Statistica. Statistica descrittiva

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1 Statstca La statstca rguarda la raccolta, prstazo, aals laborazo utlzzazo d dat umrc allo scopo d ffttuar frz, strapolazo, d forr dcazo dcsoal stuazo ch prstao u crto grado d alatortà. Essa è utlzzata sttor qual l cooma, l scz socal, l scz fsch, atural, l agrooma, la mdca, l cotrollo d qualtà, cc. Il matral d bas su cu opra la statstca è costtuto da dat, coè da valor umrc. S ua dtrmata carattrstca può assumr dvrs valor umrc s parla d ua varabl. L varabl possoo ssr d du tp: Varabl qualtatv, quado la carattrstca o può ssr msurata, ma solo classfcata bas ad asptt qualtatv. I dat umrc, qusto caso, cosstoo ll frquz dgl lmt ch possdoo l carattrstch rlvat. U smpo d varabl qualtatva può ssr l umro d albr d dvrs spc prst ua dtrmata ara d u bosco, l umro d pat sa o co dvrs lvll d stom d ua malatta, l umro d dvdu co u dtrmato gruppo sagugo, l prfrz lttoral, cc. Varabl quattatv quado è possbl ffttuar ua msurazo dlla carattrstca, ad smpo l altzza dll pat, l pso spcfco dl lgo, l damtro dl troco, la vloctà d crscta, l ffcza fotosttca, cc. La statstca s artcola du sttor prcpal: dscrttva frzal. La statstca dscrttva rguarda la dscrzo sttca d u sm d dat mdat l calcolo d paramtr statstc; qust s rfrscoo all tra popolazo ch rapprsta l uvrso statstco, coè la totaltà d dat. Essa fa rfrmto, oltr, a crtr pr la prstazo d dat sotto forma d tabll grafc. La statstca frzal cosst ll sm d procdmt ch prmttoo d trarr frz coè d strapolar dal partcolar al gral formular pots sulla struttura dlla popolazo samado u campo, coè u sottosm, ua part d ssa. Attravrso u ragoamto dduttvo è possbl ddurr l carattrstch ch avrà u campo stratto da ua popolazo, mtr co l mtodo duttvo dal partcolar al gral è possbl strapolar l carattrstch d ua popolazo aalzzado u campo. Affché l frza o strapolazo sulla struttura dlla popolazo sa valda è cssaro ch l campo samato sa rapprstatvo sa spcfcata la probabltà d rror drvat da tal frza. La statstca acqu com scza puramt dscrttva, ma la sua compot frzal, svluppatas succssvamt, è dvuta fodamtal a tutt lvll tutt sttor procss dcsoal. L aals statstca modra, qud, s rfrsc prvaltmt all aals duttva o frzal. I du asptt, tuttava, s complmtao, fatt è cssaro cooscr, sulla bas dl calcolo dll probabltà, la struttura d campo ch s possoo strarr da ua popolazo, prma d ffttuar l procdmto vrso, d stma d paramtr dlla popolazo sulla bas d u campo stratto da ssa. Affché l frza sa valda è cssaro ch l campo sa rapprstatvo. Pr ssr tal l campo dv ssr casual, coè cascuo dgl lmt dlla popolazo dv avr la stssa probabltà d ssr stratto. La possbltà dll rror è trsca all frza statstca, qud l stm o sagg tst d paramtr statstc d ua popolazo dvoo comprdr ach ua valutazo dlla probabltà d rror. Statstca dscrttva. Dstrbuzo d frquza A volt può ssr opportuo orgazzar u sm d dat ua dstrbuzo d frquz, suddvddo dat grupp o class dcado l umro d ossrvazo cascua class. Dvddo l umro d ossrvazo cascua class pr l umro total d ossrvazo ll sm d dat s ott ua dstrbuzo d frquz rlatv, la cu somma è ugual a uo. U stogramma cosst u grafco a barr, basato su ua dstrbuzo d frquza, l qual l class soo dspost lugo l ass orzzotal l frquz lugo qullo vrtcal. U polgoo d frquz cosst u grafco lar ottuto cogugdo l frquz d cascua class l puto ctral d valor dlla class. Ua dstrbuzo d frquz cumulat comprd, pr cascua class, ach l umro total d ossrvazo tutt l class prcdt; quado v traccata s ott ua curva d dstrbuzo od ogva. Esmpo. Uo studt ha rcvuto sgut vot grads da 0 a 0 0 quz svolt durat u smstr: 6, 7, 6, 8, 5, 7, 6, 9, 0 6. Qust vot possoo ssr orgazzat dstrbuzo d frquza Tab.. grafcamt Fg...

2 Esmpo. Vt barattol cas d u campo cotgoo u pso tto varabl tra 9,3 0,9 oc oca=8,35 g, com llustrato Tab... Raggruppado qust dat s class s ottgoo trvall d class d 0,3 oc [,0-9,/6=0,3 oc]. I ps Tab. soo orgazzat dstrbuzo d frquza Tab..3 mostrat grafcamt Fg...

3 . Idc d tdza ctral Gl dc o msur d tdza ctral pù mportat soo: la mda, la mdaa 3 la moda. Ess possoo ssr dtrmat pr la popolazo o uvrso statstco, l sm d tutt gl lmt ch voglamo dscrvr o pr campo stratt da ssa utlzzado dat aggrgat raggruppat o dsaggrgat o raggruppat.. La mda artmtca d ua popolazo v dcata co la lttra grca μ, qulla d u campo co Esmpo 3. Pr dat dsaggrgat μ s calcolao co l sgut formul: dov Σ è la somma d tutt l ossrvazo, mtr s rfrscoo, rspttvamt, al umro d ossrvazo lla popolazo l campo. Pr dat aggrgat μ s calcolao co l sgut formul: f f dov Σf s rfrsc alla somma dll frquz d cascua class f moltplcata pr l valor ctral dlla class Esmpo 4.. La mdaa pr dat dsaggrgat rapprsta l valor dll lmto ctral quado tutt gl lmt soo ordat trm d valor ascdt o dscdt. Mdaa = +/ smo lmto lla sr d dat. Pr dat aggrgat: Mdaa L / f Dov: L= lmt fror dlla class mdaa, coè dlla class ch cot la mdaa = umro d ossrvazo F= somma dll frquz fo alla class mdaa sclusa f m =frquza dlla class mdaa c= ampzza dll trvallo d class. 3. La moda è l valor ch prsta la massma frquza ll sm d dat. Pr dat aggrgat: d Moda L c d d dov L= lmt fror dlla class modal class co la massma frquza d = frquza dlla class modal mo la frquza dlla class prcdt d = frquza dlla class modal mo la frquza dlla class succssva c= ampzza dll trvallo d class. m F c 3

4 La mda è la msura d tdza ctral pù comumt utlzzata. La mda, tuttava, è fluzata da valor strm, mtr la mdaa la moda o lo soo. Altr msur d tdza ctral soo la mda podrata, la mda gomtrca la mda armoca. 4. Mda podrata. S calcola moltplcado sgol valor, prma d sommarl, pr l loro pso, ch, gr, cocd co l umro d volt cu qul dato è prst frquza. Esmpo: Ua dtta paga u salaro oraro d 4 a 5 maoval, 6 a 5 opra 8 a 0 opra spcalzzat, s vuol cooscr l salaro mdo mda podrata pagato dalla dtta. w ,40 5. Mda gomtrca. S calcola co la radc -sma dl prodotto d tutt valor. S usa, ad smpo, pr tass d crscta, d trss o d flazo. Esmpo. Ua azo ha u tasso d flazo dl % l prmo ao, 5% l scodo ao,5% l trzo ao. S vuol cooscr la mda gomtrca dl tasso d flazo. G 3 3 G G 5,5 5 5% I pratca la mda gomtrca s calcola utlzzado logartm: log x log G Esmpo 3. Calcolo dl voto mdo pr la popolazo costtuta da vot d 0 quz dll Esmpo, usado la formula pr dat dsaggrgat: Pr calcolar la mdaa pr dat dsaggrgat prma s dspogoo dat ord crsct: 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 0. Po s calcola l valor dll lmto ctral: +/= 0+/= 5,5 smo valor. Qud la mdaa sarà data dalla mda dl 5 6 lmto dlla sr ordata d dat: 6+7/= 6,5. Il valor dlla moda pr qusto sm d dat è 6 valor d massma frquza. Esmpo 4. E possbl stmar la mda d dat aggrgat dl campo Tab.3 co l auto dlla Tab..4: f 40,6 0,08 0 La mdaa pr gl stss dat aggrgat s calcola com sgu: 4

5 dov: L= 9,8= lmt fror dla class mdaa class 9,8-0,0 cott la 0 a a ossrvazo = 0= umro d ossrvazo o lmt F= 3= somma dll frquz prcdt ma o comprdt la class mdaa f m = 8= frquza dlla class mdaa c= 0,3= ampzza dll trvallo d class Aalogamt pr la moda: Esmpo 5. I 5 lavorator d u azda rcvoo l rtrbuzo orar wags dollar rportat Tab..0. a Dsporr dat ord crsct. b Raggruppar dat class. c Prstar dat forma d stogramma, stogramma dll frquz rlatv. d Calcolar la mda utlzzado dat sgol dsaggrgat. Calcolar la mda utlzzado dat aggrgat class d frquza. a b I dat varao tra 3,55 4,6, qud è opportuo suddvdrl 8 class co ampzza 0, 4,30-3,50/8=0,. Occorr calcolar ach l puto ctral d cascua class. 5

6 c d 3,65 3,78 3,85 5 4,05 98,65 5 3,95 f 98,75 5 3,95 6

7 .3 Idc d dsprso La dsprso s rfrsc alla varabltà sstt dat. Gl dc o msur d dsprso pù mportat soo: la varaza la dvazo stadard. Ach gl dc d dsprso possoo ssr calcolat pr la popolazo o pr u campo pr dat aggrgat raggruppat o dsaggrgat o raggruppat.. La varaza dlla popolazo s dca co σ sgma, qulla dl campo co s s calcolao com sgu pr dat dsaggrgat: s pr dat aggrgat: f s f. L dvazo stadard dlla popolazo dl campo s ottgoo strdo la radc quadrata dlla varaza. Pr dat dsaggrgat: s pr dat aggrgat: f s f -= grad d lbrtà. da usar pr campo. Gl dc d dsprso pù utlzzat soo la varaza la dvazo stadard. Altr dc soo l campo d varazo rag, la varazo trquartl la dvazo quartl. 3. Il coffct d varazo CV o V msura la dsprso rlatva: CV= / pr l popolazo; CV= s/ pr campo. Esmpo 5. La varaza, la dvazo stadard l coffct d varazo d dat Tab.. dll smpo dat dsaggrgat, popolazo possoo ssr calcolat co l auto dlla Tab..5 = 7. 7

8 0, ;,, 48 0,48 CV 0,, o ach % 7 Esmpo 6. Varaza, dvazo stadard coffct d varazo pr la dstrbuzo d frquza d ps dat aggrgat, campo Tab..3 possoo ssr calcolat co l auto dlla Tab..6 =0,08. f,95 f,95 s 0,554 ; s 0,544 0, s 0,394 CV 0,096, o ach,96% 0,08.4 Forma dll dstrbuzo d frquza La forma dll dstrbuzo d frquza s rfrsc al grado d smmtra o asmmtra skwss al lvllo d compattzza curtos.. Smmtra/asmmtra skwss. Ua dstrbuzo ha asmmtra skwss zro s è smmtrca rsptto alla sua mda. I ua dstrbuzo smmtrca umodal mda, mdaa moda cocdoo. Ua dstrbuzo è postvamt asmmtrca s la coda dstra è pù luga allora: mda>mdaa>moda; è gatvamt asmmtrca s è pù luga la coda sstra allora: moda>mdaa>mda. L asmmtra o skwss Sk s può calcolar co l coffct d asmmtra d Parso: pr l popolazo: pr campo: Pr l dstrbuzo smmtrch: Sk= 0.. Curtos. Ua curva rstrtta alta s dfsc lptocurtca, ua bassa ampa platcurtca, rfrmto a ua curva trmda dfta msocurtca. 8

9 9 Esmpo 7. Calcolo dl coffct d asmmtra skwss d Parso pr vot dll smpo = 7, mdaa= 6,5 Esmpo 3 =,48 Esmpo 5: Aalogamt pr dat dl campo Tab. la dstrbuzo d frquza Tab..3 dll smpo = 0,08, mdaa= 0,06 Esmpo 4 s= 0,39 Esmpo 6:.5 Formula smplfcata pr l calcolo dlla varaza E possbl dmostrar ch l formul pr l calcolo dlla varaza vst prcdza: popolazo s campo quvalgoo a qull sgut, molto pù smplc comumt utlzzat: popolazo s campo pr dat aggrgat: f f popolazo f f s campo Dmostrazo:

10 Esmpo 8. Calcolo dlla varaza, dlla dvazo stadard dl coffct d varazo pr ua popolazo utlzzado la formula smplfcata d dat Tab..7 Vot da 0 a 0 ua class d 40 studt. pr dat aggrgat Tab..0: CV= / =,9/6=3,65 ovvro: 3,65% 0

11 Esmpo 9. Calcolo dlla varaza, dlla dvazo stadard dl coffct d varazo pr u campo utlzzado la formula smplfcata d dat Tab..0 Rtrbuzo orara dollar $ d 5 opra. =3,65 +3,78 +3, ,8 +4,05 =390,3 =3,65+3,78+3, ,8+4,05=98,65 = /=98,65/5=3,95 /=98,65 /5=389,7 s = 390,3 389,7 =0,036 4 s s =, =0,9 CV=s/ =0,9/3,95=0,048 ovvro: 4,8%

12 Probabltà dstrbuzo d probabltà 3. Probabltà d u vto sgolo S u vto A può vrfcars A volt su u total d vt possbl d quprobabl, la probabltà ch s vrfch l vto A sarà data da: A P A La probabltà può ssr vsualzzata co u dagramma d V. I Fg. 3- l crcho rapprsta l vto A, mtr l ara total dl rttagolo rapprsta tutt possbl vt. PA vara tra 0. S PA=0 l vto A o può vrfcars, è mpossbl. S PA= l vto A s vrfchrà crtamt. S PA rapprsta la probabltà ch o s vrfch A, allora: PA+PA = Esmpo. Lacado ua mota blacata tsta T croc C soo du vt co l stss possbltà, Qud: T P T ; C P C ; P T P C Esmpo. Lacado u dado ua volta soo possbl s rsultat ugualmt probabl:,, 3, 4, 5 6. Qud: La probabltà d o ottr è: cosgu: Esmpo 3. U mazzo da pokr ha 5 cart co quattro color cuor, quadr, for, pcch 3 cart pr cascu color. S l mazzo è b mscolato sst la stssa probabltà d strarr ua qualsas dll 5 cart. Pochè c soo 4 jack J, la probabltà d strar uo è: J J 4 5 Pochè c soo 3 quadr, dcat co Q; la probabltà d strarr u quadr è PQ, qulla d strarr ua carta d vrsa è PQ : 3 P Q P Q' P Q 4 3 4

13 Esmpo 4. Suppoamo ch 00 lac d ua mota s ottgao 53 tst H 47 croc T. La frquza rlatva dll tst è 53/00, o 0,53. Qusta è la frquza rlatva dlla probabltà mprca ossrvata, ch dv ssr dstta dalla probabltà a pror o classca PH=0,5. All aumtar dl umro d lac lmt ch td a fto la probabltà ossrvata covrg vrso la probabltà a pror. 3. Probabltà d vt multpl. Rgola dll addzo pr vt o mutuamt sclusv. Du vt, A B, o soo mutuamt sclusv s l vrfcars d A o prclud l vrfcars d B, o vcvrsa. Qud: PA o B=PA+PB-PA B ovvro: P A B P A P B P A B s sottra PA B pr vtar d cotggar du volt la part comu. Il dagramma d V Fg. 3. charsc mglo l motvo s o s sottrass PAB la part ctral dl dagramma vrrbb cotggata du volt, prma pr A po pr B.. Rgola dll addzo pr vt mutuamt sclusv. Du vt A B soo mutuamt sclusv s l vrfcars d A prclud l vrfcars d B, o vcvrsa. Qud: PA B=PA+PB ovvro: P A B P A P B 3. Rgola dl prodotto pr vt dpdt. Du vt soo dpdt s l vrfcars d uo è cosso qualch mara co l vrfcars dll altro. Qud la probabltà coguta d A B è: PA B=PA PB/A ovvro: P A B P A P B / A ch va ltto: La probabltà ch tramb gl vt A B s vrfcho è data dal prodotto dlla probabltà dll vto A pr la probabltà dll vto B, posto ch A s sa gà vrfcato. PB/A=probabltà codzoata dll vto B, dato ch l vto A s sa gà vrfcato; oltr: PA B=PB A coè: P A B P A P B / A P B P A/ B 4. Rgola dl prodotto pr vt dpdt. Du vt A B soo dpdt s l vrfcars d A o è cosso ssua mara al vrfcars d B. [PB/A=PB]. Qud: PA B=PA PB coè: P A B P A P B 3

14 Esmpo 5. Rgola Co u sgolo laco d u dado possamo ottr,, 3, 4, 5 o 6. Qust soo vt mutuamt sclusv, qud P=P=P3=P4=P5=P6=/6. La probabltà d ottr o 3 u sgolo laco sarà: P 3 P P3 qulla d ottr o 3 o 4: P 3 4 P P3 P Esmpo 6. Rgola L probabltà d strarr da u mazzo d cart ua carta d pcch P o u r R da u mazzo d cart da pokr o costtuscoo du vt mutuamt sclusv, prchè potrbb ssr stratto u r d pcch. Qud: Usado smbol dgl sm: PP o R=PP+PR-PP R P P R P P P R P P R dov l smbolo d uo sosttusc o l smbolo d trszo sosttusc. Esmpo 7. Rgola 4 I rsultat d du lac succssv d ua mota soo vt dpdt. Il rsultato dl prmo laco o fluza qullo dl scodo laco. Qud T=tsta, C=croc: PT T=PT T=PT PT= 0, 5 4 aalogamt, pr tr lac: PT T T= PT T T=PT PT PT= 0, 5 8 Esmpo 8. Rgola 3, probabltà codzoata La probabltà d ottr u r d quadr R q alla prma strazo è: P Rq 5 S la prma carta stratta è propro l r d quadr o v rtrodotta, la probabltà d ottr u altro r alla scoda strazo sarà dpdt dalla prma strazo, prchè ora c soo tr r su 5 cart rmast. La probabltà codzoata d strarr u scodo r, dato ch l r d quadr è stato gà stratto o rtrodotto, è: 3 P R / Rq 5 Qud la probabltà d ottr l r d quadr alla prma strazo, sza rtroduzo, d strarr u scodo r sarà: PR q R=PR q PR/R q =

15 3.3 Dstrbuzo d probabltà dscrt: la dstrbuzo bomal Ua varabl casual o radom o stocastca è ua varabl cu valor soo assocat co ua crta probabltà d ssr ossrvata. Ua varabl casual dscrta o qualtatva cotrapposzo a ua cotua o quattatva può assumr solo valor ft dstt. S dfsc dstrbuzo d probabltà l sm d tutt possbl valor d ua varabl casual dll probabltà ad ssa assocat. La somma d tutt l probabltà ha valor uo. Ua dstrbuzo d varabltà dscrta è la dstrbuzo bomal, ch forsc la probabltà ch s vrfch volt u vto o d succss d u vto, P, rptzo dllo stsso sprmto. L codzo soo: ch c sao du sol possbltà mutuamt sclusv s. tsta o croc, ch l rptzo sao dpdt og laco è dpdt dagl altr 3 ch la probabltà d succsso p rmaga costat cascua rptzo dll sprmto. Qud:!! P p q p q p p x!!!! dov è l umro dll rptzo d fattoral:!= pr dfzo 0!=; p= frquza d u vto A s. croc, q= frquza d u vto altratvo B s. tsta, p+q=. La mda dlla dstrbuzo bomal è: p La varaza è: pq p p La dvazo stadard è: pq p p S p=q=-p=0,5 la dstrbuzo bomal è smmtrca; s p<0,5 è asmmtrca vrso dstra; s p>0,5 è asmmtrca vrso sstra. Esmpo 9. Gl st possbl d du lac d ua mota T=tsta, C=croc soo: TT, TC, CT CC. Qud: P 0T 4 P T P T 4 Il umro d tst è qud ua varabl casual dscrta l sm d tutt gl vt possbl co l loro probabltà assocat costtusc ua dstrbuzo d probabltà dscrta lla tablla l grafco sgut H Had=T T Tal=C. Esmpo 0. Usado la dstrbuzo bomal possamo calcolar la probabltà d ottr 4 tst 6 lac d ua mota: 5

16 Il umro attso d tst 6 lac sarà: la dvazo stadard dlla dstrbuzo d probabltà d 6 lac sarà: Pochè p=0,5 la dstrbuzo d probabltà è smmtrca. Esmpo. a Calcolar la probabltà d ottr 3 tst 5 lac d ua mota. b Calcolar la probabltà d ottr mo d 3 tst. a =5; =3; p=0,5. p p p 6!! ,5,!! P p q p q p p x!! P 3 5! ,5 0,5 0,5 3!5 3! 0,35 b P 3 P0 P P P 0 5! ,5 0,5 0,035 0!5! 5 0,035 P 5! 4 0 0,5 0,5 0,5!5! 4 0,065 0,565 P 5! 3 0 0,5 0,5 0,5!5! 0,5 0,35 P 3 P0 P P 0,035 0,565 0,35 0,5 3.4 La dstrbuzo d Posso La dstrbuzo d Posso è u altra dstrbuzo d probabltà dscrta. E utlzzata pr dtrmar la probabltà d u dtrmato umro d succss pr utà d tmpo, posto ch gl vt o succss sao dpdt ch l umro mdo d succss pr utà d tmpo rmaga costat. Allora: P! dov: = umro dsgato d succss P= probabltà d ottr succss = umro mdo d succss pr utà d tmpo = bas d logartm atural,788 Esmpo. U dpartmto d polza rcv ua mda d 5 chamat all ora. La probabltà d rcvr chamat u ora slzoata a caso è: P 0,0845!! La dstrbuzo d Posso può ssr usata com u approssmazo dlla dstrbuzo bomal quado è lvato p o -p soo pccol. 3.5 Dstrbuzo d probabltà cotu Ua varabl casual cotua può assumr u umro fto d valor og trvallo dato. La probabltà ch rcada tro cascu trvallo è data dall ara sottostat la dstrbuzo d probabltà o fuzo d dstà. L ara total probabltà sottostat la curva è uo. La dstrbuzo ormal è la dstrbuzo d probabltà cotua pù comumt utlzzata ll aals statstca. La curva ormal ha forma a campaa d è smmtrca rsptto alla mda. Essa s 6

17 std dftamt astotcamt tramb l drzo, ma gra part dll ara probabltà s addsa toro alla mda; l 68,6% dll ara probabltà al d sotto dlla curva ormal è comprso tro ua dvazo stadard dalla mda tramb l drzo coè tro µ±σ, 95,44% tro µ±σ 99,74% tro µ±3σ. La dstrbuzo ormal stadard è ua dstrbuzo ormal co mda 0 dvazo stadard coè µ=0 σ=. Qualsas dstrbuzo ormal scal Fg. 3-4 può ssr covrtta, mdat ua trasformazo lar, ua dstrbuzo ormal stadard podo µ=0 d sprmdo l dvazo dalla mda utà d dvazo stadard scala z. Pr trovar l probabltà ar pr problm rt la dstrbuzo ormal, occorr prma covrtr l valor l valor z corrspodt trasformazo lar com sgu: z I appdc 3 soo rportat valor d z. La tablla rporta la proporzo dll ara probabltà sotto la curva comprsa tra la mda l valor z. Ua dstrbuzo d probabltà cotua s rfrsc all trvallo d tutt gl ft valor ch possoo ssr assut da ua varabl casual cotua, sm all probabltà ad ss assocat. La dstrbuzo d probabltà d ua varabl casual cotua può ssr dfta com ua fuzo d dstà d probabltà o, pù smplcmt, ua fuzo d probabltà. Essa è data da ua curva a campaa tal ch l ara total probabltà sotto la curva assuma valor. Pochè ua varabl casual cotua può assumr u umro fto d valor all tro d og trvallo dfto, la probabltà d og valor spcfco è par a 0. E possbl, tuttava, msurar la probabltà ch ua varabl casual cotua assuma qualsas valor tro u dato trvallo ad smpo tra calcolado l ara sottostat la curva comprsa qull trvallo, coè dall tgral dfto: P dov f è l quazo dlla fuzo d dstà d probabltà. f d Ua dstrbuzo ormal è ua fuzo d probabltà cotua co forma a campaa, smmtrca rsptto alla mda msocurtca. Allotaados dalla mda tramb l drzo, la curva ormal s avvca astotcamt all ass orzzotal, sza ma toccarlo. L quazo dlla fuzo d probabltà ormal è data da: f dov: f= ordata altzza dlla curva ormal; =,783 = 3,46 = mda dlla dstrbuzo = dvazo stadard dlla dstrbuzo 7

18 pochè: z l quazo dlla varabl ormal stadardzzata sarà: f z l ara total da a racchusa dalla curva ormal è: z d La dstrbuzo ormal stadard è ua dstrbuzo ormal co =0 =. Qualsas dstrbuzo ormal dfta da u dtrmato valor d può ssr trasformata ua dstrbuzo ormal stadard podo =0 d sprmdo l dvazo da utà d dvazo stadard. E possbl calcolar l ar probabltà covrtdo valor corrspodt valor z trasformazo lar: z=- / crcado valor calcolat lla tablla d z. Esmpo. L ara probabltà sottostat la curva ormal stadard comprsa tra z= 0 z=,96 s ott corrspodza dl valor d,96 App. 3. Il valor z= sgfca ch l 47,50% dll ara total sotto la curva è comprso tra 0,96. Ovvamt, ssdo la curva smmtrca, ach l ara comprsa tra -,96 0 è dl 47,50%. Qud l ara total comprsa tra -,96 +,96 è 0,95, coè comprd l 95% dll ara total sottsa dalla curva ormal. Esmpo 3. Suppoamo ch sa ua varabl casual dstrbuta ormalmt co = 0 = 4 ch s vogla cooscr la probabltà ch assuma u valor tra 8. Prma s calcolao valor z corrspodt a valor 8 d, qud s crcao valor z ottut tablla z z Pr z= s ott u valor d 0,343, qud z= ± quval a 0,343= 0,686. Cò sgfca ch la probabltà ch assuma u valor tra 8 [P8<<] è 68,6% Fg Esmpo 4. Suppoamo acora ch sa ua varabl casual dstrbuta ormalmt co = 0 La probabltà ch assuma u valor tra 7 4 è: = z,5 z I tablla pr z = -,5 ottamo 0,43 pr z = ottamo 0,477. Prcò P7<<4= 0,433+0,477=0,904, ovvro 9,04% Fg Qud la probabltà ch assuma u valor fror a 7 o supror a 4 è d -0,904= 0,0896, coè 8,96%. La dstrbuzo ormal approssma la dstrbuzo bomal quado 30, p>5 -p>5, mtr approssma la dstrbuzo d Posso quado 0. 8

19 Ifrza statstca: Stma 4. Campoamto L frza statstca è uo dgl asptt pù mportat crucal l procsso dcsoal ambto sctfco, coomco fazaro. Attravrso u procdmto duttvo ssa prmtt d dfr l carattrstch d ua popolazo dall ossrvazo d ua part d ssa, dtta campo. La popolazo cosst tutt gl lmt dll sm oggtto d studo, mtr l campo cosst ua porzo d lmt stratt dalla popolazo. L aals dll tra popolazo può ssr mpossbl o atcoomca, ad smpo pr l su dmso o prchè l acquszo d dat comporta la dstruzo dgl lmt studat. Qust dffcoltà possoo ssr suprat strado u campo rapprstatvo, coè casual, dalla popolazo. L frza statstca s rfrsc alla stma al saggo tst dll pots. La stma cosst l procsso d frza o stma d u paramtro d ua popolazo dall statstch stmator corrspodt rlatv a u campo stratto dalla popolazo. U paramtro cosst ua carattrstca dscrttva ad smpo la mda la dvazo stadard d ua popolazo; ua statstca o stmator è ua carattrstca dscrttva d u campo. L frza statstca può qud ssr d du tp: stma saggo o tst dll pots. La stma cosst ll frr o stmar u paramtro dlla popolazo dalla statstca corrspodt dl campo. Ad smpo, possamo stmar la mda la dvazo stadard d ua popolazo dalla mda dalla dvazo stadard d u campo da ssa stratto. Il saggo o tst dll pots prvd d dtrmar, sulla bas dll formazo rlvat dal campo, s accttar o rgttar u pots o u assuto co rfrmto al valor d u paramtro. Pr ssr vald la stma l saggo dll pots dvoo ssr basat su u campo rapprstatvo, ch pr ssr tal dv ssr ottuto mdat u campoamto casual radom, l qual cascuo d compot dlla popolazo dv avr la stssa possbltà d ssr cluso l campo. Esstoo dvrs tp d campoamto casual. l campoamto casual smplc o solo cascu lmto, ma ach cascu campo ha la stssa probabltà d ssr stratto. l campoamto sstmatco gl lmt stratt soo slzoat dalla popolazo a trvall uform d tmpo, ord o spazo ad smpo strado og ctsmo om da ua rubrca tlfoca. Il campoamto sstmatco spsso può dtrmar campo sblacat, o rapprstatv, ad smpo rlvado l volum d rfut og ludì, quado s accumulao rfut dl f sttmaa. l campoamto pr raggruppamt stratfcato clustr grappolo la popolazo è suddvsa strat ad smpo pr grupp d tà clustr ad smpo gl solat d ua cttà, da qual s stra casualmt u umro proporzoal d lmt da cascuo strato clustr. Il campoamto stratfcato s usa quado l varabltà tro cascuo strato soo pccol rlazo all varabltà tra strat, qullo clustr l caso opposto. Esmpo. U campo casual d 5 dgl 80 opra d u azda può ssr ottuto scrvdo l om dgl 80 lmt su u fogltto po strado casualmt 5. Pù smplcmt è possbl usar ua tablla d umr casual. I qusto caso s assga u umro da a 80 ad og oprao, po s slzoao 5 umr d sguto, vrtcalmt od orzzotalmt. 4. Dstrbuzo campoara dlla mda S s straggoo pù campo casual da ua popolazo s calcola la mda d cascu campo, s ottrrao altrttat md campoar, ch sarao dvrs tra loro. La dstrbuzo d probabltà d qust md d campo s dfsc dstrbuzo campoara dlla mda. Ach la dstrbuzo campoara dlla mda ha a sua volta ua propra mda, ch s dca co l smbolo, ua dvazo stadard dlla mda o rror stadard, ch s dca co L sgut du carattrstch mportat collgao la dstrbuzo campoara dlla mda alla popolazo d org. S s straggoo rptutamt campo casual d dmso da ua popolazo: pr popolazo ft d dmso, quado 0,05: 9

20 Torma ctral dl lmt. All aumtar dlla dmso dl campo la dstrbuzo campoara dlla mda s avvca alla dstrbuzo ormal, dpdtmt dall carattrstch dlla popolazo d provza, qud ach quado qusta o è dstrbuta ormalmt. L approssmazo alla ormaltà è adguata pr 30. E possbl calcolar la probabltà ch u campo casual abba mda u dtrmato trvallo calcolado valor z pr l trvallo: po crcado valor lla tablla d z. z Esmpo. I Fg. 4- la mda dlla dstrbuzo campoara dlla mda è ugual alla mda dlla popolazo d partza dpdtmt dalla dmso dl campo. All aumtar d, tuttava, s rduc l ampzza dll rror stadard dlla mda. S la popolazo d partza è ormal ach l dstrbuzo campoar dlla mda sarao dstrbut ormalmt, ach pccol campo. Scodo l torma ctral dl lmt, ach s la popolazo d partza o è dstrbuta ormalmt, l dstrbuzo campoar dlla mda sarao approssmatvamt ormal pr 30. Esmpo 3. Suppoamo ch ua popolazo sa costtuta da 900 lmt, co mda 0 dvazo stadard. La mda l rror stadard dlla dstrbuzo campoara dlla mda pr u campo d 36 lmt è: 0 36 S la dmso dl campo =64 azché 36 qud >0,05: ,50,96,44 vc d =,5, sza l fattor d corrzo pr popolazo ft. Esmpo 4. La probabltà ch la mda d u campo casual d 36 lmt stratt dalla popolazo dll smpo 3 sa comprsa tra 8 4 s calcola: 8 0 z 4 0 z Crcado z z lla tablla d z trovamo: P 8 4 0,343 0,477 0,885; ovvro 8,85% 0

21 4.3 Stma usado la dstrbuzo ormal Pr l paramtro statstco d ua popolazo possamo ffttuar ua stma putual o ua stma pr trvallo. La stma putual cosst, ovvamt, u umro sgolo, la cu stma è corrtta obttva ubasd s rptut campoamt casual dalla popolazo l valor attso o mdo dl paramtro statstco corrspodt stmator è ugual al paramtro dlla popolazo., ad smpo, rapprsta ua stma putual corrtta d, prchè, dov è l valor attso d. La dvazo stadard campoara s rapprsta ua stma corrtta d la proporzo p dl campo è ua stma corrtta dlla proporzo p, pr ua dtrmata carattrstca, dlla popolazo. La stma pr trvallo s rfrsc ad u trvallo d valor sm alla probabltà, o lvllo d cofdza o fducal, ch tal trvallo comprda l paramtro scooscuto dlla popolazo. Data la dvazo stadard dlla popolazo o la sua stma assumdo ch la popolazo sa ormal o ch l campo casual abba dmso ugual o maggor d 30, è possbl calcolar l trvallo d cofdza al 95% pr la mda scooscuta dlla popolazo: Cò sgfca ch u campoamto casual rptuto c aspttamo ch 95 volt su 00 l trvallo dfto da tal quazo comprdrà la mda scooscuta dlla popolazo. Aalogamt è possbl rcavar l trvallo d cofdza pr la proporzo d ua popolazo smpo 7: p p P,96,96 0,95 p= proporzo d succss rlatv a u fomo lla popolazo p p p rror stadard dlla proporzo Esmpo 5. Da ua popolazo d.000 lmt s stra u campo casual d 44 co mda 00 dvazo stadard 60. L trvallo d cofdza dlla mda scooscuta dlla popolazo sarà:,96,96 00, ,9650, , Qud sarà comprsa tra 90, , 09, 00+9, co u lvllo d cofdza dl 95%. Altr lvll d cofdza utlzzat frqutmt soo 90 99%, corrspodt, rspttvamt, a valor d z d,64,58. Esmpo 6. U maagr dsdra stmar l umro mdo d mut mpgato da lavorator pr compltar u dtrmato lavoro tro ±3 mut co u lvllo d cofdza d 90%. I bas all sprza prgrssa l maagr sa ch la dvazo stadard è d 5 mut. Il maagr vuol cooscr la dmso mma dl campo >30 cssara pr ffttuar la stma rchsta. z ; qud: z assumdo <0,05:,64 5 pochè l trvallo d cofdza è d 3 m:,64 3 5,64 3

22 qud: = 67,4, arrotodado, = 68. Esmpo 7. I u campo casual d 00 studt uvrstar 40 cosguoo la laura. S dsdra calcolar l trvallo d cofdza al 99% pr la proporzo d studt laurat sul total. Iaz tutto bsoga otar ch s tratta d ua dstrbuzo bomal. Pochè >30, p>5 -p>5 la dstrbuzo bomal approssma la dstrbuzo ormal, pù smplc da utlzzar. Qud, pr <0,05: p p 0,40,6 p p z p p z 0,4,58 0,4,580,05 0,4 0, 3 00 Qud p sarà comprso tra 0,7 0,53 co u lvllo d cofdza dl 99%. 4.4 Itrvall d cofdza dlla mda usado la dstrbuzo dl t d Studt Quado la popolazo è dstrbuta ormalmt, ma è scooscuta <30, o s può usar la dstrbuzo ormal pr dtrmar gl trvall d cofdza pr la mda scooscuta d ua popolazo, vc occorr usar la dstrbuzo t d Studt. Qusta dstrbuzo è smmtrca rsptto alla mda zro, ma è pù patta rsptto alla dstrbuzo ormal, qud u ara maggor rcad ll cod dlla curva. Esst ua sola dstrbuzo ormal stadard, mtr c è ua dstrbuzo t dffrt pr cascua dmso dl campo Fg All aumtar d, tuttava, la dstrbuzo d t s avvca alla dstrbuzo ormal stadard, dvtado approssmatvamt ugual quado >30. Pr dvrs grad d lbrtà l tabll dlla dstrbuzo d t forscoo valor d t a dstra d qual s trovao 0, 5,,5, 0,5% dll ara total sotto la curva. I grad d lbrtà df= dgr of frdom gls qusto caso soo - ovvro la dmso dl campo mo pr l sgolo paramtro ch dsdramo stmar. Quado s usa la dstrbuzo d t l trvallo d cofdza al 95% pr la mda scooscuta dlla popolazo è dato da: s s P t t 0,95 Esmpo 8. Da ua la produttva ch produc battr co durat dstrbut ormalmt s stra u campo casual d = 0 battr da torca lttrca co ua durata mda = 5 or ua dvazo stadard campoara s= ora. Pr calcolar l trvallo d cofdza al 95% dlla durata mda scooscuta dll tra popolazo d battr prma trovamo l valor d t 0, 05, talché l,5% dll ara sa tro cascua coda, pr -= 9 grad d lbrtà. lla tablla d t lla coloa 0,05 corrspodza d 9 grad d lbrtà trovamo,6. Qud: s,6 5,6 5,60,36 5 0,7 0 è comprsa tra 4,9 5,7, co lvllo d cofdza dl 95% Fg. 4-4.

23 5. Saggo dll pots Ifrza statstca: Saggo tst dll pots Il saggo o tst dll pots sull carattrstch paramtr d ua popolazo s. è u altro asptto fodamtal dll frza dll aals statstca. l saggar valutar u pots s comca ffttuado u assuto, ua supposzo su ua carattrstca scooscuta paramtro dlla popolazo. Succssvamt s stra u campo casual dalla popolazo sulla bas dlla carattrstca corrspodt dl campo stmator o statstca campoara s acctta o s rgtta l pots formulata co u dtrmato lvllo d cofdza. l saggo dll pots è possbl ffttuar du tp d rror. S sulla bas dll formazo campoara s rgtta u pots ch ra corrtta s commtt u rror d prmo tpo I; s vc s acctta u pots rrata s commtt u rror d scodo tpo II. E possbl cotrollar o dtrmar la probabltà d ffttuar u rror d I tpo, dcato co. Rducdo, tuttava, s acctta ua probabltà pù lvata d ffttuar u rror d II tpo, dcato co, altrmt s dovrà aumtar la dmso dl campo. La probabltà d rror d I tpo, coè dfsc lvllo d sgfcatvtà, mtr - è l lvllo d cofdza dl saggo. Esmpo. Suppoamo ch ua dtta ch produc lampad dsdr cooscr s può affrmar ch l su lampad durao mda =000 or. Occorr strarr u campo casual d 00 lampad, ad smpo, valutar la loro vta mda. Quato pù è pccola la dffrza tra, tato pù lvata sarà la probabltà d accttar l pots =000 or d durata a u dtrmato lvllo d sgfcatvtà. Fssado 5% la dtta acctta l rscho calcolato d rgttar u pots corrtta l 5% d cas. Fssado = % la dtta corrrbb u rscho pù lvato d accttar u pots falsa, coè d commttr u rror d II tpo. 5. Saggo dll pots su mda proporzo dlla popolazo Il saggo dll pots sulla mda o proporzo dlla popolazo prvd l sgut fas: S potzza ch assuma u valor pottco 0. Cò è rapprstato da H 0 : = 0 s dfsc pots ulla. L pots altratva è H : 0, coè, a scoda d cas, H : 0 o H : 0. S fssa l lvllo d sgfcatvtà dl saggo soltamt 5%, ma a volt %, usado la dstrbuzo approprata, s dfsc la rgo d accttazo la rgo d rgtto dl saggo. 3 S stra u campo casual dalla popolazo s calcola. S rcad lla rgo d accttazo s acctta H 0, altrmt s rgtta H 0 favor d H. Esmpo. Suppoamo ch la dtta dll smpo dsdr saggar s può affrmar corrttamt ch l lampad durao 000 or. La dtta stra u campo casual d = 00 lampad rlva ch l campo ha mda = 980 or dvazo stadard s= 80 or. Suppoamo ch la dtta vogla codurr l saggo al 5% d sgfcatvtà. Pochè potrbb ssr ugual, maggor o fror a 000, la dtta dovrbb fssar l pots ulla qulla altratva: H 0 : = 000 H : 000 Pochè >30, la dstrbuzo campoara dlla mda è approssmatvamt ormal possamo usar s com ua stma d. La rgo d accttazo dl saggo al 5% d sgfcatvtà s trova tro ±,96 sotto la curva ormal stadard la rgo d rgtto al d fuor Fg. 5-. Pochè la rgo d rgtto s trova tramb l cod, ffttuamo u saggo a du cod. La trza fas cosst l trovar l valor d z corrspodt a :, s z 0 / 0 s / / ,5 3

24 Pochè l valor calcolato d z rcad lla rgo d rgtto, al 5% d sgfcatvtà la dtta dovrbb rgttar l pots ulla H 0, coè = 000, accttar l pots H, coè 000. Esmpo 3. Ua dtta vuol dtrmar al lvllo d cofdza dl 95% s può affrmar ch l scatol d dtrsvo vdut cotgoo pù d 500 g d prodotto. Dall sprza prcdt la dtta coosc ch la quattà d dtrsvo ll scatol è dstrbuta ormalmt. La dtta stra u campo casual d = 5 trova = 50 g s= 75 g. Pochè la dtta dsdra saggar s >500 g, s ha: H 0 : = 500 H : >500 La popolazo è dstrbuta ormalmt, ma <30 è scooscuta, prcò s dv usar la dstrbuzo d t co -=4 grad d lbrtà pr dfr la rgo crtca o d rgtto dl saggo al lvllo 5% d sgfcatvtà Tablla d t fg. 5-; t=,7. I qusto caso dobbamo ffttuar u saggo sulla coda dstra. t s / 50 75/ ,33 Il valor d t rcad lla rgo d accttazo, qud accttamo l pots ulla H 0 ch =500 g al 5% d lvllo d sgfcatvtà, ovvro co u lvllo d cofdza dl 95%. Esmpo 4. gl a prcdt l 60% dgl scrtt a u uvrstà hao cosguto la laura 4 a. Pr 36 mmatrcolat l 980 solo 5 hao cosguto la laura l 984. Pr valutar s gl mmatrcolat dl 980 soo stat pggor rsptto a qull dgl a prcdt occorrrbb usar la dstrbuzo bomal, tuttava è possbl utlzzar la dstrbuzo ormal prchè >30 p -p>5 vdr Sz. 3.5, co p= 0,60 proporzo d succss. Pr gl mmatrcolat dl 980 la proporzo d succss è: p p 0,60,4 p 5/36 0,4 l rror stadard è: p 0, 08. Pochè voglamo 36 saggar s gl mmatrcolat l 980 hao cosguto rsultat pggor avrmo: H 0 : p= 0,60 H : p< 0,60 p p 0,4 0,60 Qud: z, 5 0,08 p Pochè s tratta d u saggo sulla coda sstra l 5% dll ara sotto la curva ormal stadard s trova a sstra d -,64 rgttamo l pots ulla H 0 cocludamo ch, al lvllo 5% d sgfcatvtà, gl mmatrcolat 4

25 dl 980 hao cosguto rsultat pggor rsptto agl a prcdt. S crtca a sstra sarbb stata z= -,33 avrmmo accttato l pots ulla H 0. = %, tuttava, la rgo 5.3 Saggo dll pots pr dffrz tra du md o proporzo I molt stuazo ch rchdoo ua dcso è mportat dtrmar s l md o proporzo d du popolazo soo ugual o dffrscoo. Occorr strarr u campo casual da cascua popolazo solo s la dffrza tra l md o proporzo d campo può ssr attrbuta al caso accttamo l pots ch l du popolazo abbao md o proporzo ugual. S l du popolazo soo dstrbut ormalmt o s pr tramb 30 dpdt, allora ach la dstrbuzo campoara dlla dffrza tra l md o proporzo d campo è ormal o approssmatvamt ormal, co rror stadard dato da: pr saggar s = cofroto tra md dov: p p p p p pr saggar s p = p cofroto tra proporzo p p p mda podrata d p p p Esmpo 5. U maagr dsdra dtrmar al lvllo d sgfcatvtà 5% s l rtrbuzo orar dgl opra soo l stss du cttà. Occorr strarr u campo casual d rtrbuzo orar tramb l cttà trova ch 6, 00, 5, 40 ; s =,00, s =,80; = 40, = 54. L pots da saggar soo: H 0 : = ovvro H 0 : = 0 H : ovvro H : 0 Qusto è u tst a du cod la rgo d accttazo dll pots ulla H 0 è comprsa tro ±,96 al d sotto dlla curva ormal Fg. 5-. s s,00 40, , 0, ,4 z 0 0,6 0,4,5 Pochè l valor calcolato d z rtra lla rgo d accttazo, s acctta l pots ulla H 0 : = al lvllo d sgfcatvtà dl 5%. S tramb l popolazo fossro stat dstrbut ormalmt, ma co mor d 30 posto ch σ = σ ma scooscut, allora la dstrbuzo campoara dlla dffrza tra l md avrbb avuto ua dstrbuzo t, co + - grad d lbrtà. Esmpo 6. Ua dtta dsdra dtrmar co lvllo d sgfcatvtà % s la proporzo p d compot lttroc vald d u fortor straro supra qulla p d u fortor local. La dtta stra u campo casual dalla fortura d cascu fortor rlva ch p = 0,9 p = 0,7 pr = 00 = 80. La dtta dfsc l du pots sgut: H 0 : p =p H : p >p Qusto è u saggo sulla coda dstra dlla curva la rgo d rgtto dll pots ulla H 0 gac alla dstra d,33 sotto la curva ormal stadard. p p p 000,9 800, ,8 5

26 p p p p p p 0,80, 00 0,80, 80 0,006 0,00 0,0036 0,06 z p p p p p p 0,9 0,7 0,06 0 0, 0,06 3,33 Qud rgttamo l pots ulla H 0 accttamo l pots ch p >p al lvllo d sgfcatvtà d %. 5.4 Saggo tst dl ch quadrato d cogrutà dpdza La dstrbuzo dl ch quadrato è usata pr saggar s: l frquz ossrvat dffrscoo sgfcatvamt dall frquz atts quado soo possbl pù d du st rsultat; la dstrbuzo dl campo è bomal, ormal o altro; 3 du varabl soo dpdt. La statstca s calcola da dat dl campo com sgu: fo fa fa dov f o dca l frquz ossrvat f a l frquz atts. S l valor calcolato d supra l valor tabular corrspodt al lvllo d sgfcatvtà stablto a grad d lbrtà, allora s rgtta l pots ulla H 0 favor dll pots altratva H. I grad d lbrtà gl pr l applcazo soo dat da: gl= c-m- dov c rapprsta l umro d catgor m l umro d paramtr dlla popolazo stmat da corrspodt stmator statstch dl campo. I grad d lbrtà pr l applcazo 3, rlatv a sagg d dpdza dll tabll d cotgza, soo dat da: gl= r-c- dov r dca l umro d rgh c l umro d colo dlla tablla d cotgza. La frquza attsa f a pr cascu dato d ua tablla d cotgza è data da: f f r o c o fa dov r c dcao rspttvamt la somma dll rgh dll colo d cascu dato ossrvato rapprsta la dmso dl campo total. Esmpo 7. I passato tlvsor vdut da u gozo potvao ssr rpartt, bas all dmso dllo schrmo, ll sgut catgor: 30% co schrmo pccolo, 40% mdo 30% grad. Il gstor dcd d dtrmar s l vdt pù rct rspcchao la stuazo dl passato d stra u campo casual rlatvo a 00 vdt rct, ossrvado ch 0 rao tlvsor co schrmo pccolo, 40 co schrmo mdo 40 grad. Pr saggar al lvllo d sgfcatvtà dl 5% l pots ulla H 0 ch l adamto dll vdt rct sa sml a qullo dl passato, l gstor dv procdr com sgu Tab. 5.: fo fa ,67 fa gl c m 3 0 Pochè o s stmao paramtr dlla popolazo m=0. Il valor calcolato d χ = 6,67 supra l valor dlla dstrbuzo torca χ = 5,99 rportato tablla, co = 5% gl=, qud s rgtta l pots ulla H 0 s coclud ch l adamto dll vdt rct dffrsc da qullo dl passato co lvllo d sgfcatvtà dl 5%. 6

27 Esmpo 8. U rvdtor d automobl ha raccolto dat Tab. 5. sul umro d automobl d produzo stra azoal acqustat da clt co mo d 30 a co pù d 30 a. Pr saggar co lvllo d sgfcatvtà % s l tpo d auto acqustata strara o azoal è dpdt dall tà dll acqurt, l rvdtor compla ua tablla dll frquz atts Tab. 5.3, calcolata bas alla Tab. 5.. r fo c fo Pr la prma caslla: fa, ; pr la scoda: f a, pr la trza: f a, 9 ; pr la quarta: f a, Tab. 5. Tablla d cotgza pr acqurt d automobl Tpo d automobl Età Strar azoal Total < > Total Tab. 5.3 Tablla dll frquz atts pr l frquz ossrvat Tab. 5. Tpo d automobl Età Strar azoal Total < > Total gl r c f o f a f a ,44 Il valor calcolato d χ supra qullo rportato tablla co = 0,0 gl= χ = 6,63, qud rgttamo l pots ulla H 0 ch l tpo d auto acqustata sa dpdt dall tà cocludamo ch gova hao ua maggor propso ad acqustar automobl strar 5.5 Aals dlla varaza a ua va S è stato ffttuato u sprmto co pù trattamt campo sprmtal rlatv md da cofrotar dovrmmo utlzzar ua sr d tst dl t d Studt pr vrfcar la sgfcatvtà d tutt l possbl copp d trattamt. Co tr trattamt A, B C s dovrbbro ffttuar tr dvrs cofrot A co B, A co C B co C, ma stt trattamt rchdrbbro cofrot co l saggo t! A prscdr dalla complsstà rchsta da cofrot multpl, cò sarbb scorrtto prchè, s adottassmo u lvllo d sgfcatvtà =0,05, su sagg t sarbb attso, probablstcamt, u rsultato falso su. Pr suprar qusto covt s utlzza l aals dlla varaza, u mtodo d aals statstca msso a puto da R.A. Fshr. L aals dlla varaza rchd, s possbl, campo dlla stssa dmso, coè co lo stsso umro d rplch pr cascu trattamto sprmtal. Altrmt occorroo procdmt pù complss pr rcostrur dat macat. L aals dlla varaza AOVA s utlzza pr saggar l pots ulla H 0, bas alla qual l md d du o pù popolazo soo ugual, rsptto all pots altratva ch almo ua dll md sa dffrt. S assum ch l popolazo sao dstrbut ormalmt, dpdt ch abbao varaza sml. Esstoo opportu tst pr vrfcar l omogtà omoscdastctà dll varaz, ad 7

28 smpo l tst d Bartltt. I alcu cas è possbl ovvar a qusto covt attravrso la trasformazo d dat, ad smpo co la trasformazo logartmca. L aals dlla varaza prvd l sgut fas:. Stma dlla varaza dlla popolazo dalla varaza tra l md d campo s t = varaza tra trattamt o ts, Tab Stma dlla varaza dlla popolazo dalla varaza tro campo s = varaza tro trattamt o varaza dll rror, Tab Calcolo dl rapporto F s t /s Tab F= varaza tra l md d campo/varaza tro campo 4. S l rapporto F calcolato supra l valor d F rportato tablla, corrspodza dl lvllo dsdrato d sgfcatvtà d grad d lbrtà, s rgtta l pots ulla H 0, ch assumva md d popolazo ugual, favor dll pots altratva H. Tab. 5.4 Tablla d aals dlla varaza AOVA Fot d varazo Tra l md trattamt Etro campo rror Total Dv Dvaza somma d quadrat dgl scart Dv r x x tot Grad d lbrtà t t j Dv xj x j r t x x Dv Dv rt j t s s s t tot Varaza Dvt t Dv r t Dvtot rt F F s s t Dov: - j= campo - = ossrvazo - t= umro d campo trattamt o ts; - r= umro d ossrvazo pr cascu campo rplch o rptzo; - x j x j mda dl campo j co ossrvazo; r - x x j j rt mda gral d tutt l ossrvazo; - Dv t r x j x dvaza d trattamt, somma d quadrat dgl scart dovut a trattamt, coè alla dffrza tra campo; - Dv x x dvaza dll rror o rsdua, somma d quadrat dgl scart dovut a - - j j fattor dvrs dalla dffrza tra campo; Dv tot xj x dvaza total, somma d quadrat dgl scart rfrt a tutt l ossrvazo. La sgfcatvtà d F pr = 0,05 pr = 0,0 può ssr saggata rsptto a valor rportat lla tablla dlla dstrbuzo d F, corrspodza dll copp d grad d lbrtà: - gl dl umrator= t-, dov t è l umro d campo o trattamt; - gl dl domator= r-t, dov r è l umro d ossrvazo tro cascua campo o trattamto. 8

29 Esmpo 9. Ua dtta vd la stssa quattà dllo stsso sapo allo stsso przzo tr dvrs cofzo. La Tab. 5.5 rporta l vdt u prodo d 5 ms. Ms Cofzo Cofzo Cofzo Total 40 TC 400 TC 435 TC3 45 TG Mda I dat d vdta soo dstrbut ormalmt, co varaza sml. Pr saggar al 5% d sgfcatvtà s l vdt md d sapo pr tr tp d cofzo soo ugual o dffrscoo H 0 : = = 3 oppur H :, 3 o soo ugual s procd com sgu: x 8, x 80, x 3 87, x Dv t r x j x 5[ ] 30 Dv x j x [87 [78 [ ] ] ] 0 Dv tot x j x Mtodo smplfcato pr l calcolo dll dvaz Sz..5, pag. 7: Fattor d corrzo FC= TG /rt= 45 /5= Dv t = TC +TC +TC3 /r-fc= / = = 30 Dv tot = x -FC= = = 40 Dv = Dv tot -Dv t = 40-30= 0 La dvaza dll rror s può calcolar ach drttamt: Dv = [ /5]+[ /5]+[ /5]= = 0 Tab. 5.6 AOVA pr l cofzo d sapo Fot d varazo Dvaza somma quadrat scart Grad d lbrtà Varaza F Tra cofzo Dv t = 30 t-= s t 30 / 65 F= 65/9,7= 7,09 trattamt Etro cofzo Dv = 0 r-t= s rror 0 / 9, 7 Total Dv tot = 40 rt-= 4 s 40 /4 7, 4 Il valor calcolato d F supra l valor tabular d F= 3,88 pr =0,05 grad d lbrtà, qud rgttamo l pots ulla H 0, ch l vdt md d sapo sao l stss pr tr tp d cofzo, accttamo l pots altratva H, coè ch l md dffrscoo. Qulla llustrata è la forma pù smplc d aals dlla varaza, dtta a ua va o a u fattor; sstoo umros schm sprmtal ch rchdoo aals dlla varaza pù complss, ch prmttoo d rpartr la varaza tra pù fattor d dtrmar l trazo. Uo dgl schm sprmtal pù smplc pù utlzzat lla sprmtazo agrara forstal è lo schma a blocch radomzzat. tot 9

30 Esmpo 0. Voglamo cofrotar la crscta coltura bomassa mg d tr cpp battrc, utlzzado tr rplch pr cascuo d tr cpp. Rplca Cppo A Cppo B Cppo C Total x Dv F.C.= t Dv Dv tot j x j rt x j x,00 0,67 39,00 3,89 536, 5 /9 x F. C , x 43,00 8, ,00 676,33 x r F. C. 676,33-536, x x r j ,33 40, 8 8,67 6 5,67 Fot varazo GL Dvaz Varaz F Trattamt t- 40, 570, 64,93 Error rsdua 6 tr- 5,67 8,78 Total 8 tr- 9,89 Il valor calcolato d F 64,93 supra abbodatmt l valor tabular d F gl= 6 co α=0,05 5,4 α=0,0 0,93 qud la dffrza tra l md d trattamt è altamt sgfcatva. Dffrz mm sgfcatv LSD L aals dlla varaza c dc, tuttava, s sstoo dffrz tra trattamt l loro sm, ma spsso s dsdra cooscr s sstoo dffrz sgfcatv tra l sgol copp d trattamt. S s vogloo cofrotar sgol copp d trattamt, com accad, ad smpo, quado s cofrotao sgol trattamt sprmtal co u trattamto d cotrollo, è possbl utlzzar l mtodo dll dffrz mm sgfcatv gls LSD= Last Sgfcat Dffrcs, ch è sml al tst t d Studt. LSD t0,05 s dov A B soo umr d dat dll md A B da cofrotar. A B LSD t0,05 s Pochè, gr, A = B : ll smpo prcdt: =3; GL =6; t 0,05, 447 ; s 8, 78 ; LSD 5%,447 8,78 5,

31 L dffrz tra l md d tr cpp d battr tra cpp A B: 8,67; tra B C: 8,33; tra A C: 7 suprao l valor d LSD, qud possamo affrmar ch tr cpp dffrscoo sgfcatvamt =0,05 lla produzo d bomassa. Cofrot multpl tst d Tuky L dffrz mm sgfcatv possoo ssr utlzzat pr vrfcar la sgfcatvtà dll dffrz tra md quado s ffttuao cofrot tra copp d dat, ad smpo quado s cofrotao dvrs trattamt co u uco trattamto d cotrollo. lla maggor part dgl sprmt, dopo avr rlvato dffrz sgfcatv tra l sm d trattamt sprmtal utlzzado l aals dlla varaza, s vogloo cofrotar l sgol md, dtfcado qull ch dffrscoo sgfcatvamt, coè s ffttuao cofrot multpl. I qusto caso sarbb scorrtto utlzzar l dffrz mm sgfcatv, prchè al crscr dl umro d cofrot varrbb l lvllo d sgfcatvtà, prchè aumtrbb la probabltà d rlvar dffrz sgfcatv. Pr ovvar a qusto problma soo stat mss a puto ua sr d tst da utlzzar cofrot multpl, ch compsao l varazo l lvllo d sgfcatvtà tst d Bofrro, Schffé, Tuky, Duca, cc.. Il tst d Tuky è uo d pù smplc utlzzat tra tst pr cofrot multpl. I rqust pr l applcazo dl tst d Tuky soo gl stss rchst pr l aals dlla varaza: dpdza dll ossrvazo da cofrotar; md drvat da popolazo co dstrbuzo ormal; 3 omogtà dll varaz omoscdastctà. Il tst d Tuky s basa su ua dstrbuzo Q d trvall studtzzat, sml alla dstrbuzo d t, ma co valor ch varao bas al umro d cofrot tra l md d trattamt campo da cofrotar. La procdura prvd l sgut fas. Calcolo dll rror stadard dalla varaza dll rror rsdua ottuta dall aals dlla varaza: s ES Elco dll md d trattamt sprmtal dal valor pù alto al pù basso. 3 Calcolo dll dffrz tra l copp d md. k 4 Calcolo dl valor d Q moltplcado l valor tabular d Q umro d md ch s stao cofrotado; grad d lbrtà dll rror ll AOVA pr l ES. 5 Cofroto dlla dffrza tra l md cofrotat co l valor Q: s la dffrrza tra l md supra l valor d Q ss dffrscoo sgfcatvamt co = qullo rportato lla tablla d Q. Esmpo. Applcazo dl tst d Tuky all sprmto d cofroto fra tr cpp battrc. Cppo Mda C 39 a B 0,67 b A c s 8,78 GL 6 s 8,78 Calcolo dll rror stadard: ES, 7 3 Valor tabular d Q 5%, 3 md, 6 GL= 4,34. Q 4,34,7 7,4 3 Cofrot: C-B= 39-0,67=8,33>7,4; qud C B dffrscoo sgfcatvamt. C-A= 39-=7>7,4; qud A C dffrscoo sgfcatvamt. B-A= 0,67-=8,67>7,4; qud A B dffrscoo sgfcatvamt. L lttr a dstra dlla tablla dcao l md sgfcatvamt dvrs: lttr ugual qusto caso asst dcao l assza d sgfcatvtà. 3

32 Esmpo. AOVA tst d Tuky F.C.= Dv t Dv Dv tot rt x Rplca Cppo A Cppo B Cppo C Cppo D Total x x , /0 x x F. C x j x r F. C x x r j Fot varazo GL Dvaz Varaz F Trattamt 3 t Error rsdua 6 tr Total 9 tr I valor tabular d F soo: 3,4 pr =0,05 5,9 pr =0,0, qud sstoo dffrza altamt sgfcatv tra l md d trattamt. Cppo Mda A 8,86 a B 5,04 ab C,50 b D,30 b s 7,7 GL 6 s 7,7 Calcolo dll rror stadard: ES, 5 Valor tabular d Q 5%, 4 md, 6 GL= 4,05. Q 4,05, 4,88 Valor tabular d Q %, 4 md, 6 GL= 5,. Q 5,, 6,7 Cofrot: A-B= 8,86-5,04=3,8<4,88; qud A B o dffrscoo sgfcatvamt. A-C= 8,86-,5=6,36>6,7; qud la dffrza tra A C è altamt sgfcatva %. 3 A-D= 8,86-,3=6,56>6,7; qud la dffrza tra A D è altamt sgfcatva %. 3

33 4 B-C= 5,04-,5=,54<4,88; qud B C o dffrscoo sgfcatvamt. 5 B-D= 5,04-,3=,74<4,88; qud B D o dffrscoo sgfcatvamt. 5 C-D=,5-,3=0,<4,88; qud C D o dffrscoo sgfcatvamt. Aals dlla rgrsso 6. Modllo lar co du varabl Il modllo lar co du varabl, o aals dlla rgrsso smplc, è utlzzato pr saggar pots sulla rlazo sstt tra ua varabl dpdt Y ua varabl dpdt pr ffttuar prvso. Ua valutazo prlmar dlla rgrsso lar può ssr ffttuata srdo dat corrspodt a valor Y u dagramma cartsao rlvado s sst ua rlazo lar approssmatva: b b Y 0 dov b 0 è l trctta b l coffct agolar dlla rtta. E mprobabl ch tutt put sao stuat sattamt sulla rtta corrspodt all quazo, qud la rlazo lar dv ssr modfcata troducdo u ultror lmto, l rror o lmto stocastco u : b b u Y 0 L rror srto ll quazo ha l sgut carattrstch: è dstrbuto ormalmt, ha valor attso o mda zro; 3 la varaza è costat; 4 gl rror u soo dpdt, o soo corrlat tra loro; 5 la varabl dpdt l rror u o soo corrlat. Esmpo. La tab. 6. rporta la produzo d mas Y dc a tra , sprssa bushl bushl d mas 5 kg pr acro acro 4000 m, drvat dall uso d quattà crsct d frtlzzat, sprss lbbr lbbra 450 g pr acro. I dat soo rportat l dagramma sottostat. La rlazo tra la varabl dpdt la varabl dpdt Y è approssmatvamt lar. 33

34 6. Mtodo d mm quadrat Il mtodo d mm quadrat cosst ua tcca ch prmtt d adattar la mglor la rtta al campo d ossrvazo Y prvd d mmzzar la somma dll dvazo dalla rtta scodo l ass vrtcal, dll ordat al quadrato: ˆ M Y Y dov Y s rfrsc a valor ossrvat pr la varabl dpdt, mtr corrspodt adattat, l valor Y Yˆ s dfsc rsduo. S possoo dfr du quazo ormal: b bˆ Y Y 0 Rsolvdo smultaamt l du quazo s ott: Y Y bˆ bˆ 0 bˆ Yˆ s rfrsc a valor 34

35 Il valor dll trctta 0 è dato da: bˆ Y bˆ 0 E l quazo dlla rtta d rgrsso stmata sulla bas d mm quadrat è: Yˆ bˆ bˆ 0 Esmpo. Calcolo dlla rtta d rgrsso rlatva alla rlazo tra cocmazo produzo d mas tab. 6.. Tab. 6. Dos d frtlzzat produzo d mas Y mas frt. Y = 0 Y Y 57 8 Y Y /0 060 Y Y ˆ b,66 coffct agolar dlla rtta d rgrsso b ˆ ˆ 0 Y b 57, ,88 7, trctta sull ass Y Y ˆ 7,, 66 quazo dlla rtta d rgrsso stmata /

36 6.3 Sagg d sgfcatvtà dll stm d paramtr Pr saggar la sgfcatvtà dll stm d paramtr dlla rgrsso occorr calcolar la varaza d ˆb 0 d ˆb : è possbl dmostrar ch: Var ˆ b 0 u Var b ˆ La varaza dll rror attrbubl alla rlazo tra Y, u, o è cooscuta, ma la varaza rsdua s può ssr usata com sua stma putual valor pù plausbl dl paramtro varaza calcolato dal campo: s u k dov Y Yˆ rapprsta l rror dfto ach dsturbo o trm stocastco msura la dvazo d cascu valor Y ossrvato dlla varabl dpdt dal valor vro ma o ossrvato stuato sulla rtta d rgrsso; Yˆ è l valor calcolato corrspodza d cascu Y sulla rtta d rgrsso; è l umro d ossrvazo k è l umro d paramtr stmat, ch lla rgrsso smplc soo, l trctta l coffct agolar. Qud: s ˆ ; b 0 s bˆ u dov s bˆ0 s soo gl rror stadard dll stm. Pochè l rror u è dstrbuto ormalmt, lo soo bˆ achy, ˆb 0 pots rcavar gl trvall d cofdza pr ˆb 0 ˆb. ˆb, qud è possbl utlzzar la dstrbuzo d t co -k grad d lbrtà pr saggar l Esmpo 3. I tab. 6.3 soo rportat calcol rchst pr valutar la sgfcatvtà d ˆb 0 ˆb. I valor d Yˆ valor atts d Y soo stat ottut troducdo valor d ll quazo d rgrsso trovata ll smpo Y ˆ 7,, 66. Tab. 6.3 Dos d frtlzzat produzo d mas Y Yˆ mas frt. Y ,80,9 8, ,7 0,8 0, ,04 -,08 44, ,36-5,56 96, ,68 -,8 56, ,00.00, ,64-3, , ,96,04, ,8 3,7 3, ,4-0, , Somm , Y