Analisi della Varianza

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1 Anals della Varanza Esempo: Una ndustra d carta usata per buste per salumere vuole mglorare la resstenza alla trazone del propro prodotto. S rtene che resstenza alla trazone = f(concentrazone d legno nella pasta) Fattore Il gruppo d ngegner responsable del progetto decde d nvestgare 4 lvello d concentrazone del legno: 5% % 5% % Lvell Per ogn lvello decdono d realzzare 6 provn usando una panta plota. Replche I 4 provn vengono po testat n un laboratoro d trazone n ordne casuale

2 Il ruolo dell ordne casuale è fondamentale per mnmzzare l effetto d ogn varable d fastdo (ad esempo l effetto surrscaldamento della macchna d tensone) Lvell Totale Meda , ,7 Domanda: I 4 lvell d concentrazone sono statstcamente dfferent al lvello d sgnfcatvtà α?. Dsegnare l Box plot q mn med max q3 4

3 Il Modello Matematco: progetto spermentale completamente casuale Y j =,,..., a = µ + τ + ε j j =,,..., n osservazon parametro comune a tutt trattament: meda totale Componente d errore casuale numero d lvell numero d osservazon per lvello parametro o v.a. assocato all -esmo trattamento: -esmo effetto 5 H H a = : τ = τ = L = τ = : τ (esste almeno uno) τ = a Effett fss Idea: La varabltà totale della popolazone vene suddvsa n due part; dal confronto d queste due part s decde quanto trattament nfluenzno dat a n a a n ( ) ( ) ( ) yj y = n y y + yj y = j= = = j= 6 3

4 a n a a n ( ) ( ) ( ) yj y = n y y + yj y = j= = = j= Varanza camponara d tutte le osservazon Varanza camponara degl error E Varanza camponara de trattament [ Trattament ] = a ) σ + n E ( τ [ ] = a( n ) σ Errore a = 7 MS TRATTAMENTI = TRATTAMENTI ( a ) Meda quadratca de trattamen MS ERRORE = ERRORE a( n ) Errore quadratco medo Se H Se H [ ] σ [ ] σ : τ = = τ = L = τ = è vera E MS a Trattament : τ > = τ = L = τ = è falsa E MS a Trattament Invece l errore quadratco medo è uno stmatore corretto della varanza ndpendentemente dall essere vera o meno l potes nulla. [ MS ] E[ MS ] Se H : τ = τ = L = τ = è falsa E > a Trattament ERRORE 8 4

5 Trattament ( a ) Errore a( n ) Fscher ( a, a( n ) ) S rgetta l potes nulla se l valore calcolato della statstca è maggore d Esempo: T = 5.96 Trattament Errore = = T Trattament F = 9.6 > f.,3, = 3.9 f α, a, n( a ) = Anals della Varanza con Excel 5

6 Rsultat con Excel RIEPILOGO Grupp Conteggo Somma Meda Varanza ,6667 7, , 6 7,667 6,96667 ANALISI VARIANZA Orgne della varazone SQ gdl MQ F Valore d sgnfcatvtà F crt Tra grupp 38,79 3 7,597 9,65 3,5958E-6 3,984 In grupp 3,7 6,5833 Totale 5,96 3 Qual mede dfferscono? 6

7 5 5 Meda Meda 5,66667 Meda 7 Meda,6667 Errore stan,547 Errore stan,4538 Errore stan,7397 Errore stan,77549 Medana 9,5 Medana 6 Medana 7,5 Medana Moda #N/D Moda #N/D Moda 8 Moda #N/D Devazone,8847 Devazone,84758 Devazone, Devazone, Varanza c 8 Varanza c 7, Varanza c 3, Varanza c 6, Curtos,66875 Curtos -,86369 Curtos, Curtos -,799 Asmmetra,9343 Asmmetra -,359 Asmmetra -,94334 Asmmetra,3946 Intervallo 8 Intervallo 7 Intervallo 5 Intervallo 7 Mnmo 7Mnmo Mnmo 4Mnmo 8 Massmo 5 Massmo 9 Massmo 9 Massmo 5 Somma 6 Somma 94 Somma Somma 7 Conteggo 6 Conteggo 6 Conteggo 6 Conteggo 6 Lvello d co,96847 Lvello d co,94348 Lvello d co,87784 Lvello d co, Sere Sere Sere3 Grafco degl Intervall d confdenza 3 Test F a due campon per varanze 5 Meda,6667 Varanza 8 6, Osservazon 6 6 gdl 5 5 F,4835 P(F<=f) una coda,44535 F crttco una coda 5,

8 Test t: due campon assumendo uguale varanza 5 Meda,6667 Varanza 6, Osservazon 6 6 Varanza complessva 7, Dfferenza potzzata per le mede gdl Stat t 7,78 P(T<=t) una coda,7e-5 t crtco una coda,846 P(T<=t) due code 3,4E-5 t crtco due code,839 5 Fsher Test Il test d Fsher è necessaro per confrontare coppe d lvell (velocemente!!) H H H : µ = µ j : µ = µ j : µ µ : µ µ j j T = y y j MS n Err T - student a ( n-) Le mede d due lvell saranno sgnfcatvamente dvers se MS Err y y j > LSD = tα /, a( n ) n nel caso d tagle dverse y y j > LSD = t α /, N a MS Err n + n 6 j 8

9 Dff. Tra mede ,7 7,7,3 5,47 5 4,7 MSerr 6.5 t,5; =.85 = 3.7 n Sere Sere Sere Anals de resdu Y j = µ + τ + ε j N( µ + τ, σ ) resdu : yj y Affnchè l modello sa accettable, resdu devono avere dstrbuzone gaussana -> test -> Q-Q plot quantl Resdu

10 Il modello a effett casual Yj = µ + τ + ε j Eff. fss a = τ = τ N(, σ ),.. d. τ Eff. casual Stratega d camponamento de lvell Lvell nfnt oppure troppo numeros 9 H : σ = Unco fattore NB: la decomposzone τ della varabltà totale H : σ τ > sussste ancora a n a a n ( ) ( ) ( ) yj y = n y y + yj y = j= Modello a effett varabl = = j= Stma d σ τ TOT Lv E = a Lv ( ) a n ER ER σ + nσ E = τ Lv a F Er a( n ) e noltre ( a, a( n ) ) σ Stma d σ

11 Modello a effett varabl a n a a n ( y y ) = n ( y y ) ( y y ) j + j = = = j= TOT Lvell E a ˆ σ τ = MS LIV = σ + nσ MS n ERR = τ LIV MS Error E a j Error ( n ) ERR = σ stmatore corr. σ Esempo: Una compagna d manufatt tessl progetta una fabbrca con un elevato numero d tela. La compagna vuole studare la varabltà tra un telao e l altro della resstenza tessle. A questo scopo vengono selezonat 4 tela a caso e da ogn telao 4 campon tessl a caso d cu vene msurata la resstenza. Stoffa Telao

12 3 Anals varanza: ad un fattore RIEPILOGO Grupp Conteggo Somma Meda Varanza ,5, ,5, ,75, , ANALISI VARIANZA e della vara SQ gdl MQ F e d sgnfca F crt Tra grupp 89, ,797 5,683,88 3,493 In grupp,75, ˆ σ ˆ σ τ Var( =.9 = 6.96 Y j ) = 8.86 Totale, Meda 97,5 Meda 9,5 Meda 95,75 Meda 97 Errore stan, Errore stan, Errore stan,47874 Errore stan,987 Medana 97,5 Medana 9,5 Medana 95,5 Medana 97 Moda #N/D Moda #N/D Moda 95 Moda #N/D Devazone,9994 Devazone,9994 Devazone,95747 Devazone,8574 Varanza c, Varanza c, Varanza c,96667 Varanza c 3, Curtos -, Curtos -, Curtos -,896 Curtos -3,3 Asmmetra Asmmetra -9,3E-8 Asmmetra, Asmmetra,85E-7 Intervallo 3 Intervallo 3 Intervallo Intervallo 4 Mnmo 96 Mnmo 9 Mnmo 95 Mnmo 95 Massmo 99 Massmo 93 Massmo 97 Massmo 99 Somma 39 Somma 366 Somma 383 Somma 388 Conteggo 4 Conteggo 4 Conteggo 4 Conteggo 4 Lvello d co,546 Lvello d co,546 Lvello d co,5348 Lvello d co,9565 4

13 Dff ,75,5 4,5 5,5 3,5 4 t MS err,5; = n Telao q mn med max q3 5 Anals de resdu Resdu quantl

14 Eserczo : Per mglorare le caratterstche d durata a sollectazon dnamche d un componente aeronautco, s è decso d aggungere delle fbre d carbono al materale composto con cu è prodotto. S è tuttava ncert su quale sa la mglore lunghezza delle fbre tra le 4 possbl per questa partcolare applcazone. S decde pertanto d effettuare una breve spermentazone per appurare nnanztutto se la lunghezza delle fbre abba o meno un effetto sgnfcatvo sulla durata del componente. Nel caso che l effetto essta, s vuole conoscere quale sa la lunghezza ottma da utlzzare. Lvello ,99 9,89 9,6 9,3 9,35,6,4,,8,7 3,85,33,84 3,83,5 4 7,57,7 8,94 7,89 9,8 Durate de prototp espresse n ccl per ^6 7 Anals varanza: ad un fattore RIEPILOGO Grupp Conteggo Somma Meda Varanza Rga 5 47,5 9,43,46 Rga 5 56,65,33,46 Rga ,9,98,866 Rga ,95 8,99,785 ANALISI VARIANZA Orgne della varazone SQ gdl MQ F Val sgn F crt Tra grupp 3, ,47679,7333,58 3,38867 In grupp 4,866 6,8993 Totale 45, S deduce che l potes d neffcaca del trattamento va rgettata 8 4

15 prototp q mn med max q3 Dff. 3 4,9,55,44,65,34 3,99 4 t.5;6 =. Quantle =.6 9 Eserczo : Una fabbrca tessle ha un gran numero d tela. S presuppone che ogn telao produca lo stesso output d panno per mnuto. Per spermentare questa supposzone sono stat scelt 5 tela a caso ed è stato msurato l tempo d produzone d un panno campone. Tela , 4, 4, 4, 4, 3,9 3,8 3,9 4, 4, 3 4, 4, 4, 4, 3,9 4 3,6 3,8 4, 3,9 3,7 5 3,8 3,6 3,9 3,8 4, a) Sono tela sml n output? b) Stmare la varabltà tra tela c) Stmare la varanza dell errore spermentale d) Applcare l Fsher Test. 3 5

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