Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria 2010, matematicamente.it

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1 Nicol De Ros, Liceo scietifico sperimetle PNI sessioe ordiri, mtemticmete.it PROBLEMA Nell figur che segue è riportto il grfico di g per 5 essedo g l derivt di u fuzioe f. Il grfico cosiste di tre 9 semicircofereze co cetri i,,,,,e rggi rispettivi,,.. Si scriv u espressioe litic di g. Vi soo puti i cui g o è derivbile? Se sì, quli soo? E perchè?. Per quli vlori di, 5, l fuzioe f preset u mssimo o u miimo reltivo? Si illustri il rgiometo seguito.. Se f gt dt, si determii f() e f().. Si determiio i puti i cui l fuzioe f h derivt secod ull. Cos si può dire sul sego di f? Qul è l dmeto qulittivo di f?

2 Nicol De Ros, Liceo scietifico sperimetle PNI sessioe ordiri, mtemticmete.it Puto RISOLUZIONE L equzioe di u circoferez di cetro C,b e rggio R è y b R che b R se y b i form esplicit divet y. b R se y b Nel cso i esme le tre semicircofereze ho le segueti espressioi litiche: C, e rggio R Semicircoferez di cetro y ; Semicircoferez di cetro C, e rggio R y 6 8 ; Semicircoferez di cetro 9 C, e rggio 9 y 9 ; Di coseguez l fuzioe g L derivt dell fuzioe g è se se se g è 5 R

3 Nicol De Ros, Liceo scietifico sperimetle PNI sessioe ordiri, mtemticmete.it 5 se 9 9 se 8 6 se ' g Clcolimo il vlore delle derivte ei puti 5,,, : 9 9 lim ' lim 9 9 lim ' lim 8 6 lim ' lim 8 6 lim ' lim lim ' lim lim ' lim 5 5 g g g g g g Quidi l fuzioe g o è derivbile ei puti 5,,,.

4 Nicol De Ros, Liceo scietifico sperimetle PNI sessioe ordiri, mtemticmete.it Puto f soo d ricercre egli zeri Gli estremi reltivi dell fuzioe dell fuzioe g, derivt prim di f. Nell itervllo,5 le scisse degli estremi reltivi soo,. I prticolre poichè g è positiv i, e egtiv i, deducimo che è sciss di mssimo reltivo; logmete poichè g è egtiv i, e positiv i,5 deducimo che è sciss di miimo reltivo. A lto il qudro dei segi che rissume quto mssimo miimo detto. Puto g t ell itervllo, co,5 L fuzioe f gt dt rppreset l re sottes dll fuzioe. Procedimo l clcolo di f g t dt. Il vlore è pri ll somm lgebric tr le ree delle due semicircofereze di cetro rggio R e di cetro C, e rggio R : f gt dt. C, e

5 Nicol De Ros, Liceo scietifico sperimetle PNI sessioe ordiri, mtemticmete.it Procedimo l clcolo di f g t dt. Tle itegrle corrispode ll re i grigio ell figur sottostte ed è clcolble i tre modi ltertivi:. Differez tr l re dell semicircoferez (che vle ) e l re del trigolo mistilieo APB; quest ultim è pri ll re del settore circolre AOP meo l re del trigolo OBP. I puto O, B, A, P ho rispettivmete coordite,,b,,a,,p, PB settore circolre AOP misur rct rct O ; l golo PÔA di pertur del OB. L re del settore circolre AOP di mpiezz e rggio R è S AOP R metre l re del trigolo OBP è OB PB S OBP, per cui f gt dt ;. Poiché PÔA si h PÔC per cui f g t dt è pri ll somm dell re di u terzo di cerchio di 5

6 Nicol De Ros, Liceo scietifico sperimetle PNI sessioe ordiri, mtemticmete.it rggio R e dell re del trigolo OBP, cioè f gt dt.. Attrverso il clcolo esplicito dell itegrle defiito; pplicdo l itegrzioe per prti ll itegrle gt dt t rcsi C costte t dt si h: t t t dt t t dt t t dt t t t t dt t dt t t t t dt t dt t dt t t t t Il vlore richiesto è quidi pri t rcsi t f g tdt t rcsi rcsi rcsi rcsi 6 6

7 Nicol De Ros, Liceo scietifico sperimetle PNI sessioe ordiri, mtemticmete.it Puto I flessi soo d ricercre ei puti i cui si ull l derivt secod e quidi ei puti critici dell fuzioe g, derivt prim di f. 9 Quidi f ''. Tli flessi soo tgete obliqu. I geerle o è possibile defiire il sego di u fuzioe prtire dll cooscez dell derivt prim, i quto le derivte differicoo per u costte; tuttvi se ssumimo come l Puto f g quto i t dt,5 co,5, llor osservimo che f gt dt g. Co quest ssuzioe si h: gt dt f ; t rcsi t f g tdt t f i rppreset l re sottes l grfico di rcsi rcsi ltertivmete per simmetri f f f gt dt cioè pri ll re di u qurto di circoferez di rggio R ; ; 7

8 Nicol De Ros, Liceo scietifico sperimetle PNI sessioe ordiri, mtemticmete.it f gt dt come clcolto l Puto ; f gt dt cioè pri ll re dell semicircoferez di cetro C, e rggio R ; 7 f gt dt gt dt gt dt cioè pri ll somm lgebric tr le ree dell semicircoferez di cetro C, e rggio R e di u qurto di circoferez di cetro C, e rggio R : f gt dt come clcolto l Puto ; 9 9 f g t dt g t dt g t dt g t dt cioè pri ll somm lgebric tr le ree dell semicircoferez di cetro C, e rggio R, dell semicircoferez di cetro C, e rggio R e di u qurto di circoferez di cetro 9 C, e rggio R ; 5 5 f 5 g t dt g t dt g t dt g t dt 8 8 cioè pri ll somm lgebric tr le ree delle semicircofereze di 8

9 Nicol De Ros, Liceo scietifico sperimetle PNI sessioe ordiri, mtemticmete.it cetro cetro C, e rggio 9 C, e rggio R, di cetro R. f è strettmete crescete i,,5 f è strettmete decrescete i,; ; f preset u mssimo reltivo i, C, e rggio R e di M ; f preset u miimo reltivo i m, ; f preset tre flessi i F,,F,,F, 6 tgeti oblique rispettivmete di equzioi tf : y, t : y, t : y F F. 6 9

10 Nicol De Ros, Liceo scietifico sperimetle PNI sessioe ordiri, mtemticmete.it PROBLEMA Nel pio riferito d u sistem Oy di coordite crtesie sio ssegte le prbole d equzioi: y e y.. Si disegio le due prbole e se e determiio le coordite dei fuochi e le equzioi delle rispettive rette direttrici. Si deoti co A il puto d itersezioe delle due prbole diverso dll origie O.. L sciss di A è ; si dic qule problem clssico dell tichità è legto tle umero e, medite l ppliczioe di u metodo itertivo di clcolo, se e trovi il vlore pprossimto meo di. Si D l prte di pio delimitt dgli rchi delle due prbole di estremi O e A. Si determii l rett r, prllel ll sse, che stcc su D il segmeto di lughezz mssim.. Si cosideri il solido W otteuto dll rotzioe di D itoro ll sse. Se si tgli W co pii ortogoli ll sse, qule form ho le sezioi otteute? Si clcoli il volume di W. Puto L prbol di equzioe RISOLUZIONE y co l sse delle scisse, vertice i h l sse di simmetri coicidete O, e fuoco di coordite F, cioè F, e direttrice di equzioe prbol di equzioe ; l y h l sse di simmetri coicidete co l sse delle ordite, vertice i O, e fuoco di coordite F, cioè F, e direttrice di equzioe y.

11 Nicol De Ros, Liceo scietifico sperimetle PNI sessioe ordiri, mtemticmete.it y Le itersezioi tr le due prbole si ricvo dl sistem d y cui si ricv l equzioe risolvete per cui il puto A diverso dll origie, O h coordite, A. Il grfico di seguito mostr le due prbile e le reltive itersezioi i u uico riferimeto crtesio Oy. Puto Il umero è legto l problem dell dupliczioe del cubo che ssieme l problem dell trisezioe dell'golo e quello dell qudrtur del cerchio, uo dei tre problemi clssici dell geometri grec. Il problem dell dupliczioe del cubo è giuto oi sotto form di mito. L prim testimoiz i merito è u letter di Ertostee l re Tolomeo III e si rr di u tico trgico che, mettedo i sce il re Miosse l cospetto del sepolcro i costruzioe, di form cubic, del re Gluco, disse: «piccolo sepolcro per u re: lo si

12 Nicol De Ros, Liceo scietifico sperimetle PNI sessioe ordiri, mtemticmete.it fcci doppio coservdoe l form; si rddoppio, pertto, tutti i lti». Ertostee, dopo ver rilevto che l'ordie dto er erroeo, perché rddoppido i lti di u cubo se e ottiee u ltro co volume otto volte mggiore, riferisce che cque tr gli studiosi il cosiddetto "problem dell dupliczioe del cubo". L secod testimoiz, coosciut come Problem di Delo, è dell'espositore Teoe di Smire. Egli, citdo Ertostee, riport che gli bitti di Delo, vedo iterrogto l'orcolo di Apollo sul modo di liberrsi dll peste, vessero ricevuto l'ordie di costruire u ltre, di form cubic, dl volume doppio rispetto quello esistete, cioè u ltre di lto L tle che L l co l lto dell ltre di prtez. Per pprossimre il umero possimo pplicre il metodo delle tgeti (detto che di Newto-Rphso) o il metodo di bisezioe per trovre l rdice dell fuzioe f. Applichimo il metodo delle tgeti. Cosiderimo l itervllo,: gli estremi f ssume vlori discordi i quto f, f 6, i esso è strettmete crescete i quto ', f '' 6, degli zeri, esiste u uico zero dell fuzioe f i, f e volge cocvità verso l lto i quto ; quidi per il teorem di esistez ed uicità. Il vlore pprossimto lo si ricv ricorsivmete medite l formul f co puto iizile f ' i quto f ed '' f soo cocordi. L tbell mostr i pssi: e,,5,5,96,5,96,6,,6,6,5,6,

13 Nicol De Ros, Liceo scietifico sperimetle PNI sessioe ordiri, mtemticmete.it Il vlore pprossimto co due cifre decimli è quidi, 6 Metodo di bisezioe o dicotomico Di seguito l tbell che mostr tutti i pssi dell lgoritmo di bisezioe: b f f b b m m f f f m Erro re,, -, 6,,5,75 SI,5,,5 -,,75,5 -,7 NO,5,5,5 -,7,75,75,6 SI,5,5,75 -,7,6,,6 SI,6,5, -,7,6,8, SI, 5,5,8 -,7,,66,7 SI,6 6,5,66 -,7,7,58 -, NO,8 7,58 Ritrovimo che i questo cso il vlore pprossimto, 6 m co u umero rddoppito di pssi. Iftti il metodo di bisezioe h u velocità di covergez più bss rispetto l metodo delle tgeti. Puto U rett prllel ll sse delle h equzioe geeric y k ; le limitzioi geometriche impogoo k. Tle rett itersec l prbol y di equzioe i k H,k e l prbol di equzioe y i K k,k. I questo modo l cord itercettt vrà lughezz HK gk k k co

14 Nicol De Ros, Liceo scietifico sperimetle PNI sessioe ordiri, mtemticmete.it - mssimo + k ; i prticolre ell itervllo, si h k k k g. Trovimo il mssimo medite lo studio dell derivt: ' ' ' k k g k k g k k k k k g Dl qudro dei segi dell derivt prim deducimo che l lughezz dell cord è mssim per k ; i corrispodez gli estremi soo, H,, K e l lughezz mssim è 8 HK g.

15 Nicol De Ros, Liceo scietifico sperimetle PNI sessioe ordiri, mtemticmete.it Puto Se tglimo il solido W otteuto dll rotzioe itoro ll sse co u pio h ortogole l sse delle, si possoo vere le segueti sezioi:. u puto se h ;. u coro circolre se h ;. u circoferez di rggio R se h Il volume del solido può essere ricvto i due modi ltertivi:. L re dell coro circolre è S co ; il volume lo si ottiee itegrdo l re i, : 5 d ; V W Il volume del solido è dto dll differez tr il volume geerto dll rotzioe dell prbol di equzioe y e il volume geerto dll rotzioe dell prbol di equzioe y : 5 V W y d y d d

16 Nicol De Ros, Liceo scietifico sperimetle PNI sessioe ordiri, mtemticmete.it 6 QUESTIONARIO Quesito Si p u poliomio di grdo. Si dimostri che l su derivt - esim è p! dove è il coefficiete di. U geerico poliomio p di grdo può essere scritto come: p co,,, i R i, Clcolimo le derivte prim, secod e così vi sio ll -esim: p p p p! 6 ''' '' ' Quesito Sio ABC u trigolo rettgolo i A, r l rett perpedicolre i B l pio del trigolo e P u puto di r distito d B. Si dimostri che i tre trigoli PAB, PBC, PCA soo trigoli rettgoli. Cosiderimo l figur lto rppresette l geometri del problem. Poiché l rett PB è ortogole l pio del trigolo, ess è ortogole tutte le rette del pio pssti per B, quidi è ortogole BA e BC, d cui deducimo che i trigoli PBC e PBA soo etrmbi rettgoli i B. Ci rest

17 Nicol De Ros, Liceo scietifico sperimetle PNI sessioe ordiri, mtemticmete.it d dimostrre che che PAC è rettgolo; i prticolre voglimo dimostrre che PAC è rettgolo i A. Ciò è vero se, pplicdo il teorem di Pitgor, si h PC PA AC. Applicdo il teorem di Pitgor i trigoli PBA, PBC ed ABC otteimo: PB PC PA PB AB BC BC AB AC Sostituedo le espressioi e i si h: PA AB AB AC PA AC PC PB BC cioè il trigolo PAC è rettgolo i A. Quesito Si r l rett d equzioe y = tgete l grfico di y e. Qule è l misur i grdi e primi sessgesimli dell golo che l rett r form co il semisse positivo delle scisse? U geerico puto P del grfico G di P,e e l tgete i,e f e h coordite P G h equzioe y e e. Impoedo il pssggio per l origie, rett tgete, si h: e e e O dell. Quidi l rett tgete psste per l origie h equzioe y e e form co il semisse positivo delle scisse u golo pri ll rcotgete del coefficiete golre rct e 698'. 7

18 Nicol De Ros, Liceo scietifico sperimetle PNI sessioe ordiri, mtemticmete.it Quesito Si clcoli co l precisioe di due cifre decimli lo zero dell fuzioe f. Come si può essere certi che esiste u uico zero? L fuzioe f è cotiu e defiit i tutto R; l su f ' che è sempre positiv i tutto R l fuzioe è strettmete crescete; ioltre,, f, per il primo teorem di uicità degli f derivt prim è R, per cui i poichè f zeri possimo dedurre che esiste u uico zero dell equzioe i,. Ricvimo tle zero ttrverso il metodo delle tgeti e quello di di bisezioe. Metodo delle tgeti o di Newto-Rphso Il vlore pprossimto lo si ricv ricorsivmete medite l formul f co puto iizile i quto f ed f ' f '' soo cocordi. L tbell seguete mostr tutti i pssi dell lgoritmo: f f ' 8 e,,7,7,578,,578,56,,56,56,8,56, Il vlore pprossimto co due cifre decimli è quidi, 56

19 Nicol De Ros, Liceo scietifico sperimetle PNI sessioe ordiri, mtemticmete.it Metodo di bisezioe o dicotomico Di seguito l tbell che mostr tutti i pssi dell lgoritmo: f b b f m f f m Errore m,, -,,5 - NO,5,,8,5, -,,75, SI,5,8,5,75 -,,65,99 SI,5,8,5,65 -,99,56, SI,6,8,5,56 -,,5 - NO,,8, 5,5,56 -,,57 - NO,6,,9 6,57,56 -,,555 - NO,8,9,8 7,555 Co due cifre decimli ritrovimo, 56 m co u umero rddoppito di pssi. b f Quesito 5 Si G il grfico di u fuzioe f co R. Si illustri i che modo è possibile stbilire se G è simmetrico rispetto ll rett k. Le equzioi dell simmetri rispetto u geeric rett di equzioe k soo X k, quidi il grfico G è simmetrico ll rett Y y k se pss per i puti di coordite P, f e P ' k, f. I coclusioe G è simmetrico rispetto ll rett k se f f k. R 9

20 Nicol De Ros, Liceo scietifico sperimetle PNI sessioe ordiri, mtemticmete.it Quesito 6 Si trovi l equzioe crtesi del luogo geometrico descritto dl puto P di coordite cos t,sit l vrire di t, t. Le equzioi prmetriche del luogo geometrico soo: cos t co t y si t cos t cos t 9 D esse ricvimo y si y t si t Ricorddo l idetità trigoometric fodmetle si t cos t, il luogo cercto vrà equzioe y cioè u ellisse di semissi 9 pri e. Quesito 7 Per l ricorrez dell fest dell mmm, l sig.r Luis orgizz u ce cs su, co le sue miche che ho lmeo u figli femmi. L sig.r A è u delle ivitte e perciò h lmeo u figli femmi. Durte l ce, l sig.r A dichir di vere esttmete due figli. Si chiede: qul è l probbilità che che l ltro figlio dell sig.r A si femmi? Si rgometi l rispost. A h due figli F ed F e sppimo per certo che lmeo uo dei due è femmi. Si possoo presetre quidi csi possibili:. F mschio ed F femmi. F femmi ed F mschio. F femmi ed F femmi

21 Nicol De Ros, Liceo scietifico sperimetle PNI sessioe ordiri, mtemticmete.it Ricorddo l defiizioe di probbilità come rpporto tr csi fvorevoli sui totli, l probbilità di vere due figlie femmie è pri p. Il quesito può essere risolto ltertivmete el seguete modo. Idichimo co X l vribile letori idicte il umero di figlie femmie dell sigor A e idichimo co p l probbilità che u figlio si di sesso femmiile. Il quesito ci chiede di clcolre l probbilità che A bbi due figlie femmie spedo che l prim è femmi, cioè P X X. I prticolre le probbilità che il umero di figlie femmie si pri, o soo: P P X p, X p, X PX PX p p p p P L probbilità richiest è quidi P X X P X P X P X X P X P X P X P X p p p p p p e se ssumimo ugule probbilità per i due sessi si h p P X X. p

22 Nicol De Ros, Liceo scietifico sperimetle PNI sessioe ordiri, mtemticmete.it Quesito 8 Se e,, soo i progressioe ritmetic, qul è il vlore di? U progressioe ritmetic è u successioe di umeri tli che l differez tr ciscu termie e il suo precedete si u costte. Tle costte viee dett rgioe dell progressioe. Nel cso i esme i tr umeri,, soo i progressioe ritmetic se ovvero se. Esplicitimo i sigoli coefficieti biomili: 6!6!!!!!!!!!!!!!! Si h quidi:

23 Nicol De Ros, Liceo scietifico sperimetle PNI sessioe ordiri, mtemticmete.it cc. 7 o cc. o cc I coclusioe il vlore ccettbile è 7 cui corrispodoo i tre vlori 5 7, 5 7 7, 6 7. Quesito 9 Si provi che o esiste u trigolo ABC co AB =, AC = e Bˆ C 5 A. Si provi ltresì che se AB =, AC = e Bˆ C A, llor esistoo due trigoli che soddisfo queste codizioi. Cosiderimo l figur lto, rppresette il trigolo ABC co C,ABˆ,AB AC e cosiderimo i csi corrispodeti d 5 ed.

24 Nicol De Ros, Liceo scietifico sperimetle PNI sessioe ordiri, mtemticmete.it 5 Applicdo il teorem dei sei si h AB AC AB si ACB si ACB ˆ si ˆ si AC ˆ si ACB Poiché, u trigolo co AC,AB,ABˆ C 5 o esiste. Applicdo cor u volt il teorem dei sei si ricv: AB AC AB siaĉb si siaĉb si AĈB si AC AĈB rcsi 8,6 AĈB 8 rcsi, Il terzo golo srà di coseguez C ÂB 8 rcsi, CÂB 8, 6. I tl cso esistoo, quidi, due trigoli che soddisfo le codizioi AC,AB,ABˆ C. Per clcolre l misur del terzo lto si può procedere i due modi distiti:

25 Nicol De Ros, Liceo scietifico sperimetle PNI sessioe ordiri, mtemticmete.it. Teorem dei sei: si h ˆ ˆ AC BC si CAB si 5-ACB BC AC AC si si CAB ˆ si AC si 5-ACB si5cos ACB cos5si ACB ˆ ˆ ˆ ˆ si ACB ˆ si ACB si ACB cos ACB ˆ ˆ Teorem di Crot: posto BC si h AC AB AB cos 5 BC 9 7 5

26 Nicol De Ros, Liceo scietifico sperimetle PNI sessioe ordiri, mtemticmete.it Quesito Si cosideri l regioe R delimitt d y, dll sse e dll rett. L itegrle d forisce il volume del solido: ) geerto d R ell rotzioe itoro ll sse ; b) geerto d R ell rotzioe itoro ll sse y; c)di bse R le cui sezioi co pii perpedicolri ll sse soo semicerchi di rggio ; d) essuo di questi. Si motivi esurietemete l rispost. L rispost corrett è b). y B y O A Iftti il volume richiesto può essere clcolto el seguete modo: cosiderimo i puti A,,B, co ed il rettgolo ifiitesimo di bse d ed ltezz h AB ; l vrire di questi rettgoli coproo tutt l regioe R; per clcolre quidi il volume geerto dll rotzioe dell regioe R ttoro ll sse y, bst sommre tutte le coroe cilidriche, di re di bse A b d ed ltezz h, otteute ruotdo i rettgoli ifiitesimi ed il cui volume è V Abh d ; i ltre prole il volume del cilidro è pri ll itegrle dei volumetti d, : V i 6

27 Nicol De Ros, Liceo scietifico sperimetle PNI sessioe ordiri, mtemticmete.it 5 V V d d E possibile seguire ltre svrite strde per risolvere il quesito. U prim ltertiv cosete di clcolre il volume el seguete modo: il volume richiesto è dto dll differez del volume del cilidro di ltezz AB e rggio di bse OA ed il volume otteuto dll rotzioe dell prte di pio delimitt d y, dll sse y e dll rett y. Il volume del cilidro è VC OA AB. Il volume otteuto dll rotzioe dell prte di pio delimitt d y, dll sse y e dll rett y, è g VD ydy dove g y y, y ; quidi 5 y VD g ydy y dy I coclusioe V VC VD. 5 5 U secod ltertiv cosiste, ivece, el pesre l regioe decompost i tti rettgoli oguo dei quli geer u solido pri ll differez di due cilidretti, i modo che, ituitivmete potremo pesre il solido come somm progressiv di ifiiti gusci cilidrici cossili di spessore d, dove il rggio vri d. Il volume del guscio (ifiitesimo) può essere clcolto come prodotto dell re circolre di bse di rggio estero e rggio itero, per l ltezz: V i ifiitesimi di ordie superiore i i i i i i i. Trscurdo gli i il volume ifiitesimo srà 7

28 Nicol De Ros, Liceo scietifico sperimetle PNI sessioe ordiri, mtemticmete.it Vi i i i i i. Se il umero di gusci cilidrici i cui suddividimo l itervllo, è N il volume richiesto srà: 5 N N lim i lim i i N N i i 8 V V d. 5 5 I ltro modo cor vremmo potuto idetificre l rispost corrett scrtdo le rimeti. I questo seso, l ) è d scrtre i quto il volume geerto d R ell rotzioe itoro ll sse è V d d che è differete d d, e cio è cofermto che dl clcolo diretto i quto 8 V d 8. 5 Alogmete l c) è d scrtre i quto, dett A l re del semicerchio di rggio sezioe di R co pii perpedicolri ll sse, il volume del solido di bse R è d V A d che è differete d d, e cio è cofermto che dl clcolo diretto i quto V d