NUMERI REALI. x(y + z) = xy + xz. Nel seguito faremo uso delle seguenti notazioni. IR+ 0 = {x IR : 0 x} IR 0 = {x IR : 0 x}

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1 NUMERI REALI In quanto segue non diremo che cosa è un numero reale ma definiremo per via assiomatica l insieme dei numeri reali. Insieme che denotiamo con IR. L insieme dei numeri reali è un campo totalmente ordinato è completo, cioè un insieme sul quale sono definite due operazioni +, e una relazione d ordine totale e vale l assioma dell estremo superiore. Ricordiamo che (IR, +) è un gruppo abeliano con elemento neutro 0, (IR {0}, ) è un gruppo abeliano con elemento neutro 1, le operazioni di addizione e moltiplicazione sono legate dalla proprietà x(y + z) = xy + xz per ogni x, y, z IR. La relazione d ordine è legata alle operazioni + e dalle seguenti condizioni: x y x y 0, 0 y x, 0 x, 0 y 0 x + y e 0 xy. Nel seguito faremo uso delle seguenti notazioni IR + = {x IR : 0 < x} IR = {x IR : 0 > x} IR+ 0 = {x IR : 0 x} IR 0 = {x IR : 0 x} Gli elementi di IR +, rispettivamente IR, sono i numeri reali positivi, rispettivamente negati. Gli elementi di IR+, 0 IR 0 sono i numeri reali non negativi, rispettivamente non positivi. In IR l operazione di sottrazione si definisce utilizzando l operazione di addizione e il fatto che ogni numero reale ammette opposto. Per definizione x y = x + ( y), dove -y denota l opposto di y. In IR l operazione di divisione si definisce mediante l operazione di moltiplicazione e il fatto che ogni numero reale y 0 ammette inverso. Per definizione x : y = x y = xy 1 1

2 per ogni x, y IR. Le proprietà che caratterizzano un campo sono dette anche assiomi, ora vogliamo mettere in evidenza come da questi assiomi si possono dedurre le proprietà dei numeri reali che conosciamo, cioè possiamo dedurre quelle regole di calcolo note a tutti. Innanzi tutto osserviamo che l elemento neutro 0 è unico. Infatti se 0 e 0 fossero elementi neutri per l addizione, allora 0 = = 0. In modo analogo si mostra che l elemento neutro rispetto alla moltiplicazione è unico. Dalla definizione di opposto segue che l opposto dell opposto di x IR è x stesso e si deduce l unicità dell opposto di un numero. Ricordiamo che per ogni x IR risulta 0 x = 0, infatti 0 x = 0 x + 0 = 0 x + (x x) = (0 x + 1 x) x = (0 + 1) x x = 0. Legge di annullamento del prodotto: ab = 0 se e solo se a = 0 o b = 0. Abbiamo già provato che il prodotto è nullo se uno dei due fattori è nullo. Supponiamo a 0 ed osserviamo che risulta b = 1 b = (a 1 a)b = a 1 (ab) = a 1 0 = 0. Mostriamo che l equazione x + a = b ammette una ed una sola soluzione data da x = b a. È facile verificare che x = b a è soluzione. Se x è una soluzione, allora x = x + 0 = (x + a) a = b a. In modo analogo si prova che l equazione ax = b ammette una ed una sola soluzione data da x = ba 1. Fissiamo l attenzione su alcune proprietà connesse con la relazione di ordine. Come è noto la scrittura x < y significa x y e x y. Ricordando che 0 a e 0 b implica che 0 ab, utilizzando la legge di annullamento del prodotto, 2

3 deduciamo che 0 < a e 0 < b implica che 0 < ab. Si deduce così che il prodotto di due numeri positivi è un numero positivo. Osservato che x = ( 1)x, deduciamo che ( x)( y) = xy e ciò assicura che il prodotto di due numeri negativi è un numero positivo, mentre il prodotto di un numero negativo con uno positivo è negativo. Da cui deduciamo che a 2 > 0 non appena a 0 e in particolare che 1 > 0. Si verifica facilmente che un numero reale, non nullo, e il suo inverso hanno lo stesso segno. Si noti, inoltre, che per ogni a, b > 0 risulta a b se e solo se a 2 b 2. Fissiamo l attenzione su una conseguenza dell assioma dell estemo superiore che assicura che ogni sottoinsieme non vuoto e limitato superiormente di IR ammette estremo superiore. Vogliamo mostrare che ciò implica che ogni sottoinsieme non vuoto e limitato inferiormente ammette estremo inferiore. Sia A un insieme limitato inferiormente e consideriamo l insieme A = { a : a A}. L insieme A risulta limitato superiormente, inoltre se x è un minorante di A, allora -x è un maggiormente di - A e viceversa. Di conseguenza sup( A) = inf(a) e dato che esiste sup( A) segue che esiste inf(a) = sup( A). Da quanto provato deduciamo che ogni sottoinsieme non vuoto e limitato di IR ammette sia estremo inferiore sia estremo superiore. Abbiamo osservato che 1 > 0 e quindi in IR esistono gli elementi 1, = 2, = 3,... tali elementi, tutti maggiori di zero, rappresentano l insieme dei numeri Naturali. Insieme che abbiamo denotato con IN. L insieme Z = IN {0} ( IN). A questo punto possiamo considerare l insieme Q = {ab 1 : a, b Z, b 0}. Per questi insiemi abbiamo le seguenti inclusioni IN Z Q IR. (1) 3

4 Gli elementi di IR Q si chiamano numeri irrazionali. Vedremo che tale insieme non è vuoto. Mostriamo che l insieme IN non è limitato superiormente. Supponiamo per assurdo che lo sia. In virtù dell assioma sull estremo superiore, IN risulta dotato di estremo superiore sia esso c. Da n c per ogni n IN segue che n + 1 c per ogni n IN e ciò implica che n c 1 per ogni n IN. Ciò contrasta con la definizione di estremo superiore e pertanto IN non è limitato superiornente. Tenuto conto della (1) deduciamo che Z, Q, IR non sono limitati superiormente. Essendo Z non limitato inferiormente, in quanto contiene -IN, deduciamo che gli insiemi Q, IR non sono limitati inferiormente. Uno degli assiomi che caratterizza l insieme dei numeri naturali è il principio di induzione. Principio di induzione. Sia M un sottoinsieme di IN. Se 1 IN e se da n M segue che n + 1 M, allora M = IN. Valore assoluto di un numero reale. Ad ogni numero reale x si associa un numero reale non negativo che si denota con x, noto come valore assoluto di x, dove x = x se x 0 e x = x se x < 0. Si dimostra facilmente che sussistono le seguenti proprieta. x = x per ogni x IR, (2) x, x x per ogni x IR, (3) x + y x + y per ogni x, y IR, (4) xy = x y per ogni x, y IR, (5) x y x y per ogni x, y IR, (6) x a se e solo se a x a, con a IR +. (7) Verifichiamo la (7). Supponiamo che x a, allora in virtù della (3) risulta x a e x a e da quest ultima segue che a x e quindi a xleqa. Viceversa, da a x a deduciamo che x, x a che equivale ad affermare che x a. 4

5 Potenza di base reale ed esponente naturale Fissato x IR per ogni n IN poniamo x 1 = x e x n = x n 1 x se n > 1. x n rappresenta la potena n-ma di x. Le potenze con esponente naturale hanno le seguenti proprietà: i) x n y n = (xy) n, ii) x n x m = x n+m, iii) (x n ) m = x nm, iv) se 0 < x < y, allora x n < y n per ogni n IN, v) se 0 < x < 1 e n < m, allora x m < x n, vi) se 1 < x e n < m, allora x n < x m, vii) se n è pari e x 0, allora x n > 0, viii) se n è dipari e x 0, allora x n e x hanno lo stesso segno, ix) se x > 0, allora x n > 0 per ogni n IN, x) se x 0, allora (x n ) 1 = (x 1 ) n. Potenze ad esponente intero e base reale. Per ogni x 0 e per ogni n Z si considera la potenza x n. Se n è un numero naturale tale potenza è stata già definita, se n = 0 si pone x 0 = 1 e se n < 0 si pone x n = (x 1 ) n. Proprietà delle potenze ad esponente intero: i) x n y n = (xy) n, ii) x n x m = x n+m, iii) (x n ) m = x nm, iv) x n : x m = x n m, v) se 0 < x < 1 e n < m, allora x m < x n, vi) se 1 < x e n < m, allora x n < x m, vii) (x : y) n = x n : x m. Tali proprietà si conseguono utilizzando quelle relative alle potenze con esponente naturale. Proprieta di Archimede. Abbiamo visto che l insieme Z non è limitato superiormente e ciò permette di affermare che per ogni x IR esiste n IN tale che n > x. Tale affermazione 5

6 è nota come Principio di Archimede. Utilizzando tale proprietà si definisce la parte intera di un numero reale x che denotiamo con x Z ed è tale che x x x +1, la parte intera di un numero reale è il più grande intero che non supera il numero. Utilizzando il Principio di Archimede e la parte intera si verifica immediata che Q è denso in IR, cioè che per ogni a, b IR, con a < b, esiste r Q tale che a < r < b. Supponiamo che = B A IR. Supponendo B limitato superiormente, allora possiamo trovare i maggioranti di B in quanto sottoinsieme di IR e quelli di B in quanto sottoinsieme di A che chiameremo A-maggioranti di B. Vogliamo trovare la relazione che intercorre tra sup(b) e A-sup(B). Sussistono le seguenti affermazioni: i) sup(b) A sup(b), ii) sup(b) = A sup(b) non appena A è denso in IR. i) segue dal fatto che ogni A-maggiorante di B è anche un maggiorante di B. ii) se sup(b) < A sup(b), l ipotesi che A è denso in IR assicurerebbe l esistenza di un x A tale che sup(b) < x < A sup(b) e ciò è assurdo. 6