B2. Polinomi - Esercizi

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1 B. Polinomi Esercizi Grado dei polinomi Ordinare i polinomi rispetto alla lettera di grado più alto e poi dire il grado rispetto a ciascuna lettera ed il grado complessivo: ) a + a ) xy axy + axx ) a + a aa ) a + acac c ) xy + axy + y 6) + aa a + a 7) x7x + x 8) xya + x6 xy 9) x + a + a + a 0) ac ac + aca ) Scrivere un trinomio di secondo grado. ) Scrivere un trinomio di secondo grado rispetto alla lettera a. ) Scrivere un quadrinomio di secondo grado rispetto alla a e di terzo rispetto alla usando solo le lettere a e. ) Scrivere un trinomio di terzo grado rispetto alla lettera x. ) Scrivere un polinomio completo di quarto grado rispetto alla lettera a usando solo la lettera a. 6) Scrivere un quadrinomio omogeneo di quarto grado utilizzando le lettere a e. 7) Scrivere un trinomio ordinato rispetto alla lettera x e di secondo grado rispetto alla lettera x. 8) Scrivere un polinomio omogeneo di terzo grado con le lettere a, e c. 9) Scrivere un inomio di primo grado. 0) Scrivere un inomio di secondo grado. Addizione e sottrazione di polinomi ) ( a ) ( a ) ) ( x yx y) ( x7x y y) + + [a] [x+yx y] ) a c a + + c + [ 7a c] ) ( xy ) ( 7x + yy ) [xy+y] ) ( a a + a + a ) + ( a 7a a ) [a 8a ] 6) ax a ax ax a a x 0 ax + a x] 0 [ 7) ( a + c) ( a + c) + ( a) [0] 8) ( a + ax) + ( a + ax) ( a) [a+ax8] 9) ( am an+ n n m ) ( a a + + a ) [a n+ a n ] 0) (x xm + x m m ) ( x x + x ) ( x7x ) [x m xx m ] c 7 8 ) a + a + c + ( ac) ) 0,x + + 0,y + x +,y 7y 0 ) ( ) [ a c ] 8 [ y],a + 0,7a + 0,a, a 7a a a [ a + a a] a ac + a ca [0] ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( 0,a0,6 ) (,a,c ) ( 0,0,a ) + + [0,9a0,,c] 6) Dati A = a ;B = a;c = a + c calcolare A+B+C; AB+C;A+B+C; A+BC; AB+C; ABC; A+BC; ABC [a++c; a+c; 9a++c; 7ac; 7a++c; 9ac; a+c; ac] 7) Dati A = axax + ax; B = a x ax ax; C = ax a x,ax calcolare A+B+C; AB+C;A+B+C; A+BC; AB+C; ABC; A+BC; ABC [ a x + ax ax ; 7 ax; a x + ax ax ; a x 9ax + ax ; a x + 9ax ax ; a x ax + ax ; 7 ax ; a x ax + ax ] Esercizi B

2 8) a a ( aa + a ) ( aaa ) 9) x y ( zx) ( zx + y) ( x + y) [7a7aa ] [xyz] a a 0,a, a a + 0) ( ) Prodotti di polinomi ) a ( a ); x ( x y) ; xy ( yx ); a ( aa ) ) a a a ; y xy xy xy ) ( a + c) ( a) ; ( xy y ) ; x ( xy x ) + ; a a a [ 6a 68] ; ( ) ( ); ( a + c ) (c) ) ( xx ) ( x ); ( x x + ) ( x) ; ( x + x ) (x ); (x ) ( x + x ) ) ( a ) ( a ); ( a) ( a ) 6) ( xy) ( x + y) ; ( x + y ) ( x + y) 7) ( a + ) ( a + ) ; ( a6) ( a + ) 8) ( x) ( x + ) ; ( x) ( x + ) 9) (x xy) ( x + y) ; (ax) (ax ) 0) ( xxy) ( x + y) ; ( xyxy) ( xy + x) ) ( a + ) ( a + ) ; ( a a ) ( a ) ) ( x x + x + ) ( x) ; ( x) ( x + x + x + ) ) ( a a + ) ( a ); ( x + y) ( x x yxy + y ) ) xy x + y ; 9 a + ax + ) x xy x y ; a ( 0a + 6 ) 6) ( a) ( a) ( a + ) ; ( a) ( + a) ( a) 7) a ( a) ( a ); x ( x) ( x + ) 8) ( a) ( a + ) ; 7 ( a) ( a + ) 9) ( a) ( a + ) ( a) ; ( a + ) ( a) 60) x ( x x + ) ( x) ; ( aa + 6) ( a) 6) a a a ; ( ) 7 + xy xy xy y 6) ( x ) ( x + x + ) ( x) ; ( a) ( a + ) ( a) ( a + 8a + 6) 6) 0, axy ax + y ; ( a) a + a 6) ( a ) ; ( x + ) 6) ( a ) ; ( x) 66) ( a + ) ; ( a ) 67) ( a + + c) ; ( ac ) 68) ( a + ) ; ( a + ) 69) ( a + + c) ; ( x + y) 70) a ( a + ) ; ( xy ) 7) ( x + ) ; ( a) ( a ) 7) a ( a ) ; ( a) ( + a) 7) ( a + c + d) ; a ( axax ) Prodotti notevoli 7) ( a ) ; ( x + ) ; ( a ) Esercizi B

3 7) ( a + ) ; ( a ) ; ( x ) 76) ( x + ) ; ( x ) ; ( x ) 77) ( x + ) ; ( x ) ; ( x + a) 78) ( a ) ; (a ) ; ( a ) 79) ( a + c ) ; ( ax ) ; ( 76x ) 80) 8) a ; a x ; x x a x 8) ( 0, ax + a) ; (,7x ) ; (,a0,x ) 8) (,ac + 0,7 ) ; ( ) 8) 8) a a xy 8,a c 0a ; ( 0,ax, ) ax 7 ayz z6 ; 86) ( am ) ; ( am x m ) ; ( a m + n ) 87) ( an + n ) ; ( + m) ; ( a m a m ) x a 0 88) ( a) ( a + ) ; ( x + ) ( x) ; ( a) ( + a) 89) ( a) ( a + ) ; ( + x) ( x) ; ( x) ( x + ) 90) ( x) ( x + ) ; ( x) ( + x) ; ( xa) ( x + a) 9) ( a) ( a + ) ; ( a + ) ( a ); ( a) ( a + ) 9) ( a c ) ( a + c) ; ( a + x ) ( ax ); 9) ( 76x ) ( 7 6x ) + ; a a + 9) x x + ; a a + 9) a a ; x x x x 96) x x + ; ( 0,ax + a) ( 0,ax a) 97) (,7x) (,7 + x) ; (,a0,x ) (,a + 0,x ) 98) (,ac + 0,7 ) (,ac0,7 ); (,a c 0a ) (,a c + 0a ) 99) ( 0,ax, ) ( 0,ax,) + ; a a 00) ax a x 7 7 ; x x + 0) a xy a xy 8 8 ; ayz z6 ayz z6 0) a a 0 0 ; a0 a + 0 0) x ( a) x + ( a) x ( yz ) x + ( yz ) 0) ( x + y) ( x + y) + ( x + ) ( x + ) + 0) a ( x a) a + ( x a) ; ( x y ) z ( x y ) z 06) ( xa + ) ( xa) ; ( x + ya) ( x + y + a) 07) ( ac) ( a + c) ; ( xyxy ) ( x + y + xy) 08) ( a m m ) ( a + ) ; ( am xm m m ) ( a + x ); (a + m + n m n ) ( a + + ) 09) ( an + n n n ) ( a ); ( m m ) ( ) a m a m ) ( a m + a m) 0) ( a + ) ; ( x + + y) ; ( aa ) ) ( a + ) ; ( x + y + z) ; ( 6a + ) Esercizi B

4 ) ( a + x8) ; ( x + y6) ; ( 0a + a ) ) (xy) ; (axy + x + y ) ; ( 6 + a a8 ) ) (axyy ) ; ( a + a + ) ; ( + aa ) ) 6) a c ac 6c ; x x + ; x x 0 + ; x Esercizi B aa 7) ( 0,a + a) ; (,0,x + y) ; (,a 0,a +,7) 8) ( 0,a +,,6a ) ; ( + 0,x +,xy ) ; (,a0, +,6) 9) ( a + + c + d) ; ( xxy + + y) ; ( a + a + a ) 0) ( a + c) ; ( xy + xy + z ) ; ( + a + a 8a ) ) ( am m + ) ; ( a m a + xm) ; ( + a m + n ) ) ( an + n + cn ) ; ( + m ) ; ( am + am + am ) ) ( a ) ; ( x + ) ; ( a ) ) ( a + ) ; ( a ) ; ( x ) ) ( x + ) ; ( x ) ; ( x ) 6) ( x + ) ; ( x ) ; ( x + a) 7) ( a ) ; (a ) ; ( a ) 8) ( a + c ) ; ( ax ) ; ( 76x ) 9) ( am ) ; ( am x m ) ; ( a m + n ) 0) ( an + n ) ; ( + m) ; ( a m a m ) ) ) a ; a x ; x x a x ) ( 0, ax + a) ; (,7x ) ; (,a0,x ) ) (,ac + 0,7 ) ; ( ) ) 6) a a xy 8,a c 0a ; ( 0,ax, ) ax 7 ayz z6 ; x a 0 7) ( a ) ( a + a + ) ; ( x + ) ( x x + ) ; ( a) ( + a + a ) 8) ( a ) ( a + a + ); ( + x) ( 9x + x ); ( x ) ( x x) 9) ( x ) ( x + x + ) ; ( x) ( + x + x ); ( xa) ( 9x + 6ax + a ) 0) ( a ) ( a + 0a + ) ; ( a + ) ( a + a + ) ; ( a ) ( 6a + a + 9) ) ( a c 6 ) ( a c + a + 9 c ); ( a + x ) ( a 0ax + x ); + + ; a a a ) ( 7 6x 6 ) ( 9x 6x ) ) x x x + ; a a 9a 9 ) a 9a a ; x x x x x 6 ) x x x ; ( 0,ax + a) ( 0,a x + a a x ) 6) ( a ) ; ( x + ) ; ( a ) 7 7) ( a + ) ; ( a ) 6 ; ( x )

5 8) a ; x ; 9) ( a ) ; (a ) 7 ; ( a ) 8 0) Espressioni a ax 7 ) ( a) ( a) ( a ) (a) ( 6 a) a x [6a ] ) ( y) ( y) ( y + ) y ( y) [y 8y+] + + [a aa] ) ( a ) ( ) ) ( a) ( a) ( a ) 8a ( a ) ) a ( a) ( a) ( a) ( a ) [a ] [a ] 6) ( y + ) ( y) ( y + ) y ( y) [y y] 7) ( x xy y ) ( x y ) ( x y )x y 6xy ( x y ) [y ] 8) ( ay) ( ay ) ( a ay y ) 9) ( ) ( ) ( ) ( ) + + [7y +ay 6a y] x x x + x + [9x] 60) ( xy) ( x6y) x [7x +y ] 6) ( a) ( a ) ( a) 6) ( a) ( a ) ( a) + [0a] + [a a] 6) ( x ) ( x) ( x) ( x ) ( x x ) [8x +x] 6) y ( x) ( xy ) ( xy) ( y) 6) ( a + ) ( a) ( a + ) ( a) ( a) [a ] 66) ( a ) ( a ) 6 ( a) + + [6yxy ] + + [a ] + + [0xy+y y] 67) ( xy ) ( x ) 68) ( a + ) ( a + 6) ( a + ) [6a +a+9] 69) ( x y) ( xy) ( xy) ( x y) (x y) 70) ( a + ) ( a) ( a + ) ( a + ) ( a) [a ] [x 6xy] 7) ( a ) ( a ) ( a a )6a ( a ) [6a ] [a + +c ] 7) ( a c) ( a) ( c) ( ca) [y] 7) ( y) 6y y ( y 7) 7) ( a) ( a ) ( a) ( a ) 7) a6 ( a + ) + aa () ( a) [7a6] + + [a a+0 ] 76) ( xy) ( x + y) + ( x + y) x ( x) [xy+x] 77) ( ) ( + ) + ( ) ( + ) [8 ] 78) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 79) ( xy) ( x 8y ) [xy 6x y] 80) ( a a ) (a a) 8) + [8a +a a ] a + a + [ + + [x +6y ] 8) ( x y) ( xy) ( yx) 8) ( a) ( a + ) ( a) [a8] [7x ] 8) ( x y ) (x y) y ( x y) 8) a + a a [ 86) ( a a ) ( a ) a ( a9) Esercizi B a ] + + [a] 9a + a ] 9

6 87) ( a) ( a ) ( a ) ( a) [a + ] + + [9a] 88) a ( a ) ( a) 89) a7 a + + a [ a ] ) ( a) ( a) + ( a + ) [0a] + + [y +aya ] 9) ( a y) ( ay) ( ay ) (ay ) 9) 7a a + 6a 0 [ 9) xaax a 6 6 [ 8 6a] 0 6x + a 7 ] 6 9) ( x) ( x + ) + ( x) ( x + ) ( x) [x 6x] 9) ( x) x + x ( 8) ( x + ) 8 ( 6x) [x7] 96) a + a aa [ 7a a + ] 97) ( aa) a ( )a( a a a) + [a ] 98) ( xy) ( x + y) + ( xy) ( yx) [x +y ] 99) 8 ( x) + 7x + ( x8) x ( x + ) [x0] 00) a a [ a 9 ] ) xy x y + x + 0 [ 8x 7y ] 0 0) ( ) ( ) ( ) a a + a [a ] 0) ( a ) ( a) ( a) 8 ( a) + + [a6] 0) ( xy) ( x y) 0) ( xy) ( x y) + [x +y x y ] + [x x yxy +y ] 06) a + x 8xa 7a6x 8 + [ a 7x ] 07) ( a) ( a) + ( a) + 7a [8a] 08) ( a ) ( a ) ( a ) 0 ( a) [a0a] 09) x y ( x y ) x y + + ( yx ) 0) ( a ) ( a + ) ( a + ) a + ( a ) ( a + ) ) a a a a a a ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ x y 7xy ] 6 [ 8a + a 0] [ a 7a ] 6 6 x x x + x xx + + x [x x +6x +x] ) a ( ay ) a ( ay) 7 ( a a y) [ a y + ay a a ] ) ( a + c) ( a + c) ( ac + ) ( a + c) [a 6a+ac+ c+6c ] ) ( xy + ) ( + xy) ( x6) ( x + y) [x +9x0xy+y +7y+] 6) a + a + + a + a ) ( a ) ( a 6) 8) ( xy ) ( xy) x ( y) y ( xx ) [ 9 a 7a a + + ] [a +00] + + [y ] 9) ( a ) ( ) ( a ) ( a ) [a 6a ] 0) x ( x) ( x) ( x ) ( xx ) [x +x ] [6] ) ( a) ( a ) ( a 9 ) ( a 9) 8 (a) + + [x yxy ] ) x ( xy) y ( yx) ( x y) ) ( x xy y ) ( x y) ( xy) y ( x y ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + [8y xy ] a a + a + a + a + a [a +a 8a+ 6] Esercizi B6

7 Divisione di polinomi ) Si divida A(x)=x x x+ per B(x)=x. [Q(x)=x, R(x)=x] 6) Si divida A(x)=x x +x x+ per B(x)=x x+. [Q(x)=x +x+, R(x)=x] 7) Si divida A(x)=x x +x per B(x)=x x+. [Q(x)=x +x, R(x)=x] 8) Si divida A(x)=x x +x per B(x)=x +. [Q(x)=x, R(x)=0] 9) Si divida A(x)=x x + per B(x)=x +x+. [Q(x)=x, R(x)=x+] 0) Si divida A(x)=x 7x+6 per B(x)=x+. [Q(x)=x x, R(x)=] ) Si divida A(x)=x 7x+6 per B(x)=x. [Q(x)=x +x, R(x)=0] ) Si divida A(x)=x x +8 per B(x)=x x+. [Q(x)= x +x+9, R(x)=7x68] ) Si divida A(x)=ax +x +ax per B(x)=x. [Q(x)=ax +(+a)x+a+, R(x)=a] ) Si divida A(x)=ax +(a)x +()x per B(x)=x+. [Q(x)=ax x+, R(x)=] ) Si divida A(x)=x +(a)x ax+a +a per B(x)=x +. [Q(x)=x+a, R(x)=(a)x+a +a ] 6) Si divida A(x)=x +ax axa per B(x)=x+a. [Q(x)=x a, R(x)=0] 7) Si divida A(x)=x ax +x(a )a per B(x)=xa. [Q(x)=x +ax+, R(x)=0] 8) Si divida A(x)=x +(a)x +(a)x + per B(x)=x +x+. [Q(x)=x ax+, R(x)=axx] 9) Determinare i valori di a e tali che il polinomio P(x)=x +x +(a+)x +x+ sia divisiile per x +x+. (Esame matematica di ase università di Udine del..06). [a=/, =/] 0) Dati i polinomi a coefficienti reali f(x)=x +x +ax+ e g(x)=x +(a+)x +x+a determinare i valori di a e di per cui il MCD dei due polinomi sia x +x+. (Esame matematica di ase università di Udine del 9..07). [a=, =] ) Stailire per quali valori di k il polinomio P(x)= x +x +(k)x +kx+ è divisiile per x +x+. Per ogni valore di k trovato scomporre in fattori P(x). (Esame matematica di ase università di Udine del..08). [k=, P(x)=(x +x+) ] ) Per quali valori di a il polinomio P(x)=(x)(x a )(x a) è divisiile per x +x? (Esame matematica di ase università di Udine del.0.07). [a=, a=, a=] ) Trovare il massimo comun divisore tra i polinomi P(x)=x +x 7x6 e Q(x)=x +x 8x. (Esame matematica di ase università di Udine del.0.09). [MCD=(x+)(x)] ) Trovare i valori di h e k tali che il polinomio P(x)=x +hx x x+k sia divisiile per x, trovare il polinomio quoziente e scomporlo in fattori. (Esame matematica di ase università di Udine del ). [h=, k=, P(x)=x +x x x+=(x+)(x+)(x) ] ) Trovare i coefficienti a e del polinomio P(x)=ax +x+ sapendo che è divisiile per x e il resto della divisione per x è 9. (Esame matematica di ase università di Udine del ). [a=, =6] Esercizi B7