Esercitazioni di Analisi Matematica FUNZIONI CUBICHE. Effettuare lo studio completo delle seguenti funzioni di terzo grado intere:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Esercitazioni di Analisi Matematica FUNZIONI CUBICHE. Effettuare lo studio completo delle seguenti funzioni di terzo grado intere:"

Transcript

1 FUNZIONI CUBICHE Effettuare lo studio completo delle seguenti funzioni di terzo grado intere: 1) y = fx) = x 3 + 2x 2 + x 2) y = fx) = x 3 + x 2 + x + 2 3) y = fx) = x 3 + 2x 2 + x 4 4) y = fx) = x 3 + 3x 2 4 5) y = fx) = x 3 + x 2 x 1 6) y = fx) = x 3 + 3x 2 7) y = fx) = x 3 2x 2 x 2 8) y = fx) = x 3 2x 2 + x 9) y = fx) = x 3 4x 2 + 4x 10) y = fx) = x 3 + 4x 2 5x ) y = fx) = x x2 12) y = fx) = x 3 + 4x 2 + 5x 13) y = fx) = x 3 + 3x ) y = fx) = x 3 4x 2 5x 2 15) y = fx) = x 3 x ) y = fx) = x 3 4x 2 4x 3 17) y = fx) = x 3 x 2 18) y = fx) = x 3 x 2 x ) y = fx) = x x ) y = fx) = x 3 3x 2 21) y = fx) = x 3 + 4x 2 + 4x 22) y = fx) = x 3 3x ) y = fx) = x x ) y = fx) = x 3 4x 2 + 4x 3 25) y = fx) = x 3 3x 2 26) y = fx) = x 3 + 2x 2 x ) y = fx) = x 3 + x 2 28) y = fx) = x 3 2x 2 + x ) y = fx) = x 3 x ) y = fx) = x x2 2 31) y = fx) = x 3 4x 2 + 5x 32) y = fx) = x 3 + x ) y = fx) = x x2 34) y = fx) = x 3 + 4x 2 + 5x ) y = fx) = x x ) y = fx) = x 3 + x ) y = fx) = x 3 3x 38) y = fx) = x 3 + x ) y = fx) = x 3 x 2 2x 40) y = fx) = x x

2 A titolo esemplificativo, vengono risolti gli esercizi 1 e 2. 1 Esercizio I passi da seguire sono i seguenti: 1) Determinazione del dominio della funzione 2) Intersezione con gli assi cartesiani, dunque: intersezione con l asse {y} e l asse {x} 3) Limiti della funzione 4) Ricerca dei punti stazionari 5) Costruzione del grafico della funzione Esaminiamoli uno per uno: 1.1 Dominio della funzione La funzione, essendo di tipo polinomiale, ammette qualsiasi valore reale della variabile indipendente, ossia non esistono restrizioni ai valori della x, per cui è possibile affermare come: Domf) : R = ] ; + [ 1.2 Intersezione con gli assi coordinati Intersezioni con l asse {y} Per trovare le intersezioni di una funzione con l asse {y} che è bene ricordare ha equazione x = 0), è sufficiente porre a sistema la funzione stessa con la condizione x = 0. In forma algebrica: { y = fx) = x 3 + 2x 2 + x x = 0 Da cui, per una semplice sostituzione: y = = 0 Ciò significa che il grafico della funzione passa per l origine degli assi cartesiani O 0; 0), come già si poteva intuire dal fatto che la funzione di partenza non ha termine noto.

3 1.2.2 Intersezioni con l asse {x} Per trovare le intersezioni di una funzione con l asse {x} che si chiamano in generale zeri di una funzione), è sufficiente porre a sistema la funzione stessa con la condizione y = 0, che è proprio l equazione cartesiana dell asse {x}. In forma algebrica: { y = fx) = x 3 + 2x 2 + x y = 0 Da cui, per il confronto delle due equazioni: x 3 + 2x 2 + x = 0 Questo polinomio di terzo grado si può scomporre in fattori effettuando un raccogento a fattor comune di una x. In algebra: xx 2 + 2x + 1) = 0 Che, per il teorema di annullamento del prodotto, porta alle seguenti considerazioni: x = 0 già noto dallo studio delle intersezioni con l asse {y}, e inoltre: x 2 + 2x + 1 = 0 che, se si nota come sia un prodotto notevole, diventa: da cui: ossia: x + 1) 2 = 0 x + 1 = 0 x = 1 Quindi gli zeri della funzione sono x A = 1 e il già noto x O = 0

4 1.3 Calcolo dei iti Ricordando come i iti sono uno strumento analitico potentissimo utili a determinare il comportamento di una funzione agli estremi del suo dominio e in corrispondenza dei suoi punti di discontinuità, in questo caso sarà sufficiente calcolare due iti in quanto la funzione non ha discontinuità all interno del suo dominio. Pertanto, il primo ite da calcolare è: x + x3 + 2x 2 + x) = x + x3 ) x + 1 x 2 = x + x3 = + Si noti come per calcolare questo ite si sia raccolta la potenza più alta della x e i termini che hanno la variabile indipendente a denominatore diventino infinitesimi per x che tende a valori infiniti. Analogamente, il secondo ite vale: x x3 + 2x 2 + x) = x x3 ) x + 1 x 2 = x x3 = Questi due iti ci permettono di affermare come la funzione nella sua estrema parte destra diverga verso l alto e viceversa nella sua estrema parte sinistra diverga verso il basso. 1.4 Ricerca dei punti stazionari Si ricorda come per punti stazionari o critici) si intendano quei punti della funzione in cui la derivata prima si annulla, e che in particolare corrispondono ai punti di massimo, di minimo e di flesso a tangente orizzontale. Pertanto, si calcoli innanzitutto la derivata prima della funzione: e la si uguagli a zero: f x) = 3x 2 + 4x + 1 1) 3x 2 + 4x + 1 = 0 che è una equazione di secondo grado, di cui calcoliamo il discriminante: = b 2 4ac = = 4 che è positivo, quindi la funzione ammette due punti critici, le cui ascisse valgono:

5 x = b ± 2a = 4 ± 2 6 = x C = 1 x D = 1 3 In realtà, il punto C coincide con il lo zero A 1; 0) già calcolato precedentemente. Invece, per determinare il punto D occorre sostituire il valore dell ascissa all interno della funzione. In particolare: y D = f 1 ) = ) 3) ) = = 4 27 Quindi, concludendo: D 1 3 ; 4 ) 27 Arrivati a questo livello, è necessario stabilire la natura dei punti stazionari, ossia se sono dei punti di massimo, di minimo o di flesso. Per fare ciò, occorre studiare il segno della derivata prima. La 1) rappresenta sul piano cartesiano una parabola con la concavità rivolta verso l alto e i cui zeri sono rispettivamente 1 e 1. Per i ragionamenti 3 necessari, è sufficiente una rappresentazione approssimata della situazione: x Quindi, la derivata prima della funzione è positiva per i valori di x minori di 1 e per quelli maggiori di 1, mentre è negativa per i valori di x compresi 3 tra 1 e 1. In algebra: 3 f x) > 0 per x < 1 x > 1 3 f x) < 0 per 1 < x < 1 3

6 Dunque la funzione fx) è prima crescente, poi decrescente e poi nuovamente crescente, secondo il seguente schema: x Queste considerazioni permettono di affermare come il punto A 1; 0) corrisponda a un massimo relativo e il punto D 1; ) sia un minimo relativo. 1.5 Grafico della funzione Sulla base degli elementi sino qui collezionati, è possibile costruire il grafico della funzione studiata, che ha la forma seguente: 2 Esercizio 2.1 Dominio della funzione Anche questa funzione è di tipo polinomiale, per cui sono ammessi tutti i valori reali della variabile indipendente x. Dunque, il dominio della funzione studiata è: Domf) : R = ] ; + [

7 2.2 Intersezione con gli assi coordinati Intersezioni con l asse {y} Analogamente all esercizio precedente, occorre porre il sistema: { y = fx) = x 3 + x 2 + x + 2 x = 0 Da cui segue, per sostituzione: fx) = = 2 come prevedibile, considerato che il termine noto o intercetta) vale proprio 2. In sostanza, la funzione passa per un primo punto denominato A 0; 2) Intersezioni con l asse {x} Nuovamente, si ponga a sistema la funzione a sistema con l equazione dell asse delle ascisse: { y = fx) = x 3 + x 2 + x + 2 y = 0 che per confronto fornisce: x 3 + x 2 + x + 2 = 0 che si può vedere come un polinomio di terzo grado P x) = x 3 +x 2 +x+2 di cui vogliamo calcolare gli zeri. Sebbene esistano metodi algebrici già noti ai matematici arabi) per determinare le soluzioni di un polinomio di terzo grado, si vuole sfruttare il teorema del resto e la divisione tra polinomi per scomporre il polinomio iniziale nel prodotto di un polinomio di primo grado del tipo x k) per un polinomio di secondo grado il polinomio quoziente). Gli zeri interi del polinomio se esistono) sono da ricercare nei divisori interi del termine noto, che nel presente esercizio vale 2. Per cui, i valori di k candidati a essere zeri del polinomio sono: k = ±1, ±2. Si proceda alle sostituzioni: f1) = 1) 3 + 1) 2 + 1) + 2 = = 3 0 f 1) = 1) 3 + 1) 2 + 1) + 2 = = 3 0

8 È bene fare tesoro del lavoro fino a qui svolto, poiché dalla ricerca del valore di k opportuno è emerso come la funzione passi per due punti che sono B 1; 3) e C 1; 3). f2) = 2) 3 + 2) 2 + 2) + 2 = = 0 k = 2 è uno zero del polinomio P x), che sarà dunque divisibile per x 2), ossia il resto della divisione sarà nullo. Verifichiamolo: Per cui, la scrittura: x 3 +x 2 +x +2 x 2 x 3 +2x 2 // x 2 +x +2 x 2 x 1 x 2 +2x // x +2 x +2 // // diventa: x 3 + x 2 + x + 2 = 0 x 2 x 1)x 2) = 0 Da cui, per il teorema di annullamento del prodotto si ha: e x 2 = 0 x = 2 già noto) x 2 x 1 = 0 che è una equazione di secondo grado in x, il cui discriminante vale: = b 2 4ac = 1 4 = 3 < 0 Quindi, non esistono altre intersezioni della funzione con l asse {x} oltre al punto D 2; 0).

9 2.3 Calcolo dei iti Sono da determinare solamente due iti, ossia agli estremi del dominio della funzione. In particolare: x + x3 +x 2 +x+2) = x x3 +x 2 +x+2) = x + x3 x x3 ) x + 1 x x 3 ) x + 1 x x Ricerca dei punti stazionari Determiniamo la derivata prima della funzione studiata: = x + x3 = = x x3 = + f x) = 3x 2 + 2x + 1 2) e si imponga la condizione necessaria di esistenza dei un punti stazionari, ossia l annullamento della derivata prima: 3x 2 + 2x + 1 = 0 che è una equazione di secondo grado, il cui discriminante vale: = b 2 4ac = = 16 > 0 dunque, esisteranno due punti stazionari. Determiniamo le loro ascisse: x = b ± 2a = 2 ± 4 6 = x E = 1 x F = 1 3 Per determinare le loro ordinate, è sufficiente sostituire queste ascisse nella funzione di partenza. Tuttavia si nota come f1) sia già stata calcolata nella ricerca del valore di k opportuno, per cui è possibile affermare come: E = B 1; 3) L altro punto stazionario si ricava calcolando: f 1 ) = ) 3) ) +2 = = 3 27 = 49 27

10 Si noti come 49 sia quasi pari al valore 2. Dunque, il punto F 1; ) è il secondo punto stazionario. A questo punto, si valuti la condizione sufficiente per stabilire se i punti stazionari sono di massimo o di minimo attraverso lo studio del segno della derivata prima. Sul piano cartesiano, la 2) rappresenta una parabola con la concavità rivolta verso il basso, i cui zeri sono 1 e 1. Una rappresentazione indicativa 3 può essere: x Quindi, la derivata prima della funzione è positiva per i valori di x compresi tra 1 e 1, mentre è negativa per quelli minori di 1 e maggiori di Tradotto in linguaggio algebrico: f x) > 0 per 1 3 < x < 1 f x) < 0 per x < 1 3 x > 1 Dunque la funzione fx) è prima decrescente, poi crescente e poi nuovamente decrescente, secondo il seguente schema: x Attraverso queste informazioni, si nota come il punto F 1; ) sia un minimo relativo e il punto B 1; 3) sia un massimo relativo.

11 2.5 Grafico della funzione Le informazioni sino a qui raccolte permettono di tracciare con sicurezza il grafico della funzione studiata:

Esame di Matematica Generale 7 Febbraio Soluzione Traccia E

Esame di Matematica Generale 7 Febbraio Soluzione Traccia E Esame di Matematica Generale 7 Febbraio 013 - Soluzione Traccia E ESERCIZIO 1. Si consideri la funzione f : R R f(x) = x + 1 x. (a) Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie (3 punti). Dominio.

Dettagli

LO STUDIO DI FUNZIONE ESERCIZI CON SOLUZIONI

LO STUDIO DI FUNZIONE ESERCIZI CON SOLUZIONI Autore: Enrico Manfucci - 6/05/0 LO STUDIO DI FUNZIONE ESERCIZI CON SOLUZIONI PREMESSA Per Studio di funzione si intende disegnare il grafico di una funzione data la sua espressione analitica. Questo significa

Dettagli

Ricerca di massimi e minimi col metodo della derivata prima

Ricerca di massimi e minimi col metodo della derivata prima Massimi e minimi con la derivata prima pag. 1 di 6 Ricerca di massimi e minimi col metodo della derivata prima Ricordiamo che il significato geometrico della derivata prima è quello di coefficiente angolare

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE INTEGRALE. Z x. ln t ln t 2 2 dt. f(x) =

STUDIO DI UNA FUNZIONE INTEGRALE. Z x. ln t ln t 2 2 dt. f(x) = STUDIO DI UNA FUNZIONE INTEGRALE Studiamo la funzione f di una variabile reale, a valori in R, definitada. Il dominio di f. f() = Z Denotiamo con g la funzione integranda. Allora g(t) = numeri reali tali

Dettagli

a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno.

a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno. 1 ESERCIZI CON SOLUZIONE DETTAGLIATA Esercizio 1. Si consideri la funzione f(x) = e x 3e x +. a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre

Dettagli

UNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI

UNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI UNITÀ DIDATTICA LE FUNZIONI. Le funzioni Definizione. Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere a ogni elemento A uno ed un solo

Dettagli

ESERCIZI SULLO STUDIO DI FUNZIONI

ESERCIZI SULLO STUDIO DI FUNZIONI ESERCIZI SULLO STUDIO DI FUNZIONI 0 novembre 206 Esercizi Esercizio n. Si consideri la funzione f(x) = 7 x 2 + 3 Dominio: R Intersezioni con gli assi: Intersezioni con l asse x: { y = 0 y = 7 x 2 + 3.

Dettagli

10 - Applicazioni del calcolo differenziale

10 - Applicazioni del calcolo differenziale Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviuppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 10 - Applicazioni del calcolo differenziale Anno Accademico 2015/2016

Dettagli

Soluzione di Adriana Lanza

Soluzione di Adriana Lanza Soluzione Dimostriamo che f(x) è una funzione dispari Osserviamo che in quanto in quanto x è una funzione dispari è una funzione dispari in quanto prodotto di una funzione dispari per una pari Pertanto

Dettagli

CAMPO DI ESISTENZA. Poiché la funzione data è polinomiale, essa risulta definita su tutto l asse reale, cioè: C.E. = {x R: < x < + } 2 x1,2 C +

CAMPO DI ESISTENZA. Poiché la funzione data è polinomiale, essa risulta definita su tutto l asse reale, cioè: C.E. = {x R: < x < + } 2 x1,2 C + y = x + 7x + 5 CAPO DI ESISTENZA. Poiché la funzione data è polinomiale, essa risulta definita su tutto l asse reale, cioè: C.E. = {x R: < x < + } INTERSEZIONI CON GLI ASSI. Per determinare l intersezione

Dettagli

SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA DELL ESAME DI STATO

SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA DELL ESAME DI STATO ANNO SCOLASTICO 2012-13 SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA DELL ESAME DI STATO INDIRIZZO: SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Risoluzione Problema 1 a) Poiché per ogni valore di a l espressione analitica

Dettagli

Argomento 7. Studio di funzione

Argomento 7. Studio di funzione Argomento 7 Studio di funzione Studiare una funzione significa ottenere, mediante strumenti analitici (iti, derivate, ecc.) informazioni utili a disegnare un grafico qualitativo della funzione data. I

Dettagli

ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA

ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA PRIMA PARTE Intervallo limitato di numeri reali Dati due numeri reali a e b, con a

Dettagli

Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)

Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Studio di una funzione Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f é crescente nell intervallo (a, b) se

Dettagli

Esame di MATEMATICA CORSO BASE del

Esame di MATEMATICA CORSO BASE del Esame di MATEMATICA CORSO BASE del Cognome Matricola Nome Esercizio. Si consideri il seguente sistema x 3y + z =5 x ky +z = k kx y z = Si trovino il numero delle soluzioni al variare del parametro k e

Dettagli

Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)

Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Studio di una funzione Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f è crescente nell intervallo (a, b) se

Dettagli

Traccia n.1 Studiare il comportamento della funzione: 3x + ex 3x e x. Svolgimento

Traccia n.1 Studiare il comportamento della funzione: 3x + ex 3x e x. Svolgimento Traccia n. Studiare il comportamento della funzione: Svolgimento f(x) = 3x + ex 3x e x Determinazione del campo di esistenza, E[f]. La funzione si presenta come rapporto di due funzioni; il campo di esistenza

Dettagli

FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE

FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE Vogliamo ora limitare la nostra attenzione a quelle funzioni che hanno come insieme di partenza e di arrivo un sottoinsieme dei numeri reali, cioè A, B R. Es6. Funzione

Dettagli

MATEMATICA. a.a. 2014/15

MATEMATICA. a.a. 2014/15 MATEMATICA a.a. 2014/15 3. DERIVATE E STUDIO DI FUNZIONE (II parte): Massimi, minimi e derivata prima. Flessi e derivata seconda. Schema per lo studio qualitativo completo di una funzione y=f(x) Crescenza

Dettagli

Derivata di una funzione

Derivata di una funzione Derivata di una funzione Prof. E. Modica http://www.galois.it erasmo@galois.it Il problema delle tangenti Quando si effettua lo studio delle coniche viene risolta una serie di esercizi che richiedono la

Dettagli

Studio di funzione appunti

Studio di funzione appunti Studio di unzioni algebriche ratte Studio di unzione appunti 1. Ricerca del dominio (C.E.);. Intersezioni con gli assi cartesiani; 3. Ricerca degli intervalli di positività (Studio del segno S.D.S.); 4.

Dettagli

SOLUZIONE COMMENTATA TEST DI AUTOVALUTAZIONE

SOLUZIONE COMMENTATA TEST DI AUTOVALUTAZIONE SLUZINE CMMENTATA TEST DI AUTVALUTAZINE CRS DI MATEMATICA PER L ECNMIA III MDUL ) Individuare il campo di esistenza della seguente funzione polinomiale: = + 5+ 6 6, 6 Poiché la funzione data è polinomiale,

Dettagli

Esercizio 1. f(x) = 4 5x2 x 2 +x 2. Esercizio 2. f(x) = x2 16. Esercizio 3. f(x) = x2 1 9 x 2

Esercizio 1. f(x) = 4 5x2 x 2 +x 2. Esercizio 2. f(x) = x2 16. Esercizio 3. f(x) = x2 1 9 x 2 Matematica ed Informatica+Fisica ESERCIZI Modulo di Matematica ed Informatica Corso di Laurea in CTF - anno acc. 2013/2014 docente: Giulia Giantesio, gntgli@unife.it Esercizi 8: Studio di funzioni Studio

Dettagli

Lezione 3 (2/10/2014)

Lezione 3 (2/10/2014) Lezione 3 (2/10/2014) Esercizi svolti a lezione Esercizio 1. Tracciando un grafico approssimativo, discutere qualitativamente l esistenza di radici reali dei seguenti polinomi, al variare del parametro

Dettagli

Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)

Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Studio di una funzione Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f é crescente nell intervallo (a, b) se

Dettagli

Secondo parziale di Matematica per l Economia (esempio)

Secondo parziale di Matematica per l Economia (esempio) Corso di Laurea in Economia e Management Secondo parziale di Matematica per l Economia (esempio) lettere E-Z, a.a. 206 207 prof. Gianluca Amato Regole generali Si svolga il primo esercizio e, a scelta

Dettagli

(1;1) y=2x-1. Fig. G4.1 Retta tangente a y=x 2 nel suo punto (1;1).

(1;1) y=2x-1. Fig. G4.1 Retta tangente a y=x 2 nel suo punto (1;1). G4 Derivate G4 Significato geometrico di derivata La derivata di una funzione in un suo punto è il coefficiente angolare della sua retta tangente Esempio G4: La funzione = e la sua retta tangente per il

Dettagli

1 Fattorizzazione di polinomi

1 Fattorizzazione di polinomi 1 Fattorizzazione di polinomi Polinomio: un polinomio di grado n nella variabile x, è dato da p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 con a n 0, a 0 è detto termine noto, a k è detto coefficiente

Dettagli

Esercizi di Matematica per le Scienze Studio di funzione

Esercizi di Matematica per le Scienze Studio di funzione Esercizi di Matematica per le Scienze Studio di funzione A.M. Bigatti e G. Tamone Esercizi Studio di funzione Esercizio 1. Disegnare il grafico di una funzione continua f che soddisfi tutte le seguenti

Dettagli

Liceo Classico D. Alighieri A.S Studio di Funzione. Prof. A. Pisani. Esempio

Liceo Classico D. Alighieri A.S Studio di Funzione. Prof. A. Pisani. Esempio Liceo Classico D. Alighieri A.S. 0-3 y Data la funzione: Studio di Funzione tracciatene il grafico nel piano cartesiano. Prof. A. Pisani Esempio ) Tipo e grado della funzione La funzione è analitica, data

Dettagli

Esercitazioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA 1 Facoltà di Architettura Anno Accademico 2005/2006

Esercitazioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA 1 Facoltà di Architettura Anno Accademico 2005/2006 Esercitazioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA 1 Facoltà di Architettura Anno Accademico 005/006 Antonella Ballabene SOLUZIONI -14 marzo 006- SCHEMA per lo STUDIO di FUNZIONI 1. Dominio della funzione f)..

Dettagli

Esercizi sullo studio di funzione

Esercizi sullo studio di funzione Esercizi sullo studio di funzione Seconda parte Come visto nella prima parte, per poter descrivere una curva, data la sua equazione cartesiana esplicita y f () occorre procedere secondo l ordine seguente:

Dettagli

Concavità verso il basso (funzione concava) Si dice che in x0 il grafico della funzione f(x) abbia la concavità rivolta verso il basso, se esiste

Concavità verso il basso (funzione concava) Si dice che in x0 il grafico della funzione f(x) abbia la concavità rivolta verso il basso, se esiste CONCAVITA E CONVESSITA DI UNA FUNZIONE. FLESSI. SCHEMA GENERALE PER LO STUDIO DI FUNZIONE. FUNZIONI RAZIONALI E IRRAZIONALI INTERE E FRATTE. TEOREMA DI DE L HOSPITAL CON APPLICAZIONI AI LIMITI. 1 Concavit{

Dettagli

f(x) = 1 x 2 Per determinare il dominio di f(x) dobbiamo imporre che il determinante sia diverso da zero

f(x) = 1 x 2 Per determinare il dominio di f(x) dobbiamo imporre che il determinante sia diverso da zero . Data la funzione approssimarne il grafico. f() = 2 Per determinare il dominio di f() dobbiamo imporre che il determinante sia diverso da zero 2 0 = 2 = ± perciò il dominio ` D = R \ {, } =], [ ], [ ],

Dettagli

Soluzione di Adriana Lanza

Soluzione di Adriana Lanza Soluzione Dimostriamo che f(x) è una funzione dispari Osserviamo che in quanto in quanto x è una funzione dispari è una funzione dispari in quanto prodotto di una funzione dispari per una pari Pertanto

Dettagli

1) D0MINIO. Determinare il dominio della funzione f (x) = ln ( x 3 4x 2 3x). Deve essere x 3 4x 2 3x > 0. Ovviamente x 0.

1) D0MINIO. Determinare il dominio della funzione f (x) = ln ( x 3 4x 2 3x). Deve essere x 3 4x 2 3x > 0. Ovviamente x 0. D0MINIO Determinare il dominio della funzione f ln 4 + Deve essere 4 + > 0 Ovviamente 0 Se > 0, 4 + 4 + quindi 0 < < > Se < 0, 4 + 4 4 e, ricordando che < 0, deve essere 4 < 0 dunque 7 < < 0 Il campo di

Dettagli

Matematica 2. Derivate Esercizi. y=sen( x 4 3x) y' =cos(x 4 3x)(4x 3 3) y=logsen( x x) y' = sen(x 4 +3x) cos(x4 +3x)(4x 3 +3)

Matematica 2. Derivate Esercizi. y=sen( x 4 3x) y' =cos(x 4 3x)(4x 3 3) y=logsen( x x) y' = sen(x 4 +3x) cos(x4 +3x)(4x 3 +3) Matematica 2 Derivate Esercizi y=sen( 4 3) y' =cos( 4 3)(4 3 3) y=logsen( 4 1 3) y' = sen( 4 +3) cos(4 +3)(4 3 +3) y=sen 2 ( 4 3) y' =2sen( 4 3 )cos( 4 3)(4 3 3) Funzioni ad una sola variabile y=f() è

Dettagli

Esame di MATEMATICA CORSO BASE del

Esame di MATEMATICA CORSO BASE del Esame di MATEMATICA CORSO BASE del Cognome Matricola Nome Esercizio 1. Si consideri il seguente sistema 2x 3y + z =5 x ky +2z = k kx y z = 1 Si trovino il numero delle soluzioni al variare del parametro

Dettagli

Progettazione modulare Percorso di istruzione di 3 livello, Servizi Socio Sanitari Modulo n.1: Insiemi numerici e funzioni MATEMATICA

Progettazione modulare Percorso di istruzione di 3 livello, Servizi Socio Sanitari Modulo n.1: Insiemi numerici e funzioni MATEMATICA Progettazione modulare Modulo n.1: Insiemi numerici e funzioni DURATA PREVISTA Ore in presenza 12 Ore a distanza 5 Totale ore 17 individuare le caratteristiche di un insieme numerico; classificare le funzioni,

Dettagli

PROGRAMMA DI MATEMATICA APPLICATA Classe III SIA sez. A A.S. 2015/2016

PROGRAMMA DI MATEMATICA APPLICATA Classe III SIA sez. A A.S. 2015/2016 PROGRAMMA DI MATEMATICA APPLICATA Classe III SIA sez. A A.S. 2015/2016 LE DISEQUAZIONI 1. Le disequazioni di primo e secondo grado 2. Le disequazioni di grado superiore al secondo e le disequazioni fratte

Dettagli

STUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE STUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE PROF.SSA ROSSELLA PISCOPO 2 di 35 Indice 1 SCHEMA PER LO STUDIO DEL GRAFICO DI FUNZIONE... 4 2 ESEMPI... 11 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 FUNZIONE ESPONENZIALE... 11 FUNZIONE

Dettagli

3 Equazioni e disequazioni.

3 Equazioni e disequazioni. 3 Equazioni e disequazioni. 3. Equazioni. Una equazione algebrica è un uguaglianza tra espressioni letterali soddisfatta per alcuni valori attribuiti alle lettere che vi compaiono. Tali valori sono detti

Dettagli

Esercitazioni di Matematica

Esercitazioni di Matematica Università degli Studi di Udine Anno Accademico 009/00 Facoltà di Agraria Corsi di Laurea in VIT e STAL Esercitazioni di Matematica novembre 009 Trovare le soluzioni della seguente disequazione: x + +

Dettagli

Soluzione esercizi sulle funzioni - 5 a E Liceo Scientifico - 04/11/ 13

Soluzione esercizi sulle funzioni - 5 a E Liceo Scientifico - 04/11/ 13 Soluzione esercizi sulle funzioni - 5 a E Liceo Scientifico - 04// 3 Esercizio. Si consideri la funzione ) se 0 f) e se 0. e si verifichi che non è continua in 0. Che tipo di discontinuità presenta in

Dettagli

Verifica di Matematica Classe Quinta

Verifica di Matematica Classe Quinta Verifica di Matematica Classe Quinta Valutazione Conoscenze. Fornisci la definizione di funzione continua in un punto x del dominio. Una funzione f(x) è continua in x 0 D se i iti destro e sinistro in

Dettagli

DERIVATE E LORO APPLICAZIONE

DERIVATE E LORO APPLICAZIONE DERIVATE E LORO APPLICAZIONE SIMONE ALGHISI 1. Applicazione del calcolo differenziale 1 Abbiamo visto a lezione che esiste un importante legame tra la continuità di una funzione y = f(x) in un punto x

Dettagli

Temid esamesvolti-1. Analisi delle funzioni

Temid esamesvolti-1. Analisi delle funzioni Temi d esame svolti - 1 1 Temid esamesvolti-1 Analisi delle funzioni (91003) 1 Si consideri la funzione definita a tratti su tutto R: ½ + sin 1 f() =, 6= 0 k, =0 (a) Per quale valore di k la funzione è

Dettagli

Definizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che.

Definizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che. Esercitazioni di Analisi Matematica Prof.ssa Chiara Broggi Materiale disponibile su www.istitutodefilippi.it/claro Lezione 2: Funzioni reali e loro proprietà Definizione: Siano e due sottoinsiemi non vuoti

Dettagli

Analisi Matematica I Primo Appello ( ) - Fila 1

Analisi Matematica I Primo Appello ( ) - Fila 1 Analisi Matematica I Primo Appello (4-11-003) - Fila 1 1. Determinare la retta tangente alla funzione f() = (1 + ) 1+ in = 0. R. f(0) = 1, mentre la derivata è f () = ( e (1+) log(1+)) ( ) = e (1+) log(1+)

Dettagli

ESAME DI MATEMATICA PER LE APPLICAZIONI ECONOMICHE 14 GIUGNO 2016 FILA A

ESAME DI MATEMATICA PER LE APPLICAZIONI ECONOMICHE 14 GIUGNO 2016 FILA A ESAME DI MATEMATICA PER LE APPLICAZIONI ECONOMICHE 4 GIUGNO 206 FILA A Durata della prova: 2 ore e mezza. NOTA: Spiegare con molta cura le risposte. NOTAZIONE: log = ln = log e. Esercizio 5 punti) Sia

Dettagli

Esercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.

Esercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio. Esercizi svolti 1. Sia sin(x ) f(x) = x ( 1 + x 1 ) se x > 0 a x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.. Scrivere l equazione della retta tangente nel punto di ascissa

Dettagli

1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x.

1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x. Funzioni derivabili Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: a)2x 5 b) x 3 x 4 c) x + 1 d)x sin x. 2) Scrivere l equazione della retta tangente

Dettagli

Le funzioni reali di una variabile reale

Le funzioni reali di una variabile reale Le funzioni reali di una variabile reale Prof. Giovanni Ianne DEFINIZIONE DI FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE Dati due insiemi non vuoti A, B R, una funzione f da A in B è una relazione fra A e B

Dettagli

ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA FACOLTÀ DI ECONOMIA DI FERRARA A.A. 2011/2012

ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA FACOLTÀ DI ECONOMIA DI FERRARA A.A. 2011/2012 ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA FACOLTÀ DI ECONOMIA DI FERRARA A.A. 2011/2012 1. Esercizi 3 1. Studiare la seguente funzione FINO alla derivata prima, con tracciamento di grafico ed indicazione

Dettagli

Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na)

Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na) LO STUDIO DI FUNZIONE Lo studio di funzione è una delle parti più interessanti dell analisi perché permette di utilizzare le numerose conoscenze acquisite nel corso degli anni in un unico elaborato. Se

Dettagli

Corso di Analisi Matematica 1 - professore Alberto Valli

Corso di Analisi Matematica 1 - professore Alberto Valli Università di Trento - Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ingegneria per l Ambiente e il Territorio - 07/8 Corso di Analisi Matematica - professore Alberto Valli 7 foglio di esercizi - 8 novembre 07

Dettagli

Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale. Appunti del corso di Matematica

Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale. Appunti del corso di Matematica Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 05 - Limiti Anno Accademico 2013/2014 D. Provenzano M. Tumminello,

Dettagli

ESERCITAZIONE SUI PUNTI STAZIONARI DI FUNZIONI LIBERE E SULLE FUNZIONI OMOGENEE

ESERCITAZIONE SUI PUNTI STAZIONARI DI FUNZIONI LIBERE E SULLE FUNZIONI OMOGENEE ESERCITAZIONE SUI PUNTI STAZIONARI DI FUNZIONI LIBERE E SULLE FUNZIONI OMOGENEE 1 Funzioni libere I punti stazionari di una funzione libera di più variabili si ottengono risolvendo il sistema di equazioni

Dettagli

Consorzio Nettuno - Corso di Matematica 1 Schede di lavoro guidato per le esercitazioni

Consorzio Nettuno - Corso di Matematica 1 Schede di lavoro guidato per le esercitazioni Consorzio Nettuno - Corso di Matematica 1 Schede di lavoro guidato per le esercitazioni A cura di Sebastiano Cappuccio SCHEDA N 20 ARGOMENTO: Grafici di funzioni numeriche reali Asintoti orizzontali, verticali,

Dettagli

FUNZIONE REALE IN UNA VARIABILE REALE IL CAMPO DI ESITENZA

FUNZIONE REALE IN UNA VARIABILE REALE IL CAMPO DI ESITENZA FUNZIONE REALE IN UNA VARIABILE REALE IL CAMPO DI ESITENZA Si dice campo di esistenza (C.E.) di una funzione f(x), l'insieme di tutti i valori reali che assegnati alla variabile indipendente x permettono

Dettagli

Tempo massimo 2 ore. Consegnare solamente la bella copia. 1. Disegnare il graco della funzione: [10 punti]

Tempo massimo 2 ore. Consegnare solamente la bella copia. 1. Disegnare il graco della funzione: [10 punti] Tempo massimo 2 ore. Consegnare solamente la bella copia. Metodi Matematici per l'economia A-K Corso di Laurea in Economia - anno acc. 202/203 7 gennaio 203. Disegnare il graco della funzione: [0 punti]

Dettagli

IL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero

IL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero IL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero Il teorema degli zeri è fondamentale per determinare se una funzione continua in un intervallo chiuso [ a ; b ] si annulla in almeno un punto interno

Dettagli

Istituzioni di Matematica I

Istituzioni di Matematica I Istituzioni di Matematica I Le soluzioni proposte costituiscono solo una traccia di possibili soluzioni (lo studente deve giustificare i vari risultati), possono esserci altri modi, altrettanto corretti,

Dettagli

Funzioni derivabili (V. Casarino)

Funzioni derivabili (V. Casarino) Funzioni derivabili (V. Casarino) Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in = 0 delle funzioni: a) 5 b) 3 4 c) + 1 d) sin. ) Scrivere l equazione della retta tangente

Dettagli

Soluzione di Adriana Lanza

Soluzione di Adriana Lanza Soluzione Dimostriamo che f(x) è una funzione dispari Osserviamo che in quanto in quanto x è una funzione dispari è una funzione dispari in quanto prodotto di una funzione dispari per una pari Pertanto

Dettagli

Studi di funzione. D. Barbieri. Studiare comportamento asintotico e monotonia di. f(x) = 1 x x4 + 4x e x

Studi di funzione. D. Barbieri. Studiare comportamento asintotico e monotonia di. f(x) = 1 x x4 + 4x e x Studi di funzione D. Barbieri Esercizi Esercizio Esercizio Studiare comportamento asintotico e monotonia di f(x) = x + x4 + 4x Studiare il comportamento asintotico di f(x) = + x x + + e x Esercizio 3 Determinare

Dettagli

EQUAZIONI, DISEQUAZIONI E SISTEMI

EQUAZIONI, DISEQUAZIONI E SISTEMI EQUAZIONI, DISEQUAZIONI E SISTEMI RICHIAMI DI TEORIA Definizione: sia f una funzione reale di variabile reale. Gli elementi del dominio di f su cui la funzione assume valore nullo costituiscono l' insieme

Dettagli

a) Il denominatore dev essere diverso da zero. Studiamo il trinomio x 2 5x + 6. Si ha: x 1,2 = 5 ± se x ], 2[ ]3, + [;

a) Il denominatore dev essere diverso da zero. Studiamo il trinomio x 2 5x + 6. Si ha: x 1,2 = 5 ± se x ], 2[ ]3, + [; ESERCIZIO - Data la funzione f (x) + x2 2x x 2 5x + 6, si chiede di: a) calcolare il dominio di f ; (2 punti) b) studiare la positività e le intersezioni con gli assi; (3 punti) c) stabilire se f ha asintoti

Dettagli

ESAME DI MATEMATICA I parte Vicenza, 05/06/2017. x log 2 x?

ESAME DI MATEMATICA I parte Vicenza, 05/06/2017. x log 2 x? A. Peretti Svolgimento dei temi d esame di Matematica A.A. 6/7 ESAME DI MATEMATICA I parte Vicenza, 5/6/7 log? Domanda. Per quali valori di è definita l espressione L espressione è definita se l argomento

Dettagli

Matematica. Funzioni. Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica

Matematica. Funzioni. Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica Matematica Funzioni Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica Le Funzioni e loro caratteristiche Introduzione L analisi di diversi fenomeni della natura o la risoluzione di problemi

Dettagli

ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA

ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA SVOLTI DAL PROF. GIANLUIGI TRIVIA Eercise. Studia le caratteristiche della seguente funzione e tracciane il grafico 4 + y = Soluzione la funzione va studiata

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2007 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2007 Sessione suppletiva ESAME DI STAT DI LIE SIENTIFI RS DI RDINAMENT 7 Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Rispetto a un sistema di assi cartesiani

Dettagli

FUNZIONI ALGEBRICHE PARTICOLARI

FUNZIONI ALGEBRICHE PARTICOLARI FUNZIONI ALGEBRICHE PARTICOLARI (al massimo di secondo grado in x) Appunti presi dalle lezioni del prof. Nedo Checcaglini Liceo Scientifico di Castiglion Fiorentino (Classe 4 B) September 9, 003 1. FUNZIONI

Dettagli

Sezione Prima Derivate di funzioni elementari: quadro riassuntivo e regole di derivazione. = ( n) lim x

Sezione Prima Derivate di funzioni elementari: quadro riassuntivo e regole di derivazione. = ( n) lim x Capitolo USO DELLE DERIVATE IN ECONOMIA Sezione Prima Derivate di funzioni elementari: quadro riassuntivo e regole di derivazione Si definisce derivata della funzione y f() nel punto 0 del suo insieme

Dettagli

Programmazione per Obiettivi Minimi. Matematica Primo anno

Programmazione per Obiettivi Minimi. Matematica Primo anno Programmazione per Obiettivi Minimi Matematica Primo anno Saper operare in N, Z e Q. Conoscere e saper applicare le proprietà delle potenze con esponente intero e relativo. Saper operare con i monomi.

Dettagli

Prof. Milizia, Liceo Scientifico di Mesagne (BR) 1

Prof. Milizia, Liceo Scientifico di Mesagne (BR) 1 Prof. Milizia, Liceo Scientifico di Mesagne (BR) 1 CAPITOLO 8. LE FUNZIONI. 1. Generalità sulle funzioni.. Le rappresentazioni di una funzione.. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive.. Le funzioni

Dettagli

Limiti e continuità. Teoremi sui limiti. Teorema di unicità del limite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei limiti

Limiti e continuità. Teoremi sui limiti. Teorema di unicità del limite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei limiti Limiti e continuità Teorema di unicità del ite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei iti 2 2006 Politecnico di Torino 1 Se f(x) =` ` è unico Per assurdo, siano ` 6= `0 con f(x)

Dettagli

Disequazioni di secondo grado

Disequazioni di secondo grado Disequazioni di secondo grado. Disequazioni Definizione: una disequazione è una relazione di disuguaglianza tra due espressioni. Detti p() e g() due polinomi definiti in un insieme A, una disequazione

Dettagli

Svolgimento. f y (x, y) = 8 y 2 x. 1 x 2 y = 0. y 2 x = 0. (si poteva anche ricavare la x dalla seconda equazione e sostituire nella prima)

Svolgimento. f y (x, y) = 8 y 2 x. 1 x 2 y = 0. y 2 x = 0. (si poteva anche ricavare la x dalla seconda equazione e sostituire nella prima) Università degli Studi della Basilicata Corsi di Laurea in Chimica / Scienze Geologiche Matematica II A. A. 2013-2014 (dott.ssa Vita Leonessa) Esercizi svolti: Ricerca di massimi e minimi di funzioni a

Dettagli

Scheda elaborata dalla prof.ssa Biondina Galdi Docente di Matematica

Scheda elaborata dalla prof.ssa Biondina Galdi Docente di Matematica Tutorial - Studio di una funzione reale di variabile reale f : x R y = f (x) R Una funzione può essere: - 1 - algebrica ( razionale o irrazionale, intera o fratta) Classificare la trascendentale ( esponenziale,

Dettagli

Studio di funzione. Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Funzioni elementari 2

Studio di funzione. Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Funzioni elementari 2 Studio di funzione Copyright c 2009 Pasquale Terrecuso Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Funzioni elementari 2 Studio di funzione

Dettagli

Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani

Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani L equazione di una parabola generica è data da: Consideriamo l equazione che definisce i punti di intersezione della parabola con l asse delle ascisse

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA 1. Prova scritta del 14 gennaio 2017 Fila 1.

Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA 1. Prova scritta del 14 gennaio 2017 Fila 1. Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA Prova scritta del gennaio 207 Fila. Esporre il procedimento di risoluzione degli esercizi in maniera completa e leggibile.. (Punti 6) Determinare

Dettagli

Equazioni Polinomiali II Parabola

Equazioni Polinomiali II Parabola Equazioni Polinomiali II Parabola - 0 Equazioni Polinomiali del secondo grado (Polinomi II) Forma Canonica e considerazioni La forma canonica dell equazione polinomiale di grado secondo è la seguente:

Dettagli

Microeconomia (C.L. Economia e Legislazione di Impresa); A.A. 2010/2011 Prof. C. Perugini

Microeconomia (C.L. Economia e Legislazione di Impresa); A.A. 2010/2011 Prof. C. Perugini Microeconomia (C.L. Economia e Legislazione di Impresa); A.A. 010/011 Prof. C. Perugini Esercitazione n.1 1 Obiettivi dell esercitazione Ripasso di matematica Non è una lezione di matematica! Ha lo scopo

Dettagli

FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE

FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE INTERVALLI Per definire il campo di esistenza (o dominio) di una funzione reale di variabile reale y=f()si devono indicare talvolta insiemi di numeri reali che su

Dettagli

Geometria analitica di base. Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa

Geometria analitica di base. Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Risoluzione grafica di un equazione

Dettagli

FUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale

FUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale FUNZIONI Siano X e Y due insiemi. Def. Una funzione f definita in X a valori in Y è una corrispondenza (una legge) che associa ad ogni elemento X al piú un elemento in Y. X Y Def. L insieme Y è detto codominio

Dettagli

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 CORSO DI ORDINAMENTO 2014

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 CORSO DI ORDINAMENTO 2014 SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 CORSO DI ORDINAMENTO 214 1. Per determinare f() e f(k), applichiamo il teorema fondamentale del calcolo integrale, che si può applicare essendo f continua per ipotesi: g() = f(t)dt

Dettagli

Soluzioni dei problemi della maturità scientifica A.S. 2007/2008

Soluzioni dei problemi della maturità scientifica A.S. 2007/2008 Soluzioni dei problemi della maturità scientifica A.S. 007/008 Nicola Gigli Sunra J.N. Mosconi 19 giugno 008 Problema 1 (a) Determiniamo in funzione di a i lati del triangolo. Essendo l angolo BĈA retto

Dettagli

Limiti di funzioni. Parte 2 calcolo. prof. Paolo Sarti Liceo Scientifico Statale A. Volta Milano, 10/2016

Limiti di funzioni. Parte 2 calcolo. prof. Paolo Sarti Liceo Scientifico Statale A. Volta Milano, 10/2016 Limiti di funzioni Parte calcolo prof. Paolo Sarti Liceo Scientifico Statale A. Volta Milano, /6 L insieme R Il calcolo dei iti delle funzioni reali di variabile reale avviene nell insieme esteso dei numeri

Dettagli

valore di a: verso l alto (ordinate crescenti) se a>0, verso il basso (ordinate decrescenti) se a<0;

valore di a: verso l alto (ordinate crescenti) se a>0, verso il basso (ordinate decrescenti) se a<0; La parabola è una particolare conica definita come è una curva aperta, nel senso che non può essere contenuta in alcuna superficie finita del piano; è simmetrica rispetto ad una retta, detta ASSE della

Dettagli

Una funzione è continua se si può tracciarne il grafico senza mai staccare la matita dal foglio.

Una funzione è continua se si può tracciarne il grafico senza mai staccare la matita dal foglio. 1 Funzione Continua Una definizione intuitiva di funzione continua è la seguente. Una funzione è continua se si può tracciarne il grafico senza mai staccare la matita dal foglio. Seppure questa non è una

Dettagli

Esercizi svolti. g(x) = sono una l inversa dell altra. Utilizzare la rappresentazione grafica di f e f 1 per risolvere l equazione f(x) = g(x).

Esercizi svolti. g(x) = sono una l inversa dell altra. Utilizzare la rappresentazione grafica di f e f 1 per risolvere l equazione f(x) = g(x). Esercizi svolti. Discutendo graficamente la disequazione > 3 +, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne gli estremi.. Descrivere in forma elementare l insieme { R : + > }. 3.

Dettagli

Conoscenze. L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la regola di Ruffini, il teorema. del resto.

Conoscenze. L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la regola di Ruffini, il teorema. del resto. Classe: TERZA (Liceo Artistico) Pagina 1 / 2 della Matematica La scomposizione dei polinomi in fattori primi L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la

Dettagli

Verifica di matematica. Nel piano riferito a coordinate ortogonali monometriche (x; y) è assegnata la curva Γ di equazione: 2

Verifica di matematica. Nel piano riferito a coordinate ortogonali monometriche (x; y) è assegnata la curva Γ di equazione: 2 0 Marzo 00 Verifica di matematica roblema Si consideri l equazione ln( + ) 0. a) Si dimostri che ammette due soluzioni reali. Nel piano riferito a coordinate ortogonali monometriche (; ) è assegnata la

Dettagli

dato da { x i }; le rette verticali passanti per

dato da { x i }; le rette verticali passanti per Schema riepilogativo per lo studio di una funzione reale di una var. reale. Studio grafico-analitico delle funzioni reali di variabile reale y = f ( Sequenza dei passi utili allo studio di una funzione

Dettagli

TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I

TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I Corso di laurea quadriennale) in Fisica a.a. 003/04 Prova scritta del 3 aprile 003 ] Siano a, c parametri reali. Studiare l esistenza e, in caso affermativo, calcolare

Dettagli

Matematica e Statistica per Scienze Ambientali

Matematica e Statistica per Scienze Ambientali per Scienze Ambientali Applicazioni delle derivate - Appunti 1 1 Dipartimento di Matematica Sapienza, Università di Roma Roma, Dicembre 2013 Esercizio Un area rettangolare deve essere recintata usando

Dettagli

Equazione cartesiana della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate Siano F(x F; y

Equazione cartesiana della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate Siano F(x F; y LEZIONI PARABOLA Definizione Si definisce parabola il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso,, detto fuoco, e da una retta fissa, d, detta direttrice. La definizione data mette

Dettagli