occorre rchamare alcune defnzon. Tra queste, nel seguto sono consderate la defnzone d forza e coppa concentrate e dstrbute, d sstem d forze, nonché alcune defnzon e postulat che convolgono tal ent. FRZA, MMENT DI UNA FRZA, SISTEMI IANI DI FRZE Nella trattazone della statca de corp rgd, la forza sarà semplcemente vsta come una qualunque causa capace d perturbare lo stato d quete d un corpo dando luogo ad una varazone della sua confgurazone d rfermento (trasporto). In ogn caso rmanendo nell potes d corp rgd, ovvero consderando che la forza non darà luogo a deformazon del corpo. La forza è n generale funzone della poszone, della veloctà e del tempo, ma, n questo ambto, verrà consderato l caso d forza costante, ovvero ndpendente da quest tre parametr. 1

2 Guardando la forza F come un partcolare vettore, lbero o applcato, essa è dunque caratterzzata da drezone, verso e ntenstà (o modulo). Inoltre, n presenza d pù forze, ovvero d sstem d forze, s consdera l caso partcolare d sstema pano d forze, n cu tutte le rette d azone delle forze che compongono l sstema appartengono ad uno stesso pano, che concde appunto con l pano n cu avvene la rototraslazone rgda del corpo. In tale ambto, è mportante altresì defnre l momento della forza rspetto ad un punto detto polo, ovvero l prodotto vettorale tra l vettore poszone r e la forza F: M = r F Inoltre, consderando una retta a d versore Fg. 1 a e passante per, s dce momento assale della forza F lo scalare: a a = o. Il momento assale non dpende dalla scelta del polo sulla retta a rspetto a M M e cu s calcola l momento. S osserva che, mentre la forza F è un vettore applcato, l momento M è un vettore lbero che non ha un sgnfcato fsco dretto ma è solo l rsultato d un operazone vettorale eseguta sulla grandezza fsca F. Inoltre s può faclmente osservare che l momento assale della forza F è par al momento assale della sua componente ortogonale, ovvero al prodotto del modulo della componente ortogonale d F per la dstanza della retta d azone della forza F dalla retta a (tale dstanza è detta anche bracco della forza rspetto all asse d rotazone). Con rfermento ad un sstema pano d forze s possono ntrodurre le seguent defnzon: 2

3 - un sstema pano d n forze ( F ) Γ ammette una rsultante R, ovvero una forza che, agendo, sullo stesso corpo rgdo o sul sstema d corp rgd, produce lo stesso effetto prodotto dalle forze. Essa è data da: n R= F ; = 1 - allo stesso modo, un sstema pano d n forze ( F ) Γ ammette un momento rsultante M rspetto a un polo arbtraro par alla somma de moment delle sngole forze rspetto allo, stesso polo: n M = r F ; = 1 - se s consderano due sstem pan d forze, ess s dcono statcamente equvalent quando producono lo stesso effetto su qualunque corpo rgdo su cu ess vengono applcat. Cò comporta che sono caratterzzat dalla stessa rsultante e dallo stesso momento rsultante rspetto qualsas polo. Se un sstema pano d forze applcato ad un corpo rgdo ne lasca mperturbato lo stato d quete o d moto, l sstema s dce equlbrato o anche sstema nullo, oppure sstema d forze n equlbro. In tal caso l sstema è caratterzzato dall avere null sa la rsultante sa l momento rsultante rspetto a qualsas polo. Un partcolare sstema d forze è quello costtuto da due forze avent la stessa drezone, stessa ntenstà e verso opposto, poste a dstanza d. Questo sstema vene denomnato coppa d forze e rsulta caratterzzato da rsultante nulla e da momento rsultante ndpendente dalla scelta del polo e d modulo par a Fd. Nel caso d un sstema pano d forze equlbrato è possble osservare che: - un sstema costtuto da due sole forze (non nulle) è equlbrato se, e solo se, le due forze sono drettamente opposte; - condzone necessara affnché un sstema pano costtuto da sole tre forze sa equlbrato è che le rette d azone d tal forze sano complanar e concorrent n uno stesso punto propro o mpropro. 3

4 Nello studo della statca de corp rgd, rsultano partcolarmente utl seguent due postulat: - non s altera l equlbro d un corpo rgdo se s sosttusce a pù forze applcate n uno stesso punto la loro rsultante applcata nel punto medesmo; - non s altera l equlbro d un corpo rgdo se s trasporta l punto d applcazone d una forza lungo la propra retta d azone (Fg. 2). Fg. 2 er le forze ed sstem d forze possono essere defnte le seguent operazon d decomposzone: o una forza F s può decomporre n due forze d assegnata retta d azone se l punto d ntersezone delle due rette d queste forze appartene alla retta d azone della forza. In partcolare dalla Fg. 3 s osserva come le due forze possano essere defnte n modo da avere un sstema d forze equvalent ad F, oppure un sstema d forze equlbrante F ovvero caratterzzato da rsultante e momento rsultante rspetto ad un arbtraro polo ugual n modulo ma oppost n verso rspetto a quell caratterzzant l sstema costtuto dalla sola forza F ; o la decomposzone d una forza secondo una retta t e un punto A ammette soluzone e questa è unca se A non appartene alla retta t (Fg. 4). In questo caso la retta d azone della seconda forza è ndvduata dalla retta passante per l punto A e l punto d ntersezone tra la retta t e la retta d azone della forza; o la decomposzone d una forza secondo tre drezon mplca che: (a) se le quattro rette d azone convergono n uno stesso punto l problema è ndetermnato; (b) se le tre 4

5 rette d azone delle forze ncognte convergono n uno stesso punto non appartenente alla retta d azone d F, l problema è mpossble; (c) se la retta d azone della forza F passa per un punto comune alle rette d azone d due forze ncognte, la restante forza ncognta deve essere nulla affnché la soluzone essta; (d) se le rette d azone delle tre forze ncognte e della forza F s ncontrano a due a due n punt dstnt, la soluzone esste ed è unca; o una decomposzone molto utle del sstema costtuto dalla sola forza F, è quella che consdera l trasporto della forza dal suo punto d applcazone ad un punto A arbtraramente scelto del pano. In tal caso s può dmostrare che l sstema equvalente è costtuto da una forza uguale ad F passante per A e da una coppa d trasporto d ntenstà par a M=F d, essendo d la dstanza della retta d azone della forza dal punto A. Cò può essere fatto propro n vrtù del teorema del trasporto secondo l quale è lecto traportare la forza F parallelamente a sé stessa purché s aggunga la coppa d trasporto. Fg. 3 5

6 Fg. 4 FRZE E CIE DISTRIBUITE Nelle applcazon struttural le forze o le coppe concentrate rappresentano un astrazone volta a rappresentare cas ne qual la superfce o l volume su cu agscono le forze presentano dmenson nfntesme rspetto alle dmenson complessve del corpo. S rcorre nfatt molto frequentemente a forze o coppe dstrbute (o rpartte) su una superfce o su una lnea (s rcorre a quest ultmo caso quando le forze agscono su una strsca d superfce smmetrca rspetto la lnea meda). Con rfermento dunque a forze e coppe dstrbute, s possono dunque ntrodurre le seguent defnzon: - forza superfcale (relatva all untà d superfce): lm F df S = = S ds - coppa superfcale (relatva all untà d superfce): M lm M dm S = = S ds dove S rappresenta l area elementare d un ntorno del punto A; F o M la forza o la coppa che agsce su S. - forza superfcale relatva all untà d lunghezza: q = = x dx x lm Q dq - coppa superfcale relatva all untà d lunghezza: M dm m = lm = x x dx 6

7 In partcolare, se rsulta che Q lm =, mentre rsulta fnto l x x lm qx ( ) x= F, allora F prende l x nome d carco concentrato all ascssa s. Allo stesso modo, se M lm x x =, mentre se rsulta fnto l lm mx ( ) x= M, allora M prende l nome d coppa concentrata all ascssa s. x Fg. 5 ANALISI STATICA DEL CR RIGID LIBER Avendo ntrodotto la defnzone d forze e coppe concentrate e dstrbute, s prende nuovamente n esame l caso d corpo rgdo lbero, ovvero n assenza d vncol, ma s suppone stavolta che nella confgurazone d rfermento C agscano sul corpo: - forze d volume: { bx ( ), x C } - forze d superfce: { f( x), x C } queste forze vengono dette forze attve. È possble osservare che: condzone necessara e suffcente affnché l corpo sa n equlbro, ovvero permanga nella confgurazone C, è che l sstema d forze attve ad esso applcato sa equlbrato, ovvero equvalente ad un sstema nullo. Questa condzone s traduce nelle equazon cardnal della statca, che dscendono propro dalla defnzone d sstema d forze equlbrato caratterzzato da rsultante e momento rsultante null: equazon cardnal della statca: R = M = dove appunto R rappresenta la rsultante del sstema d forze attve agent sul corpo, mentre M rappresenta l momento rsultante rspetto un polo arbtraro. 7

8 In partcolare, se s consdera un sstema pano d forze, dove l pano è ndvduato da un sstema d rfermento con versor e 2 3, e, le equazon cardnal della statca s rducono ad un sstema d tre equazon algebrche: 2 R = 3 R = M = dove R 2 ed R 3 sono le component della rsultante lungo l asse d versore e 2 ed 3 e rspettvamente, mentre M è l ntenstà del momento rsultante. Tal equazon possono essere dedotte effettuando appunto un equlbro alla traslazone orzzontale (ovvero lungo l asse d versore e 2 ), un equlbro alla traslazone vertcale (ovvero lungo l asse d versore polo. Infatt, nell esempo d Fg. 6, le equazon cardnal della statca sono: 3 e ), un equlbro alla rotazone attorno a un 2 R = F4 F5 = 3 R = F1 + F2 F3 Rq = L M = F2 L F3 L F4 H Rq = 4 dove, per l equlbro è stato sosttuto al carco unformemente dstrbuto q la sua rsultante Rq. n pratca l problema vene rcondotto all equlbro d un sstema dscreto d forze che a sua volta è statcamente equvalente a un sstema d forze applcato al polo e a una coppa. Fg. 6 8

9 ANALISI STATICA DEL CR RIGID VINCLAT Lo stesso dscorso fatto per l caso del corpo rgdo lbero soggetto ad un sstema d forze attve può vncol può garantre l equlbro del corpo soggetto al sstema d forze attve, ovvero senza che queste rsultno necessaramente un sstema d forze equlbrato. In questo caso però è necessaro precsare l effetto de vncol sulla statca del corpo rgdo tramte l postulato fondamentale della meccanca (postulato d Krchhoff) secondo l quale vncol eserctano ne punt del corpo n cu sono applcat delle forze (e/o delle coppe) concentrate dette reazon vncolar. Il sstema d reazon vncolar agsce dunque sulla frontera del corpo come un sstema d forze esterne concentrate dette forze reattve che nascono propro per mpedre lo spostamento del punto vncolato. Esse sono strettamente legate al tpo d vncolo e sono d numero par alla molteplctà del vncolo stesso. Infatt, dal punto d vsta statco, s defnsce la molteplctà d un vncolo propro come l numero d component scalar ndpendent delle reazon vncolar che esso è n grado d eserctare: vncolo semplce - una sola componente; vncolo doppo due component; vncolo trplo tre component. Cò consente dunque d effettuare la classfcazone de vncol estern e de vncol ntern da un punto d vsta statco, ovvero andando a guardare le reazon vncolar che l vncolo è n grado d esplcare. CARATTERIZZAZINE STATICA DEI VINCLI ESTERNI I vncol estern esamnat nell ambto della caratterzzazone cnematca, vengono qu resamnat dal punto d vsta statco. - Carrello: è un vncolo semplce n grado d eserctare una forza con retta d azone concdente con la drezone effcace del carrello e applcata nel punto dove agsce l vncolo. - Bella esterna: è un vncolo semplce n grado d eserctare una forza con retta d azone concdente con la drezone effcace del carrello e applcata nel punto dove agsce l vncolo. 9

10 - Doppo-doppo pendolo: è un vncolo semplce n grado d eserctare una coppa concentrata nel punto dove nsste l vncolo. - Cernera: è un vncolo doppo n grado d eserctare una forza dretta lungo una qualunque drezone ed applcata nel punto dove nsste l vncolo. - Doppo-pendolo: è un vncolo doppo n grado d esplcare una forza nella drezone effcace del doppo pendolo applcata nel punto dove agsce l vncolo e una coppa applcata nello stesso punto. - Incastro: è un vncolo trplo n grado d esplcare una forza n una qualunque drezone applcata nel punto dove agsce l vncolo e una coppa applcata nello stesso punto È utle osservare che se l vncolo mpedsce lo spostamento lungo una drezone, allora la reazone esplcata dal vncolo lungo questa drezone può essere dversa da zero. Al contraro, nella drezone lungo la quale l vncolo non è n grado d mpedre lo spostamento, necessaramente non nasce alcuna reazone: u u = R R = θ = m θ m = CARATTERIZZAZINE STATICA DEI VINCLI INTERNI er quanto rguarda nvece la caratterzzazone statca de vncol ntern s sottolnea che l loro grado d molteplctà è legato anche al numero d corp collegat. Infatt ess esplcano per l prncpo d azone e reazone delle azon egual e contrare ne corp collegat, dette appunto reazon vncolar nterne. - Bella nterna: è un vncolo n grado d eserctare due forze ugual e opposte su due tratt collegat agent lungo l asse della bella. 1

11 - Doppo-doppo pendolo nterno: è un vncolo n grado d eserctare due coppe ugual e opposte su tratt collegat. - Cernera nterna: è un vncolo n grado d esplcare due forze ugual e opposte lungo la stessa drezone. - Doppo pendolo: è un vncolo n grado d esplcare due forze ugual e opposte agent lungo la drezone effcace del doppo pendolo e due coppe ugual e opposte (Tabella vncol) RBLEMA STATIC NEL CAS DI CR RIGID VINCLAT Nel caso d un corpo rgdo vncolato, ovvero d un sstema d corp rgd vncolat sa tramte vncol estern sa tramte vncol ntern, soggetto ad un sstema d forze attve (dette anche forze esterne), l equlbro chama n goco sa queste forze sa le reazon vncolar (ncognte) che vengono appunto vste come un ulterore sstema d forze agent sulla frontera del corpo (o de corp), dette appunto sstema d forze reattve. In questo caso le equazon cardnal della statca assumono la seguente forma: esterne reattve R= R + R = esterne reattve M = M + M = e, consderando un sstema pano, dventano sempre le tre equazon d equlbro: 2 esterne,2 reattve,2 = + = R R R 3 esterne,3 reattve,3 R = R + R = esterne reattve M = M + M = vvero un sstema d tre equazon nelle s ncognte reazon vncolar esplcate da vncol. Questo sstema può essere posto nella seguente forma: AR V e = R oppure nella forma: AR V = f a 11

12 dove: A è una matrce d ordne 3n t collegat ed s la molteplctà totale de vncol; a f l vettore delle forze attve agent sul corpo d ordne s 1; s, detta anche matrce d equlbro, dove n t è l numero d tratt V R l vettore delle reazon vncolar ncognte d ordne s 1. L esame d questo sstema consente d effettuare una classfcazone statca della struttura, ovvero d capre quando l problema ammette soluzone e quando tale soluzone è unca. er un sstema d n t tratt, s ntroducono l grado d labltà: l= 3 nt RA ( ) e l grado d perstatctà: = s RA ( ). er la classfcazone statca delle strutture s utlzza l teorema d Roché-Capell e qund s valuta a la matrce aggunta A Af ( ) R( A ) R A =, se R( A) R( A ) < non esste la soluzone del sstema. S possono ndvduare seguent cas: = esste la soluzone del sstema, se s= n condzone necessara d sostatctà: 3 t det( A) ( RA ( ) = 3n t ) l =, = : l sstema è statcamente determnato, ha soluzone unca e determnata, ovvero tramte le equazon cardnal della statca s rescono a determnare le reazon vncolar per qualsas carco applcato: la struttura s dce sostatca; det( A ) = ( RA ( ) < 3n t ) l >, > : la struttura è lable ed perstatca possono verfcars due cas: 1. R( A) R( A ) = l sstema è statcamente ndetermnato: esstono nfnte soluzon del sstema per questa partcolare condzone d carco, ma l unca soluzone meccancamente valda non è possble valutarla tramte le sole equazon cardnal 12

13 della statca, bsognerà consderare la deformabltà delle trav; l modello d corpo rgdo non consente d determnare le reazon vncolar con le equazon cardnal della statca. 2. R( A) R( A ) sstema. < : l sstema è statcamente degenere, non esstono soluzon del s> condzone suffcente d perstatctà > : 3n t RA ( ) = 3n t l =, > : l sstema è statcamente ndetermnato, esstono nfnte soluzon del sstema per ogn condzone d carco, ma l unca soluzone meccancamente valda non è possble valutarla tramte le sole equazon cardnal della statca, bsognerà consderare la deformabltà delle trav; l modello d corpo rgdo non consente d determnare le reazon vncolar con le equazon cardnal della statca, la struttura s dce perstatca; RA ( ) < 3n t l >, > : la struttura è lable ed perstatca possono verfcars due cas: 1. R( A) R( A ) = l sstema è statcamente ndetermnato: esstono nfnte soluzon del sstema per questa partcolare condzone d carco, ma l unca soluzone meccancamente valda non è possble valutarla tramte le sole equazon cardnal della statca, bsognerà consderare la deformabltà delle trav; l modello d corpo rgdo non consente d determnare le reazon vncolar con le equazon cardnal della statca. 2. R( A) R( A ) sstema. < : l sstema è statcamente degenere, non esstono soluzon del s< condzone suffcente d labltà l > : la struttura è lable per nsuffcenza d 3n t vncol: 13

14 RA ( ) RA ( ) cas: = s l >, = : la struttura è lable possono verfcars due cas: 1. R( A) R( A ) = l sstema è statcamente determnato: ha soluzone unca e determnata, ovvero tramte le equazon cardnal della statca s rescono a determnare le reazon vncolar per questa partcolare condzone d carco; 2. R( A) R( A ) sstema. < : l sstema è statcamente degenere, non esstono soluzon del < s l >, > : la struttura è lable ed perstatca possono verfcars due 1. R( A) R( A ) = l sstema è statcamente ndetermnato: esstono nfnte soluzon del sstema per questa partcolare condzone d carco, ma l unca soluzone meccancamente valda non è possble valutarla tramte le sole equazon cardnal della statca, bsognerà consderare la deformabltà delle trav; l modello d corpo rgdo non consente d determnare le reazon vncolar con le equazon cardnal della statca. 2. R( A) R( A ) sstema. < : l sstema è statcamente degenere, non esstono soluzon del 14

15 TAB.1 - CLASSIFICAZINE STATICA VINCLI ESTERNI vncolo smbolo molteplctà reazon vncolar n carrello 1 v F n bella 1 F v doppo-doppo pendolo 1 m cernera 2 F doppo-pendolo 2 F m n v ncastro 3 F m 15

16 TAB.2 - CLASSIFICAZINE STATICA VINCLI INTERNI vncolo smbolo molteplctà* reazon vncolar n Bella nterna 1 F v doppo-doppo pendolo nterno 1 m cernera nterna 2 F doppo-pendolo nterno 2 F m n v *la molteplctà del vncolo nterno è altresì legata al numero d tratt che v convergono. 16