stabilità BIBO La stabilità di tipo BIBO di un sistema LTI impone che la risposta all impulso h(n) sia sommabile in modulo, vale a dire:

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1 ELABORAZIONE NUMERICA DEI SEGNALI AA sistemi LTI e trasformata eta Francesca Gasparini

2 errore nelle slide della settimana scorsa!!!! R ( )... ( M a + + a ) M sbagliato R ( ) ( M + a a ) M corretto ( ) Y X ( ) ( ) ( N b ) 0 + b bn ( M a a ) M sbagliato ( N b ) ( ) 0 + b bn ( M + a a ) M corretto

3 stabilità BIBO La stabilità di tipo BIBO di un sistema LTI impone che la risposta all impulso h(n) sia sommabile in modulo, vale a dire: n h ( n) < Se il sistema è causale, la condiione si traduce nel dominio nell imporre che la funione di trasferimento () abbia poli contenuti nel cerchio di raggio unitario del piano.

4 x(n) αnu(n) α < 0 α > 0

5 stabilità BIBO I poli all esterno del cerchio conducono ad una risposta all impulso h(n) con crescita esponeniale e l uscita del sistema LTI potrebbe divergere anche in presena di segnali x(n) d ingresso costanti. ( ) 3 ha un polo in 3 quindi è instabile, infatti h(n)3 n u(n)

6 stabilità BIBO Poli multipli sul cerchio unitario conducono ad una crescita di tipo polinomiale. ( ) ( ) 2 ha un polo di ordine 2 in, e risposta all impulso h(n)nu(n) di tipo a rampa e quindi è instabile

7 stabilità BIBO Poli semplici su possono condurre ad una risposta divergente, e, dunque,ad un sistema LTI non stabile secondo la definiione BIBO. ( ) ( ) ha un polo semplice in, e risposta all impulso h(n)u(n) costante. se all ingresso del sistema è posto un segnale con trasformata ad esempio /(-) oppure /(-) 2 il segnale di uscita ha crescita di tipo polinomiale e quindi il sistema non è stabile

8 stabilità BIBO condiione necessaria e sufficiente per garantire la stabilità BIBO di un sistema LTI causale con funione di trasferimento () è che () abbia tutti i poli contenuti all interno del cerchio di raggio unitario (circonferena esclusa). Per un sistema anticausale condiione necessaria e sufficiente per la stabilità BIBO è che tutti i poli siano all esterno del cerchio di raggio unitario, cioè nella regione >. Per i sistemi LTI bilateri, la condiione necessaria e sufficiente di stabilità richiede che la circonferena di raggio unitario,, sia contenuta nell anello circolare che identifica la regione di convergena della funione di trasferimento del sistema.

9 stabilità BIBO In sintesi, la circonferena di raggio unitario è sempre contenuta nella regione di convergena di un sistema stabile causale, anticausale, o bilatero.

10 nota: stabilità BIBO la condiione di stabilità implica che per un sistema stabile è sempre possibile identificare la risposta in frequena (e jω ), essendo la circonferena contenuta nella regione di convergena della funione di trasferimento ().

11 eserciio ( ) ( ) ( ) M M N N a a b b b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N n x b n b x n x b M n y a n y a n y a n y N M ( ) ( ) ( ) + n x n y n y α determinare i valori di α che rendono stabile il sistema dato il sistema LTI causale caratteriato dalla relaione di I/O: ( ) + α

12 eserciio Data la causalità del sistema, la stabilità è garantita se il polo in -/α cade all interno del cerchio di raggio unitario. Ciò comporta che l intervallo dei valori di α per cui il sistema è stabile, risulta:

13 Realiabilità fisica di un sistema LTI Un sistema LTI fisicamente realiabile deve possedere una risposta all impulso h(n) causale e con coefficienti reali. causalità della sequena h(n) la regione di convergena di () corrisponde all esterno di un cerchio di raggio > del polo di () di valore assoluto massimo coefficienti reali di h(n) per ogni polo e ero complesso, deve essere presente anche il rispettivo complesso coniugato. Poli e eri sull asse reale possono essere singoli, (hanno parte immaginaria nulla quindi coincidono con i propri complessi coniugati.

14 Corrispondena funione di trasferimento del filtro (e jω ) e trasformata

15 Progetto di filtri tramite posiionamento di poli e eri ( ) N D ( ) ( ) K M N ( c )( ) ( ) c2... cn ( d )( d )...( d ) 2 M i poli devono essere posiionati in prossimità del cerchio di raggio unitario nelle pulsaioni complesse corrispondenti alle componenti armoniche nel segnale d ingresso x(n) che devono essere enfatiate. Gli eri devono essere posiionati vicino ai punti del cerchio di raggio unitario corrispondenti alle componenti armoniche del segnale d ingresso x(n) che devono essere attenuate.

16 Progetto di filtri tramite posiionamento di poli e eri Per la stabilità e la realiabilità fisica (causalità) tutti i poli del filtro devono cadere nel cerchio di raggio unitario mentre gli eri possono essere posiionati in qualunque punto del piano. ( ) Per la realiabilità fisica tutti i poli e gli eri devono essere presenti a coppie complesse coniugate, di modo che la risposta all impulso del filtro sia reale. K M N ( c )( c2 )...( cn ) ( d )( d )...( d ) ( )( * c ) ( ) k ck ( )( * d d ) k 2 k M

17 filtro passa basso ideale i poli del filtro dovrebbero essere posiionati nelle pulsaioni complesse corrispondenti alle frequene della banda passante di (e jω ): ω [0, ωt]. Gli eri dovrebbero essere posiionati in prossimità, oppure sul cerchio, nelle pulsaioni complesse corrispondenti alle frequene ω [ω t, π]

18 filtro passa-basso polo e ero ( ) α α ( α ) α lo ero nell origine 0 non ha alcun effetto sulla risposta in frequena essendo distante dalla circonferena di raggio unitario la risposta in frequena è unicamente determinata dalla posiione del polo.

19 filtro passa-basso polo e ero 2 ( ) ( α + ) ( 2 α ) α 2 ( + ) ( α ) Lo ero in - enfatia l attenuaione alle alte frequene. Essendo sulla circonferena di raggio unitario, questo ero compare anche sulla risposta in frequena del filtro in corrispondena delle frequene numeriche ±/2

20 filtro passa-basso con tre eri E possibile enfatiare l attenuaione del filtro passabasso alle alte frequene, inserendo eri ulteriori sul cerchio di raggio unitario in coppie complesse coniugate (per la realiabilità fisica del filtro). α + 4 α 3 * ( ) ( ) ( )( β β ) esempio: sistema a tre eri -; e jπ/2, e- jπ/2 ed un polo α. con βe jπ/2

21 filtro passa-basso con tre eri

22 passa basso e passa alto: distribuione di poli e eri

23 PASSA ALTO un polo e uno ero 2 ( ) ( α ) ( 2 + α ) α 2 ( ) ( + α ) α0.9

24 PASSA BANDA 2 eri in e - 2 poli complessi e coniugati in ρe ±jπ/2 con ρ<

25 SISTEMA INVERSO SISTEMA INVERSO: sistema LTI che inverte il comportamento di un altro sistema LTI caratteriato dalla funione di trasferimento (). esempio: trasmissione di dati attraverso il canale telefonico. Il meo di trasmissione distorce il segnale trasmesso x(n), ottenendo in uscita un segnale y(n) x(n). La compensaione della distorsione subita dal segnale x(n) avviene in due fasi:. stima della risposta in frequena (e jω ) del meo di trasmissione. 2. filtraggio del segnale ricevuto y(n) con un equaliatore, sistema LTI che ha come risposta in frequena la funione - (e jω ). Se la stima del canale è condotta in modo ideale, si riesce a compensare perfettamente la distorsione introdotta dal meo di trasmissione.

26 SISTEMA IDENTITA La cascata di un sistema e del suo inverso ha una funione di trasferimento pari ad una costante unitaria nel piano (SISTEMA IDENTITA ): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I C ( ) ( ) n n h c δ Una classe di sistemi che ammettono il sistema inverso è quella dei sistemi caratteriati da una trasformata raionale: ( ) ( ) ( ) d n p i i i p i i i d c a b 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n d p i i i p i i i I c d b a 0 0

27 SISTEMA INVERSO La funione di trasferimento del sistema inverso possiede eri corrispondenti ai poli, e poli corrispondenti agli eri del sistema diretto. I sistemi LTI fisicamente realiabili devono essere causali: la regione di convergena si ha per > del polo di valore assoluto maggiore. Se il sistema deve essere anche stabile il modulo dei poli p <, cioè la regione di convergena deve contenere il cerchio di raggio unitario un sistema LTI causale e stabile, con poli e eri contenuti nel cerchio di raggio unitario ammette un sistema inverso causale e stabile.

28 N Sistemi LTI a fase minima ( ) N b + b b y( n) b ( ) 0 N k x n k Un sistema LTI non ricorsivo si dice a fase minima se tutti gli eri della funione di trasferimento N () sono collocati all interno del cerchio di raggio unitario. N k 0 in questa ipotesi si può dimostrare che la differena di fase agli estremi dell intervallo base 0,π è0: ϕ ( ( jω ) ( ( jω e ϕ e ) 0 N ω π N ω 0 Un sistema LTI ricorsivo si dice a fase minima se tutti gli eri e i poli della funione di trasferimento N () sono collocati all interno del cerchio di raggio unitario.

29 Sistemi LTI a fase massima Un sistema LTI non ricorsivo si dice a fase massima quando tutti gli eri sono fuori dal cerchio di raggio unitario. In questo caso per un FIR con M eri si ha una differena di fase nell intervallo base 0,π pari a Mπ ϕ ( ( jω ) ϕ( ( jω e e ) Mπ N ω π N ω 0 Un sistema LTI ricorsivo stabile e causale si dice a fase massima se tutti gli eri e i poli della funione di trasferimento N () sono collocati all interno del cerchio di raggio unitario.

30 nota: sistemi a fase minima per un sistema stabile e causale (poli contenuti nella circonferena di raggio unitario) a fase minima esiste sempre un sistema inverso stabile anche lui a fase minima. sistemi a fase mista o massima hanno un sistema inverso non stabile.

31 sistemi a fase minima e massima ( ) ( )

32 sistemi a fase minima ( ) ( ) ( ) α α ( ) ( ) α α α α passa basso α0.9

33 SISTEMI LTI PASSA TUTTO Un filtro passa tutto è definito come un sistema che ha una risposta in modulo costante per ogni frequena: ( jω e ) il sistema passa tutto più semplice è un sistema ritardatore puro: () -k un sistema più significativo ha trasformata eta: ( 2 N b ) ( ) N + bn + bn ( 2 N + b + b... + b ) 2 N

34 SISTEMI LTI PASSA TUTTO ( ) N D ( ) ( ) ( 2 N b ) N + bn + bn ( 2 N + b + b... + b ) 2 N osserviamo che i coefficienti del polinomio al numeratore sono in ordine inverso rispetto a quelli presenti nel polinomio al denominatore. mettendo in evidena al numeratore -N: ( ) ( D ) N D ( )

35 SISTEMI LTI PASSA TUTTO ( ) ( D ) N D ( ) se p k è un polo di () allora /p k è uno ero per la realiabilità fisica se p k è un polo complesso dovrà essere polo anche p k *. di conseguena / p k * è uno ero Un sistema LTI passa-tutto causale e stabile presenta poli nel cerchio di raggio unitario nel piano, e eri all esterno del cerchio. un sistema passa-tutto stabile non è a fase minima

36 SISTEMI LTI PASSA TUTTO filtro passa tutto del primo ordine ( polo ero) filtro passa tutto del secondo ordine 2 poli comp. coniug. 2 eri comp. coniug

37 Sistemi LTI interconnessi Nelle applicaioni pratiche, i circuiti numerici sono generalmente composti da interconnessioni predefinite di sistemi LTI. Le connessioni più impiegate in pratica, cascata, parallelo e reaione.

38 Configuraione in cascata interconnessione serie

39 Configuraione in parallelo e () () + 2 () + + N () h e (n) h (n) + h 2 (n) + + h N (n)

40 Configuraione in reaione