1 Numeri reali. Esercizi.

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1 Politecnico di Milano. Scuola di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 1 (Docente: Federico Lastaria) Settembre Numeri reali. Esercizi. Esercizio 1.1 (Un numero moltiplicato per zero dà zero). Dimostrare che a 0 = 0, per ogni a in R. Esercizio 1.2. Dimostrare che, per ogni a R, l opposto dell opposto di a è a: ( a) = a Esercizio 1.3 ( Più per meno fa meno ). Dimostrare che a( b) = (ab). Esercizio 1.4 ( Meno per meno fa più ). Dimostrare che ( a)( b) = ab. Esercizio 1.5 (Legge di annullamento del prodotto). Dimostrare: Se ab = 0, allora o a = 0 oppure b = 0. Esercizio 1.6. Se a b e c < 0, si ha ac bc. Esercizio 1.7 (I quadrati dei numeri reali sono maggiori o uguali a zero). Per ogni a R, a 2 0. (L uguaglianza vale solo se a = 0). Esercizio 1.8. Si dimostri che log 10 2 è irrazionale. Esercizio 1.9. Dimostrare che, per ogni n N che non sia un quadrato perfetto, n non è razionale. Esercizio Risolvere in R le seguenti disequazioni (cercando anche un interpretazione geometrica): (a) x 1 < 2 x (b) x 2 3x + 2 < x + 1 (c) x + 1 > x 2 x Esercizio Trovare l estremo inferiore e l estremo superiore (eventualmente, e + ) dei seguenti sottoinsiemi di R, specificando se l estremo superiore è un minimo e l estremo superiore è un massimo. 1

2 1. {x R x 2 < 2} 2. { 1 n, n intero positivo} 3. (0, 1) (2, 5) 4. {x = t+1 t 2, t R, t > 2} 5. {sin(n π 12 ), n N} Esercizio 1.12 (Distanza di un punto da un insieme). Sia E un sottoinsieme non vuoto di R. Per ogni punto x R si definisce la distanza d(x, E) di x da E nel modo seguente: d(x, E) = inf{d(x, y), y E} (1.1) dove d(x, y) = x y è l ordinaria distanza tra due punti x, y R. 1. Posto E = (0, 2), trovare d(x, E), al variare di x R. 2. Sia x in R. Trovare la distanza d(x, Q) di x dall insieme Q dei numeri razionali. Esercizio Dimostrare le seguenti disuguaglianze. 1. Per ogni a, b R, e vale l uguaglianza solo se a = b. ab a2 2 + b Per ogni x, y R, per ogni ε > 0, 2 xy εx 2 + y2 ε Di- Esercizio Denotiamo con A l area di un rettangolo e con P il suo perimetro. mostrare la disuguaglianza isoperimetrica 16A P 2 L uguaglianza vale solo per il quadrato. Esercizio Dimostrare che, in un campo ordinato K, le due seguenti proprietà (di separazione e di esistenza dell estremo superiore) sono equivalenti: 1. Siano A e B sono due sottoinsiemi non vuoti di K che soddisfino la condizione a A, b B a b Allora esiste almeno un elemento λ in K per il quale si ha a A, b B a λ b 2

3 2. Sia E un sottoinsieme di K non vuoto e superiormente limitato. Allora E ha una minima limitazione superiore. Di conseguenza, una qualunque di esse può essere richiesta per garantire la completezza di K. Esercizio Si dice che una funzione D f R, definita su un insieme D R, è limitata superiormente quando la sua immagine Im f = f(d) = {y R x D f(x) = y} è un sottoinsieme di R limitato superiormente. Per definizione, l estremo superiore di f (sul suo dominio D) è sup(f) = sup Im f Se sup(f) = +, si dice che f è illimitata superiormente. Siano D f R e D g R due funzioni con lo stesso dominio D. a) Dimostrare che si ha sempre sup(f + g) sup(f) + sup(g) Dare un esempio in cui valga il minore in senso stretto. b) Supponiamo che D f R >0 e D g R >0. Dimostrare che vale sempre sup(f g) sup(f) sup(g) Dare un esempio in cui valga il minore in senso stretto. 1.1 Risposte e suggerimenti 1.1 a 0 = a(0 + 0) = a 0 + a 0. Di qui, sommando a sinistra e a destra l opposto di a 0, segue a 0 = L uguaglianza a + ( a) = 0 dice che a è l opposto di a, ma anche che a è l opposto di a, ossia a = ( a). 1.3 ab+a( b) = a(b+( b)) = a 0 = 0. Dunque, per definizione di opposto, a( b) = (ab). 1.4 Da 1.4 sappiamo già che ( a)(c) = (ac). Poniamo c = b. Si ha allora: ( a)( b) = (a( b)) = ( ab) = ab 1.5 Supponiamo 0 = ab e a 0. Allora a è invertibile. Moltiplicando per a 1, abbiamo: 0 = a 1 0 = a 1 ab = 1 b = b. 1.6 Poiché c > 0, per uno degli assiomi dell ordine segue a( c) b( c), ossia ac bc. Sommando ac + bc a entrambi i membri, si ha la tesi ac bc. 3

4 1.7 Se a > 0, allora, moltiplicando ambo imembri per a, si ha a 2 > 0; se invece a < 0, moltiplicando a sinistra e a destra per a (che è positivo), si ottiene a( a) < 0, ossia a 2 < 0, e quindi ancora a 2 > Supponiamo, per assurdo, che log 10 2 sia razionale: log 10 2 = p q. Allora 10 p q = 2, ossia 10 p = 2 q. Ma quest ultima uguaglianza è assurda. Infatti, nella scomposizione in fattori primi del numero a sinisra, compare il fattore 5, mentre nella scomposizione in fattori primi del numero a destra, il fattore 5 non compare. Qui abbiamo implicitamente utilizzato il cosiddetto teorema fondamentale dell aritmetica, secondo il quale la scrittura di un numero naturale come prodoto di numeri primi è unica (a meno dell ordine dei fattori). 1.9 Supponiamo, per assurdo, che n sia razionale: n = a/b, a, b N. Elevando a quadrato, si ha b 2 n = a 2 Dimostriamo ora che questa uguaglianza è assurda. Poiché n non è un quadrato perfetto, almeno un suo fattore primo p deve figurare, nella fattorizzazione di n, con un esponente dispari, diciamo 2h + 1. Poiché i fattori primi di b 2 hanno tutti esponenti pari (perché b 2 è un quadrato perfetto) il numero primo p compare in b 2 con un esponente pari, diciamo 2k (senza escludere che si possa avere h = 0). Allora nella fattorizzazione di b 2 n il fattore primo p compare con l esponente dispari 2h h. Invece, nella fattorizzazione in primi del numero a 2 (a secondo membro) il fattore primo p compare con esponente pari (magari 0). Assurdo (a) (, 1) ( 1 3, + ) (b) (2 3, 2 + 3) (c) ( 1 4, 0] [2, + ) {x R x 2 < 2}: 2, { 1 n, n intero positivo}: 0, (0, 1) (2, 5): 0, {x = t+1 t 2, t R, t > 2}: 5. {sin(n π 12 ), n N}: 1, 1. 1, ) La distanza di x R da E = (0, 2) è data da: x 2 se x > 2 d(x, E) = 0 se 0 x 2 x se x < 0 4

5 2) Per ogni x in R si ha d(x, Q) = 0. Infatti, poiché Q è denso in R, per ogni ε > 0 esiste un numero razionale r tale che d(x, r) < ε Segue subito dall ovvia disuguaglianza (a b) 2 0, nella quale il segno uguale vale solo se a = b. 2. Segue dalla precedente disuguaglianza, ponendo a = ε x, b = y ε Chiamiamo x, y i lati del rettangolo; dunque x + y = P/2 e xy = A. Usando la disuguaglianza x 2 + y 2 2xy, si ha: (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 2xy + 2xy = 4xy Con le sostituzioni x + y = P/2 e xy = A si ha la tesi ) implica 2). Sia E un sottoinsieme di K non vuoto e superiormente limitato. Chiamiamo B l insieme di tutte le limitazioni superiori di E. Per la prorietà di separazione, esiste un numero λ che soddisfa le due disuguaglianze La prima disuguaglianza x E y B x λ y (1.2) x E x λ (1.3) dice che λ è una limitazione superiore di E. La seconda disuguaglianza esprime il fatto che λ è la minima limitazione superiore di E. y B λ y (1.4) 2) implica 1). Siano A, B K tali che a b, per ogni a A, b B. Dalla proprietà di esistenza dell estremo superiore, segue che esistono sup A e inf B. Inoltre si vede facilmente che, per ogni a A e per ogni b B, si ha a sup A inf B b Dunque esistono senz altro numeri λ (tutti quelli dell intervallo [sup A, inf B]) che sono compresi tra A e B. 5