Corso di Analisi Matematica. Polinomi e serie di Taylor

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1 a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Polinomi e serie di Taylor Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti. Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati, la cui consultazione è vivamente incoraggiata. 1 / 27

2 Polinomio di Taylor Sia f una funzione definita in un intorno di x 0 e sia n un intero. Supponiamo che f sia derivabile n volte in x 0. La funzione polinomiale P n (x) := n k=0 f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + + f (n) (x 0 ) n! si chiama polinomio di Taylor di f di ordine n e centro x 0. (x x 0 ) n Nota Il grado di P n è minore o uguale a n. 2 / 27

3 Casi particolari Il polinomio di Taylor di ordine 0 è P 0 (x) = f (x 0 ); il suo grafico è la retta orizzontale passante per il punto (x 0, f (x 0 )). Il polinomio di Taylor di ordine 1 è P 1 (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ); il suo grafico è la retta tangente al grafico di f nel punto (x 0, f (x 0 )). Il polinomio di Taylor di ordine 2 è P 2 (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 ; 2 se f (x 0 ) 0, il suo grafico è una parabola tangente al grafico di f nel punto (x 0, f (x 0 )) (parabola osculatrice). 3 / 27

4 Funzione esponenziale: f (x) = e x, x 0 = 0 P 0 (x) = 1 P 1 (x) = 1 + x P 2 (x) = 1 + x + x P 3 (x) = 1 + x + x x 3 3! In generale: P n (x) = n k=0 x k k! 1 4 / 27

5 Funzione seno: f (x) = sin(x), x 0 = 0 P 0 (x) = 0 P 1 (x) = P 2 (x) = x P 3 (x) = P 4 (x) = x x 3 3! P 7 (x) = P 8 (x) = x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! 5 / 27

6 P 17 (x) = P 18 (x) = x x 3 P 21 (x) = P 22 (x) = x x 3 P 35 (x) = P 36 (x) = x x 3 3! + + x 17 17! 3! + + x 21 21! 3! + x 35 35! In generale: P 2n+1 (x) = P 2n+2 (x) = n ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)! k=0 6 / 27

7 Funzione logaritmo: f (x) = ln(1 + x), x 0 = 0 (P 0 (x) = 0) P 1 (x) = x P 2 (x) = x x P 3 (x) = x x x 3 3 P 4 (x) = x x x 3 3 x / 27

8 P 7 (x) =... P 8 (x) = P 11 (x) =... P 12 (x) = In generale: P n (x) = n ( 1) k 1 x k k=1 k 8 / 27

9 Osservazione I grafici delle pagine precedenti suggeriscono le seguenti proprietà: 1 n fissato, x variabile: fissato n, la differenza tra f (x) e P n (x), che è nulla in x 0, è piccola vicino a x 0, grande lontano da x 0. 2 x fissato, n variabile: fissato x (in certi casi x qualsiasi, in certi casi no), la differenza tra f (x) e P n (x) può essere resa arbitrariamente piccola pur di prendere n sufficientemente grande. Per analizzare queste proprietà, introduciamo la funzione R n (x) := f (x) P n (x), x A, che si chiama resto di Taylor di ordine n e centro x 0. 9 / 27

10 Alcune proprietà della funzione resto R n Supponiamo f di classe C n in A. Allora: anche R n è di classe C n ; R n e tutte le sue derivate fino all ordine n sono nulle in x 0 ; R n (x) è infinitesimo di ordine superiore rispetto a (x x 0 ) n, cioè R n (x) lim x x 0 (x x 0 ) n = 0. Verificare con la regola di de l Hôpital 10 / 27

11 Parentesi: notazione degli o piccolo Siano f e g siano due funzioni infinitesime per x che tende a x 0 R. Se f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g per x che tende a x 0 scriviamo f (x) = o(g(x)) (si legge f è o piccolo di g ). Esempio 1 cos(x) = o(x) per x 0 Notiamo esplicitamente che f (x) = o(g(x)) per x x 0 def f (x) lim x x0 g(x) = 0. In particolare, f (x) = o(x n ) per x 0 def f (x) lim x 0 x n = / 27

12 Operazioni con gli o piccolo Uguaglianze da leggere solo da sinistra a destra (1) c o(x n ) = o(x n ), o(c x n ) = o(x n ) (c R ) (2) x m o(x n ) = o(x m+n ) (3) o(x m ) o(x n ) = o(x m+n ) (4) n > m = x n = o(x m ), o(x n ) = o(x m ) (5) n > m = o(x m ) ± o(x n ) = o(x m ) (6) o(x n ) ± o(x n ) = o(x n ) (non è uguale a 0... ) Esempi: 3(x 4x 2 + o(x 2 )) = 3x 12x 2 + o(x 2 ) = 3x + o(x) + o(x) = 3x + o(x) (2x + o(x 2 ))(x 3 + o(x 3 )) = 2x 4 + o(x 4 ) + o(x 5 ) + o(x 5 ) = 2x 4 + o(x 4 ) + o(x 5 ) = 2x 4 + o(x 4 ) (4x x 3 + o(x 3 ))(x 2 + o(x 5 )) = 4x 3 + o(x 6 ) x 5 + o(x 8 ) + o(x 5 ) + o(x 8 ) = 4x 3 x 5 + o(x 5 ) 12 / 27

13 Utilizzando la notazione degli o piccolo, otteniamo: Teorema (Formula di Taylor con il resto di Peano) Siano A un intervallo, f di classe C n in A, x 0 Å. Allora: per ogni x A si ha f (x) = n k=0 f (k) (x 0 ) k! polinomio di Taylor (x x 0 ) k + o((x x 0 ) n ). resto di Peano Esempio Scrivere la formula di Taylor con il resto di Peano di centro x 0 = 1 e ordine n = 3 della funzione f (x) = x. 13 / 27

14 Formula di Taylor con resto di Peano per alcune funzioni elementari n e x x k = k! + o(x n ) sin(x) = cos(x) = ln(1 + x) = k=0 n k=0 ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)! + o(x 2n+2 ) n ( 1) k k=0 n ( 1) k 1 x k k=1 x 2k (2k)! + o(x 2n+1 ) k + o(x n ) verificare per esercizio 14 / 27

15 Applicazione: risoluzione di alcune forme di indecisione Supponiamo che il limite per x x 0 di una certa funzione f presenti una forma di indecisione; f sia ottenuta come combinazione di funzioni, almeno una delle quali non è di tipo polinomiale; tali funzioni non polinomiali siano derivabili un certo numero di volte nel punto x 0. Procediamo così: per ciascuna delle funzioni non polinomiali coinvolte nel limite, scriviamo lo sviluppo di Taylor (con resto di Peano) con centro nel punto in cui calcoliamo il limite, troncato a un ordine opportunamente scelto; sostituiamo gli sviluppi nel limite e trascuriamo gli infinitesimi di ordine superiore. 15 / 27

16 Esempi Risolvere le seguenti forme di indecisione: e x x 1 lim x 0 x 2 sin(x) x lim x 0 x 5 lim x 0 sin(x 2 ) ln(1 + x 2 ) 3x 4 x ln(1 x) + tan(x 2 ) lim x 0 x(cos(2x) 1) lim x 1 arctan(ln(x)) x + 1 (x 1) 2 Nota Dove possibile, si utilizzano gli sviluppi delle funzioni e x, sin(x), cos(x), ln(1 + x), oppure sviluppi ottenuti a partire da questi mediante manipolazioni algebriche; altrimenti, si scrive il polinomio di Taylor a partire dalla definizione. 16 / 27

17 Teorema (Formula di Taylor con il resto di Lagrange) Siano A un intervallo, f di classe C n+1 in A, x 0 Å. Allora: per ogni x A esiste un punto c x, compreso tra x e x 0, tale che n f (k) (x 0 ) f (x) = (x x 0 ) k + f (n+1) (c x ) (x x 0 ) n+1. k! (n + 1)! Già nota per n = 0... k=0 polinomio di Taylor resto di Lagrange Esempio Scrivere lo sviluppo di Taylor con il resto di Lagrange di centro x 0 = 1 e ordine n = 3 della funzione f (x) = x. 17 / 27

18 Applicazione: calcolo approssimato di valori di funzioni Rileggiamo la formula di Taylor con il resto di Lagrange: f (x) = P n (x) + f (n+1) (c x ) (x x 0 ) n+1. (n + 1)! }{{}}{{} polinomio di Taylor resto di Lagrange valore incognito valore noto errore Casi particolari: f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (c x ) (x x 0 ) 2 2 valore valore noto errore incognito f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 + f (c x ) (x x 0 ) 3 2 3! valore valore noto errore incognito 18 / 27

19 Esempio Sia f (x) = e x, x R. Sia P n il polinomio di Taylor di f di centro x 0 = 0. Utilizzare P 1 per approssimare e = f (1/2), e = f (1), e 2 = f (2). Stimare in tutti e tre i casi l errore commesso nell approssimazione e confrontare le stime ottenute. Approssimare e = f (1) con P 2 (1) e stimare l errore commesso. Confrontare con la stima ottenuta utilizzando P 1 (1). Determinare n in modo tale che l errore commesso approssimando e = f (1) con P n (1) sia minore di Approfondiamo l analisi per x fissato e n variabile / 27

20 Serie di Taylor Se f è una funzione di classe C in A, intorno di x 0, per ogni x A possiamo considerare la serie + n=0 f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n che chiamiamo serie di Taylor di f di centro x 0. Osservazioni La somma parziale n-esima della serie di Taylor è proprio il polinomio di Taylor di f di ordine n. La serie di Taylor è una particolare serie di potenze; il suo insieme di convergenza è un intervallo che contiene x 0 ed è simmetrico (estremi a parte) rispetto a x 0. Per x = x 0, la somma della serie di Taylor di f è f (x 0 ); per x x 0, non è detto che la somma sia f (x). Vedi pagina seguente / 27

21 Esempio Si può verificare che la funzione { e 1/x2 per x 0 f (x) = 0 per x = 0 è di classe C in R, con f (n) (0) = 0 per ogni n N. Pertanto la serie di Taylor di f di centro 0 ha tutti i coefficienti nulli, quindi converge in tutto R e la sua somma è la funzione identicamente nulla; tale funzione coincide con f soltanto per x = / 27

22 Serie di Taylor di alcune funzioni elementari (1) serie intervallo funzione di convergenza somma + n=0 ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)! R sin(x) (2) + n=0 ( 1) n x 2n (2n)! R cos(x) (3) + n=0 x n n! R e x (4) + n=1 ( 1) n 1 x n n ( 1, 1] ln(1 + x) cf. pagg. 7-8 Come si giustificano queste affermazioni? 22 / 27

23 Verifica di (1) Per verificare che la serie converge in R basta applicare il criterio del rapporto. Proviamo che per ogni x la somma della serie è uguale a f (x) = sin(x): f (n+1) (c x ) sin(x) P n (x) = x n+1 (n + 1)! = f (n+1) (c x ) 1 x n+1 0. (n + 1)! successione infinitesima Le affermazioni (2) e (3) si provano in maniera analoga (funzioni con derivate equilimitate). E l affermazione (4)? 23 / 27

24 Teorema (Integrazione termine a termine) Supponiamo che f (x) = + n=0 per ogni x A, con A intorno di x 0. c n (x x 0 ) n Allora, per ogni x A (con la possibile inclusione degli estremi) si ha x x 0 f (t) dt = = + x n=0 + n=0 x 0 c n (t x 0 ) n dt ( ) (x x 0 ) n+1 c n. n + 1 Nota ( ) è una estensione della proprietà di linearità dell integrale rispetto alla somma. 24 / 27

25 Verifica di (4) Ricordiamo la somma della serie geometrica: x = x n per ogni x ( 1, 1). n=0 Utilizziamo l uguaglianza precedente per esprimere g(x) = x come somma di una serie di potenze. Applichiamo il teorema di integrazione termine a termine a g. Osserviamo che l uguaglianza ottenuta ha senso anche in x = 1 ma non in x = 1. Esercizio + Provare che arctan(x) = ( 1) n x 2n+1 2n + 1 n=0 per ogni x [ 1, 1]. [Procedere come nella verifica di (4); al secondo passo, esprimere la funzione g(x) = x 2 come somma di una serie di potenze.] 25 / 27

26 Applicazione: calcolo approssimato di valori di funzioni con grado di precisione arbitrariamente fissato. Illustriamo il procedimento con alcuni esempi: Determinare valori approssimati a meno di 10 4 di sin(0.5), cos( 1), 1 5 e, ln(1.1), ln(2). [Tenere presente la maggiorazione del resto prevista dal criterio di Leibniz.] Esercizio Utilizzare l esercizio della pagina precedente per determinare un valore approssimato di arctan(1/2) con un errore inferiore a 10 2 ; specificare se si tratta di una approssimazione per eccesso o per difetto. 26 / 27

27 Applicazione: integrazione approssimata Quando non si riesce a determinare esplicitamente una primitiva di f, non si può utilizzare la FFCI per calcolare l integrale definito di f su un certo intervallo. Se si riesce a sviluppare in serie la funzione integranda, si può ricorrere al teorema di integrazione termine a termine e calcolare un valore approssimato dell integrale. Esempio Calcolare un valore approssimato dell integrale definito con un errore inferiore a e x2 dx Esercizio Approssimare l integrale definito a sin(x) x [Partire dallo sviluppo in serie di Taylor della funzione seno.] dx con un errore inferiore 27 / 27

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