C(f) : funzione di trasferimento del canale. Essa limita la banda del segnale trasmesso e quindi rappresenta un modello più realistico

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1 MODELLO DEL CANALE Modello gaussiano additivo a banda illimitata (considerato finora): s(t) + n(t) r(t) = s(t) + n(t) s(t) Canale C(f) + r(t) n(t) C(f) : funzione di trasferimento del canale. Essa limita la banda del segnale trasmesso e quindi rappresenta un modello più realistico (canale telefonico, via satellite, ponti radio terrestri,...). Il fatto di avere un filtraggio sul canale in generale preclude l'uso di segnali limitati nell'intervallo (0,) da parte del modulatore, poiché la presenza del filtraggio distorce il segnale trasmesso.

2 Supponiamo di voler trasmettere, su questo canale, delle forme d'onda con frequenza di trasmissione pari a 1/. Vediamo cosa succede quando il parametro 1/ varia, mantenendo inalterata la larghezza di banda del canale... MODELLO DEL CANALE La banda del canale pone un limite alla velocità di trasmissione 1/, cioè al numero di segnali al secondo. Ipotesi: Il canale è a banda strettamente limitata C(f) -B c B c f [Hz]

3 1) MODELLO DEL CANALE 1 = 1 1 = B C 3 3 B C C(f) Spettro del segnale -B c B c f [Hz] I lobi principali dello spettro del segnale stanno tutti all'interno della banda passante del canale.

4 MODELLO DEL CANALE 2) 1 = B C 2 2 = 1 B C C(f) Spettro del segnale -B c B c f [Hz] Il lobo principale sta all'interno della banda passante del canale mentre i lobi secondari ne stanno al di fuori: potremmo aspettarci, già in questo caso, una significativa distorsione del segnale.

5 3) 1 3 MODELLO DEL CANALE = 3 = 2 B C 1 2 B C C(f) Spettro del segnale -B c B c f [Hz] In questo caso, neppure il lobo principale dello spettro del segnale sta all'interno della banda passante del canale, ma soltanto metà di esso.

6 MODELLO DEL CANALE Un filtro avente la funzione di trasferimento C(f) è fisicamente irrealizzabile. Esempio : canale con funzione di trasferimento alla Butterworth (a 10 poli), B C = 1 Hz. Facciamo passare attraverso il filtro un numero di forme d'onda al secondo progressivamente crescente.

7 1) 3 1 = = B C 3s Il filtro di canale introduce due effetti: Ritardo (recuperabile nel ricevitore) Allargamento della forma d'onda (che in questo caso è insignificante)

8 2) 1 2 = = B C 1s Oltre al ritardo (più evidente), c'è una più evidente distorsione della forma d'onda.

9 3) = = B C 0.5s Abbiamo un ritardo considerevole, ma soprattutto un nettissimo allargamento del segnale.

10 MODELLO DEL CANALE La banda limitata del canale introduce. INERFERENZA INERSIMBOLICA (ISI InterSymbol Interference) che richiede il progetto dei segnali e dei filtri per essere ridotta, o, teoricamente, annullata. Questo fenomeno sta ad indicare che: un simbolo trasmesso sul canale disturba, sovrapponendosi parzialmente, i simboli (o segnali) trasmessi precedentemente o successivamente ad esso È un'interferenza che avviene nel dominio del tempo

11 Il contributo del canale alle distorsioni passa sia attraverso il modulo della sua funzione di trasferimento (f.d.t.), che attraverso la fase della sua f.d.t. Per ottenere un canale non distorcente dobbiamo dare delle condizioni sia sul modulo di C(f) che sulla sua fase. MODELLO DEL CANALE Canale a banda limitata B C Funzione di trasferimento: C ( ) ( ) jθ ( f f = C f e )

12 Il sistema di trasmissione completa per PAM in banda base Dati in ingresso RASMEIORE G (f) V(t) C(f) + n(t) CANALE Filtro di trasmissione canale RICEVIORE rumore r(t) RIV. y k CAMP. y(t) G R (f) Rivelatore Campionatore Filtro di ricezione Ipotesi: G (f), C(f), G R (f) sono le funzioni di trasferimento di altrettanti sistemi lineari.

13 Progetto di segnali a banda limitata Obiettivo: eliminare (o limitare) l'isi y k = a k x 0 + anxk n + ν k n= ; n k X ( f ) = G ( f ) C( f ) G ( f ) R x i : campioni della risposta all'impulso complessiva del sistema presi a intervalli che distano fra loro di secondi Se vogliamo rendere nulla l'interferenza intersimbolica, dobbiamo azzerare i campioni della risposta all'impulso complessiva del sistema ad eccezione di quello che moltiplica la variabile casuale d'informazione utile.

14 Progetto di segnali a banda limitata Per eliminare l'isi, dobbiamo annullare la y k = a k x0 + anxk n + ν k n= ; n k E cioè progettare x(t) in modo tale che i suoi campioni x i siano del tipo: x i = 1per i 0 per i = 0 0

15 Nel dominio del tempo: () t = δ ( t k ) k =

16 Progetto di segnali a banda limitata Obiettivo: eliminare l'isi e cioè ottenere ( t) ( t) = ( t) x δ Equivale a dire che x(t) deve intersecare l'asse delle ascisse, con regolarità, ogni secondi e deve valere 1 in corrispondenza a t=0.

17 Nel dominio della frequenza: ( f ) F{ x( t) } X = -W W f 1 1 ( f ) = F{ ( t) } -2/ -1/ 0 1/ 2/ f

18 EOREMA di NYQUIS Detta le condizioni di annullamento dell'isi, nel dominio della frequenza, sulla funzione di trasferimento complessiva. Nel dominio del tempo, per eliminare l'isi, deve essere: ( t) ( t) = ( t) x δ Nel dominio della frequenza: 1 X ( f ) 1 ( f ) = 1

19 EOREMA di NYQUIS Nel dominio della frequenza: 1 X ( f ) 1 ( f ) = 1 k = X f k =

20 EOREMA di NYQUIS Indichiamo con X eq k = k ( f ) X f = La funzione di trasferimento X eq (f) deve essere una costante pari a

21 EOREMA di NYQUIS X(f) -W W f X eq (f) -2/ -1/ 0 1/ 2/ f Per soddisfare il teorema di Nyquist, cioè per cancellare l'isi, vorremmo che X eq( f ) = La X(f) disegnata, quindi, non soddisfa il criterio di Nyquist.

22 EOREMA di NYQUIS W : banda del canale (in Hz) complessiva : intervallo di segnalazione 1/ : velocità di trasmissione (forme d'onda /secondo) Distinguiamo tre casi: W < 1/2 W = 1/2 W > 1/2 Vedremo quali sono le funzioni di trasferimento che soddisfano al teorema di Nyquist in questi tre casi...

23 Caso 1 : W < 1/2 X(f) -2/ -1/ -W 0 W 1/ 2/ X eq (f) f -2/ -1/ 0 1/ 2/ Non ammette soluzioni per X(f) tali che: ( ) f X = eq Se il canale ha una larghezza di banda complessivamente minore della metà della frequenza di trasmissione, l'interferenza intersimbolica non sarà mai eliminabile. f

24 Caso 2 : W = 1/2 (banda di Nyquist) X(f) -2/ -1/ -W 0 W 1/ 2/ X eq (f) f -2/ -1/ 0 1/ 2/ f Le forme d'onda non si sovrappongono, ma si toccano. Soddisfa al teorema di Nyquist se e solo se X ( f ) = ; f < W

25 Caso 2 : W = 1/2 (banda di Nyquist) Il problema ammette un'unica soluzione (teorica) X eq (f) -2/ -1/ 0 1/ 2/ f In questo caso l'interferenza intersimbolica è eliminabile, ma X(f) deve avere forma rettangolare (impossibile)

26 Caso 3: W > 1/2 X(f) -W W f X eq (f) -2/ -1/ 0 1/ 2/ f Ammette infinite soluzioni (dovute all'area di sovrapposizione).

27 Caso 3: W > 1/2 Possiamo ottenere diverse soluzioni X(f) tali che ( ) f X = eq modificando l'andamento di X(f) nell'area di sovrapposizione (nell'area di non sovrapposizione X(f) dev'essere rigorosamente costante, per soddisfare al criterio di Nyquist). Le funzioni di trasferimento di interesse hanno un estensione W che va da 1/2 a 1/ (per limitare l'occupazione di banda del sistema) e soddisfano al teorema di Nyquist (per eliminare l'isi) Es.: Se dobbiamo trasmettere 1000 forme d'onda/s la larghezza di banda complessiva del canale deve andare da 500 a 1000Hz

28 Caso 3: W > 1/2 N.B.: Maggiore è la larghezza di banda W (all'interno dell'intervallo [1/2, 1/]) meno critico diventa il sistema dal punto di vista della sensibilità all'istante di campionamento (e quindi alla sincronizzazione di simbolo) e all'interferenza intersimbolica.

29 Caso 3: W > 1/2 Esempio di andamento di funzioni di trasferimento X(f) che soddisfano al teorema di Nyquist Esempio: Spettri a trapezio X eq (f) -2/ -1/ 0 1/ 2/ La famiglia di forme d'onda che soddisfa al teorema di Nyquist è costituita da forme d'onda che hanno un andamento simmetrico intorno al punto 1/2 (dove la simmetria può essere data da una retta, come in questo esempio, oppure anche da funzioni più complicate).

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