CENNI DI PROBABILITÀ E VARIABILI CASUALI

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1 CI DI PROBABILITÀ VARIABILI CASUALI Fodmeti di Segli e Trsmissioe Frequez reltiv e robbilità Medite le le robbilità si si descrivoo i i feomei che che ossoo essere essere esti come come u u eserimeto il il cui cui risultto si si soggetto cmbimeto l l rietersi dell eserimeto stesso stesso (ur (ur mteedo le le medesime codizioi oertive). semio: serimeto: Lcio Lcio csule di di u u ddo ddo (ogi (ogi volt volt i i modo modo leggermete diverso) Risultto: umero sull sull fcci fcci sueriore del del ddo ddo Isieme dei dei ossibili risultti risultti (elemetri): {,,3,4,5,6} veto: qulsisi sottoisieme dell isieme dei dei risultti risultti A{,}; B{,4,6}; ecc. ecc. Se Se si si esegue esegue u u umero di di rove rove sufficietemete elevto, si si l eseriez si si l l teori teori dell dell robbilità mostro che che l l frequez reltiv reltivdei dei sigoli sigoli risultti risultti (,,3,4,5,6) (o (o di di u u qulsisi eveto) è rossim ll ll loro loro robbilità: f A P( ) f P( A) ATTZIO: A B f P( B)... f P( A) A Fodmeti di Segli e Trsmissioe B

2 Istogrmm dei risultti L istogrmm dei dei risultti è il il grfico delle frequeze reltive Lcio di u ddo o truccto, esito di u serie di rove Risultto del lcio Frequez reltiv dei ossibili risultti # rove Commeto: questo istogrmm è sosetto! è troo regolre!! 3 Fodmeti di Segli e Trsmissioe S szio degli eveti, cioè cioè isieme di di tutti tuttii i risultti elemetri A,B,C,... eveti (sottoisiemi di di S, S, iclusi lo lo stesso S e l isieme vuoto) AU B uioe di di A e B A B itersezioe di di A e B ot: l l robbilità di di AU B è sesso idict co co P(A+B). ot: l l robbilità di di A B è idict co co P(A,B) e dett robbilità cogiut. U Cei di teori dell robbilità () U Assiomi dell dell teori teori dell dell robbilità (rorietà delle delle robbilità):.. Per Per ogi ogi A esiste esiste (cioè (cioè è defiit) P( A).. P(S) P(S) Se Se A e B soo soo mutumete esclusivi (ho (ho itersezioe ull) ull) P(A+B)P(A)+P(B) ot: ot: o o soo soo ltro ltro che che le le rorietà elemetri dell dell frequez reltiv reltiv Coseguez (fcilmete dimostrbile): P(A+B)P(A)+P(B)-P(A,B) bisog cotre solo solo u u volt volt l itersezioe di di A e B! B! Si Si ttribuiscoo ll ll robbilità le le rorietà dell dell frequez reltiv, erché erché i i risultti risultti del del clcolo clcolo delle delle robbilità sio sio loro loro volt volt iterretbili come come frequeze reltive. 4 Fodmeti di Segli e Trsmissioe

3 Cei di teori dell robbilità () semio: lcio lcio di di u u ddo ddo (iotesi: ddo ddo o o truccto > > risultti risulttiequirobbili) A{,,3} (l eveto A si si verific verific se se il il risultto elemetre è coteuto i i A) A) B{,4,6} (l eveto B si si verific verific se se il il risultto è u u umero ri) ri) Per Per clcolre l l robbilità di di u u eveto eveto bst bst cotre i i risultti risulttiche lo lo comogoo! P(A) P(A) A / A / dove dove A è A il il umero di di risultti risultti coteuti i i A e il il umero totle totle di di risultti. P(A)P(B)3/6 P(A+B)P({,,3,4,6})5/6 (o (o che che P(A+B)P(A)+P(B)-P(A,B)3/6+3/6-/65/6, m m i i questo questo cso cso o o coviee) P(A) P(A) A / A /uò essere essere u u defiizioe geerle di di robbilità? O Oerché esistoo che che i i ddi ddi truccti truccti (iteziolmete o o); o); otrebbe essere essere P().5 e P()...P(6).. I I questo questo cso cso si si vrebbe P(A).7, P(B).3 e P(A+B).9. Regol Regol geerle: el el cso cso dei dei risultti risulttiequirobbili, il il clcolo clcolo delle delle robbilità richiede solo solo di di ser ser cotre; se se i i risultti risultti o osoo sooequirobbili occorre ser ser sommre..b.:.b.: il il umero di di termii termiid d sommre uò uò essere essere eorme, o ddirittur ifiito! ifiito! 5 Fodmeti di Segli e Trsmissioe Idiedez sttistic semio: lcio lcio di di due due ddi ddi (o (o truccti) A{ A{ el el rimo rimo lcio lcio (e (e risultto qulsisi el el secodo lcio)} lcio)} B{3 B{3 o 4 el el secodo lcio lcio (e (e risultto qulsisi el el rimo rimo lcio)} lcio)} P(A,B)P({ el el rimo rimo lcio, lcio, 3 o 4 el el secodo lcio})/36 (iftti (iftti vi vi soo soo coie coiedi di risultti risulttiequirobbili: le le coie coie (,3) (,3) e (,4) (,4) costituiscoo l eveto cogiuto) I I questo questo cso cso risult risult P(A,B) P(A,B) P(A)P(B), cioè cioè l l robbilità cogiut è ugule ugule l l rodotto delle delle robbilità: si si dice dice che che gli gli eveti eveti A e B soo soo sttisticmete idiedeti (o (o idiedeti). ffettivmete i i lci lci soo soo idiedeti, meo meo che che si si vogli vogli credere che che il il ddo ddo h h memori!! Si Si ssume riori riori l idiedez sttistic, e quidi quidi si si us us l l regol regol P(A,B)P(A)P(B), qudo A e B soo soo eveti eveti reltivi reltivi eserimeti idiedeti. semio tiico: tiico: rietizioe di di uo uo stesso stesso eserimeto, cioè cioè rove rove rietute (dette (dette che che rove rove di diberoulli )..B.:.B.: el el cso cso di di eserimeti idiedeti vle vle l l regol regol P(A,B)P(A)P(B) che che se se i i risultti risultti elemetri o osoo sooequirobbili (ddo (ddo truccto). 6 Fodmeti di Segli e Trsmissioe

4 Vribile csuli discrete (distribuzioe di robbilità) Si Si dice dicevribile csule u u umero rele ssocito l l risultto dell eserimeto. Se Se i i ossibili risultti soo umerbili l l vribile csule è dett discret. Ad Ad esemio ll eserimeto lcio lcio del del ddo ddo (o (o truccto) ssocimo l l vribile csule che che uò uò ssumere i i vlori vlori iteri iteri comresi tr tr e 6 co co robbilità /6. /6. ot: ot: se se ivece ivece voglimo idicre le le fcce fcce del del ddo ddo co co,b,c,d,e,f o o defiimo u u vribile csule. Si Si dice dice distribuzioe di di robbilità (o (o tlvolt desità discret di di robbilità) dell vribile csule l l fuzioe P() P() (o (o tlvolt ()), che che rreset co co qule robbilità l l vribile csule ssume il il vlore.. Se Se i i risultti soo i i umero fiito si si trtt di di u u rresetzioe del del tutto tutto equivlete d d u u tbell coteete le le robbilità P(). Distribuzioe di robbilità dell vribile csule ell eserimeto lcio del /6 ddo l distribuzioe di robbilità dell vribile csule vle /6 er i vlori di iteri comresi tr e 6, e zero ltrove Fodmeti di Segli e Trsmissioe Temertur misurt umero di rove Vribili csuli cotiue Le Le vribili csuli soo cotiue qudo ossoo ssumere u u isieme cotiuo di di vlori (e (e quidi i i ossibili risultti soo i i umero ifiito). semio: l l temertur di di u u stz stz misurt (co (co recisioe ifiit! ifiit! otteedo u u umero rele) rele) d d u u istte istte di di temo temo csule. Il Il cocetto di di frequez reltiv reltivviee viee recuerto rossimdo l isieme cotiuo di di vlori vlori co co u u umero fiito fiito di diitervllii di di misur misur (discretizzzioe). Ad Ad esemio, se se l l temertur dell dell stz stz uò uò vrire vrire co co cotiuità tr tr e 3 3 grdi, grdi, o o commettimo u u grosso grosso errore errore rossimdo l itervllo cotiuo co co 5 5 itervllii cotigui di di.. grdi grdi ciscuo. L L vribile csule è divett discret (ci (ci soo soo 5 5 ossibili risultti risultti dell eserimeto) e ossimo rossimre l l robbilità come come limite limite dell dell frequez reltiv reltiv er er elevto. 8 Fodmeti di Segli e Trsmissioe

5 Istogrmm Ache Ache er er le le vribili csuli csuli cotiue, u u volt volt discretizzte, è ossibile trccire l istogrmm come come grfico grfico dell dell frequez reltiv reltiv dei dei risultti risultti i i ogi ogi itervllio i i cui cui si si è suddiviso l isieme cotiuo dei dei risultti. Temertur misurt ATTZIO: i i vlori vlori dell istogrmm er er le le vribili csuli csuli cotiue, u u volt volt discretizzte, diedoo dll dll dimesioe dell itervllio scelto: scelto: iù iù è iccolo iccolo l itervllo iù iù soo soo bssi bssi i i vlori vlori dell istogrmm umero di rove Frequez reltiv 9 Fodmeti di Segli e Trsmissioe 3 8 ISTOGRAMMA 6 4 dd Desità di robbilità (dd) Per Per itrodurre il il cocetto di di desità desità di di robbilità () () di di u u vribile csule cotiu rtire rtire dll istogrmm occorroo i i segueti ssi: ssi: --Utilizzre itervllii iccoli iccolicosì così d d oter oter riteere l ldd ddcostte l l loro loro itero itero --Dividere il il vlore vlore dell istogrmm er er l l dimesioe dell itervllio (i (i modo modo che che il il risultto si si idiedete dll dll dimesioe dell itervllio) 3 --Utilizzre u u umero molto molto elevto elevto di di rove rove (tto (tto iù iù elevto elevto quto quto iù iù iccolo iccolo è l itervllio) i i modo modo che che frequeze reltive reltive e robbilità qusi qusi coicido 3 3 Temertur misurt umero di rove Fodmeti di Segli e Trsmissioe dd

6 Uso dell desità di robbilità di u v.c. cotiu L L desità desità di di robbilità () () di di u u vribile csule cotiu è duque defiibile come come Dll Dll desità desità di di robbilità () () è fcile fcile clcolre l l robbilità che che l l vribile csule ssum u u vlore vlore comreso i i u u itervllo,,.. Bst Bst sommre! si si ottiee ottiee l re l re sottes sottes dll dlldd ddell itervllo d iteresse. P Si oti che P ( ) P( < lim d ( < ) + d) d.b.: se o è evidete di qule vribile csule si st rldo si scrive () ( ) d ( < < ) d Duque l re l re sottes sottes dll dlldd dddi di u u quluque vribile csule è uitri. Fodmeti di Segli e Trsmissioe Desità di robbilità cogiut I I modo modo del del tutto tutto logo si si defiisce l ldd dddi di due due (o (o iù) iù) vribili csuli csuli (desità di di robbilità cogiut): (, b) P( < lim d db + d, b < d db b + db) L L desità desità di di robbilità cogiut (,b) (,b) è utilizzt er er clcolre l l robbilità che che le le vribili csuli csuli e ssumo (cogiutmete) vlori vlori comresi i i u u regioe del del io. io. Bst Bst itegrre ell ell regioe d iteresse (itegrle doio). Le Le vribili csuli csuli e soo soo dette dette sttisticmete idiedeti se se (, b) ( b) er ogi e b Si Si ssume riori riori che che le le vribili csuli csuli e sio sio sttisticmete idiedeti se se otteute d d eserimeti svolti svolti i i codizioi idiedeti (esemio: rove rove rietute). Fodmeti di Segli e Trsmissioe

7 Vlor medio di u vribile csule Il Il vlor vlor medio mediom,, detto detto che che vlore vlore tteso tteso [] [] o mometo (sttistico) di di ordie ordie uo, uo, di di u u vribile csule è defiito defiito come come segue. segue. Se Se l eserimeto viee viee eseguito volte volte ( (grde) m è iterretbile rossimtivmete come come medi medi ritmetic dei dei risultti: m [] () d i i Il vlor medio di u vribile csule è l sciss del bricetro dell re sottes dll desità di robbilità. () () m X m X 3 Fodmeti di Segli e Trsmissioe Prorietà del vlor medio () L L rorietà fodmetle del del vlor vlor medio medioè l l seguete. Se Se dll dll vribile csule si si ottiee ottiee u u uov uov vribile csule ttrverso l l fuzioe f(), f(), dove dove f() f() è u u fuzioe refisst (i (i tl tl cso cso si si dice dice che che è fuzioe di di vribile csule), il il clcolo clcolo del del vlor vlor medio medio di di o o richiede di di determire l ldd (cos (cos che che otrebbe essere essere difficile). Si Si uò uò ivece ivece rocedere el el seguete modo, modo, medite l ldd dddell dell vribile : : [ ] f d Alogo risultto vle vle er er u u fuzioe di di iù iù vribili csuli. L L dimostrzioe di di quest quest imortte rorietà o o è fftto fftto ble. ble. Tuttvi il il risultto o o sorrede, se se si si es es ll iterretzioe del del vlor vlor medio medio come come medi medi ritmetic di di u u gr gr umero di di risultti: [ ] i i 4 Fodmeti di Segli e Trsmissioe i f ( ) semio: l l vribile csule h hdd uiforme (cioè (cioè costte) ell itervllo (,) (,) e ull ull ltrove. ltrove. L L vribile csule è defiit defiit come come cos(). Il Il vlor vlor medio medio di di è [ ] cos d cos d si().84 i

8 Prorietà del vlor medio () Dll Dll rorietà fodmetle del del vlor vlor medio mediosi si ottegoo immeditmete le le segueti rorietà, di di uso uso frequetissimo: Il Il vlor vlor medio medio dell dell somm somm+ +di di vribili csuli csuli è l l somm somm dei dei vlori vlori medi. medi. Se Se e b soo soo costti [+b] [] [] + b. b. Se Se e soo soo vribili csuli csuli idiedeti e f() f() e g() g() soo soo fuzioi rbitrrie, [f()g()] [f()] [f()] [g()]. [g()]. I I rticolre, se se e soo soo vribili csuli csuli idiedeti si si h h [] [] m m.. Vribili csuli csuli e tli tli che che si si [] [] m m soo soo dette detteicorrelte..b.:.b.: due due vribili csuli csuli ossoo essere essereicorrelte che che sez sez essere essere idiedeti. Vribili csuli csuli idiedeti soo soo ivece ivece semre icorrelte. 5 Fodmeti di Segli e Trsmissioe Vlore qudrtico medio e vriz Il Il vlor vlor qudrtico medio medio [ [ X [ ( ], ], detto detto che che otez sttistic o mometo (sttistico) di di ordie ordie,, di di u u vribile csule X mx ) è ] defiito defiito ( mcome come ) f Xsegue. darossimtivmete, è l l medi medi ritmetic di di u u umero molto molto elevto elevto di di risultti risultti di di ltrettti eserimeti: [ X ] m [ X ] + m [ X ] m m + m [ X ] m X X X X X [ ] () d i i X L Lvriz (dett (dett che che mometo cetrle di di ordie ordie ) ) di di u u vribile csule è il il vlore vlore qudrtico medio medio dell dell differez tr tr e il il suo suo vlor vlor medio mediom [( m) ] [ ] m i i i.b.:.b.: dimostrre che che [ m ) ] [ ] m ( richiede u u iccolo iccolo clcolo. 6 Fodmeti di Segli e Trsmissioe

9 Devizioe stdrd L L rdice rdice qudrt dell dellvriz è dett dett devizioe stdrd (o (o scrto scrto qudrtico medio) medio) dell dell vribile csule L L devizioe stdrd è u u misur misur dell dell disersioe, risetto risetto l l vlor vlor medio, medio, dei dei vlori vlori ssuti ssuti ei ei vri vri eserimeti dll dll vribile csule.. Più Più è elevt elevt l l devizioe stdrd iù iù i i risultti risultti soo soo disersi risetto risetto l l vlor vlor medio medio e l ldd ddè lrg. lrg > > Fodmeti di Segli e Trsmissioe Desità di robbilità gussi () e ( m ) π π.66 π () X X.35 π X X m X P P P ( m < m + ) ( m < m + ) ( m 3 < m + 3 ) m + m m + m + 3 π m 3 m π π e ( m ) ( m ) ( m ) d Fodmeti di Segli e Trsmissioe e e d.683 d.954

10 Fuzioe Q e fuzioe errore comlemetre (erfc).66 π () CB B ( m ) B e m + β π β β Q erfc d m X β β t Q(t) t Q(t), 5,-,8,9-,5 4,8-,,587-, 4,6-,,5-,5 4,44-,4 8,8-, 4,7-,6 3,86-,5 4,3-,8 3,59-,3 3,8-,,8-,35 3,6-,4 8,-3,4 3,446-,8,6-3,45 3,64-3, 6,87-4,5 3,85-3,6,59-4,6,743-4, 3,67-5 s erfc(s) s erfc(s),,+,6,37-, 8,875-,8,9-, 7,73-, 4,7-3,3 6,74-,,9-3,4 5,76-,4 6,885-4,5 4,795-,6,36-4,6 3,96-,8 7,5-5,7 3,- 3,,9-5,8,579-3,3 3,57-6,,573-3,7,67-7, 9,7-4,,54-8,4 4,77-5,,537- er er e t > 3 Q( t) e s > erfc( s) ( t / ) π t ( s ) π s 9 Fodmeti di Segli e Trsmissioe Somm di vribili csuli Si ossoo dimostrre molte otevoli rorietà: Il Il vlor vlor medio medio dell dell vribile csule z+ z+è ri ri ll ll somm somm dei dei vlori vlori medi. medi. Se Se e soo soo vribili csuli csuli idiedeti, l l vribile csule z+ z+h h come comedd ddll covoluzioe delle delle due duedd: dd: z Se Se e soo soo vribili csuli csuli idiedeti, l l vribile csule z+ z+h hvriz ri ll ri ll somm somm delle delle vrize: + z L L somm sommdi di u u umero grde grde di di vribili csuli csuli idiedeti i h i hdd ddrossim ll ll gussi, idiedetemete dlle dlle sigole sigole desità! (teorem limite limite cetrle) ( m ) ( )... ( ) e π L Ldd dduò uò essere essere rossim ll llgussi che che er er reltivmete iccolo iccolo (5 ). Fodmeti di Segli e Trsmissioe

11 Fodmeti di Segli e Trsmissioe Stim dell robbilit co rove rietute () evidete che vle co robbilit D/M e zero co robbilit q-. Quidi: Sodggi elettorli. Problem semlificto: gli M di elettori itlii voto solo il cetro-destr o il cetrosiistr. All fie delle elezioi si s che D elettori ho votto il cetro-destr. Co qule recisioe si riesce stimre D sedo cos ho votto solo <M elettori? Suoimo che le dichirzioi di voto sio idiedeti tr loro (o si fo i sodggi solo resso gli idustrili o solo ei cetri socili). All dichirzioe di voto ssocimo u vribile csule che vle er il cetro destr e er il cetrosiistr. L stim di D/M (ercetule di chi h votto cetro-destr) sr llor: ˆ [ ] [ ] ) ( ; ; Fodmeti di Segli e Trsmissioe Stim dell robbilit co rove rietute () Si verific fcilmete che il vlore medio dell stim di coicide co : [ ] [ ] ˆ erltro iu iteresste clcolre quto e disers l stim di risetto l suo vlor medio. L disersioe, come simo, e legt ll vriz: [ ] [ ] ( ) [ ] { } [ ] [ ] [ ] ) ( ˆ ˆ + +

12 Stim dell robbilit co rove rietute (3) Duque, l crescere di, l stim di e semre meo disers itoro (legge dei grdi umeri). Ad esemio se l devizioe dell stim vle: ( ) ( ) ˆ (. 5 ) erltro evidete che se fosse u milioe, l devizioe srebbe /, m questo uto il cmioe srebbe cosi elevto d redere irrgioevole u sodggio. 3 Fodmeti di Segli e Trsmissioe Prove rietute () semio: lci lci (idiedeti) di di u u moet moet trucct, che che dà dà test test co co robbilità.. Cosiderimo l l vribile csule umero di di teste teste totli totli (o (o ci ci iteress l ordie). Si Si ossoo otteere teste teste i i rove rove i i modi modi distiti, distiti, ciscuo vete vete robbilità ( ) (rodotto delle delle robbilità), e quidi quidi P( ) ( ) evidete che ll umetre di l frequez reltiv si discost semre meo d (legge dei grdi umeri) 4 Fodmeti di Segli e Trsmissioe

13 Prove rietute () Vriz del del umero di di successi i i rove rove idiedeti: se se è l l robbilità di di successo ell ell sigol sigol rov rov si si uò uò dimostrre che che l lvriz del del umero di di successi è e quidi quidi l lvriz dell dell frequez reltiv reltivf f/ è tedete ifiito. ifiito. ( e tede tede zero zero er er Gli Gli scrti scrti qudrtici medi medisoo dti dti risettivmete d d e.. 5 Fodmeti di Segli e Trsmissioe ) ( ) / semio: ( ) ( ) / ( ) ( ) / Come Come si si vede vede lo lo scrto scrto qudrtico medio mediodel del umero di di successi umet (m (m iù iù letmete di di ), ), metre metre lo lo scrto scrto qudrtico medio mediodell dell frequez reltiv reltivdimiuisce. Si Si comrede evidete che come come ll umetre si si ossibile di i rtic l rtic frequez misurre reltiv u u si robbilità, discost semre eseguedo meo d l eserimeto u u umero sufficiete (legge di di dei volte volte grdi (secodo umeri) l l recisioe desidert).