{x 0}, y 1 T 1 (Stat3 ) false; Discharge Qed

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1 Theorem 1a. S X PX {, X} PS. Proof: Suppose not(s 0, x 0) Auto Set monot {x : x x 0 } {x : x s 0 } Use def (P) Stat1 : / {x : x s 0 } x 0 / {x : x s 0 }, x 0 Stat1 false; Discharge Qed Theorem 1b. P = { } & P {X} = {, {X}}. Proof: Suppose not(x 0) Auto Suppose P = { }, T 1a Stat0 : P { } y 0 Stat0(Stat0 ) Stat1 : y 0 P & y 0 / { }, y 0 T 1 (Stat1 ) false; Discharge P {x 0 } {, {x 0 }} {x 0}, {x 0} T 1a Stat2 : P {x 0 } {, {x 0 }} y 1 Stat2 Stat3 : y 1 P {x 0 } & y 1 / {, {x 0 }} {x 0}, y 1 T 1 (Stat3 ) false; Discharge Qed Theorem 3a. Z = {X, Y} Z = X Y & {Y} = Y. Proof: Suppose not(z 0, x 0, y 0) Auto -- La seconda parte dell enunciato di questo teorema discende direttamente dalla prima e potremmo posporne la dimostrazione; preferiamo invece trattare per primo questo caso speciale per illustrare una linea dimostrativa lievemente diversa e più semplice. Suppose {y 0 } y 0 Use def ( ) {z : y {y 0 }, z y} y 0 SIMPLF {z : z y 0 } y 0 ELEM false; Discharge Stat0 : z 0 = {x 0, y 0 } & z 0 x 0 y 0 -- Nell altro caso, cioè sotto l assurda ipotesi che z 0 = {x 0, y 0 } & z 0 x 0 y 0, due citazioni del Theorem 3 ci pemettono di ricavare da z 0 = {x 0, y 0 } che x 0 z 0 ed y 0 z 0 x 0, z 0 T 3 Auto y 0, z 0 T 3 Auto -- Una terza citazione dello stesso Theorem 3 ci permette di ricavare da z 0 x 0 y 0 che qualche elemento di z 0 = {x 0, y 0 } non è incluso in x 0 y 0, il che è palesemente assurdo. x 0 y 0, z 0 T 3 (Stat0 ) Stat1 : y z 0 y x 0 y 0 v Stat1(Stat0, Stat0 ) v {x 0, y 0 } & v x 0 y 0

2 (Stat1 )Discharge Qed Theory imageofdoubleton ( f(x), x 0, x 1 ) End imageofdoubleton Enter theory imageofdoubleton -- the image of a doubleton is a doubleton or singleton Theorem imageofdoubleton. {f(v) : v } = & {f(v) : v {x 0 }} = {f} (x 0 ) & {f(v) : v {x 0, x 1 }} = {f(x 0 ), f(x 1 )}. Proof: Suppose not() Auto SIMPLF Stat1 : {f(v) : v {x 0, x 1 }} {f(x 0 ), f(x 1 )} c Stat1(Stat1 ) c {f(v) : v {x 0, x 1 }} c {f(x 0 ), f(x 1 )} Suppose Stat2 : c / {f(v) : v {x 0, x 1 }} x 0 Stat2(Stat1 ) c = f(x 1 ) x 1 Stat2(Stat1 ) false; Discharge Stat3 : c {f(v) : v {x 0, x 1 }} & c / {f(x 0 ), f(x 1 )} x Stat3 x {x 0, x 1 } & f(x ) / {f(x 0 ), f(x 1 )} Suppose x = x 0 EQUAL f(x 0 ) / {f(x 0 ), f(x 1 )} (Stat3 )Discharge x = x 1 EQUAL Stat4 : f(x 1 ) / {f(x 0 ), f(x 1 )} (Stat4 )Discharge Qed Enter theory Set theory -- unione di unione Theorem 3b. ( X) = { y : y X}. Proof: Suppose not(x 0) Auto Use def ( ) {z : y {u : v x 0, u v}, z y} {s : r { y : y x 0 }, s r} SIMPLF Stat1 : {z : v x 0, u v, z u} {s : y x 0, s y} z 0 Stat1 Stat2 : z 0 {z : v x 0, u v, z u} z 0 {s : y x 0, s y} Suppose Stat3 : z 0 {z : v x 0, u v, z u} & z 0 / {s : y x 0, s y} Use def ( v 0) Auto v 0, u 0, z, v 0, z 0 Stat3(Stat2 ) Stat4 : z 0 / {z : u v 0, z u} & v 0 x 0 & u 0 v 0 & z 0 u 0 u 0, z 0 Stat4(Stat4 ) false; Discharge Stat5 : z 0 {s : y x 0, s y} Use def ( y 0) Auto y 0, s 0 Stat5(Stat5 ) Stat6 : z 0 {s : u y 0, s u} & y 0 x 0 u 1, s 1 Stat6(Stat5, Stat2 ) Stat7 : z 0 / {z : v x 0, u v, z u} & z 0 u 1 & u 1 y 0 y 0, u 1, z 0 Stat7(Stat6 ) false; Discharge Qed

3 -- additività e monotonicità dell unione monadica Theorem 3c. (X Y) = X Y & (Y X Y X). Proof: Suppose not(x 0, y 0) Auto Suppose (x 0 y 0 ) x 0 y 0 {x 0, y 0} T 3b ( {x 0, y 0 }) = { v : v {x 0, y 0 }} APPLY imageofdoubleton ( f(x) ) X, x 0 x 0, x 1 y 0 { v : v {x 0, y 0 }} = { x 0, y 0 } {x 0, y 0}, x 0, y 0 T 3a {x 0, y 0 } = x 0 y 0 { x 0, y 0}, x 0, y 0 T 3a { x 0, y 0 } = x 0 y 0 EQUAL false; Discharge (x 0 y 0 ) = x 0 y 0 & y 0 = x 0 y 0 & y 0 x 0 EQUAL y 0 = x 0 y 0 Discharge Qed -- Anche se può apparire inutilmente contorto, l enunciato del teorema che segue ha il pregio della versatilità ; visto che, per semplice citazione, può essere utilmente declinato in almeno tre modi: (X {Y}) = Y X, Y Z Z = Y (Z\ {Y}), Z Z = arb(z) (Z\ {arb(z)}). -- unione di unione, 2 Theorem 3d. Y Z & X {Z, Z\ {Y}} Z = Y X. Proof: Suppose not(y 0, z 0, x 0) Auto ELEM EQUAL z 0 = x 0 {y 0 } (x 0 {y 0 }) y 0 x 0,, y 0 T 3a Auto x 0, {y 0} T 3c false; Discharge Qed Theorem 3e. (X {Y}) = Y X. Proof: Suppose not(x 0, y 0) Auto y 0, x 0 {y 0}, x 0 T 3d ( ) false; Discharge Qed Theorem 3f. (Y { } ( ) Y = ) & Y Z Z = Y (Z\ {Y}). Proof: Suppose not(x 0, z 0) Auto Suppose x 0 { } x 0 = Use def ( x 0) Auto Suppose x 0 { } ELEM Stat1 : {z : y x 0, z y} y 0, z 1 Stat1 false; Discharge Stat2 : x 0 { } & {z : y x 0, z y} =

4 y 1, y 1, arb(y 1) Stat2 false; Discharge x 0 z 0 & z 0 x 0 (z 0 \ {x 0 }) x 0, z 0, z 0\ {x 0} T 3d ( ) false; Discharge Qed Theorem 3g. Z Z = arb(z) (Z\ {arb(z)}). Proof: Suppose not(z 0) Auto arb(z 0), z 0, z 0\ {arb(z 0)} T 3d false; Discharge Qed Theory doubleunion ( f(x), x 0 ) End doubleunion Enter theory doubleunion -- double union of a setformer Theorem doubleunion. ( {f(w) : w x 0 } ) = { f(w) : w x 0 }. Proof: Suppose not() Auto {f(w) : w x 0} T 3b { v : v {f(w) : w x 0 }} { f(w) : w x 0 } SIMPLF false; Discharge Qed Enter theory Set theory -- distributività dell intersezione sull unione Theorem 3h. {X z : z Y} = X Y. Proof: Suppose not(x 0, y 0) Stat0 : Auto c 1 Stat0 c 1 {x 0 z : z y 0 } c 1 x 0 y 0 Use def ( {x 0 z : z y 0}) Auto SIMPLF {x 0 z : z y 0 } = {w : z y 0, w x 0 z} Use def ( y 0) Auto Suppose Stat1 : c 1 {w : z y 0, w x 0 z} & c 1 / x 0 y 0 z 1, w Stat1 c 1 x 0 z 1 & z 1 y 0 & Stat3 : c 1 / {w : y y 0, w y} z 1, c 1 Stat3 false; Discharge Stat5 : c 1 {w : y y 0, w y} & c 1 x 0 & c 1 / {x 0 z : z y 0 } y 2, c Stat5 c 1 x 0 & c 1 y 2 & y 2 y 0 & Stat6 : c 1 / {w : z y 0, w x 0 z} y 2, c 1 Stat6 false; Discharge Qed -- intersezione monadica { } Def intersection. (X) =Def z arb(x) y X z y -- prima legge di De Morgan Theorem 23. X\if Y = then X else (Y) fi = {X\z : z Y}. Proof: Suppose not(x 0, y 0) Auto

5 -- Ragionando per assurdo, cominciamo semplificando il lato destro della disuguaglianza e con l escludere la possibilità che il controesempio x 0, y 0 possa avere y 0 =. Use def ( {x 0\z : z y 0}) Auto SIMPLF {x 0 \z : z y 0 } = {z : w y 0, z x 0 \w} Loc def w 1 = arb(y 0 ) Suppose y 0 = {x 0\z : z y 0} T 3f Stat1 : {x 0 \z : z y 0 } z 1 Stat1 false; Discharge Stat2 : x 0 \ (y 0 ) {z : w y 0, z x 0 \w} & w 1 y 0 -- Escluso quel caso banale, l assurda ipotesi si è ridotta alla disuguaglianza che leggiamo qui sopra. Sia e 0 un elemento che differenzia i due membri della disuguaglianza. e 0 Stat2 e 0 x 0 \ (y 0 ) e 0 {z : w y 0, z x 0 \w} Use def ( (y 0) ) Auto -- Se e 0 appartiene al primo membro (e dunque non al secondo), allora è chiaro che deve appartenere a un generico elemento w 1 di y 0... Suppose e 0 x 0 \ (y 0 ) (Stat2 )ELEM Stat3 : e 0 / { z arb(y 0 ) y y 0 z y } & e 0 x 0 & Stat4 : e 0 / {z : w y 0, z x 0 \w} Suppose e 0 / w 1 w 1, e 0 Stat4(Stat2 ) false; Discharge Auto ma di qui a una contraddizione il passo è breve. w 1 Stat3 Stat5 : w y 0 e 0 w w 2 Stat5 w 2 y 0 & e 0 / w 2 w 2, e 0 Stat4 false; Discharge Stat6 : e 0 {z : w y 0, z x 0 \w} & e 0 / x 0 \ (y 0 ) -- Consideriamo ora l altro caso, che e 0 appartenga al secondo membro ma non al primo. Di nuovo giungeremo a una contraddizione, col che la dimostrazione sarà completa. w 0, z 0 Stat6 Stat7 : e 0 { z arb(y 0 ) y y 0 z y } & w 0 y 0 & e 0 x 0 \w 0 Stat7 Stat8 : y y 0 e 0 y w 0 Stat8(Stat7 ) false; Discharge Qed -- seconda legge di De Morgan Theorem 23a. X\ Y = if Y = then X else ({X\z : z Y}) fi. Proof: Suppose not(x 0, y 0) Auto

6 -- Ragionando per assurdo, cominciamo semplificando il lato destro della disuguaglianza e con l escludere la possibilità che il controesempio x 0, y 0 possa avere y 0 =. Da ciò segue subito che {x 0 \z : z y 0 }. y 0 T 3f y 0 & Stat1 : x 0 \ y 0 ({x 0 \z : z y 0 }) Suppose Stat2 : {x 0 \z : z y 0 } = arb(y 0) Stat2 false; Discharge Auto -- Richiamando la prima legge di De Morgan, troviamo che x 0 ({x 0 \z : z y 0 }) = x 0 \ {x 0 z : z y 0 }. x 0, {x 0\z : z y 0} T 23 x 0 ({x 0 \z : z y 0 }) = x 0 \ {x 0 \z : z {x 0 \z : z y 0 }} SIMPLF {x 0 \z : z {x 0 \z : z y 0 }} = {x 0 \(x 0 \z) : z y 0 } Suppose Stat3 : {x 0 \(x 0 \z) : z y 0 } {x 0 z : z y 0 } c 0 Stat3(Stat3 ) false; Discharge {x 0 \(x 0 \z) : z y 0 } = {x 0 z : z y 0 } x 0, y 0 T 3h x 0 \ {x 0 z : z y 0 } = x 0 \ y 0 EQUAL x 0 ({x 0 \z : z y 0 }) = x 0 \ y 0 -- Il lato sinistro di quest ultima uguaglianza si semplifica in inters ({x0-z: z in y0}), il che contraddice il passo Stat1. Suppose Stat4 : ({x 0 \z : z y 0 }) x 0 ({x 0 \z : z y 0 }) c 1 Stat4(Stat4 ) Stat5 : c 1 ({x 0 \z : z y 0 }) & c 1 / x 0 Use def ( ) Stat6 : c 1 { z arb({x 0 \z : z y 0 }) y {x 0 \z : z y 0 } z y } Loc def a = arb({x 0 \z : z y 0 }) Stat6(Stat6) Stat7 : a {x 0 \z : z y 0 } & c 1 a z 0 Stat7(Stat5, Stat7 ) false; Discharge false Discharge Qed Theorem 23b. (X) = if X {arb(x)} then arb(x) else arb(x) (X\ {arb(x)}) fi. Proof: Suppose not(x 0) Auto Use def ( (x ) 0) Auto Suppose x 0 = { ELEM arb(x 0 ) = & z y x0 z y } = & (x 0 ) EQUAL false; Discharge Auto Suppose Stat1 : x 0 = {arb(x 0 )} ELEM Stat2 : { z : z arb(x 0 ) y x 0 z y } {z : z arb(x 0 )} e Stat2(Stat2 ) y x 0 e y e arb(x 0 ) Suppose Stat3 : y x 0 e y y Stat3(Stat1 ) false; Discharge Stat4 : y x 0 e y & e / arb(x 0 )

7 arb(x 0) Stat4(Stat1 ) false; Discharge Stat0 : arb(x 0 \ {arb(x 0 )}) x 0 \ {arb(x 0 )} & arb(x 0 ) (x 0 \ {arb(x 0 )}) (x 0 ) Use def ( (x 0\ {arb(x ) 0)}) Auto Suppose Stat5 : (x 0 ) arb(x 0 ) (x 0 \ {arb(x 0 )}) z 0 Stat5 Stat6 : z 0 { z arb(x 0 ) y x 0 z y } & z 0 / arb(x 0 ) (x 0 \ {arb(x 0 )}) Stat6 Stat7 : y x 0 z 0 y & z 0 / (x 0 \ {arb(x 0 )}) arb(x 0\ {arb(x 0)}) Stat7(Stat0 ) Stat8 : z 0 / { z arb(x 0 \ {arb(x 0 )}) y x 0 \ {arb(x 0 )} z y } & z 0 arb(x 0 \ {arb(x 0 )}) z 0 Stat8(Stat8 ) Stat9 : y x 0 \ {arb(x 0 )} z 0 y w 2 Stat9 w 2 x 0 \ {arb(x 0 )} & z 0 / w 2 w 2 Stat7(Stat5 ) false; Discharge Stat10 : arb(x 0 ) (x 0 \ {arb(x 0 )}) (x 0 ) z 1 Stat10 Stat11 : z 1 / { z arb(x 0 ) y x 0 z y } & z 1 arb(x 0 ) (x 0 \ {arb(x 0 )}) w 3 Stat11(Stat11 ) Stat12 : y x 0 z 1 y y 0 Stat12(Stat12 ) y 0 x 0 & z 1 / y 0 (Stat0 )ELEM Stat13 : z 1 { z arb(x 0 \ {arb(x 0 )}) y x 0 \ {arb(x 0 )} z y } Stat13 Stat14 : y x 0 \ {arb(x 0 )} z 1 y y 0 Stat14(Stat0 ) false; Discharge Qed -- Tradizionalmente, la finitezza viene definita a partire dalla nozione di cardinalità di un insieme: un insieme è finito se la sua cardinalità precede il primo ordinale limite. Come scorciatoia, per poter giungere senza troppo lavoro a un accettabile elaborazione formale della finitezza, adottiamo qui la seguente definizione (ispirata dall articolo Sur les ensembles fini di Tarski, 1924): un insieme è finito se ogni famiglia non vuota di suoi sottoinsiemi possiede un elemento minimale rispetto all inclusione. Per esprimere questo concetto succintamente, ci conviene sfruttare l operatore di insieme potenza definito all inizio. -- proprietà di finitezza Def Fin. Finite(X) Def g P(PX)\ { }, m g Pm = {m} -- monotonicità della finitezza Theorem 25. Y X & Finite(Y) Finite(X). Proof: Suppose not(y 0, x 0) Auto y 0, x 0 T 1a ( ) Py 0 Px 0 Use def (Finite) Stat1 : g P(Px 0 )\ { }, m g Pm = {m} & g P(Py 0 )\ { }, m g Pm = {m} Py 0, Px 0 T 1a ( ) P(Py 0 ) P(Px 0 ) g 0, g 0 Stat1(Stat1 ) m g 0 Pm = {m} & m g 0 Pm = {m} Discharge Qed -- finitezza dell unione di due finiti Theorem 25a. Finite(X) & Finite(Y) Finite(X Y). Proof:

8 Suppose not(x 0, y 0) Auto -- Ragionando per assurdo, siano x 0 ed y 0 insiemi finiti la cui unione non è finita. Allora vi sarà un insieme non vuoto g 0 di sottoinsiemi di x 0 y 0 sprovvisto di elemento minimale rispetto all inclusione. Use def (Finite) Stat1 : g P ( P(x 0 y 0 ) ) \ { }, m g Pm = {m} & Stat2 : g P(Px 0 )\ { }, m g Pm = {m} & Stat3 : gq P(Py 0 )\ { }, m gq Pm = {m} g 0 Stat1 Stat4 : m g 0 Pm = {m} & g 0 P ( P(x 0 y 0 ) ) \ { } -- Indichiamo con g 1 l insieme delle intersezioni x 0 v con v che varia in g 0. Poichè g 0 non è vuoto, neanche g 1 può esserlo. Loc def Stat5 : g 1 = {x 0 v : v g 0 } Suppose Stat6 : x 0 arb(g 0 ) / {x 0 v : v g 0 } arb(g 0) Stat6(Stat4) false; Discharge Stat7 : x 0 arb(g 0 ) g 1 -- Allora, visto che abbiamo supposto x 0 finito e visto che g 1 è formato da sottoinsiemi di x 0, g 1 avrà un elemento minimale m 1. Suppose g 1 / P(Px 0 ) Use def (P) Stat8 : g 1 / {y : y {z : z x 0 }} g 1 Stat8(Stat8 ) Stat9 : g 1 {z : z x 0 } x 1 Stat9(Stat5, Stat9 ) Stat10 : x 1 {x 0 v : v g 0 } & x 1 / {z : z x 0 } v 1, x 0 v 1 Stat10(Stat10 ) false; Discharge Auto g 1 Stat2(Stat7 ) Stat11 : m g 1 Pm = {m} m 1 Stat11(Stat11) g 1 Pm 1 = {m 1 } -- Indichiamo con g 2 l insieme delle intersezioni y 0 v con v che varia sugli elementi di g 0 la cui intersezione con x 0 è m 1. Poichè almeno un tale v in g 0 ci dev essere, anche g 2 non può essere vuoto. Loc def Stat12 : g 2 = {y 0 v : v g 0 x 0 v = m 1 } Suppose Stat13 : {y 0 v : v g 0 x 0 v = m 1 } = ELEM Stat14 : m 1 {x 0 v : v g 0 } v 0 Stat14 Auto v 0 Stat13(Stat14 ) false; Discharge Auto -- Pertanto, visto che abbiamo supposto y 0 finito e visto che g 2 che è formato da sottoinsiemi di y 0, g 2 avrà un elemento minimale m 2.

9 Suppose Stat15 : g 2 / P(Py 0 ) Use def (P) Stat16 : g 2 / {y : y {z : z y 0 }} g 2 Stat16(Stat16 ) Stat17 : g 2 {z : z y 0 } x 2 Stat17(Stat12, Stat17 ) Stat18 : x 2 {y 0 v : v g 0 x 0 v = m 1 } & x 2 / {z : z y 0 } v 2, y 0 v 2 Stat18(Stat18 ) false; Discharge Auto g 2 Stat3(Stat11 ) Stat19 : m g 2 Pm = {m} m 2 Stat19(Stat19 ) g 2 Pm 2 = {m 2 } -- Vedremo ora che m 1 m 2 è minimale in g 0, contro l assurda ipotesi con cui eravamo partiti. Cominciamo con l osservare che m 1 m 2 appartiene in effetti a g 0, dal momento che coincide con un elemento w 0 di g 0 che ha con x 0 l intersezione m 1 e con y 0 l intersezione m 2. (Stat12 )ELEM Stat20 : m 2 {y 0 v : v g 0 x 0 v = m 1 } w 0 Stat20(Stat20, Stat4 ) m 2 = y 0 w 0 & w 0 g 0 & x 0 w 0 = m 1 & g 0 P ( P(x 0 y 0 ) ) Use def (P) Stat21 : g 0 {y : y {z : z x 0 y 0 }} y 1 Stat21(Stat20 ) Stat22 : w 0 {z : z x 0 y 0 } z 1 Stat22(Stat20 ) w 0 = m 1 m 2 -- Poichè w 0 non è minimale in g 0, indichiamone con w 1 un sottoinsieme stretto che appartenga a g 0, per cui risulterà che o x 0 w 1 è sottoinsieme stretto di x 0 w 0 oppure y 0 w 1 lo è di y 0 w 0. w 0, w 0 T 1a (Stat20 ) w 0 g 0 Pw 0 w 0 Stat4(Stat22 ) Stat23 : g 0 Pw 0 {w 0 } Use def (Pw 0) Auto w 1 Stat23(Stat23 ) Stat24 : w 1 {y : y w 0 } & w 1 w 0 & w 1 g 0 y 2 Stat24(Stat20 ) w 1 w 0 & x 0 w 1 m 1 y 0 w 1 m 2 -- Consideriamo dapprima l eventualità che x 0 w 1 x 0 w 0. Facile vedere che un siffatto elemento, inficiando la minimalità di m 1 = x 0 w 0 in g 1, ci porterebbe a una contraddizione. Suppose x 0 w 1 m 1 Suppose x 0 w 1 / g 1 EQUAL Stat5 Stat25 : x 0 w 1 / {x 0 v : v g 0 } w 1 Stat25(Stat24, Stat24 ) false; Discharge Auto Use def (Pm 1) Auto (Stat11 )ELEM Stat26 : x 0 w 1 / {z : z m 1 } x 0 w 1 Stat26(Stat20 ) false; Discharge Stat27 : x 0 w 1 = m 1 & y 0 w 1 m 2

10 -- Consideriamo allora l eventualità che y 0 w 1 y 0 w 0 mentre x 0 w 1 = x 0 w 0. In questo caso verrebbe inficiata la minimalità di m 2 = y 0 w 0 in g 2 ; in questo caso la contraddizione non ha vie d uscita e ci fornisce la conclusione che stavamo cercando attraverso l argomento per assurdo. Suppose y 0 w 1 / g 2 EQUAL Stat12 Stat28 : y 0 w 1 / {y 0 v : v g 0 x 0 v = m 1 } w 1 Stat28(Stat24, Stat27 ) false; Discharge Auto Use def (Pm 2) Auto (Stat19 )ELEM Stat29 : y 0 w 1 / {z : z m 2 } y 0 w 1 Stat29(Stat20 ) false; Discharge Qed -- finitezza dei singoletti Theorem 25b. Finite({X}) & Finite( ). Proof: Suppose not(x 0) Auto {x 0}, T 25 Finite({x 0 }) Use def (Finite) Stat1 : g P(P {x 0 })\ { }, m g Pm = {m} g 0 Stat1 Stat2 : m g 0 Pm = {m} & g 0 P(P {x 0 })\ { } Use def (P) Stat3 : g 0 {y : y P {x 0 }} x 0 T 1b Auto y 0 Stat3(Stat2 ) Stat4 : g 0 & g 0 {, {x 0 }} Suppose g 0 Stat2(Stat3 ) false; Discharge g 0 = {{x 0 }} {x 0} Stat2(Stat3 ) false; Discharge Qed -- finitezza delle paia Theorem 25c. Z = {X, Y} Finite(Z). Proof: Suppose not(z 0, x 0, y 0) Auto x 0 T 25b Auto y 0 T 25b Auto {x 0}, {y 0} T 25a Finite({x 0 } {y 0 }) & {x 0 } {y 0 } = {x 0, y 0 } EQUAL false; Discharge Qed Theory finiteinduction ( s 0, P(S) ) Finite(s 0 ) & P(s 0 ) End finiteinduction Enter theory finiteinduction Theorem finiteinduction 1. m {s s 0 P(s)} Pm = {m}. Proof: Suppose not() Auto

11 Assump Finite(s 0 ) & P(s 0 ) Use def (Finite) Stat1 : g P(Ps 0 )\ { }, m g Pm = {m} {s s 0 P(s)} Stat1 {s s 0 P(s)} / P(Ps 0 )\ { } Suppose Stat2 : s 0 / {s s 0 P(s)} s 0 Stat2 false; Discharge {s s 0 P(s)} / P(Ps 0 ) Use def (P) Stat3 : {s s 0 P(s)} / {y : y {z : z s 0 }} {s s 0 P(s)} Stat3 Stat4 : {s s 0 P(s)} {z : z s 0 } s 1 Stat4 Stat5 : s 1 {s : s s 0 P(s)} & s 1 / {z : z s 0 } s, s 1 Stat5(Stat5 ) false; Discharge Qed APPLY v1 Θ : fin Θ Skolem Theorem finiteinduction 0. {s s 0 P(s)} Pfin Θ = {fin Θ }. -- insieme finito minimale soddisfacente P ( ) Theorem finiteinduction 2. S fin Θ s 0 S & Finite(S) & P(S) S = finθ. Proof: Suppose not(s 1) Auto T finiteinduction 0 {s s 0 P(s)} Pfin Θ = {fin Θ } ELEM Stat1 : fin Θ {s s 0 P(s)} Stat1 fin Θ s 0 & P(fin Θ ) Assump Finite(s 0 ) s 0, fin Θ T 25 Finite(fin Θ ) fin Θ, s 1 T 25 P(s 1 ) s 1 = fin Θ Suppose s 1 = fin Θ EQUAL false; Discharge s 1 / {s s 0 P(s)} Pfin Θ & P(s 1 ) Suppose s 1 / Pfin Θ Use def (P) Stat2 : s 1 / {y : y fin Θ } s 1 Stat2 false; Discharge Stat3 : s 1 / {s s 0 P(s)} s 1 Stat3 false; Discharge Qed Enter theory Set theory Display finiteinduction Theory finiteinduction ( s 0, P(S) ) Finite(s 0 ) & P(s 0 ) (fin Θ ) S S fin Θ Finite(S) & s 0 S & End finiteinduction ( P(S) S = finθ )

12 -- Illustriamo l utilità del principio d induzione finita or ora introdotto dimostrando che l unione di una famiglia finita d insiemi finiti è finita. In modo analogo, ma più semplice, si dimostrerà che gli aperti di uno spazio topologico sono chiusi rispetto all intersezione monadica di famiglie finite (visto che sono chiusi rispetto all intersezione diadica). -- l unione di una famiglia finita di insiemi finiti è finita Theorem 25d. Finite(F) Finite ( {v F Finite(v)} ). Proof: Suppose not(f 0) Auto ( APPLY fin Θ : f 1 finiteinduction s 0 f 0, P(S) Finite ( {v S Finite(v)} )) ( Stat1 : S S f 1 f 0 S & Finite(S) & Finite ( {v S Finite(v)} ) ) S = f 1 f 1 Stat1(Stat1 ) Finite(f 1 ) & Finite ( {v f 1 Finite(v)} ) Loc def a = arb(f 1 ) Suppose f 1 = ELEM {v Finite(v)} = EQUAL {v f 1 Finite(v)} = {v f 1 Finite(v)} T 3f {v f 1 Finite(v)} = T 25b Finite( ) EQUAL Stat1 false; Discharge Auto (Stat1)ELEM Stat2 : a f 1 Suppose Stat3 : {v f 1 Finite(v)} if Finite(a) then {a} else fi {v f 1 \ {a} Finite(v)} e Stat3(Stat3 ) e {v f 1 Finite(v)} e / if Finite(a) then {a} else fi {v f 1 \ {a} Finite(v)} Suppose Stat4 : e {v f 1 Finite(v)} Stat4(Stat3 ) Stat5 : e / {v f 1 \ {a} Finite(v)} & e f 1 & Finite(e) & e / if Finite(a) then {a} else fi e Stat5(Stat5 ) e = a & Finite(a) EQUAL false; Discharge Auto Suppose e if Finite(a) then {a} else fi (Stat3 )ELEM Stat6 : e / {v : v f 1 Finite(v)} & e = a & Finite(a) a Stat6(Stat6, Stat2 ) false; Discharge Auto Set monot {v f 1 Finite(v)} {v f 1 \ {a} Finite(v)} (Stat3 )Discharge Auto (Stat2 )ELEM {v f 1 Finite(v)} = if Finite(a) then {a} else fi {v f 1 \ {a} Finite(v)} if Finite(a) then {a} else fi, {v f 1\ {a} Finite(v)} T 3c Auto EQUAL Stat7 : Finite ( if Finite(a) then {a} else fi {v f 1 \ {a} Finite(v)} ) f 1\ {a} Stat1(Stat2, Stat2 ) Finite ( {v f 1 \ {a} Finite(v)} ) if Finite(a) then {a} else fi, {v f 1\ {a} Finite(v)} T 25a (Stat7 ) Finite ( if Finite(a) then {a} else fi ) Stat8 : a T 25b Finite( ) & Finite({a}) Suppose Finite(a) T 3f (Stat7 ) if Finite(a) then {a} else fi = & =

13 EQUAL Stat8 false; Discharge Auto,, a T 3a (Stat7 ) if Finite(a) then {a} else fi = {a} & {a} = a EQUAL Stat8 false; Discharge Qed Theory finiteimage ( s 0, f(x) ) Finite(s 0 ) End finiteimage Enter theory finiteimage Theorem finiteimage. Finite ( {f(x) : x s 0 } ). Proof: Suppose not() Auto -- Possiamo dimostrare l enunciato utilizzando l induzione finita. Supponendo per assurdo che s 0 abbia, tramite la funzione globale f(x), immagine infinita, prendiamo un s 1 finito e minimale rispetto all inclusione che abbia, del pari, immagine {f(x) : x s 1 } infinita. Si vede facilmente che s 1, per cui togliendo ad s 1 un elemento a, troviamo che {f(x) : x s 1 \ {a}} è finito per la supposta minimalità di s 1. Visto che l unione di due insiemi finiti è finita, avremo che {f(x) : x s 1 \ {a}} {f} (a) è finita e dunque differisce da {f(x) : x s 1 }. Assump Finite(s 0 ) ( APPLY fin Θ : s 1 finiteinduction s 0 s 0, P(S) Finite ( {f(x) : x S} )) ( Stat1 : S S s 1 Finite(S) & s 0 S & Finite ( {f(x) : x S} ) ) S = s 1 s 1 Stat1 Finite ( {f(x) : x s 1 } ) Loc def Stat0 : a = arb(s 1 ) f(a) T 25b Finite ( {f} (a) ) & Finite( ) Suppose s 1 = ELEM {f(x) : x } = EQUAL false; Discharge Auto (Stat0)ELEM Stat2 : s 1 \ {a} s 1 & s 1 \ {a} s 1 Suppose {f(x) : x s 1 } = {f(x) : x s 1 \ {a}} {f} (a) s 1\ {a} Stat1(Stat2 ) Finite ( {f(x) : x s 1 \ {a}} ) {f(x) : x s 1\ {a}}, {f} (a) T 25a (Stat1 ) Finite ( {f(x) : x s 1 \ {a}} {f} (a) ) EQUAL Stat1 false; Discharge Auto

14 -- Ma in realtà {f(x) : x s 1 \ {a}} {f} (a) ed {f(x) : x s 1 } sono uguali: in effetti a s 1 e dunque f(a) {f(x) : x s 1 }; inoltre, per monotonicità {f(x) : x s 1 \ {a}} {f(x) : x s 1 } ed infine... Set monot {f(x) : x s 1 \ {a}} {f(x) : x s 1 } Suppose Stat3 : f(a) / {f(x) : x s 1 } a Stat3(Stat2, Stat2 ) false; Discharge Stat4 : {f(x) : x s 1 } {f(x) : x s 1 \ {a}} {f} (a) è facile vedere che {f(x) : x s 1 } {f(x) : x s 1 \ {a}} {f} (a),... b Stat4(Stat4 ) Stat5 : b {f(x) : x s 1 } & b / {f(x) : x s 1 \ {a}} {f} (a) x 0 Stat5(Stat5 ) f(x 0 ) / {f(x) : x s 1 \ {a}} & x 0 s 1 & f(x 0 ) f(a) Suppose x 0 = a EQUAL Stat5 false; Discharge Stat6 : f(x 0 ) / {f(x) : x s 1 \ {a}} & x 0 a & x 0 s 1 x 0 Stat6(Stat6 ) false; - Discharge -- il che ci porta alla contraddizione cercata. Qed Enter theory Set theory -- Per dimostrare l esistenza di un insieme infinito introduciamo, a partire dall insieme predefinito s inf e da una correlata nozione prk di pseudo-rango, l insieme nats dei numeri naturali intesi alla von Neumann. -- una funzione globale che associa un naturale di von Neumann a qualunque insieme Def pseudorank. prk(x) = Def arb({prk(y) {prk} (y) : y X X = {y} & y s inf}) -- numeri naturali Def natural numbers. nats = Def {prk(x) : x s inf} -- esistenza di un insieme infinito Theorem Finite(nats). Proof: Suppose not() Auto Use def (Finite) Stat0 : g P(Pnats)\ { }, m g Pm = {m}

15 Loc def -- Se per assurda ipotesi nats fosse un insieme finito, ogni famiglia non vuota di suoi sottoinsiemi finiti avrebbe un elemento minimale. Ciò sarebbe vero in particolare per la famiglia g 0 = {nats\n : n nats}, poichè in effetti, come subito verificheremo, a tale famiglia appartiene nats ed è inoltre chiaro che tutti i suoi elementi sono sottoinsiemi di nats. Stat1 : g 0 = {nats\n : n nats} -- Richiamiamo che s inf, in base all assioma che riguarda questa costante; perciò risulta prk(arb(s inf)) = e dunque nats e dunque nats g 0. Suppose nats / g 0 EQUAL Stat2 : nats / {nats\n : n nats} Stat2(Stat2 ) / nats Use def (nats) Stat3 : / {prk(x) : x s inf} Assump s inf Use def (prk) prk(arb(s inf)) = arb({prk(y) {prk} (y) : y arb(s inf) arb(s inf) = {y} & y s inf}) arb(s inf ) Stat3(Stat3) Stat4 : {prk(y) {prk} (y) : y arb(s inf) arb(s inf) = {y} & y s inf} y 0 Stat4(Stat4) false; Discharge Auto Suppose g 0 / P(Pnats) Use def (P) Stat5 : g 0 / {x : x {y : y nats}} g 0 Stat5(Stat5 ) Stat6 : g 0 {y : y nats} s 0 Stat6(Stat1, Stat1 ) Stat7 : s 0 {nats\n : n nats} & s 0 / {y : y nats} n 1, nats\n 1 Stat7(Stat7 ) false; Discharge Auto g 0 Stat0(Stat1 ) Stat8 : m g 0 Pm = {m} m 0 Stat8(Stat1, Stat1 ) {nats\n : n nats} Pm 0 = {m 0 } (Stat8 )ELEM Stat9 : m 0 {nats\n : n nats} n 0 Stat9(Stat9 ) n 0 nats & m 0 = nats\n 0 Use def (nats) Stat10 : n 0 {prk(x) : x s inf} x 0 Stat10(Stat10 ) n 0 = prk(x 0 ) & x 0 s inf Assump Stat11 : x s inf {x} s inf x 0 Stat11(Stat10 ) {x 0 } s inf Suppose prk({x 0 }) / nats Use def (nats) Stat12 : prk({x 0 }) / {prk(x) : x s inf} {x 0} Stat12(Stat11 ) false; Discharge Auto Suppose Stat13 : prk({x 0 }) prk(x 0 ) {prk} (x 0 ) Use def (prk) prk({x 0 }) = arb({prk(y) {prk} (y) : y {x 0 } {x 0 } = {y} & y s inf}) (Stat13)ELEM Stat14 : {prk(x 0 ) {prk} (x 0 )} {prk(y) {prk} (y) : y {x 0 } {x 0 } = {y} & y s inf} Suppose Stat15 : prk(x 0 ) {prk} (x 0 ) / {prk(y) {prk} (y) : y {x 0 } {x 0 } = {y} & y s inf} x 0 Stat15(Stat10 ) false; Discharge Auto

16 c 0 Stat14(Stat14 ) Stat16 : c 0 {prk(y) {prk} (y) : y {x 0 } {x 0 } = {y} & y s inf} & c 0 prk(x 0 ) {prk} (x 0 ) y 1 Stat16(Stat10 ) x 0 = y 1 & prk(y 1 ) {prk} (y 1 ) prk(x 0 ) {prk} (x 0 ) EQUAL Stat16 false; Discharge Auto (Stat8 )ELEM Stat17 : prk({x 0 }) nats & {x 0 } s inf & nats\prk({x 0 }) m 0 & nats\prk({x 0 }) / {nats\n : n nats} Pm 0 Suppose nats\prk({x 0 }) / Pm 0 Use def (P) Stat18 : nats\prk({x 0 }) / {y : y m 0 } nats\prk({x 0}) Stat18(Stat17 ) false; Discharge Stat19 : nats\prk({x 0 }) / {nats\n : n nats} prk({x 0}) Stat19(Stat17 ) false; Discharge Qed -- esistenza di un insieme infinito, 2 Theorem Finite(s inf). Proof: Suppose not() Auto APPLY finiteimage ( s 0 s inf, f(x) prk(x) ) Finite ( {prk(x) : x s inf} ) T Finite(nats) Use def (nats) nats = {prk(x) : x s inf} EQUAL false; Discharge Qed -- In sede di prima verifica delle precedenti dimostrazioni sulla finitezza era stato impiegato il nome di predicato Fin del tutto sconosciuto a Ref, onde evitare possibili interferenze, nelle dimostrazioni, di meccanismi built-in. Aggirata in questo modo una questione metodologica, si poi tornati al nome consueto. Accenniamo un altro concetto importante correlato a quello di finitezza, la cui definizione è inevitabilmente ricorsiva: Una strada percorribile, per una definizione della finitezza ereditaria è la seguente: trcl(x) = Def X {trcl(y) : y X}, HFinite(H) = Def Finite ( trcl(h) ), Altra strada percorribile, che qui prescegliamo (senza tuttavia svilupparla), è la seguente: -- finitezza ereditaria Def HFin. HerFinite(X) Def Finite(X) & x X HerFinite(x) -- Theory of finite intersection closedness. Theory fic(ss) x, y {x, y} ss x y ss End fic Enter theory fic -- We will now derive the finite intersection closedness property from the doubleton intersection closedness property.

17 -- finite intersection closedness Theorem fic 1. F ss & Finite(F) & F ( (F) ss. Proof: Suppose not(f 1) f 1 ss & Finite(f 1 ) & f 1 ) & (f 1 ) / ss -- Arguing by contradiction, consider an inclusion minimal f 0 which violates the claim of this theorem. f 0 cannot be singleton, else { v arb(f 0 ) w f 0 v w } = arb(f 0 ) would belong to ss; but then, since { v arb(f0 ) w f 0 v w } { = arb(f 0 ) v arb(f0 \ {arb(f 0 )}) w f 0 \ {arb(f 0 )} v w } is the intersection of two sets in ss, it must belong to ss by an assumption of the present THEORY, which leads to a contradiction. ELEM Finite(f 1 ) -- Use def (Fin) Finite (f1) ELEM (f 1 ) / ss ( APPLY fin Θ : f 0 finiteinduction s 0 f 1, P(S) ( (S) / ss & S )) ( ) Stat1 : S S f 0 f 1 S & Finite(S) & (S) / ss & S S = f0 ( ) f 0 Stat1 f 1 f 0 & Finite(f 0 ) & (f0 ) / ss & f 0 f 0 = f 0 ELEM (f 0 ) / ss Suppose f 0 = {arb(f 0 )} Use def ( { ) v arb(f 0 ) w f 0 v w } / ss Suppose Stat2 : { v arb(f 0 ) w f 0 v w } arb(f 0 ) v 0 Stat2 v 0 / arb(f 0 ) & Stat3 : v 0 { v arb(f 0 ) w f 0 v w } Stat3 false; Discharge Stat4 : arb(f 0 ) { v arb(f 0 ) w f 0 v w } v 1 Stat4 v 1 arb(f 0 ) & Stat5 : v 1 / { v arb(f 0 ) w f 0 v w } v 1 Stat5 Stat6 : w f 0 v 1 w w 0 Stat6 w 0 f 0 & v 1 / w 0 ELEM w 0 = arb(f 0 ) ELEM false; - Discharge Stat7 : f 0 {arb(f 0 )}

18 f 0 T 23b (f 0 ) = arb(f 0 ) (f 0 \ {arb(f 0 )}) Assump Stat8 : x, y {x, y} ss x y ss -- ELEM (f0-{arb (f0)}) = f0 f 0\ {arb(f 0)} Stat1(Stat7) (f 0 \ {arb(f 0 )}) ss f 0 Stat1 f 1 f 0 ELEM {arb(f 0 ), (f 0 \ {arb(f 0 )})} ss arb(f 0), (f 0\ {arb(f 0)}) Stat8 ELEM (f 0 ) ss ELEM false; - Discharge Qed arb(f 0 ) (f 0 \ {arb(f 0 )}) ss -- weaker formulation of doubleton intersection closedness Theorem fic 2. x ss, y ss, u x y, z ss u z & z x y. Proof: Suppose not Stat1 : x ss, y ss, u x y, z ss u z & z x y x 0, y 0, u 0 Stat1 Stat2 : z ss u 0 z & z x 0 y 0 & x 0, y 0 ss & u 0 x 0 y 0 Assump Stat3 : x, y {x, y} ss x y ss x 0, y 0 Stat3(Stat2 ) x 0 y 0 ss x 0 y 0 Stat2 false; Discharge Qed Enter theory Set theory Display fic Theory fic(ss) x, y {x, y} ss x y ss f f ss & Finite(f) & f (f) ss x ss, y ss, u x y, z ss u z & z x y End fic -- Specialized variant of the preceding theory on finite intersection closedness, for the case when the given family of sets is known to be closed under unionset formation. Theory ficu(open) {x open x / open} = x open, y open, u x y, z open u z & z x y End ficu

19 Enter theory ficu -- We will attain the finite intersection closedness property through the doubleton intersection closedness property. -- doubleton intersection closedness Theorem ficu 1. {X, Y} open X Y open. Proof: Suppose not(x 0, y 0) Auto -- It plainly holds that x 0 y 0 = {z : z open, u x 0 y 0 u z & z x 0 y 0 }, because the right-hand side of this equality is the unionset of subsets of the left-hand side and, on the other hand, for each u 0 x 0 y 0, the set {z : z open u 0 z & z x 0 y 0 } is included in the right hand side and has u 0 as a member. Suppose x 0 y 0 {z : z open, u x 0 y 0 u z & z x 0 y 0 } x 0 y 0, {z : z open, u x 0 y 0 u z & z x 0 y 0} T 3 ( ) Stat1 : x {z : z open, u x 0 y 0 u z & z x 0 y 0 } x x 0 y 0 x 1 Stat1(Stat1 ) Stat2 : x 1 {z : z open, u x 0 y 0 u z & z x 0 y 0 } & x 0 y 0 x 1 z, u Stat2(Stat2 ) false; Discharge Auto Suppose Stat3 : x 0 y 0 {z : z open, u x 0 y 0 u z & z x 0 y 0 } Use def ( {z : z open, u x 0 y 0 u z & z x 0 y 0}) Auto u 0 Stat3(Stat3 ) Stat4 : u 0 / {u : z {z : z open, u x 0 y 0 u z & z x 0 y 0 }, u z } & u 0 x 0 y 0 Assump Stat5 : x open, y open, u x y, z open u z & z x y x 0, y 0, u 0 Stat5 Stat6 : z open u 0 z & z x 0 y 0 z 0 Stat6(Stat6 ) z 0 open & u 0 z 0 & z 0 x 0 y 0 z 0, u 0 Stat4(Stat6 ) Stat7 : z 0 / {z : z open, u x 0 y 0 u z & z x 0 y 0 } z 0, u 0 Stat7(Stat6 ) false; Discharge Stat8 : {z : z open, u x 0 y 0 u z & z x 0 y 0 } / open Assump Stat9 : {x open x / open} = {z : z open, u x 0 y 0 u z & z x 0 y 0} Stat9(Stat8 ) Stat10 : {z : z open, u x 0 y 0 u z & z x 0 y 0 } open z 1 Stat10(Stat10 ) Stat11 : z 1 {z : z open, u x 0 y 0 u z & z x 0 y 0 } & z 1 / open z 2, u 2 Stat11(Stat11 ) false; Discharge Qed -- At this point, finite intersection closedness follows by straightforward application of the THEORY fic. APPLY fic(ss open)

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