TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE DEI TERRENI A GRANA FINE

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1 TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE DEI TERRENI A GRANA FINE Schema riassuntio 1) Premessa a. Descriione e definiione della fenomenologia ) Teoria di Teraghi (consolidaione monodimensionale) a. Ipotesi di base ip.1) Flusso e deformaioni 1D ip.) Fluido non comprimibile ip.3) Meo completamente saturo ip.4) Incomprimibilità dei granuli solidi (i.e. granuli con rigidea eleata; ρ s =costante) ip.5) Validità della legge di Darcy ip.6) Comportamento elastico lineare dello scheletro solido ip.7) Coefficiente di permeabilità costante nel tempo ip.8) Carico applicato in maniera istantanea e costante (i.e. σ costante nel tempo) b. Equaioni di base 1. Conseraione delle massa solida. Conseraione della massa liquida 3. Continuità della massa (meo bifase) (1 n) (1 n) s t n ( n ) t n ( s) s h 4. Legge di Darcy f k 5. Legame costitutio 1 d E d 6. Equilibrio dello scheletro solido t c.equaione finale d. Integraione della equaione del modello u u ke c c t 1

2 1. Adimensionaliaione c Z T t H H e. Soluione 1. Isocrone. Grado di consolidaione f. Valutaione sperimentale del coefficiente di consolidaione erticale 3) Consolidaione radiale (APPROFONDIMENTI) u u 1 u ke h a. Equaione generale ch ch t r r r 4) Caso generale equaione 3D (APPROFONDIMENTI) a. Equaioni di base 1. Legge di Darcy generaliata K( h ). Piccoli spostamenti h u 3. Legame costitutio p 3(1 ) p K E 4. Principio delle tensioni efficaci p pu 5. Continuità della massa () t b.equaione finale 1 3(1 ) u p K u E t t 1 k E Se terreno isotropo c,3 3(1 )

3 1 Premessa 1.1 Descriione e definiione della fenomenologia Per consolidaione si intende la progressia deformaione di un terreno prodotta da fenomeni idrodinamici connessi alla dissipaione delle sorappressioni interstiiali, u, indotte da un incremento della tensione totale, Δσ, douta a carichi esterni, q. Poiché questo fenomeno dipende dalla resistena al moto della fase fluida nei terreni a grana fine, ha senso pratico parlare di consolidaione solo in riferimento a terreni con conducibilità idraulica bassa. Teoria di Teraghi (consolidaione monodimensionale).1 Ipotesi di base Si considera un terreno a grana fine omogeneo, le ipotesi di base del modello matematico della consolidaione 1D sono: ip.1) Flusso e deformaioni 1D ip.) Fluido non comprimibile ip.3) Meo completamente saturo ip.4) Incomprimibilità dei granuli solidi (i.e. granuli con rigidea eleata; ρ s =costante) ip.5) Validità della legge di Darcy ip.6) Comportamento elastico lineare dello scheletro solido ip.7) Coefficiente di permeabilità costante nel tempo ip.8) Carico applicato in maniera istantanea e costante (i.e. σ costante nel tempo). Equaioni di base..1 Conseraione delle massa solida l eq. di conseraione della massa è data dalla espressione: massa uscente massa entrante massa iniiale - massa finale unità di tempo unità di tempo unità di tempo m m ( m m ) u e f i (1) 3

4 Figura 1: Schema per la definiione dell equaione di continuità della massa solida nel caso 1D. in cui la massa entrante, m e, nella faccia dx. dy è pari a: m (1 n) dxdydt () e s s doe: ρ s è la massa olumica (densità) dei granuli del terreno; n è la porosità dell elemento di olume dv = dx. dy. d; s elocità del flusso solido, dt istante temporale; la massa uscente, m u : s(1 n) s mu s(1 n) s ddxdydt (3) la massa iniialmente presente nell elemento di olume, m i : m (1 n) dxdyd (4) i s la massa presente nell elemento di olume dopo l interallo di tempo dt, m f : s (1 n) m f s(1 n) dtdxdyd t (5) Sostituendo le eqq. (), (3), (4) e (5) nella (1) si ottiene: s(1 n) s s(1 n) s ddxdy dt s(1 n) sdxdy dt (1 ) s n s(1 n) dtdxdyd s(1 n) dxdyd t 4

5 Facendo gli opportuni passaggi algebrici si ottiene infine: (1 n) (1 n) s s s t Essendo il terreno omogeneo, la densità del solido non aria con la profondità, inoltre, per la (ip.4), è costante nel tempo, ottenendo infine: (1 n) s (1 n) t (6).. Conseraione delle massa fluida Analogamente al caso precente, l eq. di conseraione della massa fluida è data dalla espressione: massa uscente massa entrante massa iniiale - massa finale unità di tempo unità di tempo unità di tempo m m ( m m ) u e f i (7) Figura : Schema per la definiione dell equaione di continuità della massa fluida nel caso 1D. in cui la massa entrante, m e, nella faccia dx. dy è pari a: m n dxdydt (8) e doe: ρ è la massa olumica (densità) del fluido interstiiale (p. es. acqua); n è la porosità dell elemento di olume dv = dx. dy. d; elocità assoluta del flusso, dt istante temporale; la massa uscente, m u, è data da: 5

6 n mu n ddxdydt (9) la massa di fluido iniialmente presente nell elemento di olume, m i : massa iniiale m ndxdyd (1) i la massa di fluido presente nell elemento di olume dopo l interallo di tempo dt, m f : n massa finale m f n dtdxdyd t (11) Sostituendo le eqq. (8), (9), (1) e (11) nella (7) si ottiene: n n ddxdy dt n dxdy dt n n dtdxdyd n dxdyd t (1) Facendo gli opportuni passaggi algebrici si ottiene infine: n n t (13) Per le (ip.) e (ip.3) la densità del fluido è costante sia con la profondità sia col tempo, si ottiene: n n t (14)..3 Continuità della massa (meo bifase) L equaione di continuità del meo bifase si ottiene sommando le eqq. (6) e (14): (1 n) n (1 ) n n s n n s s n n t t t t quindi alla fine: n ( s) s (15) Introducendo la elocità di filtraione, f, che è la elocità relatia del flusso del fluido che entra nella faccia dx dy rispetto al flusso del terreno nella mesima faccia: 6

7 n( ) f s si ottiene infine: f s (16)..4 Legge di Darcy La legge di Darcy in condiioni 1D è data da: f k h doe k è la conducibilità idraulica (permeabilità) nella direione. Essendo h pari a: h sostituendo: u u u h u u deriando per f k u u Se il fluido nelle condiioni iniiali è in regime idrostatico si ha: u quindi alla fine: f k u (17)..5 Legame costitutio Per la (ip.6) le deformaioni lungo la direione, d, sono espresse da: d 1 E d (18) 7

8 doe E è il modulo di rigidea ometrica (essendo in condiioni di deformaioni 1D, cioè di deformaione laterale impita)..6 Equilibrio dello scheletro solido Per la (ip.8) le tensioni totali, σ, agenti sull elemento di olume, dopo l applicaione del carico rimangono costanti nel tempo oero: t (19).3 Equaione finale Deriando l eq. (17) rispetto a si ottiene: f k u Per le (ip.) e (ip.7), e k non sono ariabili con, inoltre, per la (ip.7), k non aria nel tempo, pertanto: f k u Sostituendo il primo membro con l equaione di continuità della massa per meo bifase (eq.(16)); s k u () Essendo per definiione: s ss ss t t t (1) doe con s s si è indicato lo spostamento e con ε la deformaione (il segno negatio è per conenione: una ariaione positia dello spostamento corrisponde ad un allungamento). Sostituendo la eq. (1) nelle () si ottiene: t k u () Introducendo il legame costitutio (eq. (18)), la deformaione ε si può riscriere conenientemente come: 8

9 1 t E t (3) Dall equilibrio dello scheletro solido (eq. (19)) si ottiene inoltre: u u u t t t t (4) Sostituendo le eqq. (3) e (4) nella () si ottiene: oero: u k u u ke u E t t 1 u t c u (5) doe c è il coefficiente di consolidaione erticale, definito come: c ke L T.4 Integraione della equaione del modello L eq. (5) è una equaione alle deriate pariali di tipo parabolico (possie quindi una famiglia di cure caratteristiche). Può essere facilmente integrata analiticamente in condiioni monodimensionali ad esempio per il dominio di integraione mostrato nella figura 3, doe H prende il nome di percorso di filtraione e rappresenta la massima distana che una particella di acqua dee percorrere per raggiungere una delle superfici drenanti (nel caso in figura 3a H è pari a metà dello spessore dello strato di terreno che consolida essendoci superfici drenanti, nell altro caso singola superficie drenante H coincide con l intero spessore del banco). Il dominio di integraione è in questo caso è : t > ; H. Le condiioni al contorno sui bordi del dominio (Γ, Γ 1, Γ ) nel caso in cui la falda sia iniialmente idrostatica e ci sia una distribuione costante delle u(, ) pari all incremento delle tensioni totali σ (distribuione rettangolare di u(, )): : u(, ) = σ = q Condiione iniiale 1 : u(, t) = Condiione di drenaggio libero (interfaccia superiore) : u(h, t) = Condiione di drenaggio libero (interfaccia inferiore) 9

10 (a) (b).4.1 Adimensionaliaione Figura 3: dominio di integraione dell equaione di consolidaione 1D Per poter risolere in maniera analitica l eq. (5) è coneniente effettuare una trasformaione delle ariabili indipendenti: Z T H c H t (fattore spessore) (fattore tempo) l eq. (5) si riscrie come problema di Cauchy in grande (trattaione in grande ): u u T Z uz (,) Z ; T u(, T) Z ; T u(, T) Z ; T (6).4. Soluione analitica (APPROFONDIMENTO) Una generica soluione per l eq. (6) è del tipo: uzt (, ) ( Z) ( T) (7) oero: 1

11 u ( Z) ( Z) ( ) ( ) T T Z Z Z Z u ( T) ( T ) T T quindi: separando le ariabili T Z T Z 1 1 Essendo il primo membro funione solo di T e il secondo solo di Z, come soluione di primo tentatio si otterrà una costante : 1 T 1 Z ( a) ( b) (8) L equaione (8)a è a ariabili separabili si può integrare facilmente: dt ln T ln T ( T ) e doe ln (costanti di integraione). L equaione (8)b è quella dell oscillaione armonico (non smorato), la soluione è una combinaione lineare di armoniche semplici del tipo: ( Z) C cos( Z) C sin( Z) 1 Quindi una soluione particolare è il prodotto tra le due: T u Asin( Z) Bcos( Z) e doe: A C1 e B C (9) Più in generale, una famiglia di soluioni è data dalla combinaione lineare di funioni del tipo (9) oero: m1 m T u A sin( Z) B cos( Z) e m m m m Le costanti A m, B m, m si calcolano a partire dalle condiioni al contorno T m T m u(, T) ( Z ; T ) B e B m 11

12 m T u(, T) ( Z ; T ) A sin e m sin m m uz (,) ( Z; T) Amsin m Z m1 moltiplicando ambo i membri per sin jz m m con j indice generico, e integrando nell interallo Z, si ottiene: sin j Z dz A sin sin m j Z m Z dz m1 Indicando con I 1 e I gli integrali: j m (indice pari) I1 sin 4 j ZdZ j m1 (indice dispari) j I sin sin j Z m Z dz 1 j m j m si ottengono i coefficienti A m : A m I 1 m1 I j m (indice pari) 4 j m1 (indice dispari) j La soluione finale è: (m1) T m 1 u sin Ze m1 m 1 (3) doe (m 1) è un intero dispari..4.3 Soluione grafica La soluione analitica del problema di Cauchy in grande (6), nel caso in cui Δu(,) = Δσ è del tipo: 1

13 (m1) T m 1 u sin Ze m1 m 1 (31) in cui compare una sommatoria (conergente) di termini. Al fine di rendere ageole l uso della eq. (31), si preferisce fare ricorso alla soluione grafica attraerso l abaco riportato in Fig. 4a, in cui la soluione è espressa attraerso la ariabile adimensionale U definita come grado di consolidaione : U u u 1 1 u che rappresenta l incremento delle tensioni efficaci, rapportato all incremento delle tensioni totali (costante), in funione della posiione relatia, Z, e al ariare del fattore tempo, T (isocrone). L eoluione nel tempo del processo di consolidaione dell intero banco di terreno di spessore H è espresso attraerso la ariabile adimensionale grado di consolidaione mio, U, definita come: U H H utd (,) utd (,) 1 1 H d H oero con riferimento alla figura 4b: U area sottesa dall'isocrona (t) area campita 1 area rettangolo H area totale (a) Z = / H T= T= (b) Z = / H Isocrona per T assegnato Grado di consolidaione, U Figura 4:a) Abaco di consolidaione e b) definiione del grado di consolidaione mio del banco di terreno consolidante Grado di consolidaione, U 13

14 Il alore di U in funione di T, è riportato nell abaco di figura 5 e rappresenta l eoluione nel tempo del processo di consolidaione del banco dei terreno. Figura 5. Variaione del grado di consolidaione mio con il fattore tempo T. Tenuto conto della linearità del legame costitutio: t () d ut (,) d H utd (,) E E E H H H d d H quindi alla fine: H H f, fin E E E 1 H (, ) H H u t d t () E utd (,) 1 U (c..d.) 1 f H H E il Grado di Consolidaione Mio, corrisponde al cimento al generico istante di tempo t rapportato al cimento finale. La soluione (31) e gli abachi delle figg. 4 e 5 algono anche nel caso in cui la superficie drenante sia solamente una, come mostrato nella figura 6, a parità di ipotesi iniiali (isocrona iniiale rettangolare, in altre parole incremento delle tensioni totali, σ, e quindi delle pressioni interstiiali al tempo t =, u, costante con la profondità). 14

15 Figura 6:Corrispondena tra le soluioni con una o due superfici drenanti a parità di H,.4.4 Valutaione sperimentale del coefficiente di consolidaione erticale Il coefficiente di consolidaione, c, è determinato sperimentalmente sulla base delle cure cimento tempo (in scala semilogarilmica) ottenute attraerso proa ometrica, interpretate alla luce della teoria di Teraghi. Un metodo tipicamente utiliato fa riferimento alla procura grafica di Casagrande: 1) si stima il cimento iniiale,, alutando la differena, Δ tra il alore del cimento misurato al tempo t, 1 (t), e quello misurato al tempo 4t, (4t), nelle prime letture della proa; ) il cimento si assume pari a 1 Δ, e indiidua l iniio della consolidaione ( U = %); 3) si indiidua il punto di flesso della cura e si traccia la retta tangente a tale punto; 4) si aluta l asintoto per t (per la teoria della consolidaione, tale asintoto dorebbe essere oriontale: in realtà si ossera sperimentalmente un andamento lineare del cimento douto a fenomeni iscosi e/o di creep che prendono il nome di consolidaione secondaria ); 5) si indiidua il alore del cimento, 3, corrispondente alla fine della consolidaione ( U = 1%) come l interseione tra la tangente al punto di flesso e l asintoto (obliquo): il cimento di consolidaione c è dato da 3 ; 15

16 6) si legge da grafico il alore dell istante di tempo t 5, in corrispondena del cimento, 4 = + c /, che identifica il alore di quando U = 5%; 7) dalla cura U in funione del fattore tempo di fig. 6, fissato U 5% si ottiene T 5 da cui: T ct T H.197 H c H t5 t5 doe H è il percorso di filtraione o che nel caso di presena due superfici drenanti (come nella proa ometrica) si può assumere paria a metà dell altea iniiale del proino, h (in genere di mm). il alore di c aria da cm /s per i argille normalconsolidate e aumenta al crescere di OCR. t 4t (U=%) 1 log t 4 (U=5%) c 3 (U=1%) t 5 Figura 7: Costruione grafica per la determinaione del coefficiente di consolidaione. 16