3^A FISICA compito n a. Se il piano inclinato è liscio, calcola il tempo impiegato dal corpo a fermarsi e la distanza che

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1 3^A FISICA compito n Un corpo di mss m7,5 kg viene lncito con un velocità inizile v 0, m/ s lungo un pino inclinto che form un ngolo v 0 30 rispetto ll'orizzontle. m. Se il pino inclinto è liscio, clcol il tempo impiegto dl corpo fermrsi e l distnz che esso percorre. Cos succede l corpo dopo essersi fermto? b. Rispondi lle domnde del punto ) nel cso in cui tr il corpo ed il pino inclinto vi si un ttrito di coefficiente d 0,. c. Nel cso in cui il pino inclinto si scbro, clcol il minimo vlore del coefficiente di ttrito s necessrio tenere in equilibrio il corpo dopo che si è fermto. d. Clcol il modulo dell rezione vincolre esercitt dl pino inclinto sul corpo.. Un person di mss m70 kg ripos su un'mc. Le funi che sostengono l'mc formno degli ngoli 40,0 e 0,0 rispetto ll direzione orizzontle. θ T T φ Clcol le tensioni delle due funi. Spieg perché l somm delle P due tensioni è mggiore del peso dell person. (E' vietto sghignzzre per il disegno).

2 3^A Correzione compito fisic n.. Se il pino è liscio, sul corpo gisce l componente del suo peso prllel l pino: P m g sen 30, per cui l'ccelerzione del corpo è: P m g sen 30 4,9 m s. Tempo di rresto: vt v 0 0 t rr v 0, m/ s 4,9 m/ s 0,4 s. Spzio percorso: s t v 0 t 4,9 m s 0,4 s, m s 0,4 s 0,5 m. Ovvimente, dopo essersi fermto per un istnte, il corpo inizi scivolre verso il bsso con ccelerzione sotto l'zione dell componente del suo peso prllel l pino. b. Se il pino è scbro, sul corpo gisce un forz di ttrito F tt d P d m g cos 30, per cui l forz risultnte che gisce sul corpo è: FP F tt m g sen 30 d m g cos 30. L'ccelerzione è: F m g sen30 d cos 30 5,75 m s. Tempo di rresto: v t v 0 0 t rr v 0, m/ s 5,75 m/ s 0, s. Spzio percorso: s t v 0 t 5,75 m s 0, s, m s 0, s 0,5 m. c. Il corpo rest in equilibrio qundo l forz di ttrito sttico è ugule e oppost ll componente del peso prllel l pino. L forz di ttrito è: F tt s P s m g cos 30. All'equilibrio: F tt P s m g cos 30 m g sen 30 s tg ,577. d. L rezione vincolre del pino inclinto è ugule e oppost ll componente dell forz peso perpendicolre l pino: RP m g cos 30 7,5 kg 9,8 m s 3 64 N.. Imponimo le condizioni di equilibrio nelle direzioni orizzontle e verticle: { T cos T cos T sen T sen mg { T,3T,3T 686 { T 747 N T 607 N. L somm delle due tensioni (nzi, l stess T ) è mggiore del peso dell person, in qunto le loro componenti orizzontli si elidono vicend, e quindi non sono utilizzte per equilibrre l forz peso.

3 3^A - FISICA compito n Un treno si muove con un ccelerzione,0 m/ s. Al soffitto del treno è ppeso, trmite un filo, un corpo di mss m,0 kg. Si osserv che il filo viene devito dll verticle, in direzione oppost quell del moto, di un ngolo.. Spieg questo ftto, si nel riferimento di un osservtore fermo l suolo, che nel riferimento di un osservtore solidle l treno. b. Clcol l'mpiezz dell'ngolo e l tensione T del filo.. Un uomo di mss m60 kg si trov ll'equtore e si ccorge che il suo peso, indicto d un bilnci moll, è minore del vlore teorico Pmg.. Spieg questo ftto, si nel riferimento di un osservtore non coinvolto nell rotzione terrestre, che nel riferimento di un osservtore in rotzione con l terr. b. Clcol il vlore dell'pprente diminuzione di peso dell'uomo. (Consider g 9,8m/ s ; rggio terrestre R T km ). 3. D un torre di ltezz h.000 m, post ll'equtore, viene lscito cdere un peso. Si osserv che l cdut non vviene esttmente lungo l verticle.. Spieg questo ftto, si nel riferimento di un osservtore non coinvolto nell rotzione terrestre, che nel riferimento di un osservtore in rotzione con l terr. b. Clcol l devizione orizzontle del punto di imptto con il suolo rispetto l piede dell verticle.

4 3^A - Correzione compito fisic n Osservtore l suolo (riferimento inerzile): sul corpo giscono l tensione del filo e l forz peso. L loro risultnte determin l'ccelerzione del corpo: T Pm. Osservtore nel treno; trttndosi di un riferimento non inerzile, dobbimo introdurre l forz pprente (di inerzi) F in m per spiegre lo stto di quiete del corpo: T P m 0. b. In entrmbi i riferimenti, ottenimo il sistem: { T sen m Tcos mg sostituzione che dividendo membro membro le due equzioni: tg g m kg m/ tg s,5 T 0 N. 9,8 sen 0,0, che può essere risolto si per. Osservtore non in rotzione con l terr (riferimento inerzile): L'uomo è soggetto ll'ccelerzione centripet dell terr, per cui l rezione R dell bilnci è dt d: P Rm c RP m c, e pertnto è minore del peso. Osservtore in rotzione con l terr: trttndosi di un riferimento non inerzile, sull'uomo gisce l forz centrifug F c m c, per cui: P R F c 0 RP m c. b. Velocità ngolre di rotzione terrestre: rot eq 6,8 rd T rot ,7 0 5 s Diminuzione di peso: F c m c m rot R T 60 kg 7,7 0 5 rd s 6, m,0 N.. Osservtore non in rotzione con l terr (riferimento inerzile): l cdut non vviene esttmente lungo l verticle, in qunto l'oggetto lscito cdere h un velocità tngenzile dovut l moto di rotzione terrestre lievemente mggiore di quell dei punti che incontr nel corso dell cdut. Osservtore in rotzione con l terr: essendo un riferimento non inerzile, sul peso gisce l forz di Coriolis, perpendicolre si ll velocità reltiv del peso che ll'sse di rotzione. b. Il tempo di cdut del peso è: h g t t c h g.000 9,8 4,3 s. Il piede dell verticle possiede l velocità tngenzile v rot eq rot R T P T m suolo - m. P T treno ; il peso h velocità tngenzile: v peso rot R T h. L differenz tr le due velocità è: v rot h 7, ,7 0 m s L devizione dll verticle è quindi: x v t c 7,7 0 4,3,04 m..

5 3^A - FISICA compito n Descrivi il moto rppresentto dl grfico in figur, determinndo in prticolre l'ccelerzione e lo spostmento in ciscuno dei tre intervlli di tempo e trccindo i grfici di posizione e ccelerzione in funzione del tempo. v (m/s). Nell'istnte in cui il semforo divent verde, un'utomobile prte con ccelerzione,0 m/ s e viene supert d t (s) un ciclist che si muove con velocità v c 4,80 m/ s. Qul è il mssimo vntggio (in metri) del ciclist? Qunto tempo impieg l'utomobile per rggiungere il ciclist? A qule distnz dl semforo vviene il sorpsso? Qul è l velocità dell'utomobile in quel momento? 3. Un elicottero situto ll quot h 0 00,0 m st slendo con velocità v 0 0,0 m/ s formndo un ngolo 50,0 rispetto ll'orizzontle qundo lsci cdere un pcco. Inizilmente, il pcco sle o scende? Perché? Clcol l quot mssim rggiunt dl pcco, l su gittt, il modulo e l direzione dell su velocità nel momento in cui rggiunge il terreno. 4. Un corpo di mss m,0 kg è ppoggito su un pvimento scbro. I coefficienti di ttrito sttico e dinmico tr il corpo e il pvimento sono k s 0,500 e k d 0,300. Clcol l forz orizzontle necessri per mettere in moto il blocco. Se l blocco (in movimento) viene pplict un forz orizzontle F 90,0 N, clcol l su ccelerzione. Il pvimento viene poi inclinto rispetto ll'orizzontle di un ngolo 30,0. Spieg se il blocco rest in equilibrio o si muove. In quest'ultimo cso, clcol l su ccelerzione. 5. Un mosc vol con velocità v0 cm/ s d ltezz h30 cm sopr il pino di un scrivni mentre pss sotto un lmpdin di ltezz l50 cm. Clcol l velocità dell'ombr dell mosc sull scrivni. l h v

6 3^A - Correzione compito fisic n. Tr 0 e 5 s: moto uniformemente ccelerto con ccelerzione v t m/ s 4 0,8 m 5 s s e velocità inizile v 0 5 m s. Spostmento: s t v 0 t m. Tr 5 e 5 s: moto uniforme con velocità v m/ s. Spostmento: s v t 00 m. Tr 5 e 0 s: moto uniformemente ccelerto con ccelerzione v t m/ s 5 s 0,4 m s e velocità inizile v m s. Spostmento: s 3 t v 0 t m. Spostmento complessivo: ss s s 3 55 m. (Possimo clcolre gli spostmenti nche trmite le ree sottostnti il grfico velocità-tempo). s (m) 55 (m/s ) 0,4 t (s) t (s) -0,8 Nel trccire il grfico posizione - tempo tenimo conto dei seguenti dti: per t0 s indichimo con s 0 0 l posizione inizile; il grfico prte con pendenz v 0 6 m/ s ; per t5 s, entrmbi i rmi del grfico hnno l stess pendenz v m/ s ; per t5 s, entrmbi i rmi del grfico hnno l stess pendenz v m/ s ; per t0 s il grfico termin con pendenz v 4 m/s.. Il ciclist rggiunge il mssimo vntggio qundo: v tv c t v c 4,8m/ s, m/ s,9 s. Il mssimo vntggio è: s c s v c t t 4,80 m s,9 s, m s,9 s 5,49 m. L'utomobile rggiunge il ciclist qundo: s s c t v c t t 0 ; t v c 4,8 m/ s, m/ s 4,57 st. (Nturlmente, l soluzione t 0 corrisponde ll prtenz dl semforo). L distnz dl semforo è s s c v c t 4,8 m 4,57 s,9 m. s

7 L velocità dell'utomobile è: v t, m s 4,57 s 9,60 m s. 3. Inizilmente, il pcco sle perché h l stess velocità inizile dell'elicottero. Il pcco rggiunge l quot mssim qundo: v y gt v 0 sen 0 t v 0 sen 0 m/ s sen50,56 s. g 9,8m/ s Quot mssim: h mx g t v 0 t sen h 0 9,8,56 0,56 sen 50 00,0 m. Il pcco tocc il suolo qundo: y g t v 0 t sen h 0 0 4,9t 5,3t 000 t 5,3 64,5 8,3 s (l soluzione negtiv non h senso fisico). 9,8 Gittt: xv 0 t cos 0 m 8,3 s cos 50 3 m. s Nel momento in cui tocc il terreno, l velocità h componenti: { v xv 0 cos 0 cos 50,9 m/ s v y gt v 0 sen 9,8 8,3 0 sen50 64,4 m/ s, modulo: v f v fx v fy,9 64,4 65,7 m/ s, e form con l'orizzontle un ngolo: rc tg v y v x rc tg 64,4,9 78,7. 4. Forz per mettere in moto il blocco: F k s mg 0,5 kg 9,8 m/ s 08 N. Applicndo l forz F: F k d mgm F m k d g 90 0,3 9,8,5 m s. Il blocco ppoggito sul pino inclinto scivol verso il bsso, perché l componente prllel dell forz peso: F t mg sen 9,8 sen N è mggiore dell mssim forz di ttrito sttico: F tt k s mg cos 0,5 9,8 cos 30 93,5 N. Per clcolre l'ccelerzione: mg sen k d mg cos m g sen k d cos 9,8 sen 30 0,3 cos 30,36 m/ s. 5. Per l similitudine dei tringoli: v o v l l h v l o l h v 50 cm 0 cm 0 cm s 50 cm s. l v h v o

8 3^A - FISICA compito n Un vgone si muove con ccelerzione costnte 3,50 m/ s. Al soffitto è ppeso, trmite un filo, un corpo di mss m',00 kg. Un ltro corpo di mss m,70 kg è ttccto d un moll di costnte elstic k 35,0 N / m. Si osserv che il filo viene devito dll verticle di un ngolo e che l moll si llung di un trtto x. Spieg questi ftti, si nel riferimento dell'osservtore A fermo l suolo, che nel riferimento dell'osservtore B che si trov sul vgone. Clcol l'mpiezz dell'ngolo, l tensione T del filo, l'llungmento x dell moll.. L'pprto del problem precedente viene montto su un pittform in rotzione con velocità ngolre costnte 0,30 rd / s distnz r5,00 m dl centro. Si osserv che il filo viene devito dll verticle, verso l'esterno, di un ngolo, e che l moll si llung di un trtto x. Spieg questi ftti, si nel riferimento dell'osservtore A fermo l suolo, che nel riferimento dell'osservtore B che si trov sull pittform. Clcol l'mpiezz dell'ngolo, l tensione T del filo, l'llungmento x dell moll. 3. L'osservtore B del problem precedente, che si trov l centro dell pittform, prende un pll e l lnci in direzione rdile verso l'esterno con velocità v,80 m/ s. Egli osserv che l pll subisce un devizione in direzione trsversle l suo moto. Spieg questo ftto si dl punto di vist dell'osservtore A che dell'osservtore B, precisndo se l devizione vviene nel verso di rotzione dell pittform o in verso opposto. Spendo che l pittform h rggio R0,0 m, clcol l devizione trsversle d subit

9 dll pll qundo rriv l bordo dell pittform. 4.. Cos'è un sistem di riferimento inerzile? b. Cos fferm il principio di reltività glilein? c. Se l Terr può essere considert un sistem inerzile, cos possimo dire per un vgone in moto rettilineo uniforme rispetto ll Terr? (Spieg l tu rispost, nche fcendo riferimento gli esempi di Glileo). d. Un vgone in moto uniformemente ccelerto rispetto ll Terr può essere considerto un sistem inerzile? Perché? E se il vgone fosse in moto circolre uniforme? e. Spieg quli esperienze dimostrno che l Terr non può essere considert in modo rigoroso come un sistem inerzile.

10 3^A - Correzione compito fisic n 3. Per l'osservtore A (riferimento inerzile), le msse m ed m' sono in moto con l stess ccelerzione del vgone, quindi egli T T pplic d entrmbe il principio dell dinmic: F el m ; T Pm'. Per l'osservtore B (riferimento non inerzile), le due msse sono in quiete. Per poter spiegre questo ftto trmite il principio, P m' A - m' P B egli deve introdurre l forz pprente di inerzi F in m : F el F in 0 ; T P F in 0. In entrmbi i riferimenti, ricvimo: tg m' m' g 3,5 m/ tg s g 9,8 m/ s 9,6 ; T sen m' T m' kg 3,5 m/ s 0,9 N ; sen sen9,6 kxm x m k,7 kg 3,5 m/ s 7,0 cm. 35 N /m. Per l'osservtore A (riferimento inerzile), le msse m ed m' subiscono un ccelerzione centripet c r, per cui vle il principio dell dinmic: F el m c ; T Pm' c. Per l'osservtore B (riferimento non inerzile), le due msse sono in quiete. Per poter spiegre questo ftto trmite il principio, egli deve introdurre l forz pprente centrifug F c m c, d cui: F el F c 0 ; T P F c 0. Rgionndo come nel problem precedente, ricvimo (in entrmbi i riferimenti): tg m' r m' g tg r g 0,3 rd / s 5 m 9,8 m/ s,54 ; T sen m' r T m' r sen kg 0,3 rd / s 5 m 9,7 N ; sen,54 kxm r x m r k,7 kg 0,3 rd / s 5 m,04 cm. 35 N /m 3. Per l'osservtore A (riferimento inerzile), l pll si muove di moto rettilineo uniforme in direzione rdile, m, essendo stt lncit dl centro, ess non possiede un velocità tngenzile, e quindi rimne indietro rispetto i punti dell pittform che si muovono sotto di ess con velocità tngenzili vi vi crescenti. Per l'osservtore B (riferimento non inerzile), sull pll gisce l forz di Coriolis,

11 perpendicolre si ll su velocità reltiv che ll'sse di rotzione, che l f devire in direzione oppost quell dell rotzione dell pittform. L pll rggiunge il bordo dell pittform ll'istnte: t R v 0 m,8 m/ s 3,57 s. Nel frttempo, il bordo dell pittform h subito un rotzione: d Rt 0,3 rd 0 m 3,57 s 8, m. s 4. (cenni). Un sistem di riferimento è inerzile qundo in esso sono vlidi i principi dell dinmic. b. Il principio di reltività glileino fferm che le leggi dell meccnic sono vlide in tutti i sistemi di riferimento inerzili. c. Un vgone in moto rettilineo uniforme può essere considerto un sistem inerzile perché le forze e le ccelerzioni misurte in esso sono le stesse misurte d un osservtore Terr (vedi pgg del libro di testo). d. Un vgone in moto uniformemente ccelerto o in moto circolre uniforme non può essere considerto un sistem inerzile, perché in esso non vlgono i tre principi dell dinmic (vedi pgg del libro di testo). Per continure d pplicre tli principi nei sistemi non inerzili, simo costretti introdurre delle forze pprenti, o fittizie, o non newtonine (forz di inerzi o di trscinmento, forz centrifug, forz di Coriolis). e. Sono le esperienze che dimostrno l rotzione terrestre: rotzione del pino di oscillzione di un pendolo (pendolo di Foucult); vrizione del peso con l ltitudine; effetti dell forz di Coriolis sul moto di grndi msse di fluidi devizione verso est nell cdut dei grvi (esminrne qulcun in dettglio).

12 3^A - Verific dinmic Spieg in mnier degut ciscun rispost.. Su un pino inclinto liscio di ltezz h30,0 cm e lunghezz l50,0 cm viene ppoggito un corpo di mss m. Spendo che per mntenere in equilibrio il corpo è necessrio pplicrgli un forz F 36,0 N prllel l pino, clcol l mss m.. Un forz F 5,00 N gisce su un corpo di mss m3,00 kg ppoggito su un tvolo scbro e gli imprime un ccelerzione 0,400 m/ s. Clcol il coefficiente di ttrito dinmico tr il corpo e il tvolo. 3. Un scensore si muove verso l'lto con ccelerzione 3,00 m/ s. Un donn di mss m60,0 kg si trov su un bilnci ll'interno dell'scensore. Clcol il peso segnto dll bilnci. 4. Un corpo di mss m, inizilmente in quiete, per effetto di un forz costnte F percorre in un tempo t un distnz s. Esprimi in funzione di s l distnz s percors dl corpo se l su mss e l'intervllo di tempo rddoppino, mentre l forz dimezz. 5. Se d un moll di lunghezz l 0,0 cm viene ppeso un corpo di mss m 30,0 g, l su lunghezz divent l 3,5cm. Clcol l mss m che v ppes ll moll per fre in modo che l su lunghezz diventi l 5,8cm. 6. Sppimo che l Terr h mss M, l Lun h mss m, l loro distnz è r, e l forz che l Terr esercit sull Lun è F. Clcol l intensità dell forz F che l Lun esercit sull Terr. 7. Un oggetto di mss m,00 kg cde nell'ri con velocità costnte v3,00 m/ s. Clcol l forz di ttrito che l ri esercit sull oggetto. 8. Un utomobile di mss m95 kg può ffrontre un curv di rggio r34,0 m ll velocità mssim v mx 55,0 km/h. Clcol il coefficiente di ttrito tr le gomme e l strd.

13 3^A - Correzione verific dinmic. L forz F deve equilibrre l componente del peso prllel l pino inclinto: F P mg sen mg h l m lf gh 0,5 m 36 N 9,8 m/ s 0,3 m 6, kg.. Sul corpo giscono l forz F che lo spinge e l forz di ttrito dinmico: F k d mgm k d F m mg N 3 kg 0,4 m/ s 5 0,9. 3 kg 9,8 m/ s 3. Sull donn giscono il proprio peso e l rezione normle, che è l forz indict dll bilnci: N mgm N m g 60 kg 9,8 3 m/ s 768 N. 4. In un moto uniformemente ccelerto: s t Ft m. Quindi: s / t F s. m 5. L'llungmento dell moll è direttmente proporzionle l peso, e quindi ll mss, del corpo che le viene ppeso: m m m x x x 3,8 cm m x 30 g 76,0 g 0,0760 kg.,5cm 6. F F per il terzo principio dell dinmic (spiegre). 7. Poiché l'oggetto si muove velocità costnte, l forz risultnte che gisce su di esso deve essere null. Quindi l resistenz dell'ri è ugule l peso: F tt mg kg 9,80 m/ s 9,80 N. 8. L forz di ttrito gisce come forz centripet: k s mgm v r k s v 55/3,6 m/ s rg 34 m 9,8 m/ s 0,70.

14 3^A - FISICA compito n D un plzzo di ltezz h0,0 m viene lncito un pllone con velocità inizile v 0 0,0 m/ s in modo che l direzione di lncio formi un ngolo 30,0 con l direzione h v 0 v orizzontle. Nello stesso istnte, un uomo che si trov d distnz d 40,0 m dll bse del plzzo cominci correre verso l'edificio. Qule velocità v dovrebbe mntenere l'uomo per prendere il pllone nel momento in cui questo tocc il suolo?. Un corpo A di mss m A,0 kg è fermo su un pino inclinto di un ngolo 30,0 rispetto ll'orizzontle. Clcol: l A. l'ccelerzione A subit dl corpo; b. il tempo impiegto dl corpo A rggiungere l bse del pino inclinto, spendo che esso percorre sul pino inclinto stesso un distnz l,80 m. Clcol poi l'ccelerzione del corpo A nei csi in cui: c. tr il corpo ed il pino inclinto è presente un ttrito dinmico di coefficiente k d 0,00 ; d. il pino inclinto è liscio, m il corpo A è collegto trmite A B un fune d un secondo corpo B di mss m B 3,00 kg. 3. Due utomobili, A e B, prtono d uno stesso punto con l stess velocità inizile v 0. L'utomobile A si muove di moto uniforme, mentre l'utomobile B si muove di moto uniformemente ccelerto con ccelerzione. Clcol il rpporto d A /d B delle distnze percorse d A e d B nel momento in cui B si ferm. Trcci (spiegndo in mnier dettglit l tu rispost) il grfico posizione - tempo reltivo l moto delle due utomobili.

15 3^A - Correzione compito n. Il pllone tocc terr qundo: y t / g t v 0 t sen h0 4,9t 5t 00 t ,9,60 s (considerimo solo l soluzione positiv). 9,8 Lo spostmento orizzontle del pllone è: x v 0 t cos 0 0,866,60,5 m. L velocità dell'uomo è quindi: v d x 40,5 6,73 m t,60 s... Sul corpo A gisce l componente dell forz peso prllel l pino inclinto: P A m A g sen30 A P A /m A g sen 30 4,90 m/ s. b. Il moto del corpo è uniformemente ccelerto con ccelerzione A : l A t t l A,8 4,9 0,857 s. c. Sul corpo A gisce nche l forz di ttrito dinmico: F tt k d P A k d m A g cos 30. Quindi: A P A F tt m A g sen30 k d cos 30 9,80 0,5 0, 0,866 3,0 m s. d. In questo cso, sul sistem formto di corpi A e B gisce nche il peso del corpo B. Quindi: A P P A B m sen 30 m A B g 0,5 3 m A m B m A m B 3 9,80,96 m. s 3. Clcolimo l'istnte di tempo in cui B si ferm: v B t v 0 0 t v 0 /. Le distnze percorse in tle intervllo di tempo sono: d A v 0 t v 0, d B t v 0 t v 0 v 0 v 0. Quindi: d A d B. Poiché A si muove di moto uniforme con velocità v 0, il suo grfico posizione - tempo è un rett di pendenz v 0. Poiché B si muove di moto uniformemente ccelerto con d A A ccelerzione negtiv, il suo grfico posizione - tempo è un prbol con concvità rivolt verso il bsso. Nell'origine, i due grfici sono tngenti, in qunto nche B d B B prte con velocità inizile v 0, mentre nell'istnte t l'utomobile B è ferm, e quindi il grfico h tngente orizzontle. Quindi per tt si h il vertice dell prbol. t

16 3^A - FISICA compito n Nei problemi seguenti ti viene chiesto di descrivere un situzione fisic si in un riferimento inerzile che in uno non inerzile. Per rispondere, trcci il digrmm di corpo libero spiegndo quli sono le forze genti in ciscun riferimento e qule è il loro effetto in quel riferimento. Svolgi poi i clcoli in uno solo dei due riferimenti ( tu scelt).. Un rgzzo di mss m5,0 kg è fermo (in piedi) su un utobus che si muove con ccelerzione,0 m/ s verso destr.. Descrivi l situzione si nel riferimento del suolo che in quello dell'utobus. b. Clcol il minimo vlore del coefficiente di ttrito tr le scrpe ed il pvimento.. Il rgzzo dell domnd precedente è fermo (in piedi) su un giostr che ruot con velocità ngolre 0,50 rd / s d un distnz r3,50 m dl centro.. Descrivi l situzione si nel riferimento del suolo che in quello dell giostr. b. Clcol il minimo vlore del coefficiente di ttrito tr le scrpe ed il pvimento. 3. Il rgzzo delle domnde precedenti si trov ll'equtore e misur il suo peso con un bilnci.. Descrivi l situzione si nel riferimento dell bilnci (che ruot con l superficie terrestre), che in un riferimento inerzile (es: le stelle fisse ). b. Clcol l velocità ngolre del moto di rotzione terrestre (rggio Terr: R T 6380 km ). c. Clcol il peso indicto dll bilnci (utilizz il vlore g 9,80 m/ s ).

17 3^A - Correzione compito n 3.. Suolo: sul rgzzo gisce l forz di ttrito, dirett verso destr, il cui effetto è Suolo quello di frlo ccelerre insieme ll'utobus: F tt m. Autobus: sul rgzzo gisce l forz di ttrito, dirett verso destr, m egli rimne in quiete. Per pplicre il principio introducimo quindi un forz fittizi, dett forz di inerzi, che ristbilisc l'equilibrio: F in m F tt F in 0. F in F tt Autobus F tt 0 b. Per entrmbi: k s min mgm k s min m/ s, g 9,8 m/ s 0,... Suolo: sul rgzzo gisce l forz di ttrito, dirett verso il centro dell giostr, il cui effetto è quello di frlo ruotre insieme ll giostr: F tt m r. Giostr: sul rgzzo gisce l forz di ttrito, dirett verso il centro, m egli rimne in quiete. Per pplicre il principio introducimo quindi un forz fittizi, dett forz centrifug, tle d ristbilire l'equilibrio: F cfg m r F tt F cfg 0. Suolo F tt c F tt Giostr F cfg 0 b. Per entrmbi: k s min mgm r k s min r g 0,5 rd / s 3,5 m 8, ,8m/ s. 3.. Stelle fisse: sul rgzzo giscono l forz peso, dirett verso il centro dell Terr, e l rezione normle. L loro somm vettorile provoc l rotzione del rgzzo con l Terr: P N m r. Bilnci: sul rgzzo giscono l forz peso, dirett verso il centro dell Terr, e l rezione normle. L loro somm non è null, m h un risultnte dirett verso il centro dell Terr, eppure il rgzzo rimne in P Stelle P c Bilnci 0 N+F cfg N quiete. Per pplicre il principio introducimo quindi un forz fittizi, dett forz centrifug, tle d ristbilire l'equilibrio: F cfg m r P N F cfg 0. b. Terr 6,8 rd rd T Terr 4 60 s 7,7 0 5 s. c. L bilnci misur l rezione normle che, in entrmbi i riferimenti, è: N mg m r 5 kg [9,80 m s 7,7 0 5 rd s 6, m] 5 kg 9,77 m s 508 N.

18 3^C PNI FISICA compito n Tre blocchi di msse m 0 kg, m m 3 5 kg sono ppoggiti su un pino orizzontle e liscio e sono collegti d funi inestensibili. Sul primo blocco gisce un forz prllel l pino di intensità F70 N. Clcol l'ccelerzione di ciscun blocco e le tensioni delle funi. Al tempo t 0 s dll prtenz, l forz F cess m 3 m m F di gire, mentre il sistem entr in un zon del pino in cui c'è ttrito di coefficiente d 0,. Dopo qunto tempo si ferm? Qunto spzio percorre prim di fermrsi?. Un corpo di mss m0 kg è ppoggito su un pino inclinto che form un ngolo 30 rispetto ll'orizzontle. m l. Se il pino inclinto è liscio e l su lunghezz è l30 m, clcol il tempo impiegto dl corpo percorrere il pino e l velocità con cui esso giunge l suolo. b. Se il pino inclinto è scbro, clcol il minimo vlore del coefficiente di ttrito s necessrio tenere in equilibrio il corpo. c. Rispondi lle domnde del punto ) nel cso in cui tr il corpo ed il pino inclinto vi si un ttrito di coefficiente d 0,. Qule osservzione puoi fre sui dti del problem? Come l spieghi? 3. Clcol l velocità ngolre, l velocità tngenzile e l'ccelerzione centripet cui è sottoposto un corpo sull superficie terrestre:. cus del moto di rivoluzione intorno l Sole; b. cus del moto di rotzione dell Terr intorno l proprio sse, se il corpo si trov ll'equtore; c. cus del moto di rotzione dell Terr intorno l proprio sse, se il corpo si R T P trov nel punto P di ltitudine 30. Rggio dell Terr: R T 6380 km ; distnz Terr Sole: R TS,50 0 m. D un torre di ltezz h00 m, post ll'equtore, viene lscito cdere un peso. Spieg perché l cdut non vviene esttmente lungo l verticle e clcol l devizione orizzontle del punto di imptto con il suolo rispetto l piede dell verticle.

19 3^C Correzione compito fisic n 3. Possimo considerre le forze genti su ciscuno dei tre blocchi: {F T m T T 3 m T 3 m 3. In lterntiv, può essere più semplice considerre che: l forz F gisce sull'intero sistem, cui imprime un'ccelerzione: F 70 N m m m 3 0 kg 3,5 m ; s l tensione T dell prim cord gisce sul secondo e sul terzo corpo: T m m 3 0 kg 3,5 m s 35 N ; l tensione T 3 dell second cord gisce sul terzo corpo: T 3 m 3 5 kg 3,5 m s 7,5 N. Al tempo t, il sistem h rggiunto un velocità v t 3,5 m s 0 s35 m s. L forz di ttrito è F tt d m m m 3 g, per cui il sistem subisce un'ccelerzione: F tt m m m d g 0, 9,8 0,98 m. 3 s Il sistem si ferm qundo l su velocità è null: v t v 0 t v 35 0,98 35,7 s. Percorre un distnz: s t v t 0,49 35, ,7 65 m... Se il pino è liscio, l forz risultnte gente sul corpo è l componente del suo peso prllel l pino: P m g sen 30, per cui l'ccelerzione F tt R P del corpo è: P m g sen30 4,9 m s. P P l Tempo impiegto percorrere il pino: l t t l 60 4,9 3,50 s. Velocità rggiunt: v t 4,9 3,50 7, m s (l stess dell cdut liber). b. Il corpo rest in equilibrio qundo l forz di ttrito (sttico) è ugule e oppost ll componente del peso prllel l pino. L forz di ttrito è: F tt s P s m g cos 30. All'equilibrio: F tt P s m g cos 30 m g sen 30 s tg ,577

20 è il minimo vlore del coefficiente di ttrito sttico necessrio per l'equilibrio. c. In questo cso, simo in presenz di un forz di ttrito F tt d P d m g cos 30. L forz risultnte che gisce sul corpo è: F P F tt m g sen30 d m g cos 30. Il corpo subisce un'ccelerzione: ' F m g sen 30 d cos 30 4,05 m. s 3. Di conseguenz cmbino il tempo impiegto percorrere il pino: t ' l ' 60 4,05 3,84 s e l velocità finle: v ' ' t ' 4,05 3,84 5,6 m s Possimo osservre che il dto dell mss del corpo er superfluo, in qunto sul corpo giscono soltnto forze (il peso e l'ttrito) direttmente proporzionli ll mss stess.. riv 6, 8 rd T riv , s c riv riv R TS,99 0 7,50 0 5, m. s b. rot eq 6, 8 rd T rot ,7 0 5 s c rot eq rot R T 7, , ,37 0 m s. ; v riv riv R TS,99 0 7,50 0, m s ; v rot eq rot R T 7, , ,64 0 m s c. rot P rot eq ; v rot P rot R T cos 7, , m 4,0 0 s c rot P rot R T cos 7, , ,9 0 m s. L cdut non vviene esttmente lungo l verticle, in qunto l'oggetto lscito cdere h un velocità tngenzile dovut l moto di rotzione terrestre lievemente mggiore di quell dei punti che incontr nel corso dell cdut. Il tempo di cdut del peso è: h g t t c h g 00 9,8 4,5 s. Il piede dell verticle possiede l velocità tngenzile v vert v rot eq rot R T ;., che bbimo clcolto ; ; in precedenz. Il peso h velocità tngenzile: v peso rot R T h. L differenz delle due velocità è: v rot h 7, ,7 0 3 m s. L devizione dll verticle è quindi: x v t c 7, ,5 3,9 0 m.

21 3^C PNI FISICA compito n Un blocco di mss m B 6,00 kg è ppoggito su un tvolo liscio. Esso è collegto d un filo di mss trscurbile d un secondo blocco di mss m A,00 kg, sospeso oltre il bordo del tvolo. Clcol m B m A l'ccelerzione del sistem e l tensione del filo. Ricv l formul che esprime l'ccelerzione del sistem nel cso in cui tr il blocco B ed il tvolo si presente un ttrito dinmico di coefficiente d. Quli sono i limiti di vlidità di tle formul? Cos vviene l di fuori di tli limiti?. L mcchin di Atwood è un sistem costituito d un crrucol cui sono sospesi due corpi di msse m B m A. Ricv le formule che esprimono l'ccelerzione del sistem e l tensione dell fune in funzione dei dti. Clcol i risultti nei csi prticolri in cui m A m B o m A m B e commentli. 3. Un person di mss m80 kg si trov su un bilnci post sul pvimento dell cbin di un scensore. Clcol il peso indicto dll bilnci nei csi in cui:. l cbin si muove con velocità costnte v5,0 m/ s verso l'lto o verso il bsso; m A m B b. l cbin si muove con ccelerzione costnte,50 m/ s verso l'lto o verso il bsso; c. il cvo dell'scensore si rompe e l cbin è in cdut liber. 4. Nel progettre un strd, sei costretto d inserire un curv con rggio di curvtur r60,0 m. Spendo che tr le gomme e l'sflto c'è un ttrito sttico di coefficiente s 0,70, clcol l velocità mssim cui le utomobili potrnno percorrere l curv senz pericolo. Spieg perché in questo cso è rilevnte l'ttrito sttico, e cos vviene se, invece, tr pneumtici ed sflto vi è ttrito dinmico. Si prevede che sull strd poss formrsi del ghiccio, e che quindi l'ttrito y poss diventre trscurbile. Di qule ngolo devi soprelevre l curv per fre in modo che le utomobili possno ffrontrl con l stess velocità x mssim clcolt in precedenz? 5. Un pllin cde dl soffitto di un treno. Determin, spiegndo i x v/ rgionmenti seguiti e le risposte ottenute, l'equzione dell TR y triettori dell pllin vist dll'osservtore TR (in quiete rispetto l treno) e dll'osservtore SU (in quiete rispetto l SU suolo) nei csi in cui:. il treno si muov con velocità costnte v m/ s verso destr; b. il treno, che er fermo qundo l pllin si è stcct dl soffitto, si muove con ccelerzione costnte 5 m/ s verso destr. Disegn le triettorie in ciscuno dei quttro csi.

22 3^C Correzione compito fisic n 4. Se il tvolo è liscio, l'ccelerzione del sistem è: m A m A m B g 9,8 8,45 m s, e l tensione del filo: T m B 6,45 4,7 N. In presenz di ttrito, bbimo: m A g d m B g m m B m A d m B m m B g. L formul ottenut è vlid qundo m A d m B 0 d m A m B 0,33. Per vlori mggiori di d, non si h un'ccelerzione negtiv (l formul non fornisce più risultti corretti), m l forz di ttrito ugugli il peso del blocco A e il sistem rimne in equilibrio con 0.. Per il principio: m B m A g m B m A m B m A m B m A g. Considero il corpo A: T m A gm A T m A g m A m B m A m B m A g m A m B m A m B g. Se m A m B m, ricvo: 0 e T mg, ovvero il sistem è in equilibrio e l tensione dell cord è ugule l peso di ciscuno dei due corpi. Se m A m B, ricvo: g e T 0, ovvero il sistem è prticmente in cdut liber, e l cord non esercit qusi lcun tensione. 3. Sull person giscono l forz peso e l rezione vincolre dell bilnci. Scegliendo come verso positivo quello verso il bsso, deve essere: mg Rm Rm g. Sull bilnci gisce un forz ugule ed oppost ll rezione vincolre R. Quindi:. 0 Rmg 80 9,8 784 N. b. Verso l'lto:,5 m/ s R 80 9,8,5 904 N. Verso il bsso:,5 m/ s R 80 9,8,5 664 N. c. 9,8 m/ s R0. 4. Poiché l'ttrito sttico deve gire d forz centripet, dovrà essere: mv r s mg v mx s rg 0,7 60 9,8 0,3 m s 73,0 km h E' rilevnte l'ttrito sttico in qunto, in un rotolmento idele, il punto di conttto tr l gomm e l'sflto risult istntnemente in quiete. In presenz di ttrito dinmico, tle punto di conttto si muove, e, quindi, l mcchin slitt. Sull'utomobile giscono l forz peso e l rezione vincolre dell strd. L componente verticle dell rezione vincolre deve equilibrre il peso dell'utovettur: R y R cos mg,.

23 mentre l componente orizzontle deve ssumere il ruolo di forz R centripet: R x R sen m v r. Eliminndo l rezione vincolre per sostituzione o dividendo membro membro le due equzioni, ricvimo: R x R y P 5. tg v rg 0,3 60 9,8 0,70 tg 0,70 35,0.. Per l'osservtore TR, l pllin è in cdut liber lungo l verticle, quindi l su triettori è un segmento gicente sull'sse y. Per l'osservtore SU, l pllin si muove verso destr con l stess velocità del treno, quindi le equzioni del suo moto sono: xvt, yg t /. Eliminndo il tempo, ricvo: y g v x,3 x che, con le opportune limitzioni, rppresent un rco di prbol con l concvità rivolt verso il suolo (il segno positivo del coefficiente è dovuto ll nostr scelt del verso dell'sse delle ordinte). b. Poiché il treno er inizilmente fermo, per l'osservtore SU l pllin è in cdut liber lungo l verticle, quindi l su triettori è un segmento gicente sull'sse y. L'osservtore TR si trov in un sistem di riferimento non inerzile in cui, per slvre l vlidità dei principi dell dinmic, è costretto d introdurre un forz fittizi, dett forz di inerzi, di modulo F m. Le equzioni del moto sono: x t /, yg t /. Eliminndo il tempo, ricvo: y g x,96 x. L triettori è il segmento rppresentto in figur (nche in questo cso, il segno sbglito è dovuto ll nostr scelt del verso dell'sse delle ordinte). TR b TR SU b SU

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47 ESERCIZIO Un mno spinge due corpi su un superficie orizzontle priv di ttrito, come mostrto in figur. Le msse dei corpi sono Kg e Kg. L mno esercit l forz di 5 N sul corpo di Kg. 5N Kg Kg ) Qul è l ccelerzione del sistem? b) Qul è l ccelerzione del corpo di Kg? Si trovi l forz risultnte che gisce su questo corpo. Qul è l origine dell forz che gisce su questo corpo? c) Si mostrino tutte le forze che giscono sul corpo di Kg. Qul è l forz risultnte che gisce su di esso?

48 ESERCIZIO ) Qul è l ccelerzione del sistem? Poiché i due corpi si muovono insieme, possono essere considerti come un corpo unico vente l mss di 3 Kg. MODULO: F m F m 5 3 m / s 5N,67m / s DIREZIONE: stess direzione dell forz VERSO: stesso verso dell forz Kg Kg

49 ESERCIZIO b) Qul è l ccelerzione del corpo di Kg? Si trovi l forz risultnte che gisce su questo corpo. Qul è l origine dell forz che gisce su questo corpo? 5N Kg CORPO CORPO Kg L ccelerzione del corpo è ugule ll ccelerzione di tutto il sistem trovt l punto precedente. F m Kg,67m / s,67( Kg m) / s, 67N L forz che gisce sul corpo è origint dll rezione vincolre tr i due corpi.

50 ESERCIZIO c) Si mostrino tutte le forze che giscono sul corpo di Kg. Qul è l forz risultnte che gisce su di esso? F e F e F p N F F e 5N F p Kg 9,8m / s 9, 6N N Fp 9, 6N F F, 67N F R F FR Fe F 5,67 3, 33N

51 ESERCIZIO Un sctol di Kg è ferm su un pino privo di ttrito, inclinto di un ngolo di 30, sospes d un moll. L moll si llung di 3 cm. ) Si trovi l costnte elstic dell moll. b) Se si spost l sctol verso il bsso lungo il pino inclinto, llontnndol di 5 cm dll su posizione di equilibrio, e poi l si lsci ndre, qule srà l su ccelerzione inizile?

52 ESERCIZIO ) Si trovi l costnte elstic dell moll. y F x F kx F px F py k F x F px x F p F px F p sen30 Kg 9,8m / s 0,5 9,8N k 9,8N 0,03m 37N / m

53 ESERCIZIO b) Se si spost l sctol verso il bsso lungo il pino inclinto, llontnndol di 5 cm dll su posizione di equilibrio, e poi l si lsci ndre, qule srà l su ccelerzione inizile? y F x F px F py F 37N / m 0,08m 6,6N F p F m F px 6,6N 9,8N Kg 8,8m / s

54 ESERCIZIO 3 In ognun delle seguenti figure, i corpi sono ttccti dinmometri moll trti in Newton. Si trovino le indiczioni dei dinmometri in ciscun cso, supponendo che le corde sino prive di mss e che il pino inclinto si privo di ttrito.

55 ESERCIZIO 3 CASO () 0 kg F 0Kg 9,8m / s 98, N F

56 ESERCIZIO 3 CASO (b) 0 kg 0 kg F F F F F 0Kg 9,8m / s 98, N

57 ESERCIZIO 3 CASO (c) F F 5Kg 9,8m / s 49, 05N F F 0 kg F p

58 ESERCIZIO 3 CASO (d) F (0Kg sen30 ) 9,8m / s 49, 05N F

59 ESERCIZIO 4 Un corpo di mss kg è sospeso un dinmometro (trto in newton) ttccto l soffitto di un scensore. Che cos indic il dinmometro se l scensore: () sle con velocità costnte di 30 m/s? (b) scende con velocità costnte di 30 m/s? (c) cceler verso l lto con l ccelerzione di 0 m/s? (d) D t0 t s l scensore sle 0 m/s: poi l velocità viene ridott uniformemente zero nei s successivi, cosi che esso si ferm per t4 s. Si descriv l indiczione del dinmometro nell intervllo di tempo tr t0 e t4 s.

60 ESERCIZIO 4 ()(b) Se l scensore sle o scende con velocità costnte di 30 m/s? Se l velocità è costnte vuol dire che l ccelerzione è null per cui: v 30m / s kg 0 P scensore P mg 9,8 9,6N

61 ESERCIZIO 4 (c) Se l scensore cceler verso l lto con l ccelerzione di 0 m/s? Se l scensore cceler verso l lto nche il dinmometro h un ccelerzione verso l lto mentre il corpo rimne fermo, che è come dire che il corpo subisce un ccelerzione verso il bsso rispetto l dinmometro. Per cui bbimo che: P ' 0m / s mg + m' (9,8+ 0) 39,6N kg P scensore

62 ESERCIZIO 4 (d) D t0 t s l scensore sle 0 m/s: poi l velocità viene ridott uniformemente zero nei s successivi, così che esso si ferm per t4 s. Si descriv l indiczione del dinmometro nell intervllo di tempo tr t0 e t4 s. Durnte lo spostmento vcost, cioè per t che v d 0 s il dinmometro misur sempre Pmg; mentre nell fse di decelerzione d s 4 s si h che: P ( v fin viniz ) (0 0) 0 5m / s ( t t ) (4 ) fin mg + iniz m (9,8 5) 9,6N kg P scensore

63 ESERCIZIO 5 Due corpi di 5 kg sono collegti d un cord legger. Il tvolo è privo di ttrito e l cord score su un piolo privo di ttrito. Si trovi l ccelerzione delle msse e l tensione nell cord. 5 kg 5 kg

64 T m m m g g T m T mg m + m m g T m T m m ESERCIZIO 5 m T 9, T m 4,9 5 4,55N Fn P T 5 4,9m / s m T P

65 ESERCIZIO 6 Un corpo di,8 kg strisci su un pino privo di ttrito. Esso è ttccto un corpo di 0, kg con uno spgo. Si trovi il tempo che impieg il corpo di 0, kg per scendere di m, se il sistem è inizilmente fermo.,8 kg 0, kg m

66 ESERCIZIO 6 T m m m T g g T m m m m mg 0, 9,8 0,65m / s m + m,8 + 0, Δx v0t + t ; v0 0 Δx t 6,5s 0,65 T P m

67 L Dinmic Problemi di Fisic L Dinmic PROBLEMA N. Un corpo di mss m 40 kg viene spostto con un forz costnte F 30 N su un superficie priv di ttrito per un trtto s,3 m. Supponendo che il corpo inizilmente è in condizione di riposo, clcolre l velocità finle ed il tempo che impieg per percorrere il trtto s. SOLUZIONE Digrmm delle forze Dll second legge dell dinmic ricvimo l ccelerzione: F 30 F m m 40 0,54m / s Poiché si trtt di un moto uniformemente ccelerto, pplichimo le reltive leggi: s s 0 + v 0t + v f v 0 + t t poiché V 0 0 e S 0 0 le relzioni diventno: s t v f t Si trtt di un sistem di due equzioni in due incognite, t e V f, le cui soluzioni sono: t v s,9s s,58m / s

68 L Dinmic PROBLEMA N. Un corpo di mss M kg si muove con velocità V 3 m/s. Un forz dirett in senso opposto l moto rrest il corpo dopo un tempo t s. Clcolre: L intensità dell forz pplict Lo spzio percorso dll istnte in cui viene pplict l forz SOLUZIONE Applichimo il principio dell dinmic per clcolre l forz che rrest il corpo: F M 3 6N VF VI 3 dove 3m / s t L forz è negtiv in qunto si oppone l moto fino d rrestrlo. Poiché si trtt di un moto uniformemente decelerto, lo spzio percorso nel tempo t s è dto d: s V t t 3 3 I,5m PROBLEMA N. 3 Un corpo di mss M 0 kg è in moto su un pino orizzontle che present un coefficiente di ttrito µ 0,. Se ll istnte t tle corpo possiede un velocità di 0 m/s, qunto vle l intensità dell forz che dobbimo pplicre d quell istnte in poi perché il corpo continui muoversi di moto rettilineo uniforme? SOLUZIONE Digrmm delle forze Il quesito del problem trov l rispost nel: principio dell dinmic r r V cos t F 0 F F 0 F F µ R µ M g 0, 0 9,8 9,6N

69 L Dinmic PROBLEMA N. 4 Un corpo di mss M kg viene lncito verso l lto lungo un pino inclinto α 30 e con coefficiente di ttrito µ 0,4. Determinre l forz che bisogn pplicre l corpo ffinché il moto lungo il pino inclinto si uniforme SOLUZIONE Il quesito del problem trov l rispost nel: principio dell dinmic V cost F r 0 r F F P 0 F F + P µ P + P µ P cosα + P senα P ( µ cosα + sen α ) x x y x Mg ( µ cos α + sen α ) 9,8 (0, 4 cos 30 + sen30 ) 6,6N PROBLEMA N. 5 Il coefficiente di ttrito tr un corpo di mss M 0 kg ed il pvimento è µ 0,. Clcolre l ccelerzione impress l corpo d un forz di 00 N inclint di 60 rispetto ll orizzontle, e l rezione vincolre. SOLUZIONE Digrmm delle forze Il problem viene risolto pplicndo il secondo principio dell dinmic, tenendo conto che si trtt di un equzione vettorile: r r F M r F r F x y r M Fx F r 0 R + Fy M P 0

70 L Dinmic Il sistem così ottenuto contiene le due incognite del problem, l ccelerzione e l rezione vincolre R. Risolto dà le seguenti soluzioni: R P Fy Fx F M Mg F senα 0 9,8 00 sen60 09N F cos α µ R M 00 cos 60 0, 09,5m / s 0 PROBLEMA N. 6 Un utomobile vente l mss M 600 kg percorre 80 m, prim di fermrsi, con un forz frennte costnte pri 650 N. Clcolre:. L velocità dell utomobile ll istnte in cui inizi l frent. Il tempo impiegto per fermrsi SOLUZIONE Innnzitutto clcolimo l decelerzione, ttrverso il principio dell dinmic,subit dll mcchin durnte l frent: r r F M F M ,9m / Poiché si trtt di un moto uniformemente decelerto, pplichimo le rispettive leggi per rispondere i quesiti del problem s. S V0t t S S 80 S t t S t t S t t t 6, 4s 3,9 V0 t. V 3,9 6,4 5m / s 0 90km / h PROBLEMA N. 7 Un elettrone viene sprto tr due pistre criche con un velocità V 0 6 m/s. Il cmpo -7 elettrico tr le due pistre ostcol il moto dell elettrone con un forz F 4,8 0 N. Spendo che l mss dell elettrone è m 0, kg, clcolre l distnz percors prim di essere rrestto dll forz elettric. SOLUZIONE Innnzitutto clcolimo l decelerzione subit dll elettrone, ttrverso il principio dell dinmic: r 7 r F 4,8 0 3 F M 5,3 0 m / s 30 M 0,9 0

71 L Dinmic Poiché si trtt di un moto uniformemente decelerto, pplichimo le rispettive leggi per rispondere i quesiti del problem: V t S V ,3 0 t t 3 0, s 0, ,3 0 3 (0,4 0 7 ) 0,04m 4cm PROBLEMA N. 8 Un copro di mss M viene lncito lungo un pino inclinto (α 30 ) con velocità V 0 m/s. Se l ttrito tr corpo e pino è µ 0,, determinre qule ltezz h, rispetto ll orizzontle, si ferm il corpo. SOLUZIONE Innnzitutto clcolimo l decelerzione, ttrverso il principio dell dinmic, subit dl corpo durnte il moto lungo il pino inclinto: F P µ P x y Px µ P cosα P senα P ( µ cosα sen α) F r r M F Px M M M M M Mg / ( µ cos α sen α ) 9, 8 (0, cos 30 sen30 ) 6, 6m / s M/ Poiché si trtt di un moto uniformemente decelerto, pplichimo le rispettive leggi clcolre lo spzio percorso: per V t S V 0 0 t 0 6,6 t,5s 0,5 6,6,5 7,6m D considerzioni di crttere trigonometrico clcolimo l ltezz h ll qule il corpo si ferm: h S senα 7,6 sen30 3,8m

72 L Dinmic PROBLEMA N. 9 Un mss M 3,3kg si muove su un pino con un coefficiente d ttrito µ 0.3, secondo l direzione indict in figur, sotto l zione di un mss m,kg. Nell ipotesi che l fune si priv di mss e che l crrucol non introduce nessun ttrito, clcolre l ccelerzione e l tensione dell cord. SOLUZIONE Applichimo l second legge dell dinmic i due corpi, tenendo presente che l ccelerzione è l stess per le due msse in bse lle ipotesi del problem: CORPO M r r F M r F F x y M T F 0 N P M M 0 CORPO m T Pm m Riunimo le precedenti equzioni in un unico sistem di tre equzioni in tre incognite: che risolto, drà le seguenti soluzioni: T F N P T P M m M 0 m N PM M g 3,3 9,8 3,3N T M + F 3, + 0,3 3,3 5,9N 0,9 M + F Pm m 3,3 + 0,3 3,3 0,6, 5,4 0,9 m / s 5, 4

73 L Dinmic PROBLEMA N. 0 Dto il sistem di msse in figur, clcolre l loro ccelerzione e l tensione dell fune, nell ipotesi che l fune non bbi mss e l crrucol si priv di ttrito. SOLUZIONE Applichimo l second legge dell dinmic i due corpi, tenendo presente che l ccelerzione è l stess per le due msse in bse lle ipotesi del problem: T P T P M m M m E un sistem di due equzioni in due incognite, che risolto dà le seguenti soluzioni: T Mg M T Mg M 7N Mg M mg m (M + m) g (M m) M m g M + m 3,6m / s PROBLEMA N. Un psseggero di mss m 7. kg st su un bilnci nell cbin di un scensore. Che cos segn l bilnci qundo l ccelerzione ssume i vlori dti in figur? SOLUZIONE

74 L Dinmic cso: 0 N Mg 0 N Mg 7, 9,8 708N L bilnci segn il peso effettivo del psseggero cso: -3, m/s N Mg M N Mg M M (g ) 7, (9,8 3,) 477N L bilnci segn un peso inferiore di 3 N ed il psseggero pens di ver dimgrito 3,6 kg (M P/g 3/9,8 3,6 kg) 3 cso: 3, m/s N Mg M N M (g + ) 7, (9,8 + 3,) 939N L bilnci segn un peso superiore di 3 N ed il psseggero pens di ver ingrssto 3,6 kg (M P/g 3/9,8 3,6 kg) PROBLEMA N. Clcolre l velocità di un uto nell istnte in cui effettu un frent, supponendo che l striscit dei pneumtici sull sflto si di 90 m ed il coefficiente di ttrito dinmico µ D 0.60 SOLUZIONE Applicndo le equzioni del moto uniformemente ccelerto si ottiene: s v 0t t v f v 0 t V 0 s essendo v f 0 Il vlore dell ccelerzione lo ricvimo pplicndo il principio dell dinmic: F F M M µ DMg / M/ µ D g In definitiv: v 0 µ D g s 0Km / h

75 L Dinmic PROBLEMA N. 3 Dto il sistem in figur (m 4kg α 30 ) clcolre il coefficiente di ttrito dinmico tr l mss m ed il pino inclinto nell ipotesi che le msse si muovno di moto uniforme. SOLUZIONE principio dell dinmic pplicto ll mss M : r r r r Fx M T F Px F M r r F 0 N P 0 y y 0 dove 0 perché v costnte principio dell dinmic pplicto ll mss m : r r F m T Pm 0 dove 0 perché v costnte Riunimo le precedenti equzioni in un unico sistem: T F Px N Py 0 T Pm 0 0 Spendo che P x P senα e P y P cosα il sistem mmetterà le seguenti soluzioni: T m g 4 9,8 37N F T Px T Mgsenα ,8 sen30 68N N Py Mg cos α 4 9,8 cos 30 9N Pertnto il coefficiente di ttrito dinmico srà: F N µ F 68 N 9 µ D D 0,57

76 L Dinmic PROBLEMA N. 4 Dto il sistem in figur formto dlle msse M M M kg e d un pino inclinto (α 30 ) privo di ttrito, determinre:. L ccelerzione delle msse. L tensione dell fune, suppost inestensibile 3. L rezione vincolre del pino inclinto SOLUZIONE Il problem viene risolto pplicndo il secondo principio dell dinmic ciscun mss e tenendo conto che sono equzioni vettorili e come tli scomponibili lungo gli ssi crtesini. Inoltre, in bse lle ipotesi del problem, l ccelerzione è l stess per le due msse così come l tensione dell fune. r r r CORPO M Fx M T Px M F M F 0 R Py 0 y CORPO M F y M T P M NOTARE: Abbimo ipotizzto che l mss M si muove verso il bsso, ed in bse l sistem di riferimento scelto l su ccelerzione è un vettore negtivo, e quindi l mss M si muove verso l lto lungo il pino inclinto, ed in bse l sistem di riferimento scelto l su ccelerzione è un vettore positivo. Riunimo le precedenti equzioni in un unico sistem, ottenendo così un sistem di tre equzioni in tre incognite, che sono quelle poste come quesito dl problem: T Px M R Py 0 T P M Risolvimo il sistem con il metodo di sostituzione, ricvndo l incognit T dll prim equzione e sostituendol nell terz equzione ottenimo il vlore dell ccelerzione: T Px + M P P P x P P senα P ( sen α) Mg / ( sen α) x + M P M M P Px,45m/s M M M M/ R Py 0

77 L Dinmic A questo punto le ltre incognite sono fcilmente clcolbili: T P senα + M Mg senα + M M (g senα + ) (9,8 sen30 +,45) 4,7N,45m / s R Py P cosα Mg cosα 9,8 cos30 7N Conclusione: L mss M si muove verso il bsso perché il vlore trovto, essendo positivo, è in ccordo con l ipotesi ftt. PROBLEMA N. 5 Un corpo di mss M 75kg viene tirto, velocità costnte, con un fune inestensibile con un ngolo α 4 rispetto ll direzione di moto. Supponendo che il coefficiente di ttrito dinmico è µ D 0., clcolre l tensione dell fune. SOLUZIONE PRINCIPIO DELLA DINAMICA APPLICATO AL CORPO M r r r r Fx 0 F 0 r r 0 F y 0 perché V cost Il sistem divent: T F 0 T cos α F 0 N + T P 0 N + T senα P 0 dove: T T sinα T T cosα F µ D N µ D Mg P Mg Il sistem, così ottenuto, nelle incognite T e N, mmette le seguenti soluzioni: µ DMg T 9N cos α + µ D senα N Mg Tsenα 670N PROBLEMA N. 6 L figur rppresent un utomobile di mss M 600kg che viggi velocità costnte v 0m/s su un pist pin e circolre di rggio R 90m. Qul è il vlore minimo del coefficiente di ttrito tr i pneumtici ed il terreno che impedisce ll mcchin di slittre verso l esterno? Se l curv è soprelevt, qule ngolo dovrà essere inclinto il fondo strdle per grntire l tenut di strd senz l usilio dell forz di ttrito?

78 L Dinmic SOLUZIONE Digrmm delle forze PRIMO CASO PRINCIPIO DELLA DINAMICA APPLICATO AL CORPO M dove P Mg c v /R F µ D N µ D Mg r F M c r F r F x y r 0 F M r 0 N P 0 c Pertnto: µ v M/ g M/ R V 0 g R 9,8 90 D µ D 0, SECONDO CASO PRINCIPIO DELLA DINAMICA r F M c r F r F x y r 0 N r 0 N M P 0 c N senα M N cos α M g C dove: N c v N cosα N N senα P Mg /R Dividendo membro membro le equzioni del sistem, ottenimo: N/ cos α Nsen / α Mg / M / c ctgα g c c tgα g V g R 0 0, α 9,8 90

79 L Dinmic PROBLEMA N.7 Un veicolo compie un giro dell morte su un pist circolre, di rggio R 3 m, dispost in un pino verticle. Qul è l minim velocità che il veicolo deve vere nel punto più lto dell pist? SOLUZIONE PRINCIPIO DELLA DINAMICA APPLICATO AL CORPO M r r F M N + P M c dove P Mg c v /R (ccelerzione centripet) S e il veicolo è nell condizione di perdere conttto con l pist, llor N 0, per cui l legge divent: v P M c Mg / M/ V g R 9,8 3 R 5,4m / s Per essere certi che il veicolo non perd conttto con l pist nel punto più lto, l velocità deve essere mggiore di 5.4 m/s. PROBLEMA N.8 Dto il sistem in figur, clcolre l ccelerzione e le tensioni delle funi.

80 OLUZIONE isegnimo il digrmm delle forze per ciscun corpo: : L Dinmic S D Applichimo il principio dell dinmic ciscun corpo 0 P R M T M 0 P R M T T M M T P M Rccoglimo in un unico sistem le equzioni utili i fini del problem: M T M T T M T P 3 Sommimo membro membro le tre equzioni: ) M M (M T T T T P / + / / + / Dll equzione così ottenut clcolimo l ccelerzione delle msse: s 4,9m / 9, g M M M P + + Le tensioni delle funi, di conseguenz, sono: 4,7N 4,9 3 M T 9,6N 4,9) (9,8 4 ) (g M M g M M P T 3

81 L Dinmic PROBLEMA N.9 Dto il sistem in figur ( M 3 kg e M 4 kg) clcolre: le ccelerzioni e l tensione delle funi, nell ipotesi che l fune si inestensibile e priv di mss e le crrucole non bbino dimensioni e sino prive di mss; l condizione di equilibrio del sistem. SOLUZIONE IPOTESI: Si l mss M cdere verso il bsso. L ipotesi ftt è ininfluente i fini dell risoluzione del problem. Applichimo il principio dell dinmic lle due msse: P T M P T M T T + P M T P M Notimo: per le ipotesi ftte sull fune, le tensio ni in gioco sono tutte uguli; le ccelerzioni dei due corpi sono div erse; inftti se M si muove di un trtto L verso il bsso, poiché l fune è inestensibile, tle trtto di fune dovrà essere sottrtto l trtto di fune che vvolge l crrucol. Questo trtto srà quindi ottenuto prelevndo un trtto L/ sinistr e destr dell crrucol. Allor l velocità V L/ t di M è doppi rispetto ll velocità V L/ t di M e nlogmente per le ccelerzioni ottenimo: Ftte queste considerzioni, risolvimo il sistem di equzioni: P T M T P M T P M P 4M P M L second equzione del sistem contiene l unic incognit : M + 4M P P P P Mg Mg M (4M M M ) P P g 9, 8,3m / s 4M + M 4M + M 4M + M A questo punto è semplice clcolre e T:,3, 45m / s T M g M. M (g ) 3 (9, 8,3) N Poiché è positiv, l ipotesi ftt è giust, cioè M cde verso il bsso e M si muove verso l lto. Se fosse stt negtiv, il problem srebbe stto risolto nello stesso modo, m vremmo concluso che M si muove verso l lto e M verso il bsso. L equilibrio si ottiene se 0 cioè: P P M g/ M 0 ( P P ) 0 P P 4M + M g/ M M

82 L Dinmic PROBLEMA N.0 Dto il sistem di msse in figur, clcolre l ccelerzione e l tensione dell fune, nell ipotesi che si priv di mss ed inestensibile. SOLUZIONE IPOTESI: M scende M sle Tenendo conto del digrmm delle forze, il principio dell dinmic pplicto lle due msse divent: M P R x F P y T M 0 M T F Px R Py 0 M Le equzioni che servono rispondere i quesiti del problem sono: Px F T M T F Px M Risolvimo il sistem con il metodo di riduzione, per cui, sommndo membro membro le due equzioni ottenimo un equzione in un sol incognit: Px F T/ + T/ F Px M + M (M + M ) P senβ µ P cosβ µ P cos α P senα P (senβ µ cos β) P ( µ cos α + sen α) (M + M ) P (senβ µ cos β) P ( µ cos α + sen α) M + M 3 9,8 (sen45 0, 4 cos 45 ) 9,8 ( 0, cos 60 + sen60 ) 0,75m / s 3+ Poiché l ccelerzione è positiv, l ipotesi ftt è giust, cioè M cde verso il bsso e M si muove verso l lto. Se fosse stt negtiv, il problem srebbe stto risolto nello stesso modo, m vremmo concluso che M si muove verso l lto e M verso il bsso. Not l ccelerzione possimo clcolre dll prim equzione del sistem l tensione dell fune: T Px F M Mg senβ µ Mg cosβ M Mg (senβ µ cosβ) M 3 9,8 (sen45 0,4 cos 45 ) 3 0,75 0,N

83 L Dinmic PROBLEMA N. Un corpo di mss M kg si poggito su un pino inclinto con coefficiente di ttrito sttico µ S 0,5 e coefficiente di ttrito dinmico µ D 0,3. Si suppong di sollevre lentmente il pino vrindo l ngolo α. Clcolre: per qule vlore di α il corpo cominci scivolre con qule ccelerzione il corpo si muove in corrispondenz dell ngolo α SOLUZIONE Un punto mterile è in equilibrio se l somm vettorile di tutte le forze che giscono su di esso è null: CONDIZIONE DI EQUILIBRIO r r F 0 r F r F x y r 0 r 0 Utilizzimo l prim equzione per clcolre l ngolo in corrispondenz del qule il corpo cominci scivolre: P x senα F P/ senα µ S P/ cos α µ s tgα tgα 0,5 α 7 cos α Qundo il corpo cominci scivolre, l forz d ttrito diminuisce perché il coefficiente d ttrito divent quello dinmico, per cui, pplicndo il principio dell dinmic, l ccelerzione si clcol come: P F P senα µ P x FD M M M 9,8 (sen7 0,3 cos 7 ),8m / s P cosα Mg / (senα µ M/ cosα) x D D D

84 L Dinmic PROBLEMA N. Cl colre l ccelerzione del sistem di msse rppresentto in figur: SOLUZIONE Applichimo il secondo principio dell dinmic lle singole msse: M M r F M r F M r r r F x Fy r F F x y M 0 M 0 r Px F M R P 0 y r Px F M R P 0 y Poiché il corpo M h un mss ed un coefficiente d ttrito mggiori rispetto l corpo M, l forz d ttrito che gisce su M è mggiore rispetto quell che gisce su M, per cui M, frenndo il moto di M, f sì che il blocco di msse si muov insieme lungo il pino inclinto. Pertnto, sommndo membro membro le prime equzioni dei due sistemi ottenimo un unic equzione nell incognit : P + P F F P senα + P senα µ P µ P Px F + Px F (M + M ) M + M M + M x x y y P senα + P senα µ P cos α µ P cos α P (senα µ cos α ) + P (senα µ cos α) M + M M + M 5 9,8 (sen30 0,5 cos30 ) + 0 9, 8 (sen30 0,30 cos30 ),78m / s 5+ 0