ARGOMENTI TRATTATI NEL CORSO DI ANALISI II

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1 ARGOMENTI TRATTATI NEL CORSO DI ANALISI II ANALISI Limiti Curve Convergenza di una successione di punti Definizione di limite Condizione necessaria e condizione sufficiente all esistenza del limite in R 2 Continuità di funzione Definizione di curva in forma parametrica Continuità e regolarità Versore tangente alla curva Lunghezza di un arco di curva Parametro d arco Parametrizzazione con il parametro d arco Integrali di linea di prima specie e proprietà Utilizzi fisici dell integrale di linea di prima specie Topologia Insiemi chiusi ed aperti Intorno Punti di frontiera Insieme limitato Insieme connesso Teorema di Weierstrass (con controesempi) Differenziabilità Definizione di derivata parziale (con il limite del rapporto incrementale) Gradiente Derivabilità Definizione di differenziale e differenziabilità Condizione sufficiente per la differenziabilità Equazione del piano tangente e condizioni per l esistenza Derivate direzionali (definizione con limite del rapporto incrementale e mediante l utilizzo del gradiente) Derivazione di funzioni composte

2 Sviluppo di Taylor Teorema di Schwarz Sviluppo in serie di Taylor Concetto di matrice Hessiana e proprietà di simmetria Differenziale II Massimi e minimi Definizione di massimo e minimo, assoluto e relativo Teorema di Fremat Forme quadratiche Determinazione della natura dei punti singolari mediante lo studio della matrice Hessiana Teorema del Dini Caso particolare in due dimensioni Caso in n dimensioni Massimi e minimi vincolati Caso semplice con vincolo esplicitabile Moltiplicatori di Lagrange (con un minimo di dimostrazione) Funzione Lagrangiana Funzioni di più variabili a valori vettoriali Concetto di differenziabilità Matrice Jacobiana Matrice Jacobiana di funzioni composte Superfici parametrizzate Linee coordinate Regolarità Versore normale Piano tangente Superfici di rotazione Cambi di coordinate Regolarità Trasformazioni invertibili Coordinate polari, cilindriche e sferiche Trasformazione dell elemento d area ds Derivazione

3 Campi vettoriali Definizione Linea integrale (particolarità di unicità) Campi conservativi Potenziale Condizione necessaria e condizione sufficiente affinché un campo sia conservativo Insieme semplicemente connesso Rotore e campi irrotazionali Divergenza e campi solenoidali Potenziale vettore Definizione di lavoro Lavoro in un campo conservativo Integrali doppi Definizione di integrale doppio come limite della sommatoria Significato fisico dell integrale doppio Domini x-semplici e y-semplici Domini semplici Domini regolari Calcolo dell integrale doppio come iterazione di integrali singoli Proprietà dell integrale Cambio di variabile Formula di Gauss-Green ed orientazione del bordo del dominio Integrali tripli Domini z-semplici Calcolo dell integrale triplo come iterazione di integrali singoli Derivazione sotto il segno di integrale Integrali Integrale di superficie Flusso di un campo vettoriale Teorema di Stokes (del rotore) Teorema di Gauss (della divergenza) Notazione tensoriale

4 PROBABILITÀ Statistica descrittiva Tipi di campioni statistici Modalità, classi e frequenza relativa Istogrammi Numero di classi in cui dividere un campione Moda Calcolo della media Somma e prodotto nella media Calcolo della varianza Somma e prodotto nella varianza Mediana Proprietà della mediana rispetto la media con dati sballati Quantile Quartile Dispersione dei dati: intervallo interquartile e range Correlazione di dati Retta di correlazione e metodo dei minimi quadrati (conto) Covarianza Momento centrato di ordine k Calcolo skewness e significato Calcolo kurtosi e significato Probabilità σ-algebra delle parti di Ω Definizione di probabilità Definizione di spazio di probabilità Formula di De Morgan Proprietà degli spazi di probabilità (insiemi complementari, unione di insiemi non disgiunti) Distribuzione uniforme di probabilità Probabilità condizionata Formula di Bayes Indipendenza Calcolo combinatorio (definizione, disposizioni, permutazioni, combinazioni) Variabili aleatorie discrete Definizione di variabile aleatoria Legge o distribuzione di una variabile aleatoria Densità di una variabile aleatoria Variabile indicatrice (legge e densità) Legge binomiale Densità di una variabile aleatoria a legge binomiale Legge di Bernulli

5 Legge ipergeometrica Densità di una variabile aleatoria a legge ipergeometrica Legge geometica Densità di una variabile aleatoria a legge geometrica Proprietà di mancanza di memoria Legge di Poisson come approssimazione della binomiale per n grande e p piccolo Densità di una variabile aleatoria a legge si Poisson Funzione di ripartizione Correlazione legge funzione di ripartizione Leggi congiunte Definizione di variabile aleatoria multidimensionale Densità congiunta Densità marginali Correlazione tra densità congiunta e marginale Indipendenza di variabili aleatorie Probabilità condizionata Funzioni di variabili aleatorie Densità della somma di variabili aleatorie Speranza matematica Definizione Proprietà (somma, prodotto, φ(x)) Momenti Definizione di momento centrato di ordine k Varianza Significato di varianza Varianza della somma di due variabili aleatorie Covarianza Coefficiente di correlazione Disuguaglianza di Chebyshev Variabili aleatorie continue Caratteristica della funzione di ripartizione Densità di una variabile aleatoria continua Da densità a funzione di ripartizione e viceversa Densità di una variabile aleatoria uniforme Densità e funzione di ripartizione di una variabile aleatoria esponenziale Proprietà di una variabile aleatoria esponenziale Quantili

6 Calcolo di leggi Funzione di ripartizione e densità della variabile aleatoria φ(x) Indipendenza di variabili aleatorie Legge normale Densità di una variabile aleatoria normale Densità di una variabile aleatoria normale standard Densità della somma di due variabili aleatorie normali indipendenti Funzione di ripartizione della variabile aleatoria normale Proprietà di simmetria Quantili di una variabile aleatoria normale Speranza matematica e momenti Definizione di speranza matematica Proprietà della speranza Speranza della variabile aleatoria φ(x) Momento centrato di ordine k Varianza Covarianza Significato dei parametri µ e σ 2 nella legge normale Teoremi del limite Convergenza in probabilità Legge dei grandi numeri Varianza di una successione di variabili aleatorie aventi tutte varianza σ 2 Teorema del limite centrale

7 STATISTICA INFERENZIALE Stima di parametri Definizione di statistica Definizione di stimatore Definizione di stima Distorsione Errore quadratico medio Metodo dei momenti per la stima di media e varianza Legge normale per la stima della media con varianza nota t di Student per la stima della media con varianza non nota Stimatori di massima verosimiglianza (esempio della lotteria) Stime intervallari Livello di confidenza Distribuzione pivotale Distribuzione del chi quadro Stima intervallare della media con varianza nota Stima intervallare della media con varianza non nota Stima intervallare della varianza con media nota Stima intervallare della varianza con media non nota Verifica di ipotesi Ipotesi nulla ed ipotesi alternativa Statistica campionaria e regione critica Livello significatività Potenza del test Test sulla media p-value Tolleranza Definizione di tolleranza Maggiorazione deterministica dell errore Maggiorazione probabilistica dell errore Affidabilità Definizione di affidabilità ed inaffidabilità Schema in serie e schema in parallelo Durata di vita Funzione di affidabilità