Teoria ergodica ed entropia. Alessio Muscillo

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1 Teoria ergodica ed etropia Alessio Muscillo

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3 Idice 1 Trasformazioi che preservao la misura Ricorreza Covergeza i media Covergeza putuale e teoremi ergodici Ergodicità Mixig e altre proprietà Isomorfismi e spettro di trasformazioi Spettro cotiuo e proprietà ergodiche Trasformazioi isomorfe e coiugate Isomorfismi spettrali e ivariati spettrali Etropia Nozioi prelimiari Etropia Etropia codizioale Alcue proprietà di h(t, A e di h(t Calcolo dell etropia β-espasioi Bibliografia 59 3

4 4 INDICE

5 Capitolo 1 Trasformazioi che preservao la misura 1.1 Ricorreza Defiizioe Siao ( 1, B 1, m 1 e ( 2, B 2, m 2 spazi di misura, e sia T : 1 2. Diciamo che: 1. T è ua trasformazioe misurabile se T 1 A B 1, per ogi A B 2 2. T è ua trasformazioe che preserva la misura se è misurabile e se m 1 (T 1 A = m 2 (A, per ogi A B 2 3. T trasformazioe ivertibile se sia T che T 1 preservao la misura. La composizioe di trasformazioi che preservao la misura è acora ua trasformazioe che preserva la misura. Cioè le trasformazioi che preservao la misura soo i morfismi tra gli spazi di misura. Il seguete lemma risulta utile el caso i cui o si cooscao direttamete le σ-algebre B 1 e B 2 : Lemma Sia T : ( 1, B 1, m 1 ( 2, B 2, m 2 ua trasformazioe qualsiasi e sia A B 2 u algebra che geera B. Se T 1 (A B 1 e m 1 (T 1 A = m 2 (A, per ogi A A, allora T preserva la misura. Dimostrazioe. Sia C = { B B 2 T 1 B B 1, m 1 (T 1 B = m 2 (B }. Allora A C per ipotesi e ioltre C è ua classe mootoa, quidi coicide co la σ-algebra geerata da A. Duque C = B 2. Possiamo, ora, dare qualche esempio abbastaza classico di trasformazioi che preservao la misura. Di tali esempi studieremo ache altre proprietà che verrao itrodotte successivamete. Esempio L applicazioe idetità su (, B, m è ua trasformazioe che preserva la misura. Lemma (Esisteza delle misure di Haar. Dato u gruppo topologico compatto G, allora esiste ua misura fiita m (detta misura di Haar defiita sui boreliai e tale che: m(a E = m(e a G, E G boreliao. 5

6 6 CAPITOLO 1. TRASFORMAZIONI CHE PRESERVANO LA MISURA Lemma (Uicità della misura di Haar. Se m e µ soo etrambe misure fiite di Haar su u gruppo topologico compatto G, allora esiste ua costate c > 0 tale che m = c µ; quidi esiste u uica misura di Haar ormalizzata. Esempio Sia S 1 = {z C z = 1} il cerchio uitario dotato della σ- algebra B dei boreliai e della misura di Haar m. Se T : S 1 S 1 è la rotazioe T (z = az, co a S 1, allora T è ua trasformazioe che preserva la misura (perché m è di Haar. I effetti vale i geerale che ogi rotazioe T (x = ax defiita su u gruppo topologico compatto G (co a G fissato preserva la misura di Haar. Esempio Ogi isomorfismo (di gruppi cotiuo di u gruppo topologico compatto i sé preserva la misura di Haar. Dimostrazioe. Sia φ : G G u isomorfismo cotiuo e sia m la misura di Haar su G. Allora µ(e := m(φ 1 (E è ua misura di probabilità (sui boreliai e vale µ (φ(x E = m ( φ 1 (φ(x E = m ( x φ 1 (E = µ(e. Ma siccome φ mappa G surgettivamete i sé, allora dall uicità della misura di Haar segue che µ = m. Esempio Sia G u gruppo topologico compatto, sia a G fissato e sia A : G G u omomorfismo cotiuo surgettivo. Allora, ogi trasformazioe affie della forma T (x = a A(x preserva la misura di Haar perché è composizioe di trasformazioi che la preservao. Esempio (Trasformazioi shift. Sia Y = {1,..., k} e si dia a ogi i ua misura p i i modo tale che k i=1 p i = 1. Si defiisca = + Y dotato della misura prodotto e la trasformazioe T : detta (p 1,..., p k -shift bilatero (uilatero se = + 0 Y data da T (..., x 0, x 1,... = (..., x 1, x 2,... Allora T preserva la misura di ogi rettagolo misurabile e quidi T preserva la misura degli isiemi che soo uioe disgiuta fiita di rettagoli misurabili e quidi (per il lemma precedete T preserva la misura. Esempio Si cosideri I = [0, 1] dotato della misura di Lebesgue. Allora le proiezioi p 1, p 2 : I 2 I defiite rispettivamete da p 1 (x, y = x e p 2 (x, y = y, soo trasformazioi che preservao la misura. Osservazioe Sia 1 u isieme qualsiasi, sia ( 2, B 2, m 2 uo spazio di probabilità e sia T : 1 2 ua fuzioe surgettiva. Allora si possoo scegliere su 1 ua σ-algebra B 1 e ua misura m 1 tali che T preserva tali misure: ifatti basta defiire B 1 = T 1 (B 2 e m 1 (T 1 B = m 2 (B, per ogi B B 2. Teorema (di ricorreza di Poicaré. Sia T ua trasformazioe che preserva la misura sullo spazio di probabilità (, B, m. Se E B è tale che m(e > 0, allora quasi tutti i puti di E

7 1.1. RICORRENZA 7 soo ricorreti (rispetto ad E, cioè per quasi ogi x E si ha T (x E per u opportuo = (x N. Ioltre esiste F E, co m(f = m(e, tale che per ogi x F esiste ua successioe crescete di idici iteri positivi i per i quali T i x F, per ogi i N. Dimostrazioe. Sia N 0 e sia E N = =N T E; allora ( T 1 E N = T 1 T E = T 1 E = E N+1 ; =N ioltre per costruzioe si ha E N+1 E N... E 0 e per ipotesi su T si ha m(e N+1 = m(t 1 E N = m(e N. E quidi per ogi N N si ha m(e N = m(e 0 e m ( N N E N = m(e0. A questo puto osserviamo che =N N N E N = N ( =N T E è l isieme di tutti i puti che cadoo i E frequetemete rispetto all iterazioe di T (proprio perché, ad esempio, T E è l isieme dei puti che cadoo i E dopo iterazioi di T ; F = E ( N N E N cosiste di tutti i puti di E che cadoo frequetemete i E rispetto all iterazioe di T ; ifie N N E N E 0. Da quato appea detto si ottiee che m(f = m(e E N = m(e E 0 = m(e. N N Resta da mostrare che i puti di F soo ricorreti i F : se x F, fissata { i } N crescete tale che T i (x E per ogi i N, allora per ogi j N si ha T j (x F poiché {T i j (T j (x} i j E. Duque {T j (x} j N F. Osservazioe Nel teorema precedete o c è bisogo che T preservi la misura, ma basta che T sia icomprimibile cioè che valga m(b = m(t 1 B per ogi B B tale che T 1 B B. Defiizioe Ua trasformazioe misurabile T : è detta dissipativa se esiste F misurabile e co misura m(f > 0 e tale che gli isiemi F, T 1 F, T 2 F,... soo disgiuti a due a due. Altrimeti T è detta coservativa. Osservazioe Nella dimostrazioe della prima parte del teorema di Poicaré etrambe le ipotesi che T preserva la misura e che m( < + vegoo usate i u seso debole. Ifatti quello che è veramete esseziale è la o esisteza di u isieme F di misura positiva e tale che F, T 1 F, T 2 F,... siao a due a due disgiuti, altrimeti si avrebbe l assurdo che ( + > m( m T F = m ( T F = m(f = +. N N N Allora risulta chiaro che la prima parte del teorema resta valida el caso i cui T sia ua trasformazioe coservativa.

8 8 CAPITOLO 1. TRASFORMAZIONI CHE PRESERVANO LA MISURA Osservazioe La tesi del teorema di Poicaré può essere riformulata i termii di fuzioi idicatrici: per quasi ogi x E la serie N χ E(T x diverge. Ioltre vale i geerale che per q.o. x {f > 0} la serie f(t x diverge, per ogi fuzioe f 0 misurabile. Ifatti se si defiisce E k = {f > 1 k } per ogi k > 0, allora per il teorema di ricorreza per q.o. x E k si ha T x E k frequetemete. Duque si ha la tesi cosiderado x k E k = {f > 0} e la maggiorazioe co k 1 k = Covergeza i media Per il teorema di ricorreza di Poicaré , quasi ogi puto di E ritora i E ifiite volte. Quato tempo trascorroo i E tali puti? I altre parole, dato x E e dato N esiste fiito o ifiito il limite cardialità({0 k < T k x E} lim + Se f = χ E è la fuzioe idicatrice di u isieme misurabile E, allora 1 1 il limite precedete è uguale a lim + k=0 f(t k x e quidi il problema precedete diveta u problema di covergeza secodo Cesàro della successioe {f(t k x} k N. Dato uo spazio di misura (, B, m idicheremo co L p (, B, m (o semplicemete co L p qualora o vi sia pericolo di cofusioe lo spazio delle (classi di fuzioi da a valori i C p-sommabili, cioè per cui valga f p := ( f p dm 1 p < +. Nel caso particolare di fuzioi da i R idicheremo tale spazio co L p R (, B, m. Osservazioe Sia (, B, m uo spazio di misura. Se f : R (oppure C e se si defiisce g(x = f(t x, allora g = Uf defiisce u operatore U tra spazi di fuzioi co le segueti proprietà: 1. U è lieare: U(af + bg(x = (af + bg(t x = af(t x + bg(t x = auf(x + bug(x a, b C? f, g : C 2. Se T preserva la misura allora U è be defiito da L 1 (, B, m i sé (ed azi, U è u isometria di L 1 : la dimostrazioe si fa per approssimazioi successive. Se f = χ E, co E B allora si ha f 1 = f dm = m(e = m(t 1 E = χ T 1 E dm = = (χ E T dm = Uf 1 Dalla liearità si ha f 1 = Uf 1 ache per combiazioi lieari di fuzioi idicatrici, cioè per fuzioi semplici. Quidi si ha la tesi per f 0 applicado il teorema di Beppo Levi ad ua successioe crescete di fuzioi semplici approssimate f; ifie per quato riguarda il caso co f di sego qualsiasi basta cosiderare che f 1 = f 1. (Vale la pea otare che i essuo dei casi precedeti è stato ecessario avere m( < +.

9 1.2. CONVERGENZA IN MEDIA 9 3. U è u isometria di L 2 (, B, m i sé: ifatti, lo è di L 1 e quidi f 2 2 = f 2 dm = f = Uf = f 2 (T x dm = Uf Se T è ivertibile allora U è u isometria ivertibile (quidi è u operatore uitario sullo spazio di Hilbert L 2 : ifatti l iverso di U è l operatore defiito da V f(x = f(t 1 x. Lemma Sia H uo spazio di Hilbert e sia U : H H u isometria lieare. Allora: Uf = f U f = f dove U idica l operatore aggiuto. Dimostrazioe. ( Siccome Uf = f, allora U (Uf = U f; ma essedo U uitario allora U U = id e quidi f = U f. (Vale la pea otare che el caso i cui U sia l operatore associato ad ua trasformazioe T : allora la dimostrazioe è la stessa sia per m( < + che per m( = +. Tuttavia el secodo caso o è detto che valga l implicazioe U U = id UU = id. Si veda l esempio ( Se U f = f allora Uf f = 0, ifatti: Uf f 2 = Uf f, Uf f = Uf 2 f, Uf Uf, f + f 2, ma per defiizioe di operatore aggiuto per ogi f, g H si ha f, Ug = U f, g, e quidi vale che Uf, f = f, U f = f 2 (dove l ultima uguagliaza sussiste i quato U è uitario per ipotesi e aalogamete f, Uf = U f, f = f 2, e da cui la tesi. Esempio Sia = [0, + [ e sia Uf(x = f(x 1χ [1,+ ] (x. Allora U è u operatore associato alla trasformazioe { x 1, se x 1 T x = 0, se x [0, 1[ Si può verificare che Uf 2 L 2 (0,+ = f 2 L 2 (0,+ e che l operatore aggiuto è defiito da U g(x = g(x + 1. Ifie, si ha che U U = id, ma UU id poiché U Uf(x = (Uf(x + 1 = f(xχ [1, [ (x + 1 = f(x UU f(x = g(xχ [1, [ (x e Teorema (della media ergodica. Se U è u operatore uitario su uo spazio di Hilbert complesso H e se P è la proiezioe sul sottospazio dei vettori U-ivariati, allora 1 1 j=0 U j f coverge (i orma a P f, per ogi f H. Dimostrazioe. Si procede i vari passi. 1. Se Uf = f, cioè f è el sottospazio dei vettori U-ivariati, allora f = P f e ovviamete 1 1 j=0 U j f = f coverge a P f.

10 10 CAPITOLO 1. TRASFORMAZIONI CHE PRESERVANO LA MISURA 2. Se f = g Ug per qualche g H, allora 1 j=0 U j f = g U g perché 1 j=0 1 U j f = j=0 1 U j (g Ug= j=0 j=0 U j g U j g =U 0 g U g =g U g. (1.1 Da ciò segue che U j f 1 g U g 2 g 0 ( L isieme E = {f H g H : f = g Ug} è u sottospazio vettoriale (o ecessariamete chiuso di H. Siccome l operatore A = 1 1 j=0 U j è uiformemete limitato (perché U è uitario, allora da ciò segue che A f 0 per ogi f E. I geerale, se f k f e se A f k 0 per k ogi k N, allora A f 0. Ifatti, ciò segue dal fatto che prededo f f k < ε sufficietemete piccolo si ha A (f f k < δ ed ache A f k < δ, quidi: j=1 A f A (f f k + A f k < 2δ. Siccome ( E = E (dove idica il sottospazio ortogoale, allora per ogi h E si ha h, g Ug = 0 per ogi g H, quidi ovvero, per ogi h E 0 = h, g h, Ug = h, g U h, g, h U h, g = 0 g H. Da ciò segue che h U h = 0, cioè h = U h e quidi per il lemma h = Uh. Viceversa, se Uh = h allora h, Ug g = 0 per ogi g, ifatti (usado il lemma h, Ug g = h, Ug h, g = U h, g h, g = U h, g U h, g = 0. I coclusioe, E = {f H Uf = f} è il sottospazio dei vettori U-ivariati. 4. Dal passo (3 si ottiee che per ogi f H = E E esistoo f 1 = g Ug E ed f 2 = Uf 2 E tali che f = f 1 + f 2. La tesi allora segue applicado ad f 1 ed f 2 i risultati otteuti rispettivamete el puto (2 ed ( Covergeza putuale e teoremi ergodici Teorema (ergodico massimale. Sia U : L 1 R (, B, m L1 R (, B, m u operatore lieare e positivo (cioè

11 1.3. CONVERGENZA PUNTUALE E TEOREMI ERGODICI 11 f 0 Uf 0 co orma U 1 e sia N > 0 itero. Sia f L 1 R (, B, m e si defiiscao { f0 = 0 f = f + Uf U 1 e F f N = max f. 0 N Allora {x F N (x>0} f dm 0. Dimostrazioe. Chiaramete F N L 1 R (, B, m e F N f per ogi N, quidi per la positività di U si ha che UF N Uf per ogi N. Quidi si ha UF N + f Uf + f = f + 1 N, da cui UF N + f max f 1 N+1 max f = 1 N max f = F N. 0 N Duque vale f F N UF N sull isieme A = {x F N (x > 0}, da cui la tesi, poiché f dm F N dm UF N dm 0, A A A i quato UF N dm = A A [ ] U(F N χ A U( F N χ A c dm U(F N χ A dm A U(F N χ A dm F N χ A dm = F N dm. A Osservazioe Naturalmete, le ipotesi del teorema ergodico massimale soo verificate el caso i cui l operatore U sia idotto da ua trasformazioe T che preserva la misura. Corollario Sia T : ua trasformazioe che preserva la misura e sia g L 1 R (, B, m. Ioltre sia { [ 1 B α = x sup 1 g ( T k x ] } > α. 1 Se A ha misura fiita ed è T -ivariate (cioè tale che m(a < + e T 1 A = A, allora g dm α m(b α A. Dimostrazioe. B α A k=0 Iazitutto cosideriamo il caso i cui m( < + e A =. Sia f = g α, allora B α = N N {x F N (x > 0} (dove le F N soo defiite come el teorema e quidi B α f dm 0 per il teorema Duque B α g dm α m(b α.

12 12 CAPITOLO 1. TRASFORMAZIONI CHE PRESERVANO LA MISURA I geerale, basta usare la restrizioe T A ivece di T. Teorema (ergodico idividuale di Birkhoff. Sia T : (, B, m (, B, m ua trasformazioe che preserva la misura (co m( + e sia f L 1 (, B, m. Allora: 1. esiste f L 1 (, B, m tale che 1 1 f T i f q.o.; + 2. f T = f, cioè f è T -ivariate; 3. se m( < + allora f dm = f dm. Dimostrazioe. È sufficiete mostrare il teorema per f L1 R. Si defiiscao f (x := lim sup N 1 1 f(t i x e f (x := lim if N 1 1 Allora sia f che f soo T -ivariati, ifatti posto a (x := 1 allora + 1 a (x a (T x = f(t i x e duque: f T (x = lim sup a (T x = lim sup [ + 1 i=1 a +1(x f(x ] Aalogamete f T = f. Ora, si defiisca per β < α E α,β := {x f (x < β, α < f (x}, 1 f(t i x. 1 f(t i x f(t i x = f(x, = lim sup a +1 = f (x. allora si ha che { 1 T 1 E α,β = E α,β e E α,β x sup 1 f ( T i x } > α = E α,β. A questo puto, si dimostra che m(e α,β < + i modo da poter applicare il corollario 1.3.3: el caso i cui α > 0, sia C E α,β tale che m(c < +. Allora h := f α χ C è ua fuzioe itegrabile e per il teorema massimale ergodico vale che: N N {x H N (x>0} (f α χ C dm 0, (1.3 dove H N è defiita come el teorema massimale ergodico Tuttavia, siccome C N N {x H N(x > 0}, allora si ottiee: f dm f dm α χ C dm = α m(c. N N {H N >0} N {H N >0} Duque m(c 1 α f dm per ogi C E α,β tale che m(c < +, quidi m(e α,β < +.

13 1.3. CONVERGENZA PUNTUALE E TEOREMI ERGODICI 13 el caso i cui α 0, allora deve essere ache β < 0. Quidi applicado il ragioameto precedete sostituedo f ad f e β ad α si ottiee che m(e α,β < +. Sia ora { 1 B α = x sup 1 f ( T i x } > α ; 1 per quato visto sopra B α E α,β. Dal corollario segue che f dm = f dm α m(e α,β B α = α m(e α,β E α,β E α,β B α e duque: E α,β f dm α m(e α,β. Ora, sostituedo f, α, β rispettivamete co f, α, β si ottiee: ( f = f, ( f = f e f dm β m(e α,β. E α,β Duque si è otteuto che α m(e α,β f dm β m(e α,β E α,β ed, essedo β < α, si ha m(e α,β = 0. Ioltre, siccome {x f (x < f (x} {α,β Q β<α} allora si ha m({x f (x < f (x} = 0, ovvero: E α,β, f (x = f (x q.o.. Per dimostrare che f L 1 basta usare il Lemma di Fatou, ifatti posto g (x = 1 f(t i x si ha: g dm = f(t i x dm = 1 1 f(t i x dm = = 1 1 U i f 1 1 dm f dm = f dm; quidi lim if g < + e per il Lemma di Fatou lim if g = f è itegrabile. Duque f è itegrabile e quidi f = f L 1. Questo completa la dimostrazioe della (1 e della (2. Si assuma, ora, che m( < + e si defiisca: { Dk = x k f (x < k + 1 } dove k Z e N \ {0}.

14 14 CAPITOLO 1. TRASFORMAZIONI CHE PRESERVANO LA MISURA Per ogi ε > 0 si ha Dk B ( k ε = D k, e quidi dal corollario segue: da cui D k f dm D k Allora per la (1.4 si ha: f dm k + 1 D k e sommado su k Z si ottiee f dm m( ( k ε m(dk ε > 0, f dm k m(d k. (1.4 m(dk 1 m(d k + f dm Dk + f dm N \ {0}, duque f dm f dm. Co lo stesso argometo, sostituedo f a f, si ottiee ( f dm ( f dm cioè f dm f dm, ed essedo f = f q.o., si ottiee la tesi (3. Corollario Sia m( < +, sia T : ua trasformazioe che preserva la misura e sia f L 1. Allora, posto f (x := lim 1 1 f(t i x, si ha: m 1 1 lim f(t i x f (x m m = 0. Ovvero, ell ipotesi di m( < +, la covergeza è i L 1 (e o solo q.o. come el teorema Dimostrazioe. Vi soo due casi: 1. Se f è limitata, allora ache le medie 1 1 f T i soo limitate (dallo stesso limite e quidi la tesi segue applicado il teorema della covergeza domiata e il teorema ergodico idividuale di Birkhoff 1.3.4: lim f(t i x f (x dm = 1 lim f(t i x f (x dm = Se f o è limitata, si può usare u approssimazioe co ua fuzioe g L 1 limitata e tale che siao abbastaza piccoli i due umeri (usado ache la parte (1 appea dimostrata, co la scelta di N sufficietemete grade: 1 1 f g 1 e g T i g 1

15 1.3. CONVERGENZA PUNTUALE E TEOREMI ERGODICI 15 A questo puto, la tesi segue osservado che 1 1 f T i f 1 (f T 1 i g T i + i g T i g + g 1 f 1. e che 1 (f T i g T i f g 1 1 i i g f 1 = g f 1 (per il teorema idividuale ergodico e Defiizioe U operatore lieare S : L 1 (, m L 1 (, m si dice doppiamete stocastico se per ogi f L 1 soddisfa le proprietà: 1. f 0 = Sf 0 2. Sf dm = f dm 3. S1 = 1 (q.o., dove 1 : C x 1 Proposizioe Se T è doppiamete stocastico su uo spazio di misura fiita, allora mappa L p i sé per ogi p [1, + ], co orme che soddisfao T L(Lp 1 e T L(L1 = T L(L = 1. Ioltre, ache T è doppiamete stocastico. Dimostrazioe. Iazitutto, siccome m( < + (e seza perdita di geeralità si può assumere m(=1 allora L... L p... L 1 per ogi p (1, +, e quidi T è be defiito su tutti gli spazi i questioe. Per ogi f L, siao f +, f 0 la parte positiva e egativa di f, i modo che: f = f + f e f = f + + f. Essedo T doppiamete stocastico, ache T f +, T f 0 e quidi: T f = T (f + f = T f + T f T f + + T f = T f. (1.5 Ioltre, per le proprietà (1 e (3 della defiizioe si ha: T f T f = f. (1.6 Combiado la (1.5 e la (1.6 si ottiee T f f, ovvero T L(L 1. Ma siccome T 1 = 1 per defiizioe, allora T L(L = 1. (Vale la pea otare che per quato dimostrato fiora è stato ecessario usare solo le proprietà (1 e (3 della defiizioe La proprietà (2 della equivale a dire che T f, 1 = f, T 1 = f, 1 per ogi f L 1, e quidi è equivalete a T 1 = 1. Segue, quidi, che T L(L = T L(L 1 = 1. Per quato riguarda la disuguagliaza T p 1 co p (1,, essa segue da u applicazioe del teorema di covessità di Riesz.

16 16 CAPITOLO 1. TRASFORMAZIONI CHE PRESERVANO LA MISURA Resta da mostrare che T mappa L 1 i sé e che soddisfa la codizioe (2 della 1.3.6: se f L allora T f dm = 1, T f = T 1, f = 1, f = f dm. Ora, siccome L è deso i L 1, allora T ha u uica estesioe cotiua a tutto L 1 che soddisfa T f dm = f dm f L 1. Ioltre, itegrado la (1.5 sostituedo T a T si ottiee: T f dm T f dm = f dm < +. Si può ora geeralizzare il teorema della media ergodica 1.2.4, otteibile dal teorema seguete prededo p = 2 i modo da otteere lo spazio di Hilbert H = L 2. Teorema (della media ergodica di Yosida. Sia U u operatore doppiamete stocastico sullo spazio di probabilità (cioè m( = 1 e sia f L p. Allora esiste f L p tale che: 1 1 lim U i f f = 0 (1.7 p Dimostrazioe. Si può procedere per vari passi. Sia h : R tale che Uh h. Posto g := h Uh, si ha g 0 e per la proprietà (2 di g dm = 0, quidi g = 0 q.o., cioè Uh = h Per la proposizioe 1.3.7, quato appea visto vale ache per U ; i particolare, se U h 1 = h 1 e U h 2 = h 2 allora, posto (h 1 h 2 (x := mi x (h 1 (x, h 2 (x, si ha che U (h 1 h 2 = h 1 h 2. q.o. Sia ora f = g Ug per ua opportua g L p. Poedo 1 U f(x = U i f(x, si ottiee U f = g U g ed ache (i maiera aaloga a quato fatto i 1.1 e 1.2 ella dimostrazioe del teorema della media ergodica 1.2.4: 1 U f 2 p g p 0.

17 1.3. CONVERGENZA PUNTUALE E TEOREMI ERGODICI 17 Quidi la tesi 1.7 vale se f = 0 e se f H 1 := {g Ug g L p }. Facilmete si verifica che la tesi vale ache se f = f e se f H 2 := {g L p Ug = g}. perché U i f f 1 = f f = f f p = 0 p p Procediamo ora mostrado che H 1 + H 2 è deso i L p e a tal fie basta mostrare che l uica fuzioe F ortogoale a H 1 e ad H 2 è la fuzioe ulla (q.o.. Ifatti: siccome F H 1, allora g L p F, g Ug = F, g U F, g = 0, quidi U F = F. Ora, per ogi c R fissato, si defiisca A c := {x F (x > c} e per ogi ε > 0 sia g ε := 1 [(c + ε F (c F ]. ε Si oti che 0 g ε 1 e che g ε χ A (se ε 0, quidi U g ε U χ A. Ioltre, siccome le fuzioi F, c, c + ε soo tutte U -ivariati, si ha U g ε = 1 ε [U ((c + ε F U (c F ] = 1 ε [(c + ε F (c F ] = g ε, quidi U χ A = lim ε U g ε = lim g ε = χ A. I realtà vale ache che Uχ A = χ A, ifatti dato B B si ha quidi U χ A B U χ A = χ A e U χ A B U χ B U χ A B = χ A U χ A B χ A U χ B. (1.8 Aalogamete U χ A c B χ A c U χ B, ovvero valgoo U ((1 χ A χ B (1 χ A U χ B = U χ B U χ A B U χ B χ A U χ B (1.9 χ A U χ B U χ A B. Usado (1.8 e (1.9 si ottiee U χ A B = χ A U χ B, duque Uχ A, χ B = χ A, U χ B = 1, χ A U χ B = 1, U χ A B = = U1, χ A B = 1, χ A B = χ A, χ B, e per l arbitrarietà di B si ottiee Uχ A = χ A.

18 18 CAPITOLO 1. TRASFORMAZIONI CHE PRESERVANO LA MISURA Ora, siccome m( < + allora χ A L L p e quidi χ A H 2. Siccome F H 2, allora vale 0 = χ A, F = F dm c R, {F >c} quidi F = 0 q.o. Duque H 1 + H 2 è deso i L p. Ora, per desità, data f L p esistoo f k H 1 + H 2 per cui vale la (1.7 (per quato visto sopra e tali che f k f i L p. Allora 1 U f 1 m U mf 1 1 U i (f f k p p U i (f f k m p U f k 1 m U mf k 2 f f k p + 1 p U f k 1 m U mf k da cui segue la tesi. p 1.4 Ergodicità Se T è ua trasformazioe che preserva la misura su e se = E F co m(e, m(f > 0, E F =, T E = E e T F = F, allora lo studio delle proprietà di T su si può ridurre allo studio (presumibilmete più semplice delle proprietà di T E e T F. U sistema verrà detto ergodico quado questa scomposizioe o può essere fatta. Defiizioe Ua trasformazioe T dello spazio di misura (, B, m è detta ergodica se per ogi B B tale che T 1 B = B si ha: m(b = 0 o m( \ B = 0. Proposizioe T è ergodica se e solo se ogi fuzioe f : R misurabile e T -ivariate è costate (q.o.. Dimostrazioe. ( Sia A u ivariate: allora la sua fuzioe idicatrice χ A è ivariate, quidi χ A = costate (q.o., ossia m(a = 0 oppure m( \ A = 0. ( Sia f misurabile e T -ivariate; si defiisca: { (k, = x k 2 f(x < k } k Z, N. Siccome f è T -ivariate, allora ache gli isiemi (k, soo T -ivariati e quidi per ipotesi per ogi fissato N tutti trae uo degli (k, (idicizzato da k = k hao misura 0. A questo puto, osserviamo che per ogi N vale (k +1, + 1 (k,, quidi esiste lim k /2 =: t R. Ioltre, vale m( { x f(x t } = lim m ( \ (k, = lim 0 = 0. Quidi f(x = t q.o.

19 1.4. ERGODICITÀ 19 Osservazioe Nel caso i cui m( < +, è vero ache che T è ergodica se e solo se ogi fuzioe T -ivariate i L 1 (o i L 2 è costate (q.o.. La dimostrazioe di questo fatto è baale i quato ogi fuzioe idicatrice f = χ A è misurabile se e solo se è i L 1 (poiché m( < + ovvero se e solo se è i L 2. Teorema Se T : (, B, m (, B, m preserva la misura e m( = 1, allora soo fatti equivaleti: 1. T è ergodica; 2. Se B B e m(t 1 B B = 0 allora m(b = 0 o m(b = 1 (dove idica la differeza simmetrica tra isiemi; 3. Per ogi A, B B co m(a, m(b > 0 esiste N \ {0} tale che m(t A B > 0. Dimostrazioe. (1 2 Sia B B tale che m(t 1 B B = 0 e sia B B := N T i B allora T 1 B = B e m(b = m(b. Quidi, dall ipotesi, m(b = 0 o m(b = 1, cioè m(b = 0 o m(b = 1. (2 3 Siao A, B B tali che m(a, m(b > 0 e si suppoga per assurdo che (3 sia falsa, cioè che Duque i= N \ {0} m(t A B = 0. m ( ( + Posto A = + =1 T A, allora quidi e per ipotesi =1 T A B = 0. T 1 A A e m(a = m(t 1 A, m(t 1 A A = 0 m(a = 0 oppure m(a = 1. Ma siccome T 1 A A e T preserva la misura, allora m(a m(a > 0, quidi m(a = 1. Ma questo cotraddice il fatto che m(a B = 0, perché m( = 1 e m(b > 0. (3 1 Per assurdo esiste B B tale che T 1 B = B e 0 < m(b < 1. Allora cosa che cotraddice la (3. m(t B B c = 0 > 0,

20 20 CAPITOLO 1. TRASFORMAZIONI CHE PRESERVANO LA MISURA Osservazioe Sia uo spazio metrico compatto di probabilità co misura di Borel m positiva su ogi aperto o vuoto di, e sia T : cotiua ed ergodica (rispetto a m. Allora ({ } m x {T x 0} è deso i = 1. Ovvero, quasi ogi puto di ha orbita {T x} desa. Dimostrazioe. Sia {U } N ua base per la topologia di. Allora: {T x 0} è deso i x T k U. N k N Siccome T 1 ( k N T k U k N T k U e T è ergodica e preserva la misura, allora si ha che ( m T k U = 0 oppure 1. k N Ma siccome k N T k U è u aperto o vuoto, allora per ipotesi ha misura positiva, quidi 1, da cui la tesi. Esempio La trasformazioe idetica id sullo spazio di probabilità (, B, m è ergodica se e solo se tutti gli elemeti di B hao misura 0 o 1. Esempio Sia S 1 = {z C z = 1} la circofereza uitaria e sia T : S 1 S 1 defiita da T (z = az, co a C qualsiasi. Allora: T è ergodica a o è radice dell uità. Dimostrazioe. ( Sia a radice dell uità, cioè a p = 1 per u opportuo p N \ {0}. Sia f(z := z p, chiaramete f costate (q.o. ed è T -ivariate perché (f T (z = f(az = a p z p = z p = f(z, quidi T o può essere ergodica. ( Se a o è radice dell uità, sia f T = f co f L 2 e se e cosideri lo sviluppo i serie f(z = Z b z. Allora b a z = (f T (z = f(z = b z e quidi b (a 1 = 0 per ogi N; i particolare, per 0 si ha b = 0, cioè f = costate (q.o.. La tesi segue dall osservazioe Esempio Sullo spazio discreto N co la misura data dalla cardialità m(a = #(A, dove A N, la traslazioe T 1 x = x + 1 è ergodica, metre la traslazioe T 2 x = x + 2 o lo è (ifatti, ad esempio, l isieme dei umeri pari è ivariate, ma é esso é il suo complemetare hao misura ulla. Esempio Il (p 1,..., p k -shift bilatero è ergodico. (Aalogamete quello uilatero.

21 1.4. ERGODICITÀ 21 Dimostrazioe. Sia A l algebra geerata dalle uioi fiite di rettagoli misurabili. Sia E B u isieme T -ivariate e sia ε > 0 fissato, allora esiste A A tale che m(e A < ε, quidi m(e m(a = m(e A + m(e \ A m(a E m(a \ E < < m(e \ A + m(a \ E < ε. A questo puto, siccome A è ell algebra A allora si può predere abbastaza grade i modo che B := T A o dipeda dalle stesse coordiate di A. I questo modo si ha ache m(a B = m(am(b = m(a 2 m(e B = m(e A < ε Ma siccome E (A B (E A (E B, allora m (E (A B < 2ε e quidi m(e m(a B < 2ε. Ifie (siccome m(a, m(e 1 m(e m(e 2 m(e m(a B + m(a B m(e 2 < < 2ε + m(a 2 m(e 2 2ε + m(a m(a m(e + m(e m(a m(e < 4ε. E duque, per l arbitrarietà di ε si ha che m(e = m(e 2 e quidi che m(e = 0 oppure 1. U argometo aalogo si applica ache el caso di shift uilatero. Esempio La traslazioe T x = x + 1, defiita su R dotato della misura di Lebesgue, o è ergodica. Ifatti u esempio di isieme ivariate e ma co misura o baale è ], + 1 [. 2 N Osservazioe Nello spazio di Hilbert L 2 (S 1, B, m, dove m è la misura di Haar costituita dalla misura di Lebesgue ormalizzata e B è la σ-algebra dei Boreliai, le fuzioi f (x := x co Z formao ua base ortoormale. Osservazioe (Alcue proprietà dell isieme dei caratteri. Sia G u gruppo topologico abeliao localmete compatto e co ua base umerabile (si ricordi che per u gruppo topologico compatto si ha: G metrico se e soltato se G a base umerabile e sia Ĝ = {γ : G S1 γ omeomorfismo cotiuo} l isieme dei caratteri di G, che è u gruppo abeliao co l operazioe di moltiplicazioe (putuale di fuzioi. Ioltre, Ĝ è u gruppo abeliao localmete compatto a base umerabile co la topologia compatto-aperto, defiita i geerale tra due spazi topologici Y, Z dalla pre-base: {f : Y Z f(k U}. K Y compatto; U Z aperto Ioltre valgoo le segueti proprietà: 1. G compatto Ĝ discreto.

22 22 CAPITOLO 1. TRASFORMAZIONI CHE PRESERVANO LA MISURA 2. (Ĝ è aturalmete isomorfo (come gruppo topologico a G, tramite la mappa: (Ĝ G α a, dove α(γ = γ(a γ Ĝ. 3. G 1 G 2 Ĝ1 Ĝ2, dove e idicao l isomorfismo e il prodotto diretto di gruppi. 4. Se H G è u sottogruppo chiuso, allora esiste γ Ĝ co γ 1 tale che γ(h = 1 h H. 5. Se G è compatto allora gli elemeti di Ĝ soo mutuamete ortogoali i L 2 (m, dove m è ua misura di Haar. Ifatti basta mostrare che γ(x dm(x = 0 γ 1. G Ma se a G, essedo m di Haar e γ u omeomorfismo, allora γ(x dm(x = γ(ax dm(x = γ(a γ dm, da cui segue la tesi prededo a G tale che γ(a Se G è compatto allora gli elemeti di Ĝ formao ua base ortoormale di L 2 (m, dove m è la misura di Haar ormalizzata. 7. Se A : G G è u edomorfismo di G (cioè u omomorfismo cotiuo, si può defiire u edomorfismo di Ĝ come segue:  : Ĝ Ĝ Â(γ = γ A. E valgoo: Quidi: A iiettiva  surgettiva A surgettiva  iiettiva. A automorfismo  automorfismo Esempio La rotazioe T (x = ax di u gruppo metrico compatto G co m(g = 1 è ergodica se e soltato se l isieme {a } Z è deso i G. (I particolare: se T ergodica allora G è abeliao. Dimostrazioe. ( Se T x = ax è ergodica, allora dall osservazioe segue che {a x 0 } Z è deso i G per qualche x 0 G e quidi {a } è deso (ifatti: se y G allora { i } i N tale che a i x 0 i yx 0, e quidi a i i y. ( Sia {a } Z G deso. Ciò implica che G è abeliao, ifatti se a h h b e se a k k c, allora a h a k h,k bc

23 1.4. ERGODICITÀ 23 a k a h h,k quidi bc = cb per ogi b, c G. Ora, sia f L 2 e T -ivariate e sia Ĝ = {γ : G S1 γ omeomorfismo cotiuo} l isieme dei caratteri di G, che forma ua base ortoormale di L 2 (G perché G è compatto. Allora si può scrivere cb, f = i b i γ i co γ i Ĝ e allora per l ivariaza di f b i γ i (aγ i (x = i i b i γ i (x, così che se b i 0 allora γ i (a = 1, da cui, per desità, γ i 1. Duque il solo termie costate della serie di f può essere diverso da 0, cioè f è costate (q.o.. Proposizioe Sia (, B, m uo spazio di probabilità e sia T : ua trasformazioe che preserva la misura. Allora: T è ergodica A, B B 1 1 m(t i A B Dimostrazioe. ( Prededo f := χ A el teorema di Birkhoff si ottiee: Moltiplicado per χ B : 1 1 χ A T i m(a q.o. 1 1 (χ A T i χ B m(a χ B q.o. Per il teorema di covergeza domiata, itegrado si ottiee: 1 1 m(t i A B m(am(b. ( Se T 1 E = E co E B, presi A = B = E allora dall ipotesi 1 1 m(e m(e2. Quidi m(e = m(e 2, così che m(e = 0 oppure 1. m(am(b. Teorema (ergodico di Vo Neuma. Sia T ua trasformazioe che preserva la misura sullo spazio di probabilità (, B, m. Se f L p (m (co 1 p < +, allora esiste f L p (m tale che: f T = f

24 24 CAPITOLO 1. TRASFORMAZIONI CHE PRESERVANO LA MISURA lim 1 1 f(t i x f (x = 0 p Dimostrazioe. Se g è limitata e misurabile, allora g L L p (perché m( < + e quidi per il teorema ergodico 1 1 g(t i x g (x (q.o. E chiaramete ache g è limitata, cioè g L L p. Ioltre 1 g(t i x g (x p 0 (q.o. e quidi per il teorema di covergeza domiata i 1 g(t i x g (x 0. p Cioè per ogi ε > 0, esiste N = N(ε, g N tale che: > N, k > 0 Ora, per f L p si defiisca i 1 1 g(t i x 1 +k 1 g(t i x < ε + k 2. p M (f(x := 1 1 f(t i x. La successioe {M f} è di Cauchy i L p, ifatti M f p f p e scelta g L co f g p < ε/4 (cosa possibile per desità di L i L p allora: M f M +k f p M f M g p + M g + M +k g p + M +k g M +k f p ε 4 + ε 2 + ε 4 = ε. Poiché M g g i L p per ogi g L, per desità si ottiee M f f i L p per ogi f L p. D altrode, essedo ( + 1 M +1 f(x M f(t x = f(x, per segue che f T = f (q.o.. Osservazioe Se T è ua trasformazioe che preserva la misura ed è ergodica e se f L 1, allora dal teorema precedete segue che f 1 = lim i (f T i è ivariate, quidi:

25 1.4. ERGODICITÀ 25 se m( < + allora f = costate (q.o., e ioltre dal teorema ergodico di Birkhoff siccome f dm = f dm allora f 1 f dm. m( 1 Cioè, i spazi di misura fiita la media spaziale m( f è uguale (q.o. alla media temporale (asitotica f 1 = lim i f T i per ogi fuzioe f L 1. se m( = + allora f = costate (q.o., ma allora ecessariamete f = 0 (q.o.. Esempio (Teorema di Borel sui umeri ormali. Quasi tutti i umeri ell itervallo [0, 1 soo ormali i base 2, cioè per q.o. x [0, 1, detto k il umero di cifre 1 elle prime cifre dell espressioe biaria di x, si ha k lim = 1 2. Dimostrazioe. Sia T : [0, 1 [0, 1 defiita da T (x = 2x (mod 1, allora T è ua trasformazioe che preserva la misura di Lebesgue, e basta verificarlo per gli aperti (a, b [0, 1: ( (a m(t 1 (a, b = m 2, b ( a , b = 2 ( b = 2 a ( b a 2 1 = b a = m(a, b. 2 T è ergodica, ifatti sia f : [0, 1 C co f L 2 (si veda l osservazioe e T -ivariate, allora se si cosidera lo sviluppo i serie di f(x = Z a x si ottiee: ( a x = f(x = f 2x (mod 1 = a 2 x, Z da cui Z 2 a = a Z, cioè a = 0 per ogi 0. Duque f = costate (q.o.. Ora, si cosideri u espasioe biaria (si ricordi che i geerale tale espasioe o è uica, ma i puti che hao due espasioi diverse formao u isieme di misura ulla: x = a a a , allora ( a1 T (x = T 2 + a a Posto f(x = χ [1/2,1 (x, allora f(t i x = f ( ai a i = = a a { 1 sse a i+1 = 1 0 sse a i+1 = 0.

26 26 CAPITOLO 1. TRASFORMAZIONI CHE PRESERVANO LA MISURA Duque il umero di 1 elle prime cifre dell espasioe biaria di x è dato da 1 f(t i (x, quidi applicado il teorema ergodico di Birkhoff e l osservazioe precedete si ottiee (e usado il fatto che l isieme dei razioali ha misura ulla: 1 1 f(t i x f (x 1 f dm = χ [1/2,1 dm = 1 m( 2 (q.o.. Osservazioe I uo spazio di misura fiita, ua trasformazioe T : è ergodica se e solo se la media temporale di ogi fuzioe itegrabile è costate. Basta provare che ogi fuzioe ivariate e itegrabile è costate, ma ciò segue dal fatto che ua fuzioe ivariate coicide co la sua stessa media temporale. Per spazi di misura ifiita quato appea visto o vale, ad esempio basta predere = Z Z e T (x, y = (x + 1, y e vedere che T o è ergodico e la costate 0 è la sola fuzioe ivariate. La proposizioe seguete rispode alla domada opposta rispetto ai teoremi visti fiora: cosa si può dire sull itegrabilità di f cooscedo f? Proposizioe Siao T ua trasformazioe ergodica e che preserva la misura, m( < + e f 0 ua fuzioe qualsiasi su. Se 1 1 f(t i x ha limite fiito per q.o. x, allora f è itegrabile. Dimostrazioe. Sia f 1 1 (x := lim f(t i x (defiita ad esempio poedo f (x = 0 per gli x per cui il limite o è fiito o o esiste, e tale isieme di puti x ha misura ulla. Allora tale fuzioe è T -ivariate e itegrabile, quidi per l ergodicità di T essa è costate (q.o.. Ora, sia f k la fuzioe otteuta da f trocata all altezza k quado tale soglia viee superata, allora f k è limitata e quidi itegrabile. Per il teorema di covergeza mootoa f k dm k f dm, e quidi basta mostrare la limitatezza della successioe { f k dm} k per otteere la tesi. Ma ifatti, siccome 0 f k f, allora 1 1 f k (T i x 1 1 f(t i x e quidi passado al limite per + si ottiee fk f c (q.o.. Duque fk dm c m( k N, e per il teorema ergodico di Birkhoff fk dm = quidi la successioe { f k dm} k è limitata. f k dm

27 1.5. MIING E ALTRE PROPRIETÀ Mixig e altre proprietà Defiizioe Sia (, B, m uo spazio di probabilità e sia T : ua trasformazioe che preserva la misura. Allora si defiisce: T ergodica sse m(t i A B m(am(b T weak-mixig sse m(t i A B m(am(b 0 3. T strog-mixig sse m(t A B (Si veda ache la proposizioe m(am(b. Osservazioe T strog-mixig = T weak-mixig = T ergodica. Questo segue dal fatto geerale che se {a } N è ua successioe di umeri reali qualsiasi, allora: a 0 = 1 1 a i 0 = 1 1 a i 0. Lemma Sia T : trasformazioe che preserva la misura e sia A u algebra che geera la σ-algebra B. Se le codizioi di ergodicità/weakmixig/strog-mixig soo verificate per tutti gli elemeti di A, allora valgoo per tutti gli elemeti di B. Dimostrazioe. Sia ε > 0 e siao E, F B. Presi E 0, F 0 A tali che m(e E 0 < ε e m(f F 0 < ε allora ( N m (T E F (T E 0 F 0 < 2ε, quidi N Duque N si ha: m(t E F m(t E 0 F 0 < 2ε. 1 1 m(t i E F m(em(f 1 1 ( 1 m(t i E F m(t i E 0 F m(t i E 0 F 0 m(e 0 m(f m(e 0 m(f 0 m(e 0 m(f + 1 m(e 0 m(f 0 m(em(f 1 2ε + 1 m(t i E 0 F 0 m(e 0 m(f 0 + ε + ε Allora per l ergodicità basta osservare che essa vale per E 0, F 0. Per la codizioe di weak-mixig, portado prima fuori il simbolo di sommatoria si mostra che m(t i E F m(em(f 4ε + m(t i E 0 F 0 m(e 0 m(f 0,

28 28 CAPITOLO 1. TRASFORMAZIONI CHE PRESERVANO LA MISURA a questo puto basta predere la media secodo Cesaro su etrambi i membri. Ragioameto aalogo si può fare per la codizioe di strog-mixig. Esempio Il (p 1,..., p k -shift (uilatero o bilatero è strog-mixig. Ifatti, se A e B soo due rettagoli misurabili allora vale m(t A B m(am(b, ioltre tale codizioe vale per le uioi disgiute fiite di rettagoli misurabili e quidi la tesi segue applicado il lemma precedete. Lemma Se {a } N è ua successioe limitata di umeri reali, allora soo equivaleti: a i 0 2. esiste J N co desità lim cardialità(j {0, 1,..., 1} a i 2 0. = 0, tale che lim / J, a = 0. Dimostrazioe. Si idichi co a M ( := cardialità(m {0, 1,..., 1}, dove M N. (1 2 Sia J k := { N a 1/k} dove k > 0. Allora J 1 J 2...; ioltre ogi J k ha desità 0 poiché 1 1 a i 1 1 k a J k ( ed il primo membro tede a 0 per ipotesi (per. Quidi esistoo 0 = l 0 < l 1 <... N tali che 1 l k a J k+1 ( < 1 k + 1. Ora, sia J := ( k N J k+1 [l k, l k+1 ; si può mostrare che J ha desità 0, ifatti: iazitutto siccome J 1 J 2..., se l k < l k+1 si ha J [0, = ( J [0, l k ( J [l k, ( J k [0, l k ( J k+1 [0, e quidi 1 a J( 1 ( a Jk (l k + a Jk+1 ( 1 ( a Jk ( + a Jk+1 ( < 1 k + 1 k + 1. Ifie 1 a J( 0, cioè J ha desità 0. Se > l k e / J allora / J k+1 e quidi a < 1 k+1, duque lim / J a = 0. (2 1 Siccome {a } è ua successioe limitata per ipotesi, sia a K per ogi N, e ifie sia ε > 0 fissato. Allora esiste N ε N tale che N ε ( / J = a < ε

29 1.5. MIING E ALTRE PROPRIETÀ 29 ed esiste M ε N tale che M ε a J ( < ε. Ma allora per ogi max(n ε, M ε si ha: 1 1 a i = 1 ( {0,..., 1} J a i + {0,..., 1}\J a i < K a J( + ε < (K + 1ε. (1 3 Per quato appea visto ei puti precedeti, basta otare che: lim a = 0 lim a 2 = 0. / J, / J, Corollario Soo equivaleti: 1. T weak-mixig; 2. Per ogi A, B B esiste J = J(A, B N di desità 0 tale che: 3. A, B B 1 lim m(t A B = m(am(b / J, 1 Dimostrazioe. Segue dalla defiizioe e dal lemma precedete. m(t i A B m(am(b 2 0. Teorema Sia (, B, m uo spazio di probabilità e sia T : ua trasformazioe che preserva la misura, co operatore associato U : L 2 L 2. Allora valgoo: 1. T ergodica f, g L U i f, g f, 1 1, g f L U i f, f f, 1 1, f 2. T weak-mixig f, g L U i f, g f, 1 1, g 0 f L U i f, f f, 1 1, f 0 3. T strog-mixig f, g L 2 U f, g f L 2 U f, f f, 1 1, f f, 1 1, g Dimostrazioe. Per semplicità, si può verificare solo il terzo euciato i quato le dimostrazioi soo tutte simili. Si suppoga valida la prima codizioe dell euciato, cioè T strog-mixig; si può procedere per approssimazioi successive per dimostrare che da ciò segue la terza codizioe:

30 30 CAPITOLO 1. TRASFORMAZIONI CHE PRESERVANO LA MISURA siao A, B B, allora: χ (T A B dm = cioè m(t A B m(am(b. χ A (T x χ B (x dm χ A dm χ B dm, fissado B B, per liearità si ha che per ogi h fuzioe semplice (cioè combiazioe lieare di fuzioi idicatrici vale U h, χ B h, 1 1, χ B. fissado h si ottiee: U h, h h, 1 1, h. sia f L 2 qualsiasi e sia ε > 0. Per desità delle fuzioi semplici i L 2 si può scegliere h fuzioe semplice tale che f h 2 < ε, ioltre esiste N = N(ε N tale che Allora N si ha: N U h, h h, 1 1, h < ε. U f, f f, 1 1, f U f, f U h, f + U h, f U h, h + + U h, h h, 1 1, h + h, 1 1, h f, 1 1, h + + f, 1 1, h f, 1 1, f U (f h, f + U h, f h + ε+ + 1, h h f, 1 + f, 1 1, h f f h 2 f 2 + f h 2 h 2 + ε + h 2 f h 2 + f 2 h f 2 ε f 2 + h 2 ε + ε + h 2 ε + f 2 ε. Quidi vale la terza codizioe a partire dalla prima. Ora, suppoedo valida la secoda codizioe, allora scegliedo f = χ A, g = χ B dove A, B B si ottiee che T è strog-mixig, cioè la validità della prima codizioe. Ifie, suppoedo valida la terza codizioe, sia f L 2 e si idichi co H f il più piccolo sottospazio chiuso di L 2 coteete f e le fuzioi costati e tale che U(H f H f. Allora F f := { } g L 2 U f, g f, 1 1, g è ach esso u sottospazio di L 2 chiuso, coteete f e le costati e U-ivariate; duque H f F f. Se g H f (cioè g Hf allora per ogi N si ha U f, g = 0 ed ache 1, g = 1 (perché 1 H f ; quidi Hf F f. Ma allora deve essere ecessariamete F f = L 2, cosa che equivale alla secoda codizioe. Defiizioe Se T : (, B, m (, B, m è ua trasformazioe che preserva la misura, si defiisce la trasformazioe prodotto T T : come (T T (x, y := (T x, T y ed è ua trasformazioe che preserva la misura sullo spazio di misura prodotto (, B B, m m.

31 1.5. MIING E ALTRE PROPRIETÀ 31 Teorema Se T preserva la misura sullo spazio di probabilità (, B, m, allora soo equivaleti: 1. T weak-mixig, 2. T T ergodica, 3. T T weak-mixig. Dimostrazioe. (1 3 Siao A, B, C, D B, allora (per il corollario esistoo J 1, J 2 N di desità zero e tali che: lim / J 1, m(t A B = m(am(b, Allora: ( lim (m m (T T (A C (B D / J 1 J 2, lim m(t C D = m(cm(d. / J 2, = lim / J 1 J 2, m(t A Bm(T C D = = m(am(bm(cm(d = (m m(a C(m m(b D. Quidi la proprietà di weak-mixig è valida sui rettagoli misurabili della forma E F B B, quidi è valida ache per uioi fiite disgiute di tali rettagoli, ma questi ultimi formao u algebra F che geera la σ-algebra B. Allora per il corollario si ha: 1 1 m(t i A B m(am(b 0 A, B F, quidi si ha la tesi. (3 2 Ovvio. (2 1 Siao A, B B, allora (usado che m( = 1: lim m(t i 1 ( A B = lim (m m (T T i (A (B = ioltre 1 lim Duque 1 lim = lim = (m m(a (m m(b = m(am(b, ( 2 1 m(t i 1 A B = lim = ( (m m (T T i (A A (B B = = (m m(a A(m m(b B = = m(a 2 m(b 2. ( m(t i A B m(am(b 2 = 1 ( m(t i A B 2 2m(T i A Bm(Am(B + m(a 2 m(b 2 = = 2m(A 2 m(b 2 2m(A 2 m(b 2 = 0,

32 32 CAPITOLO 1. TRASFORMAZIONI CHE PRESERVANO LA MISURA da cui segue la tesi per il corollario

33 Capitolo 2 Isomorfismi e spettro di trasformazioi 2.1 Spettro cotiuo e proprietà ergodiche Defiizioe Si dice che ua trasformazioe T : (, B, m (, B, m ha lo spettro cotiuo se 1 è il solo autovalore di T (cioè dell operatore associato defiito su L 2 ( e le sole autofuzioi soo le costati. Osservazioe T ha lo spettro cotiuo se e solo se 1 è il solo autovalore e T è ergodico. 2. Siccome l operatore U associato a T è uitario, se λ è autovalore di T, allora λ = 1, ifatti: f 2 = Uf 2 = Uf, Uf = λf, λf = λ 2 f 2 f L λ = 1 è sempre u autovalore corrispodete a ua/ogi autofuzioe costate. Teorema (spettrale per operatori uitari. Se U è u operatore uitario sullo spazio di Hilbert complesso H, allora per ogi f H esiste u uica misura di Borel fiita µ f defiita su S 1 C tale che: U f, f = λ dµ f (λ Z. S 1 Corollario Se T : (, B, m (, B, m è ivertibile e preserva la misura, allora l operatore associato U T : L 2 ( L 2 ( è uitario e se T ha lo spettro cotiuo allora per ogi f L 2 ( tale che f, 1 = 0 la misura µ f o è atomica. Teorema Se T è ua trasformazioe che preserva la misura e ivertibile su uo spazio di probabilità (, B, m, allora: T weak-mixig T ha lo spettro cotiuo. 33

34 34 CAPITOLO 2. ISOMORFISMI E SPETTRO DI TRASFORMAZIONI Dimostrazioe. ( Sia U(f = f T = λf (q.o. co f L 2. Se λ = 1, ma λ 1, allora itegrado si ha f(x dm(x = f(t x dm(x = λf(x dm(x, cioè f dm = 0, cioè f, 1 = 0. Da ciò segue per la proprietà di weak-mixig che: lim U i 1 f, f = 0, ovvero lim λ i f, f = 0, ma siccome λ i = 1, allora f, f = 0 e duque f = 0 (q.o.. Ivece el caso i cui λ = 1 allora f = costate (q.o. per l ergodicità di T. ( Iazitutto si può osservare che per il teorema la tesi equivale a mostrare che per ogi f L U i f, f f, 1 1, f 2 0. (2.1 Se f c (q.o. allora la (2.1 vale i quato: 1 1 U i c, c c, 1 1, c 2 = 1 1 c 2 c 2 = 0. A questo puto, basta mostrare che: 1 1 f, 1 = 0 = lim U i f, f 2 = 0, ioltre, per il teorema spettrale basta mostrare che se µ f è ua misura cotiua (cioè o atomica su S 1 allora 1 1 λ i dµ f (λ 2 0. (2.2 S 1 Ma ifatti, siccome (usado il teorema di Fubii-Toelli λ i dµ f (λ = 1 1 [ ] λ i dµ f (λ λ i dµ f (λ = S 1 S 1 S 1 = 1 1 [ ] ( λ i dµ f (λ τ i dµ f (τ S 1 S 1 = 1 1 (λτ i d(µ f µ f (λ, τ = S 1 S 1 ( 1 1 = (λτ i d(µ f µ f (λ, τ S 1 S 1 (2.3

35 2.1. SPETTRO CONTINUO E PROPRIETÀ ERGODICHE 35 allora, se (λ, τ o è ella diagoale di S 1 S 1 (cioè λ τ, si ha 1 1 (λτ i = 1 [ ] 1 (λτ 1 (λτ 0. Ora, siccome µ f è ua misura o atomica, allora (µ f µ f ( = 0, quidi l ultimo itegrado della (2.3 tede a 0 q.o. e, siccome tale itegrado ha modulo 1, allora applicado il teorema della covergeza domiata si ottiee quato voluto i (2.2. Esempio L idetità id su uo spazio di misura (, B, m è ergodica se e solo se è strog-mixig se e solo se ogi elemeto di B ha misura 0 oppure 1. Esempio Ua rotazioe T : S 1 S 1 data da T (z = az o è mai weak-mixig perché se f(z = z allora f(t z = az = af(z e f costate. Esempio Sia G u gruppo (abeliao topologico compatto e metrico e sia A : G G u edomorfismo (cioè omomorfismo e cotiuo. Allora: A ergodico A weak-mixig A strog-mixig. Dimostrazioe. Ovviamete, basta mostrare che se A è ergodico allora è ache strog-mixig. Siao γ, δ Ĝ caratteri di G. Siccome (osservazioe i caratteri soo u set ortoormale completo di L 2 allora UA γ, δ = 0, a meo che γ = δ 1. I ogi caso si ha che UAγ, δ γ, 1 δ, 1 = 0. Fissato δ Ĝ, l isieme H δ = {f L 2 UA γ, δ γ, 1 δ, 1 } è u sottospazio chiuso di L 2, ifatti se {f k } k H δ co f k k f per δ 1 (o ua qualsiasi costate è chiaro che H δ = L 2 ; per δ, 1 = 0 (cioè δ el sottospazio ortogoale a quello delle costati, fissato ε > 0 esiste k N tale che f f k 2 < ε/2 ed esiste N N per cui per ogi N si ha U A f k, δ < ε/2, duque N U Af, δ U Af, δ U Af k, δ + U Af k, δ f f k 2 δ 2 + U Af k, δ = = f f k 2 + U Af k, δ < ε Ora, siccome Ĝ H δ, allora ache i questo caso H δ = L 2. Ora, presa f L 2 e posto L f := {g L 2 U A f, g f, 1 g, 1 }, allora L f è u sottospazio chiuso di L 2 coteete Ĝ, quidi L f = L 2 e duque: f, g L 2 U Af, g f, 1 g, 1, cioè A è strog-mixig.

36 36 CAPITOLO 2. ISOMORFISMI E SPETTRO DI TRASFORMAZIONI 2.2 Trasformazioi isomorfe e coiugate Alcui dei problemi i teoria della misura sorgoo a causa degli isiemi di misura ulla. Si cosideri uo spazio di probabilità (, B, m e si cosideri l isieme quoziete C costituito dalle classi di equivaleza secodo la relazioe: A, B B A B m(a B = 0. Si può verificare che C è u algebra booleaa co le operazioi di itersezioe, uioe (ache umerabili e complemeto ereditate da B. Ioltre, siccome da m(a B = 0 segue m(a = m(b, allora si può cosiderare m come defiita su C e la struttura (C, m è ua σ-algebra booleaa. Ora, presa T trasformazioe che preserva la misura su, essa passa al quoziete se si defiisce la mappa C i sé [E] [T 1 E] (che sarà idicata co T 1 ; ioltre ach essa preserva la misura e le operazioi booleae. A questo puto, u problema fodametale diveta quado (e i quale seso cosiderare equivaleti due trasformazioi tra spazi di misura. Defiizioe Siao ( 1, B 1, m 1 e ( 2, B 2, m 2 due spazi di probabilità e siao T 1 : 1 1 e T 2 : 2 2 trasformazioi che preservao la misura. Si dice che T 1 è isomorfa a T 2 (T 1 T 2 se esistoo M 1 B 1 e M 2 B 2 tali che: m(m 1 = 1 = m(m 2, T 1 M 1 M 1, T 2 M 2 M 2 esiste φ : M 1 M 2 ivertibile e che preserva la misura tale che φ T 1 = T 2 φ. Osservazioe La relazioe di isomorfismo è ua relazioe di equivaleza. 2. T 1 T 2 = T 1 T Se T 1, T 2 soo ivertibili, allora si possoo predere M 1, M 2 i modo che T i M i = M i (per i = 1, 2, ifatti basta scegliere M i = k Z T k i M i. Defiizioe Sia (, B, m uo spazio di misura. 1. Si defiisca la relazioe d equivaleza A B m(a B = 0, co (A, B B e si deoti l isieme quoziete co B := B/, che è ua σ-algebra booleaa co le operazioi idotte da B; ioltre m iduce u applicazioe m : B [0, 1] defiita da m( B = m(b, dove la classe d equivaleza è [B] = B B. Questa struttura ( B, m viee defiita algebra di misura. 2. Sia T : è ua trasformazioe che preserva la misura. Se A B allora T 1 A T 1 B, quidi è be defiita l applicazioe T 1 : B B come T 1 ( B = T 1 (B ed è ua trasformazioe che preserva uioi, itersezioi, complemeti ed è tale che m( T 1 ( B = m( B.

37 2.2. TRASFORMAZIONI ISOMORFE E CONIUGATE 37 Defiizioe Ua mappa Φ : ( B 2, m 2 ( B 1, m 1 tra algebre di misura è detta isomorfismo di algebre di misura se è bigettiva, preserva complemeto e uioe umerabile ed è tale che m 1 (Φ( B = m 2 ( B per ogi B B 2. Dalla defiizioe segue che data T : (, B, m (, B, m si può cosiderare T 1 : ( B, m ( B, m. Si oti che se B B è u rappresetate della classe di equivaleza B B, allora ache χ B è u elemeto be defiito di L 2 (, B, m. Qual è il rapporto tra T 1 e l applicazioe idotta defiita da χ B χ T 1 ( B? E el caso i cui T 1 sia u isomorfismo di algebre di misura? Proposizioe U operatore uitario U : L 2 (, B, m L 2 (, B, m è idotto da u isomorfismo di algebre di misura T 1 : ( B, m ( B, m se e soltato se U e U 1 madao fuzioi limitate i fuzioi limitate e se vale U(f g = U(f U(g per f, g fuzioi limitate. Dimostrazioe. ( Se U è idotto dall isomorfismo T 1 (cioè dalla trasformazioe ivertibile e che preserva la misura T : allora vale che: f limitata = Uf = f T limitata U(f g = (f g T = (f T (g T = Uf Ug. ( Se f = χ B co B B è ua fuzioe idicatrice, allora f 2 = f e quidi (Uf 2 = (f T 2 = f T = Uf, quidi ache Uf è ua fuzioe idicatrice (proprio perché assume come valori solo 0 o 1 corrispodete ad u opportuo G B. Prededo T B = G la mappa T : B T B = G è defiita da B i sé; ioltre T è surgettiva, i quato U lo è, e siccome U è iiettiva, cioè KerU = {0}, allora vale che T B = 0 B = 0 (dove 0 idica l elemeto ullo i B. Resta da verificare che T è ua trasformazioe che preserva la misura ed è σ-omomorfismo. Ma ifatti: U uitario U preserva la orma T preserva la misura poiché m(b = χ B 2. T preserva le itersezioi perché U è moltiplicativo e vale χ A B = χ A χ B. Ioltre, T preserva le uioi perché vale che χ A B = χ A + χ B χ A χ B e quidi usado u argometo iduttivo e la cotiuità di U si dimostra che T preserva le uioi umerabili. Defiizioe Si dice che T 1 : ( 1, B 1, m 1 ( 1, B 1, m 1 e T 2 : ( 2, B 2, m 2 ( 2, B 2, m 2 soo trasformazioi coiugate se esiste u isomorfismo di algebre di misure Φ : ( B 2, m 2 ( B 1 1, m 1 tale che Φ T 2 = T 1 1 Φ. Osservazioe

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