Decision Theory DIGITAL MODULATIONS. Optimum Binary Detection. Decision Theory

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1 Università degli Studi di Cagliari Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Elettronia e delle eleomuniazioni Deision heory In general, the hannel introdues a white Gaussian noise whih orrupts the reeived signal DIGIAL MODULAIONS n( t X ( t r + ( t X ( ( t + n t RECEIVER OPIMUM BINARY DEECION We have to evaluate the influene of the noise on the for any modulation and reeiver system. Pr{ err} Sistemi di eleomuniazione Modulo: Comuniazioni Elettrihe A.A. 4-5 Sistemi di eleomuniazione Modulo: Comuniazioni Elettrihe A.A. 4-5 Deision heory hereeiverwillusethemapriterion We will handle a posteriori proailities: given the reeived signal r( t R( t what is the proaility to have transmitted the symol? Si ( t r( t R( t MAX S { } i (t Pr MAX S i (t Pr Si ( t Pr r( t R( t Si ( t (see Bayes theorem S i Any andpass inary signal with keyed modulation an e expressed in the general quadrature-arrier form X ( t A Ikpi ( t k os( ωt + θ Qk pq ( t k sin( ωt + θ k k For pratial oherent systems, the arrier wave should e synhronized with the digital modulation. Foranymodulationsystemwehavetofindthepdfassoiated to eah symol, determine the deision region and then alulate the Pr{ err} f N N r (N is usually a very large integer Sistemi di eleomuniazione Modulo: Comuniazioni Elettrihe A.A Sistemi di eleomuniazione Modulo: Comuniazioni Elettrihe A.A

2 Aordingly, we will take θ and impose the previous ondition X ( t A Ik pi ( t k os( t k Qk pq ( t k sin( t k k k S ( m t stands for either of two signaling waveforms, S ( t and S ( t representing the message its m and m. Now onsider the reeived signalx ( t orrupted y AWGN. Weanonentrateonasingleitintervalywriting η X ( t BPF + h(t y( t y( tk DECISION UNI ˆm V th Sistemi di eleomuniazione Modulo: Comuniazioni Elettrihe A.A Sistemi di eleomuniazione Modulo: Comuniazioni Elettrihe A.A he reeiver deides etween m and m aording to the oserved value of the random variale he noise sample n n( t k is a Gaussian RV with zero mean and variane σ where Y y( t z + n k m P y( t k m z V th z P y( t k m z + z err err z z Vth P P Q z z σ In whih m and m are equally likely and the asolutevalue notation inludes the ase of z < z Sistemi di eleomuniazione Modulo: Comuniazioni Elettrihe A.A Sistemi di eleomuniazione Modulo: Comuniazioni Elettrihe A.A

3 z z What BPF impulse response h(t maximizes the ratio σ z z or, equivalently? o answer this question we note 4σ that: z z [ s ( ξ s ( ξ ] h( ξ dξ [ s ( ξ s ( ξ ] h( ξ dξ z z 4σ η 4 h( ξ dξ Appliation of Shwarz s inequality yields: where the infinite limits are allowed sine S ( m t outside of < t < η η σ h( t dt h( ξ dξ z z 4σ ( ( ( η h( ξ dξ s ξ s ξ dξ h ξ dξ s ( ξ s( ξ dξ η Sistemi di eleomuniazione Modulo: Comuniazioni Elettrihe A.A Sistemi di eleomuniazione Modulo: Comuniazioni Elettrihe A.A. 4-5 Ratio is maximum if: with k an aritrary onstant. h ( t k[ s ( t s ( t] opt he filter for optimum detetion should e mathed to the dirrefene etween the two signaling waveforms. he error proaility with optimum inary detetion depends on: where and [ s ( t s ( t] dt E + E + E are the respetive energies of the signals, while is proportionals to their orrelation oeffiient. Sistemi di eleomuniazione Modulo: Comuniazioni Elettrihe A.A. 4-5 Sistemi di eleomuniazione Modulo: Comuniazioni Elettrihe A.A. 4-5

4 Sine zeros and ones are equally likely, the average signal energy peritis: so: and: E + E E + z z E E E E E σ MAX η η P( err Q[ ( E E / η ] zm sm( ξ h( ξ dξ z k( E E z k( E E hopt ( t k[ s ( t s( t] so: z + z k ( Vth E E Note that the optimum threshold does not involve E Sistemi di eleomuniazione Modulo: Comuniazioni Elettrihe A.A Sistemi di eleomuniazione Modulo: Comuniazioni Elettrihe A.A In Ook In Ook s( t OOK s ( t A gi ( tosωt he arrier-frequeny ondition f N / means that, for every it interval: so: s ( t k s ( t k A osω t A E E E A os ωtdt E A k( E E th E V ke 4 Defyning: as the ratio etween average it energy and noise power spetral power,we otain: with: E γ η P( err Q( E / η Q( γ A E 4 Sistemi di eleomuniazione Modulo: Comuniazioni Elettrihe A.A Sistemi di eleomuniazione Modulo: Comuniazioni Elettrihe A.A

5 In Ook Bit Syn Without whole alutations, let s see how to quantify Pr{ err} in the main ditigal modulations we have studied. x ( ( t + n t x ~ ka osω t Carrier Syn ( k+ k y( t k DECISION UNI V th ˆm he Error Proaility is expressed in terms of: with Sistemi di eleomuniazione Modulo: Comuniazioni Elettrihe A.A Sistemi di eleomuniazione Modulo: Comuniazioni Elettrihe A.A PRK It is a partiular ase of Binary PSK in whih phase an have a shift of ±π radiants(phase-reversal Keying. q Coherent detetion: OOK P Q( γ e PRK P Q( γ e i Sunde s FSK P Q(. γ e QAM, QPSK P Q( γ e Sistemi di eleomuniazione Modulo: Comuniazioni Elettrihe A.A Sistemi di eleomuniazione Modulo: Comuniazioni Elettrihe A.A. 4-5

6 Comparison of Digital Modulations Non Coherent detetion: OOK FSK f r Pe Pe e e γ γ A performane omparison of digital modulation systems should onsider several fators inluding: ransmission andwith Spetral effiieny r / B B Non oherent PSK and QAM an not e used. Error Proaility Hardware Complexity Sistemi di eleomuniazione Modulo: Comuniazioni Elettrihe A.A. 4-5 Sistemi di eleomuniazione Modulo: Comuniazioni Elettrihe A.A. 4-5 Comparison of Digital Modulations Comparison of Digital Modulations Binary digital modulation systems Example: omparison of Digital Modulation System with P e 4 Modulation OOK and r f FSK Detetor Envelope PRK Coherent QAM,QPSK In Quadrature Coeherent r / B P e e γ Q( γ Q( γ Modulation Detetor OOK and FSK r Envelope.3 f PRK Coherent 8.4 QAM,QPSK In Quadrature Coherent r / B γ [ db ] 8.4 PSK (M8 In Quad. Co. 3.8 PSK (M6 In Quad. Co Sistemi di eleomuniazione Modulo: Comuniazioni Elettrihe A.A Sistemi di eleomuniazione Modulo: Comuniazioni Elettrihe A.A

7 F.A.Q Define the proedure to redue the Pr{ err} Define the energy signal What is the differene etween the energy signal and the energy it? E Sistemi di eleomuniazione Modulo: Comuniazioni Elettrihe A.A