Analisi Matematica II - INGEGNERIA Gestionale - B 20 luglio 2017 Cognome: Nome: Matricola:

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1 Analisi Matematica II - INGEGNERIA Gestionale - B luglio 7 Cognome: Nome: Matricola: IMPORTANTE: Giustificare tutte le affermazioni e riportare i calcoli essenziali Esercizio [8 punti] Data la matrice A: determinarne autovalori e autovettori; 6 A = dire se la matrice è diagonalizzabile e, in caso affermativo, determinare la matrice diagonale associata; considerare la trasformazione lineare L A (x) = Ax e determinarne immagine ImL A e nucleo KerL A Svolgimento Al fine di determinare gli autovalori di A risolviamo l equazione det(a λi) = (6 λ) (8 λ) = Dunque, troviamo gli autovalori λ = 6 con molteplicità algebrica, e λ = 8 con molteplicità algebrica Per determinare gli autovalori, risolviamo il sistema (A λ)x =, prima con λ = 6 e poi con λ = 8 Per λ = 6, il sistema ammette soluzioni, dunque l autovalore λ = 6 ha molteplicità geometrica L autospazio ad esso associato è generato dai vettori, Inoltre, l autovettore associato a λ = 8 è Poiché gli autovalori di A sono numeri reali e per ciascun autovalore la molteplicità algebrica è uguale a quella geometrica, la matrice A è diagonalizzabile sopra R Una matrice diagonale associata è 6 Λ = 6 8 Osserviamo che det(a) = 88, dunque A ha rango massimo, pertanto r(a) = Essendo dim(im(a)) = r(a) ed essendo Im(A) un sottospazio vettoriale di R, abbiamo che Im(A) = R Inoltre, dal teorema di nullità più rango, segue che dim(ker(a)) = dim(im(a)) =, dunque Ker(A) = {} Si poteva anche dire che essendo A non singolare, dunque invertibile, si ha che Ker(A) = {}

2 Esercizio [8 punti] Data la funzione: f(x, y) = { x y x +y (x, y) (, ) (x, y) = (, ), calcolare il gradiente nell origine e calcolare la derivata direzionale nell origine lungo v = ĵ; î + dire se vale la regola del gradiente e, alla luce del risultato ottenuto, se la funzione è differenziabile nell origine; Sia T = { (x, y) R : x + y, x, y } Determinare tutti i punti di massimo e di minimo assoluto di f su T ; { determinare l integrale doppio di f(x, y) su D = (x, y) R : < x + y <, } x < y < x Svolgimento Abbiamo che f f(h, ) f(, ) (, ) x h h h h =, f y Pertanto f è derivabile nell origine e f(, ) = (, ) Inoltre, ( ) f f t, t (, ) v t t f(, h) f(, ) (, ) h h h h = t t t t( t + t ) = Notiamo che f(, ), v = = f (, ), v pertanto la regola del gradiente non vale Ne segue che la funzione f non è differenziabile in (, ), essendo la differenziabilità condizione sufficiente per la validità della regola del gradiente La funzione f è continua (di fatto C ) nell insieme compatto T Dunque, per il teorema di Weierstrass, f ammette massimo e minimo assoluti in T Per determinarli, vediamo dapprima se esistono punti critici di f nell interno T Si vede che (x, y) T Ovviamente f(x, y) x xy f(x, y) = 4 (x + y, ) y f(x, y) (, ) (x, y) T Perciò non ci sono punti critici per f interni a T Scriviamo T = Γ Γ dove = x (x y ) (x + y ) := {(x, y) R x, y = }, Γ := {(x, y) R x =, y }, Γ := {(x, y) R x = y, y } (x, y), f(x, y) = x =: ϕ(x), x [, ] La funzione ϕ è crescente in [, ], dunque x + y min f = f(, ) =, max f = f(, ) = (x, y) Γ, f(x, y) = =: ψ(y), y [, ] La funzione ψ è crescente in [, ], dunque +y min f = f(, ) =, max f = f(, ) = Γ (x, y) Γ, f(x, y) = y( y ) =: η(y), y [, ] La funzione η ammette in (, ) come punto di massimo relativo y = Pertanto min Γ ( ) f = f(, ) = f(, ) =, max f = η = Γ <

3 Perciò possiamo concludere che i punti di minimo assoluto di f in T sono (, ), (, ) e min T f =, mentre il punto di massimo assoluto è (, ) e max T f = Notiamo che in coordinate polari D diventa { D = (ρ, θ) ρ, π 6 θ π } 4 Applicando la formula di cambiamento di variabili negli integrali doppi abbiamo che f(x, y)dxdy = D D ρ ρ cos (θ) sin(θ)ρdρdθ = π ρ 4 dρ π 6 cos (θ) sin(θ)dθ = 9 [ρ ] [ cos θ] π 4 π 6 ( ) = 9 ( ) 8 + 8

4 Esercizio [4 punti] Dati il campo vettoriale F (x, y) = xy x + î + y ln[(x + ) ] ĵ e la curva γ definita da: r(t) = t t + î + ( t t ) ĵ, t [, ] dire se il campo è irrotazionale e se è conservativo nel suo dominio; calcolare, se risulta conservativo, il potenziale f(x, y); calcolare il lavoro di F (x, y) sulla curva γ Svolgimento Scriviamo F (x, y) = (F (x, y), F (x, y)), con F (x, y) = xy + x, F (x, y) = y ln[( + x ) ] = y ln( + x ) Osserviamo che F è definito e di classe C in R Si ha F (x, y) = 4xy y + x = F x (x, y) (x, y) R Pertanto il campo F è irrotazionale su R Essendo R semplicemente connesso, possiamo dunque concludere che F è anche conservativo su R Il potenziale f verifica f(x, y) = F (x, y), (x, y) R Dunque f(x, y) = F (x, y)dy = y ln( + x ) + g(x) ; inoltre, x [y ln( + x ) + g(x)] = F (x, y) + g (x) Pertanto g (x) =, così g(x) = k (k R); possiamo scegliere k = Abbiamo dunque f(x, y) = y ln( + x ) (x, y) R Essendo F conservativo su R, il lavoro L richiesto è dato da L = f( r()) f( r()) = 4

5 Esercizio 4 [7 punti] Risolvere i seguenti problemi di Cauchy: {y = 5y + y + y + y = e x e6x +e x ; y() = y() = y () = Svolgimento Determiniamo l integrale generale dell equazione differenziale del problema del primo ordine Grazie alla formula risolutiva abbiamo y(x) = Ce 5x + e 5x e 5x e 6x + e x dx = Ce5x + e 5x log( + e x ) x R, al variare di C R Imponendo che sia y() =, troviamo C = log Dunque la soluzione del problema di Cauchy è y(x) = log()e 5x + e 5x log( + e x ) x R Allo scopo di risolvere il problema del secondo ordine, determiniamo dapprima l integrale generale dell equazione omogenea y + y + y = L equazione caratteristica associata è che ha le soluzioni complesse coniugate p(r) := r + r + =, r = i, r = + i Pertanto, l integrale generale dell equazione omogenea è y o (x) = e x [C cos( x) + C sin( x)], x R, al variare di C, C R Cerchiamo una soluzione particolare dell equazione completa, utilizzando il metodo di somiglianza, con termine noto f(x) = e x Notiamo che p(), dunque sappiamo che certamente una soluzione particolare è della forma y p (x) = Ke x, con K R da determinare Sostituendo tale y p nell equazione completa, deduciamo che deve essere K = 6 Pertanto, l integrale generale dell equazione completa risulta essere y(x) = e x [C cos( x) + C sin( x)] + 6 ex, x R, al variare di C, C R Imponendo che le condizioni iniziali siano verificate, abbiamo C + 6 =, Dunque C + C + 6 = C = 6, C = Possiamo pertanto concludere che la soluzione del problema del secondo ordine è [ y(x) = e x 6 cos( x) ] sin( x) + 6 ex, x R 5