Insiemi di numeri reali

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1 Capitolo Elementi di teoria degli insiemi Se S è una totalità di oggetti x, si dice che S è uno spazio avente gli elementi x. Se si considerano alcuni elementi di S si dice che essi costituiscono un insieme A dello spazio S. Tra gli insiemi che si possono ottenere in questo modo si possono includere lo spazio S (quando si considerino tutti gli elementi x di S) ed il cosiddetto insieme vuoto φ (quando non si consideri alcun elemento di S). Per esprimere che un elemento x appartiene ad un insieme A si scrive: x A; per esprimere che x non appartiene ad un insieme A si scrive: x / A. Per indicare un insieme A dello spazio S si possono usare due tipi di scrittura. Il primo tipo, detto rappresentazione tabulare, consiste nello scrivere l elenco degli elementi x che devono comparire in A: A = {x, y, z,...} (1.1) Il secondo tipo, detto rappresentazione caratteristica, consiste nell enunciare una proprietà P verificata da tutti e soli gli elementi x A: A = {x x S, x verifica la proprietà P } (1.2) Un insieme A si dice finito quando consta di un numero finito di elementi. contrario l insieme si dice infinito, ovvero che consta di infiniti elementi. In caso Se A, B sono due insiemi di uno stesso spazio S, si dice che A è contenuto in B (oppure che B contiene A) e si scrive A B (oppure B A) quando ogni elemento di A è anche elemento di B, vale a dire che l appartenenza ad A implica l appartenenza a B: x A = x B. (1.3) Si dice anche che A è un sottoinsieme di B, ovvero che A è incluso in B. L insieme vuoto φ si considera contenuto in qualsiasi insieme A. Se valgono simultaneamente le A B, B A, cioè se x A x B, (1.4) si dice che A è identico a B e si scrive A = B; nel caso contrario si scrive A B. Se A è un insieme dello spazio S, si chiama complemento di A (e si indica con C A) l insieme degli elementi di S che non appartengono ad A; si ha cioè C A = {x x S, x / A}. (1.5) 3

2 Capitolo 1. Valgono le seguenti proprietà: C S = φ, C φ = S, C (C A) = A. (1.6) Se A e B sono insiemi dello spazio S, si chiama unione dei due insiemi (e si indica con A B) l insieme degli elementi di S che appartengono ad almeno uno dei due insiemi A, B; si può dunque scrivere A B = {x x A o x B}. (1.7) Valgono le seguenti proprietà: A A = A, A C A = S, A B = B A, (A B) C = A (B C). (1.8) Si chiama intersezione dei due insiemi A, B (e si indica con A B) l insieme degli elementi di S che appartengono sia ad A che a B; si ha cioè A B = {x x A e x B}. (1.9) Quando risulta A B = φ i due insiemi si dicono disgiunti. proprietà: Valgono poi le seguenti A A = A, A C A = φ, A B = B A, (A B) C = A (B C). (1.10) Si definisce la differenza A B di due insiemi A, B come l insieme costituito dagli elementi di A che non appartengono a B, vale a dire e risulta A B = φ se e solo se A B. A B = A C B. (1.11) Dati due insiemi A e B (distinti o coincidenti) e fissati due elementi x A e y B, si può considerare la coppia ordinata (x, y). Al variare di x in A e di y in B, tale coppia descrive un insieme che si chiama prodotto cartesiano dei due insiemi A, B e si indica con A B. Per esempio, date in un piano due rette ortogonali, se A è l insieme dei punti della prima retta e B l insieme dei punti della seconda, il prodotto cartesiano A B è rappresentato dall insieme dei punti del piano considerato. Dati due insiemi A e B, una applicazione o funzione f di dominio A e codominio B è una legge che associa ad ogni elemento x A un unico elemento y B detto il valore di f in x e indicato con f(x). Si scrive: f : A B. Si chiama immagine di f, e si indica con f(a), l insieme di tutti i valori f(x) con x A. Se f(a) è un sottoinsieme proprio di B si dice che si ha una applicazione di A in B. 4

3 1.2. Proprietà degli insiemi di numeri reali Una applicazione f : A B si dice suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A. In questo caso l immagine di f ricopre B. Se f è suriettiva si dice anche che f è una applicazione di A sopra B. Una applicazione f : A B si dice iniettiva se elementi distinti in A hanno immagini distinte, cioè se x x = f(x) f(x ) o, in modo equivalente se f(x) = f(x ) = x = x. Sia f : A B e sia y f(a). si dice immagine reciproca di y mediante f l insieme di tutti gli x A la cui immagine mediante f dia lo stesso y B. L immagine reciproca di y si indica con f 1 (y). f 1 (y) si dice la fibra di f su y. Se f è suriettiva, per ogni y B vi è una fibra f 1 (y). Una applicazione f si dice biiettiva se è iniettiva e suriettiva. Si parla allora di biiezione e si indica con il simbolo f : A B. In questo caso preso un qualunque y B, la fibra f 1 (y) è formata da uno ed un solo elemento. 1.2 Proprietà degli insiemi di numeri reali Consideriamo ora quei particolari insiemi i cui elementi sono numeri reali, cioè gli insiemi dello spazio R. Insiemi di particolare importanza sono gli intervalli. Dati due numeri reali a, b con a < b, si chiama intervallo chiuso di estremi a, b l insieme dei numeri reali x che verificano la limitazione a x b; tale intervallo sarà indicato col simbolo [a, b]. Si chiamerà invece intervallo aperto di estremi a, b, e sarà indicato con (a, b), l insieme dei numeri x per cui si ha a < x < b; intervallo aperto a sinistra è l insieme dei numeri x per i quali si ha a < x b, e si userà per esso il simbolo (a, b]; intervallo aperto a destra è l insieme dei numeri x per i quali si ha a x < b, e si userà il simbolo [a, b). Tutti questi intervalli si dicono limitati. Dato un numero reale a si considera anche l insieme dei numeri maggiori o uguali ad a, cioè l intervallo [a, + ), oppure l insieme dei numeri maggiori di a, cioè l intervallo (a, + ). Analogamente si definisce l intervallo (, a] come l insieme dei numeri minori o uguali ad a, e l intervallo (, a) come l insieme dei numeri minori di a. Lo spazio R di tutti i numeri reali viene anche designato come intervallo (, + ). Tutti questi intervalli si dicono illimitati. Dato un insieme E di numeri reali, possiamo chiederci se esista in E un numero minimo (min E) oppure un numero massimo (max E). Se E è un insieme finito i due numeri esistono certamente. Se si considera invece un insieme E infinito non è detto che esista min E o max E. Dunque, per un insieme E arbitrario non si può parlare in generale di min E o max E; è 5

4 Capitolo 1. dunque necessario utilizzare qualche nuovo concetto che sia più generale di quello di minimo o di massimo e che valga per un insieme qualsiasi. A questo scopo si formulano i concetti di estremo inferiore e di estremo superiore. 1.3 Estremo inferiore ed estremo superiore Sia dato un insieme E di numeri reali. Si dice che E è limitato inferiormente quando esiste un numero a minore di tutti i numeri x di E; in caso contrario cioè quando, comunque si assegni un numero a, esiste sempre in E qualche numero x minore di a, l insieme si dirà illimitato inferiormente. Analogamente si dice che E è limitato superiormente quando esiste un numero b maggiore di tutti i numeri x di E; in caso contrario cioè quando, comunque si assegni un numero b, esiste sempre in E qualche numero x maggiore di b, l insieme si dirà illimitato superiormente. Dicendo semplicemente che E è limitato si intende dire che è limitato sia inferiormente che superiormente; dicendo che è illimitato si intende dire che lo è almeno da una parte. Consideriamo un insieme E che sia limitato inferiormente. Esiste allora un numero a minore di tutti i numeri x E; è anzi evidente che di numeri aventi questa proprietà ne esistono infiniti; indichiamo con A la classe da essi formata e con B quella costituita da tutti i rimanenti numeri reali. La classe A è dunque definita da A = {a a < x, x E}. (1.12) La classe B contiene tutti i numeri b che non godono della proprietà indicata in (1.12), quindi B = {b x E, x b}. (1.13) Queste due classi individuano un numero di separazione; questo numero si chiama estremo inferiore dell insieme E (limitato inferiormente) e si indica con inf E. Esso gode delle due proprietà seguenti: a) tutti i numeri x E sono maggiori o uguali di inf E; b) comunque si fissi un numero positivo ε, vi è nell insieme E almeno un numero x che è minore di inf E + ε. L estremo inferiore inf E può essere un numero dell insieme E ed allora coincide con min E; può, però, accadere che esso non appartenga ad E ed allora l insieme non ha minimo. In modo del tutto analogo si stabilisce il concetto di estremo superiore di un insieme E limitato superiormente. Esistono numeri b maggiori di tutti i numeri x E; diciamo B 6

5 1.4. Punti di accumulazione. Insiemi chiusi la classe da essi formata ed A quella costituita dai rimanenti numeri reali. La classe B è dunque definita come segue: B = {b b > x, x E}. (1.14) La classe A contiene tutti i numeri b che non godono della proprietà indicata in (1.14), quindi A = {a x E, x b}. (1.15) Queste due classi individuano un numero di separazione; questo numero si chiama estremo superiore dell insieme E (limitato superiormente) e si indica con sup E. Esso gode delle due proprietà seguenti: c) tutti i numeri x E sono minori o uguali di sup E; d) comunque si fissi un numero positivo ε, vi è nell insieme E almeno un numero x che è maggiore di sup E ε. L estremo superiore sup E può essere un numero dell insieme E ed allora coincide con max E; può, però, accadere che esso non appartenga ad E ed allora l insieme non ha massimo. Se un insieme E è limitato, esistono contemporaneamente inf E e sup E e risulta evidentemente inf E sup E. Il segno di uguaglianza vale soltanto se E è formato da un solo numero; se ciò non accade, l intervallo [inf E, sup E] è il più piccolo intervallo chiuso che contenga tutti i punti dell insieme E. Abbiamo definito l estremo inferiore per gli insiemi limitati inferiormente e l estremo superiore per gli insiemi limitati superiormente. Per un insieme illimitato inferiormente si dirà che ha come estremo inferiore, cioè: inf E = ; per un insieme illimitato superiormente si dirà che ha + come estremo superiore, cioè: sup E = +. Accenniamo infine al concetto di insiemi contigui (o classi contigue) di numeri reali. Due classi A, B di numeri reali si dicono contigue quando si ha sup A = inf B. Il valore comune dei predetti estremi, superiore di A ed inferiore di B, è il cosiddetto numero di separazione delle due classi. 1.4 Punti di accumulazione. Insiemi chiusi Diamo ora qualche altro importante concetto sugli insiemi di numeri reali, mediante l uso di un linguaggio geometrico, dicendo cioè punto x in luogo di numero reale x; sarà sottinteso che si tratta sempre di punti della medesima retta su cui sia stato fissato un sistema di ascisse. Dati due punti x 1, x 2 si può voler considerare la loro distanza (senza segno); essa è espressa dal numero non negativo x 2 x 1. 7

6 Capitolo 1. Dato un punto x chiameremo intorno di x ogni intervallo limitato e aperto (a, b) che contenga x (cioè tale che a < x < b). Sia dato un insieme E di punti. Un punto x 0 della retta si dice punto di accumulazione (o punto limite) dell insieme E quando, in ogni intorno di x 0, esiste almeno un punto di E che sia distinto da x 0. Un punto di accumulazione di un insieme E può appartenere all insieme stesso oppure può non appartenervi. Un punto x dell insieme E può essere punto di accumulazione oppure può non esserlo; in questo secondo caso si dice punto isolato di E. Dalla definizione di punto di accumulazione discende immediatamente che se x 0 è un punto di accumulazione dell insieme E, in ogni intorno di x 0 esistono infiniti punti di E. Da ciò deriva anche che affinché un insieme abbia dei punti di accumulazione è necessario che contenga infiniti punti. Tale condizione non è in generale sufficiente, cioè un insieme può contenere infiniti punti e non avere alcun punto di accumulazione; detta condizione diventa però sufficiente se l insieme si suppone limitato. L insieme costituito da tutti i punti di accumulazione di un dato insieme E si chiama l insieme derivato di E e si indica con DE. Un insieme E si dice chiuso quando DE E cioè quando o non ha punti di accumulazione oppure ha dei punti di accumulazione tutti appartenenti all insieme E. Diamo alcuni esempi. 1) Gli intervalli [a, b], [a, + ), (, a], (, + ) sono insiemi chiusi, perché ogni loro punto è punto di accumulazione e non vi sono altri punti di accumulazione all infuori di questi. 2) Gli intervalli (a, b), (a, b], [a, b), (a, + ), (, a) non sono insiemi chiusi (il primo ha i punti di accumulazione a, b che non appartengono ad esso; il secondo ha il punto di accumulazione a che non appartiene all insieme; ecc.). Gli insiemi dell esempio 1) non solo sono chiusi, ma sono tali che DE = E. I particolari insiemi chiusi che godono di questa proprietà si chiamano insiemi perfetti. I concetti di intorno di un punto e di punto di accumulazione vengono estesi nel modo seguente. Chiameremo intorno di ogni intervallo del tipo (, a), intorno di + ogni intervallo del tipo (a, + ). Diremo poi che l insieme E ha il punto di accumulazione [+ ] quando in ogni intorno di [di + ] cade almeno un punto di E (viene subito di conseguenza che ne cadono infiniti); è evidente che ciò equivale a dire che E è illimitato inferiormente [superiormente]. Con queste locuzioni si può affermare che ogni insieme E contenente infiniti punti ammette almeno un punto di accumulazione (al finito o all infinito), rimuovendo così la restrizione che l insieme debba essere limitato per rendere sufficiente la condizione suddetta. Nella definizione di insieme chiuso data sopra ci si riferisce soltanto ai punti di accumulazione al finito. 8